Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКНІ
Факультет:
Комп’ютерні науки
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2011
Тип роботи:
Методичні вказівки до лабораторної роботи
Предмет:
Математичні методи дослідження операцій
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
Національний університет “Львівська політехніка”
ІКНІ
Методичні вказівки до лабораторної роботи № 13
Градієнтний метод числової оптимізації задач нелінійного програмування.
з дисципліни
“Математичні методи дослідження операцій”
для студентів бакалаврського напряму “Комп’ютерні науки”
Львів – 2011
Методичні вказівки до лабораторної роботи № 13 “ Градієнтний метод числової оптимізації задач нелінійного програмування." з дисципліни “Математичні методи дослідження операцій” для студентів напряму “Комп’ютерні науки” /Укл. Дронюк І.М., Балич Б.І. – Львів: Національний університет «Львівська політехніка», 2011.
Укладач: Дронюк І.М., канд. фіз.-мат. наук, доцент каф. АСУ
Балич Б.І., старший викладач каф. АСУ
.
Відповідальний за випуск: Обельовська К.М., канд. техн. наук, доцент каф. АСУ
Рецензент: Цмоць І.Г., докт. техн. наук, професор каф. АСУ
Лабораторна робота № 13.
Градієнтний метод числової оптимізації задач нелінійного програмування.
Мета роботи: ознайомлення з градієнтним методом числової оптимізації, набуття навиків розв’язку та аналізу задач нелінійного програмування градієнтним методом.
Короткі теоретичні відомості
Градієнтні методи належать до наближених числових методів розв’язування задач нелінійного програмування, оскільки дають точний розв’язок за нескінченне і лише в окремих випадках за скінченне число кроків. З їх використанням можна розв’язувати будь-яку задачу нелінійного програмування, знаходячи, як правило, лише локальний екстремум. Тому застосування цих методів дає найбільший ефект для розв’язування задач випуклого програмування, де локальний екстремум є одночасно і глобальним.
1.1. Застосування градієнтного методу, коли обмеження на область зміни змінних х відсутні
Розглянемо задачу максимізації функції f(х), коли обмеження на область зміни змінних х відсутні. Пошук екстремального значення функції f(х) можна починати з будь-якого допустимого розв’язку, наприклад, з точки хk = (x1k; ...; хпk).
Градієнтом (f(x) функції f(х) в точці хk називається вектор, координатами якого є значення в цій точці частинних похідних першого порядку відповідної змінної, тобто
Градієнт функції в цій точці вказує напрямок найшвидшого зростання функції f (х).
Переміщення з точки хk вздовж градієнту в нову точку хk+1 відбувається по прямій, рівняння якої
. (1)
де (k – числовий параметр, від величини якого залежить довжина кроку переміщення . Величина (k, при якій досягається найбільший приріст функції, може бути визначена з необхідної умови екстремуму функції
(2)
Чергову точку хk+1 визначаємо після обчислення параметру (k (для цього підставляємо значення (k в формулу (1) на пошуковій траєкторії). В цій ( хk+1 ) точці знову знаходимо градієнт, а рух відбувається далі по прямій хk+2 = хk+1 + (k+1(f(xk+1) у напрямку нового градієнту (f (xk+2) до точки хk+2, в якій досягається найбільше значення функції f(х) в цьому напрямку і т.д. Розв’язування триватиме доти, поки не буде досягнута точка х*, в якій градієнт функції дорівнює нулю. В цій точці х* цільова функція f(х*) і буде набувати максимального значення.
Приклад 1. Нехай потрібно визначити точку максимуму функції , коли процес розв’язування розпочинається з точки x0 = (4;4).
Розв’язування. Знайдемо частинні похідні функції f(x)
; .
Градієнт функції в точці х0 буде
.
Перемістимось з точки х0 вздовж градієнту (f(х0) в нову точку х1:
х1 = x0 + λ0 (f (х0) = (4; 4) + (0 (–6; –4) = (4 – 6 (0; 4 – 4 (0).
Градієнт функції в точці х1 дорівнює
(f (х1) = [2 – 2 (4 – 6(0); 4 – 2 (4 – 4(0)] = (– 6 +12(0; – 4 + 8(0).
З необхідної умови екстремуму одержуємо рівняння
,
звідки = 0,5.
Оскільки , то знайдене значення х1 є точкою максимуму функції (f (х1).
Враховуючи = 0,5, визначимо координати точки х1 на пошуковій траєкторії
х1 = (4 – 6·0,5; 4 – 4·0,5) = (1; 2)
та градієнт (f (х1) в цій точці х1 (f (х1) = (2 – 2·1; 4 – 2·2) = (0; 0).
Оскільки градієнт (f (x1) має нульові координати, робимо висновок про те, що х1 = (1; 2) є точкою, в якій цільова функція досягає максимального значення f(х1) = 2·1+ 4·2 – 1– 4 = 5 ( в початковій точці f(x0) = – 8 ).
На мал. 1 наведена графічна інтерпретація даної задачі.
Мал. 1.
1.2. Застосування градієнтного методу, коли наявні обмеження на область зміни змінних х
Тепер розглянемо випадок розв’язування задачі нелінійного програмування з обмеженнями. Припустимо, що задача полягає в наступному: необхідно знайти максимум функції f(х) за обмежень
, , (3)
,.
Крім того, будемо вважати, що функція f(х) є ввігнутою диференційованою функцією.
При розв’язуванні подібних задач трапляються два випадки:
1) цільова функція має єдиний екстремум, і він знаходиться всередині області допустимих розв’язків. Тоді процес розв’язування задачі (пошук оптимальної точки х*) нічим не відрізняється від уже розглянутого;
2) цільова функція набуває свого екстремального значення в точці, що знаходиться на границі допустимої області. В цьому випадку послідовність розв’язування задачі наступна. Якщо початкова точка хk лежить всередині допустимої області (всі обмеження виконуються як строгі нерівності), то переміщуватися потрібно в напрямку градієнту. Але координати чергової точки повинні задовольняти обмеженням (3), тобто повинні виконуватись нерівності
(4)
Розв’язуючи систему (4) лінійних нерівностей, знаходимо проміжок допустимих значень параметру , при яких точка x1 буде належати допустимій області. Значення , яке одержується в результаті розв’язування рівняння (2)
,
повинно належати проміжку . Якщо значення виходить за межі проміжку, то за приймається . При цьому чергова точка пошукової траєкторії опиняється на граничній гіперплощині, що відповідає нерівності системи (4), виходячи з якої при розв’язанні системи отримано значення .
Якщо початкова точка хk лежить на граничній гіперплощині (або чергова точка пошукової траєкторії опинилась на граничній траєкторії), то напрямок переміщення визначається із розв’язку наступної допоміжної задачі математичного програмування:
(5)
(6)
для тих і, при яких
, (7)
, (8)
де ; .
Умова (7) визначає належність точки хk границі допустимої області. Умова (6) означає те, що переміщення з точки хk по вектору rk буде відбуватися всередину допустимої області або по її границі, а умова (8) необхідна для обмеження величини rk. Для наступної точки пошукової траєкторії
знаходиться значення параметра . При цьому використовується необхідна умова екстремуму:
.
Процес розв’язування припиняється при досягненні точки, в якій
.
Приклад 2. Максимізувати за таких обмежень
,
Оптимізаційний пошук почати з точки x0 = (1; 0,5).
Розв’язування. Точка x0 = (1; 0,5) лежить всередині допустимої області, значення функції в точці x0 f(x0) = 8,75. За напрямок переміщення в наступну точку x1 приймаємо напрямок градієнту в точці x0 = (1; 0,5).
Градієнт у точці х0 дорівнює . Виходячи з цього, можна записати координати наступної точки
.
Визначимо проміжок допустимих значений для параметру , при яких точка x1 буде належати допустимій області. В цьому випадку система нерівностей (4) має вигляд
З розв’язку цієї системи знаходимо проміжок . Розв’язавши рівняння
,
визначимо значення параметру , при якому приріст функції досягає найбільшої величини. Але значення не належить проміжку, тому приймаємо .
Нова точка x1 = (1,36; 0,95) знаходиться на граничній прямій, яка визначається другим обмеженням–нерівністю (тією нерівністю, якій відповідає значення ). В точці x1 значення функції. Оскільки точка х1 лежить на граничній прямій, то напрямок переміщення в наступну точку х2 визначаємо за вектором r1 (рух в напрямку градієнта виводить з допустимої області). Для визначення координат вектора r1 запишемо допоміжну задачу (5) – (8):
максимізувати
за обмежень
;
.
Система рівнянь цієї задачі має два розв’язки: (0,5568;–0,8352) і (–0,5568; 0,8352). Підставляючи ці розв’язки у функцію , одержуємо, що максимальне значення функції і досягається при (–0,5568; 0,8352), тобто переміщуватися з х1 треба вздовж вектору r1 = (–0,5568; 0,8352) по другій граничній прямій (мал. 2). Координати наступної точки х2 дорівнюють
,
а градієнт
.
Знову визначаємо проміжок допустимих значень параметра , при яких точка х2 буде належати допустимій області.
До системи обмежень, які повинна задовольняти точка х2, не увійде друге обмеження, оскільки ця точка лежить на граничній прямій, визначеній цим обмеженням. Розв’язуючи дану систему, знаходимо проміжок
.
З використанням необхідної умови екстремуму
отримуємо . Але значення не належить проміжку , тому приймаємо . Нова точка х2 = (1,36-0,557х1.01; 0,95+0,835х1,01)=(0,8; 1,8) лежить на перетині двох граничних прямих, які відповідають першій і другій нерівностям системи обмежень. У цій точці функція набуває значення
.
Визначимо напрямок переміщення з точки х2 – вектор r2 = (r21; r22):
максимізувати
за обмежень
;
.
Система рівнянь задачі має розв’язок r2 = (0; 0). Підставляючи одержаний розв’язок у функцію T, дістаємо, що максимум T = 0, а це означає те, що х2 є точкою максимуму цільової функції в допустимій області, тобто х2 = х* і max f (х*) = 12,68. Як видно з мал. 2, лінія рівня f(х)дотикається до границі допустимої області в точці х2.
Мал. 2
Порядок роботи:
Номер завдання відповідає порядковому номеру студента в деканатському журналі старости.
Розв’язати аналітично задану задачу нелінійного програмування, супроводжуючи розв’язок графічною ілюстрацією.
Побудувати блок-схему алгоритму рішення задачі.
Реалізувати алгоритм на одній з мов програмування та відшукати оптимальний розв’язок задачі.
Контрольні запитання
1. До яких числових методів розв’язування задач нелінійного програмування належать градієнтні методи?
2. Особливості використання градієнтних методів для задачі, коли обмеження на область зміни змінних х відсутні.
3. Застосування градієнтного методу, коли наявні обмеження на область зміни змінних х.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Барінський А.Ф. і ін. Математичне програмування та дослідження операцій. – Л.: Інтелект- Захід, 2008. – 588с.: іл.
2. Барінський А.Ф. і ін. Математичне програмування. – Л.: Інтелект-Захід, 2004. – 448с.: іл.
3. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій. – К.: ДМК Пресс, 2006. – 576с.: іл.
4. Долженков В.А., Колесников Ю.В. Microsoft( Excel 2000. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. – 1088с.
5. Кудрявцев Е.М. Mathcad 2000 Pro. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 576с.
6. Таха Хэмди А. Введение в исследование операций, 6-е издание: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 912с.: ил.
7. Наконечний С. І., Савіна С. С. Математичне програмування: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2003. — 452 с.
Індивідуальні завдання
Розв’язати градієнтним методом задачі нелінійного програмування, починаючи оптимізаційний процес з вказаної точки x0 й супроводжуючи розв’язок графічною ілюстрацією. Номер завдання відповідає порядковому номеру студента в деканатському журналі старости.
1.
2.;.
3.
4. ;.
5.
6.;
7
8.
9.
10.
11.;.
12.;
13.; .
14.
15.;
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.;
.
25. ,
26. ,
.
27. ,
28.;
29.
29.11.2012 17:11-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора