Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Розрахунково - графічна робота
Предмет:
Чисельні методи в інформатиці
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА
з курсу “ Чисельні методи в інформатиці ”
Завдання 1.
Розв'язати функціональне рівняннядвома заданими методами для ɛ =0,01. Порівняти результати отримані в кожному з методів, графічно перевірити правильність розв'язку. Пояснити, яку роль грає виконання попереднього етапу в заданих методах - етапу відокремлення кореня.
Розв'язання
Варіант 12. Метод хорд та метод січних.
Етап 1.
Для знаходження всіх коренів на заданому проміжку проведемо етап відокремлення коренів. Вирахуємо з кроком h=0,5 значення функції:
.
x = 1/2; f(x) = 1.5346; x = 7/2; f(x) = -0.5958;
x = 1; f(x) = 0.9093; x = 8/2; f(x) = -0.3969;
x = 3/2; f(x) = -0.2643; x = 9/2; f(x) = -1.0920;
Функція змінює знак на проміжку [1; 3/2], на даному поміжку буде відбуватися етап уточнення коренів методами хорд та січних.
Метод хорд.
Замінимо функцію f(x) лінійною функцією, яка проходить через вузлові точки (а, f(a)) та (b,f(b)).
(1.1)
Лінійна функція P(x) приймає на кінцях відрізку [a; b] такі ж значення, що й f(x). В якості першого наближення візьмемо точне значення кореня функції Р(х), тобто х0 розрахуємо з рівняння.
(1.2)
При подальшому дослідженні відрізків [a; x0] та [x0; b] вибираємо той, на якому функція змінює знак. Ітераційний процес закінчується, коли виконається умова .
Початок ітерацій для методу методу січних. Проміжок [1; 3/2].
Перевіряємо умову виходу:
Оскільки , то ітерації продовжуються.
Перевіряємо проміжок [a; x1].
f(a) = 0.9093 f(x1) = 0.0312
Функція на даному проміжку свій знак не міняє, отже цей проміжок не містить коренів рівняння.
Перевіряємо проміжок [x1; b].
f(x1) = 0.312 f(b) = -0.2643
Функція змінила свій знак, тому корінь слід шукати на даному проміжку.
Перевіряємо умову виходу:
Оскільки , от очевидно, що х2 і буде наближеним розв'язком рівняння.
Метод січних.
Зпишемо ітераційну формулу для методу січних.
(1.3)
Поки умова приймає значення істина, ітераційний процес не припиняється.
Нехай x0=b, тоді:
Оскільки , то ітераційний процес продовжується.
Перевіряємо , отже ітерації продовжуються.
Перевіряємо , отже ітераційний процес завершено, наближеним ров'язком рівняння є х3.
Перевірка результатів графічно.
На рис.1 забражено графік функції із завдання №1. Даний графік перетинає вісь абсцисс у околі точки (1,3993; 0) з діаметром менше ɛ = 0,01.
Рис. 1 Графік функціонального рівняння
Висновок.
При підстановці коренів хx=1.3993 та хc=1.3994 у рівняння отримуємо такі результати f(xx)=0.00038 f(xc)=0.000122, що відповідає наближеному до 0 значенню функції. Значення знайдене обома методами із точністю ɛ =0,01.
Етап відокремлення коренів необхідно проводити для знаходження всіх коренів на заданому проміжку.
Завдання 2.
Розв'язати СЛАР методом LU-розкладу та одним із ітераційних методів (за варіантом). Точність розв'язківу ітераційному методі ɛ=0,1. Перевірити результати розв'язку. Порівняти отримані розв'язки.
Варіант 12. Ітераційний метод релаксації.
Метод LU-розкладу.
для розв'язання СЛАР методом LU-розкладу розкладемо матрицю А на 2 трикутні матриці L та U. Для цього домножимо матрицю А на одиничну матрицю І зліва. ІАХ=В.
Перший рядок обох матриць залишимо незмінним, а від другого рядка матриці А віднімемо перший рядок, помножений на коефіцієнт 12,1/1,7.
Домноживши перший рядок матриці А на 7,11 отримуємо рядок, який додаємо до другого рядка матриці А. .
Домноживши 2-ий рядок на 2,47 отримуємо рядок, який додаємо до третього рядка матриці А.
.
Домноживши 2-ий рядок на -0,27 та віднявши його від3-го рядка ми завершимо будувати матриці L та U.
Матриця U сформована. Матриця L складається із коефіцієнтів на які ми домножали.
Таким чином було отримано 2 трикутні матриці. СЛАР АХ=В перетворилась на LUX=B.
Зворотній хід виконуємо у 2 етапи.
1. LY=B;
Звідси знаходимо вектор Y.
2. UX=Y;
Звідси знаходимо вектор Х.
Застосування методу релаксації.
Ітерації проводимо, підставляючи вектор початкових наближень у нормалізавну систему, приведену до канонічного вигляду. Таким чином обчислюємо нев'язки за формулами.
(2.1)
Проведемо нормалізацію СЛАР. АТАХ=АТВ.
Розрахуємо формули. за якими будемо обраховувати нев'язки для наших рівнянь.
Знайдемо х1 з рівняння з найбільшою по модулю нев'язкою. Використовуючи формулу 2.2, де m-номер рівняння у якого найбільша по модулю нев'язка.
(2.2)
Обчислимо нев'язки на пешому кроці:
Перевіряємо умову виходу , отже продовжуємо ітерації, на наступному кроці знаходимо х2 з 1-го рівняння.
х1=0,0957
Перевіряємо умову виходу , отже продовжуємо ітерації, на наступному кроці знаходимо х2 з 3-го рівняння.
х2=0,3577
Перевіряємо умову виходу , отже продовжуємо ітерації, на наступному кроці знаходимо х3 з 3-го рівняння.
х3=-0,0604
Перевіряємо умову виходу , отже продовжуємо ітерації, на наступному кроці знаходимо х2 з 3-го рівняння.
х1=0,0883
Перевіряємо умову виходу , отже продовжуємо ітерації, на наступному кроці знаходимо х2 з 3-го рівняння.
х2=0,301
Оскільки всі δ<0,1, то миприпиняємо ітерації та стверджуємо, що розв'язок системи знайдений із точністю ɛ=0,1.
При порівнянні розв'язків виявилося, що їх різниця виявилась меншою за 0,1, що свідчить про те, що і наближений, і точний методи дали правильний результат.
Перевірка метод LU-розкладу.
Перевірка метода релаксації.
Завдання 3.
Розв'язати СЛАР з розрідженою(тридіагональною матрицею) коефіцієнтів спрощеним LU-розкладом, або методом прогонки у відповідності до варіанту. Виконати перевірку АХ-В=0.
Варіант 12. Метод прогонки.
Метод прогонки складається з двох етапів: обрахунку коефіцієнтів(прямий хід) та знаходження розв'язків(зворотній хід).
Коефіцієнти знаходимо за формулами (3.1)
(3.1)
Корені СЛАР знаходимо за формулами (3.2)
(3.2)
Порахуємо коефіцієнти
Прямий хід завершено, починаємо зворотній.
Виконуємо перевірку розв'язків АХ=В
Висновок: Знайдені методом прогонки розв'язки після проведеної перевірки виявилися правельними. Даний метод дозволяє швидко і з мінімальними затратами обчислювальних ресурсів знаходити розв'язки тридіагональних матриць.
Завдання 4. Розв‘язати систему нелінійних рівнянь (СНР) методом Зейделя. Початкове наближення розрахувати графічним методом . Похибка результатів має бути не біль ше . Перевірити достовірність отриманих розв‘язків ().
Варіант 12. Метод Зейделя.
Розв’язок
Знайдемо розв'язок графічно, графіки функцій представлені на рис. 2.
Рис. 2 Графік функційдо завдання 4
Графічним методом визначемо значення Підставимо у систему:
Представимо систему нелінійних рівнянь в ітераційному вигляді:
Для даних значень розраховуємо частинні похідні в околі розв‘язку . Для розрахунків приймемо (з розрахунку, що в чисельнику похідних використовуємо найбільші значення діапазону G, а у знаменнику – найменші):
За теоремою визначимо:
Значить ітераційний процес буде збіжним. Переходимо до етапу безпосереднього визначення розв‘язків за методом Зейделя.
Початкові значення для даної системи нелінійних рівнянь при розв‘язанні методом Зейделя: .
Користуючись формулою:
Підставляємо в систему нульовий вектор (0.9;2) та обраховуємо значення:
=>
Перевіряємо умову:
,
тому продовжуємо ітерацію.
=>
Перевіряємо умову: , тому продовжуємо ітерацію.
=>
Перевіряємо умову:
,
тому ітерацію закінчуємо.
Перевірка результатів розв‘язку:
Розв‘язок, отриманий методом Зейделя: , при підстановці у початкову систему рівнянь:
>> X=0.795;
>> Y=1.892;
>> F=Y*sin(Y)-X
F =
1.0002
>> F = 2*X^2-X*Y-Y^2+2*X-2*Y+6
F =
-0.001
Дані розв’язки близькі до значень 0 і 1, отже їх можна вважати достовірними.
Завдання 5.
Побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа для функції, що задана таблично. Побудувати графік заданих точок та полінома Лагранжа.
Варіант 12.
х
4,0
3,5
2,8
3,9
2,3
у
2,011
1,873
1,683
1,983
1,552
Запишемо загальну формулу для побудови полінома Лагранжа.
(5.1)
Та формулу для розрахунку коефіцієнтів li(x).
(5.2)
За даними формулами буде вестись розрахунок полінома Лагранжа.
Починаємо рахувати коефіцієнти li(x).
Приступаємо до розрахунку полінома
Отриманий результат зображено на рис. 3.
Як видно з на рис. 3 зображено поліном Лагранжа, для заданої таблично функції. Оскільки поліном проходить через опорні точки, то відповідь знайдена правильно. Невелике відхилення від опорних точок можна пояснити похибкою, що накопичелася в результаті обчислень коефіцієнтів поліному і округлень значень.
Рис. 3 Поліном Лагранжа, для згладження точкової діаграми
Завдання 6.
Побудувати замкнений кубічний сплайн (непарні варанти 1, 3, 5 …) чи природній кубічний сплайн (парні варіанти: 2, 4, 6 …) для функції, що задана таблицею (див. варіанти завдання 5). На графічному полотні попереднього завдання побудувати графік кубічного сплайну (наклавши його на графік заданих точок та отриманого поліному Лагранжа).
Варіант 12.
х
4,0
3,5
2,8
3,9
2,3
у
2,011
1,873
1,683
1,983
1,552
Запишемо основні формули для побудови кубічного сплайну, нагадаємо, що ми отримали завдання, за варіантом якого потрібно побудувати природній сплайн.
Спочатку для побудови сплайна потрібно обчислити коефіцієнти
(6.1)
За формулами знаходимо коефіцієнти.
Обчислені значення використовуються для побудови тридіагональної матриці та пошуку похідних коефіцієнтів mk.
Оскільки за умовою сплайн природній, то m0=m4=0 і сформована тридіагональна матриця буде мати розмірність 3.
Рядки матриці формуються за формулою.
(6.2)
Нижче приведено систему рівнянь, з яких знаходять mk.
Ця ж сама система рівнянь, але в матричному вигляді з підставленими коефіцієнтами.
Розв'язуємо дану систему, наприклад методом прогонки і отримуємо відповідь.
Коефіцієнти сплайну обчислюємо за формулами:
Обчислюємо коефіцієнти.
Кубічні сплайни знаходимо за формулою.
(6.3)
Нанесемо на координатну сітку отримані графіки сплайнів.
Рис. 4 Згладжена сплайном точкова діаграма.
Висновок.
При сплайн-інтерполяції зберігається умова проходження наближуючої функції через вузлові точки. Сплайн-інтерполяція дозволяє згладити задану точкову діаграму, на проміжку, між опорними точками. Сплайн-інтерполяція часто використовується в CAD, GIS системах та при побудові комп'ютерної графіки.
Список використаної літератури.
Фельдман Л.П., Петренко А.І., Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці. – К.: Видавнича группа BHV, 2006. – 480 с.
Метьюз Дж., Фінк К. Численные методы. Использование MatLab. – СПб.: Вильямс, 2001. – 583 с.
Мартынов Н.Н., Иванов А.П. 5.х Вычисления, визуализация, программирование. М.: Кудиц-Образ, 2000. – 336 с.
Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 700 с.
Ануфриев И.Д., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.
Дьяконов В. П. MATLAB R2006/2007/2008 + Simulink 5/6/7. Основы применения. – М.: Солон-Пресс, 2008. – 799 с.
Методичні вказівки та завдання до лабораторних робіт з курсу „Чисельні методи ” для студентів усіх форм навчання спеціальностей 7.080401 „Інформа ційні управляючі системи та технології”, 7.080403 „Програмне забезпечення автоматизованих систем”, 7.080404 „Інтелектуальні системи прийняття рішень ”, 7.080407 „Комп‘ютерний еколого-економічний моніторинг ”, 6.080200 „Прикладна математика ”. Частина 1. / Укладачі д.т.н., проф. Середенко В.М., ст.в. Супруненко О.О., ас. Хрипко О.М. Черкаси: ЧДУ, 2003. – 58 с.
Супруненко О.О. Чисельні методи в інформатиці. Курс лекцій: для студентів, які навчаються за напрямами підготовки 050101 „Комп‘ютерні науки ”, 050103 „Програмна інженерія ”. – Черкаси: ЧНУ, 2009. – 132 с.
http://www.mathworks.com (MATLAB Documentation).
http://ru.wikipedia.org/wiki/Численные_методы
http://www.kodges.ru/komp/program/page/3/
http://www.rusbooks.org/computernaja/999-osnovy-chislennykh-metodov.html
http://mat.net.ua (книги і статті по чисельним методам).
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора