Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2011
Тип роботи:
Контрольна робота
Предмет:
Теорія електричних кіл
Група:
КІ
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
АНАЛІЗ ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ
В ЛІНІЙНОМУ ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ
комплексна контрольна робота з дисципліни
“Теорія електричних кіл”
Варіант 4
Завдання до розрахунку
Схема (рис.1, а) з параметрами елементів R1 = 100 Ом, R2 = 27кОм R3 = 30 кОм, С = 40 мкФ, L = 2 мГн вмикається на вхідний сигнал трапецієвидної форми (рис. 1,б) Um=10 В, tс=20 мс. Початкові значення напруг конденсаторів та струмів котушок індуктивностей приймаються такими, що дорівнюють нулю: uC(0-) = 0; іL(0-) = 0.
Розрахувати напругу uL(t).
а) б)
Рис. 1. Розрахункова схема а), часова діаграма дії б)
Характер зміни напруги uL(t) визначає два моменти комутації: перший – в момент часу t=0 та другий – tс. Відповідно вихідна величина повинна мати свої аналітичні вирази між цими точками часу. Тому знаходження вихідної величини проводиться в два етапи: спочатку на часовому інтервалі 0+ ≤ t ≤ tc- з відомими початковими умовами, потім на інтервалі tc+ ≤ t < ∞ з початковими умовами, що визначаються значеннями змінних стану під час другої комутації.
Знаходження величини струму uL(t) класичним методом.
В електричному колі присутні два реактивні елементи, координати яких (напруги на конденсаторах та струми котушок індуктивностей) за законами комутації не можуть змінюватися стрибком, що змушує обчислювати значення цих змінних у момент комутації. Отже, необхідно сформувати систему диференціальних рівнянь стану, невідомими величинами якої є напруги на конденсаторах та струми котушок індуктивностей, визначивши похідні, а саме струми конденсаторів та напруги котушок індуктивності з вузлових і контурних рівнянь:
і1 – і2 –і3 = 0;
uL(t) + uC(t) + i3 R3 + i1 R1 = e(t); (1)
uC(t) + i1 R1 + i2 R2 = e(t).
Вхідна напруга задається виразом
kt + U0 = (500t + 0) В = 500t B, якщо 0+ ≤ t ≤ tc-
e(t)=
0, якщо tc+ ≤ t,
де k = (Um – U0)/tc = (10-0)/0.02 = 500 В/с
Для розв’язання системи (1) зведемо її до рівняння відносно однієї змінної – напруги uL(t). Для цього про диференціюємо друге рівняння системи (1):
ДО ЦЬОГО МІСЦЯ НІБИ ВІРНО ДАЛІ В ЗОШИТІ
.
Далі в перше рівняння системи (1) підставляємо значення і2
і3 = і1 – і2 = .
Підставивши в друге рівняння системи (1) значення і3, здобудемо підсумкове диференціальне рівняння для струму і1(t):
;
;
(2)
Записуємо характеристичне рівняння диференціального рівняння (2):
аλ2 + bλ +с = 0, (3)
де а = R1LC; b = R1R3C + L; c = R1 + R3.
Перевіримо характеристичне рівняння, прирівнявши до нуля вираз для Zвх із заміною jω на λ:
Zпар = ,
(4)
Ліві частини рівнянь (3) і (4) тотожні, отже рівняння складені вірно.
Знаходимо коефіцієнти характеристичного рівняння в числовому вигляді:
a = R1LC = 100 ∙2∙10 -3 ∙40∙10 -6 = 8∙10 -6;
b = R1R3C +L = 100∙30∙10 3 ∙40∙10 -6 + 2*10 -3 = 120,002;
c = R1 + R3 = 30,1∙10 3.
Розв’язок повного неприведеного квадратного рівняння:
λ1,2 = {-250; -15∙106} 1/с.
Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (2):
(5)
де – загальний розв’язок однорідного рівняння, який визначається типом характеристичних коренів;
– частковий розв’язок неоднорідного рівняння.
На першому кроці визначаємо коефіцієнти часткового розв’язку К0 та К1 в усталеному режимі, коли t→ ∞ і загальним розв’язком однорідного рівняння
можемо нехтувати. Враховуючи, що
,
після підстановки часткового розв’язку в основне рівняння (2) отримуємо поліном
.
Після упорядкування
.
Прирівнюємо до нуля обидві складові полінома
.
.
.
На другому етапі з початкових умов визначаємо коефіцієнти загального розв’язку.
.
З третього рівняння системи (1)
.
За законом комутації uC ( 0+ ) = uC ( 0- ) = 0.
; івм ( 0+ )=15,6 мА;
А1 + А2 = ( -90 - 15,6 )10-3 = - 105,6∙10-3; А2 = - А1 - 0,1056.
Про диференціюємо (5) і для моменту t(0+ ) отримаємо:
; ;
; .
; .
.
.
Отже, між першою та другою комутаціями на проміжку 0+ ≤ t ≤ tc- струм і1(t) змінюється за таким законом:
(7)
Після другої комутації на проміжку t ≥ tс+ знаходження струму і1(t) спрощується. У цьому випадку загальний розв’язок набуває вигляду
Значення струму в усталеному режимі ( t → ∞ ) визначається безпосередньо з режиму на постійному струмі, а саме і1 ( ∞ ) = 0; отже К0 = 0. Початкове значення струму в момент часу t = tс- визначене з (7):
і1 (tс-) = (15,6 + 13,3∙0,01 – 105,6е-250*0,01) 10-3 = 7,1 мА
З третього рівняння системи (1) знаходимо напругу на конденсаторі до і після другої комутації (в момент t = tс)
uC ( tс- ) + i1 ( tc- ) R1 = e( tc- ); e( tc- ) = 400∙0,01 – 9 = -5 В
uC ( tс- ) = -5 -7,1∙10-3 ∙100 = -5,71 В.
Вхідний сигнал при t ≥ tс+ e( tс+ ) = 0. За умови виконання законів комутації uC ( tс- ) = uC ( tс+ ) = -5,71В маємо скачок струму і1 ( t )
uC ( tс+ ) + i1( tc+ ) R1 = e( tc+ ); uC ( tс+ ) + i1( tc+ ) R1 = 0;
.
Для визначення коефіцієнтів А1 і А2 необхідно скласти дві початкові умови для струму і1(t) та його похідної
; (8)
Проте, підставивши числові значення λ1,2 в перше рівняння (8), отримуємо
0,0821 А1 + 0∙А2 = 57,1∙10-3;
; А2 = 0.
Тому, струм і1 ( t ) після другої комутації t ≥ tс+ змінюється за законом
.
Знаходження величини струму і1(t) методом інтеграла Дюамеля.
Визначаємо перехідну характеристику за струмом hi(t) як реакцію кола на дію одиничної напруги е(t) = 1 (t).
Загальний розв’язок неоднорідного рівняння знаходимо за формулою
Коефіцієнт К0 визначаємо з усталеного режиму на постійному струмі
hi ( 0+ )= K1 + K2 =1/R1 ;
λ1K1 + λ2K2 = .
K2 = 1/R1 - K1; ; λ1 K1 + λ2K2 = 0; λ1 K1 + λ2 ( 1/R1 - K1 ) = 0;
λ1 K1 + λ2 / R1 – λ2K1 = 0; λ2 / R1 = K1 ( λ2 – λ1 ); ; K2 = 1/ R1 – K1 = 0,01 – 0,01 = 0.
Обчисливши коефіцієнти К1 та К2 , записуємо перехідну характеристику за струмом у вигляді
На інтервалі часу 0+ ≤ t ≤ tc- струм і1(t) визначається за інтегралом Дюамеля як
(9)
Знайдемо значення функцій, які складають вираз (9):
е ( 0+ ) = U0 =-9B; ;
.
Після підстановки отримуємо:
Між першою та другою комутаціями .
На інтервалі часу tc+ ≤ t < ∞ струм і1(t) визначається за інтегралом Дюамеля як
Отже, струм і1( t ) після другої комутації t ≥ tс+ змінюється за законом .
Знаходження величини струму і1(t) операторним методом.
Операторне зображення струму і1(t) визначаємо за допомогою імпульсної характеристики Кі (р)
І1 ( р) = Е(р)∙Кі (р)
де Е(р) – операторне зображення вхідної напруги, що обчислюється за прямим перетворенням Лапласа
.
З довідника [2] використаємо інтеграл .
=E(1)(р)+E(2)(р)∙е-0,01р
Імпульсну характеристику визначаємо як струм, що числово їй дорівнює при вмиканні на імпульсну функцію δ(t)→Eδ(p) = 1.
.
Операторне зображення вхідного опору Zвх (р) отримаємо заміною у виразі для Zвх (стор. 4) λ на р
.
Зображення шуканого струму складається з двох компонент
І1(р) = [ Е(1)(р) + Е(2)(р)∙е-0,01р ]∙Кі(р) = .
Спочатку знайдемо оригінал першого зображення струму
за теоремою розкладання як . Коефіцієнти розкладання Аk обчислюються за формулою:
Корені полінома знаменника F2(p) = 0 дорівнюють
р1 = 0, р2 = -250 1/с, р3 = -15∙106 1/с.
Результати обчислень зведемо в табл. 1.
Отже, між першою та другою комутаціями на проміжку 0+ ≤ t ≤ tc- перша складова струму залежить від часу за формулою
.
Для другого зображення струму
.
Коефіцієнти розкладання Аk :
Результати обчислень зведемо в табл. 2.
Таблиця 1
Результати обчислень
k
pk,1/c
Ak , A
1
0
2
–250
3
-15∙106
Таблиця 2
Результати обчислень
k
pk,1/c
Ak , A
1
0
2
–250
3
-15∙106
Тоді друга складова струму залежить від часу за формулою
,
А шуканий струм з врахуванням зміщення оригіналу набуває вигляду
якщо 0+ ≤ t ≤ tc-
=
якщо t ≥ tс+
Отже, струм і1( t ) після другої комутації t ≥ tс+ змінюється за законом
Висновки
В табл.3 для порівняння наведені результати розрахунків перехідного процесу трьома методами. Як видно з цієї таблиці, кінцеві вирази часової залежності для струму і1 (t) при розрахунку методом інтеграла Дюамеля та операторним методом практично співпадають. На рис.2, 3 приведені схема та результати комп’ютерного моделювання перехідного процесу за допомогою пакету Micro-Cap IX, які дещо відрізняються від результатів теоретичних розрахунків внаслідок відмінності точності обчислень, виконаних числовим і аналітичним методами.
Таблиця 3
Порівняння результатів розрахунку перехідного процесу різними методами
Часовий інтервал
Складова струму і1(t)
Класичний метод
Метод інтеграла Дюамеля
Операторний метод
0+ ≤ t ≤ tc-
, мА
t ≥ tс+
, мА
Рис. 2. Схема моделювання перехідних процесів в програмі Micro-Cap IX
Рис. 3. Результати моделювання перехідних процесів в програмі Micro-Cap IX
18.11.2012 16:11-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора