Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2007
Тип роботи:
Інструкція до лабораторної роботи
Предмет:
Інформаційна безпека
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСТВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Інструкція до лабораторної роботи № 6
з курсу: "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
для студентів спеціальності 6.1601
"Інформаційна безпека"
Затверджено
на засіданні кафедри
«Захист інформації»
Протокол № __ від...
Львів – 2007
Методи чисельного розв’язування диференціальних рівнянь: Інструкція до лабораторної роботи №6 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" / Укл.: Л.В.Мороз, З.М.Стрілецький, В.М.Іванюк - Львів: НУЛП, 2007.- 19 с.
Укладачі: Леонід Васильович Мороз, к.т.н., доц.
Зеновій Михайлович Стрілецький, к.т.н., доц.
Віталій Миколайович Іванюк, асист.
Відповідальний за випуск: І.Я. Тишик, ст.вик.
Рецензенти: В.Б. Дудикевич, д.т.н., проф.,
В.В. Хома, д.т.н., проф.
Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного розв’язування диференційних рівнянь.
ВСТУП
Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних
Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР) -го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні до -го порядку включно:
(1)
- незалежна змінна;
- невідома функція (залежна змінна);
- похідні цієї функції.
Диференціальне рівняння -го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
(2)
Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної.
Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші, а при або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою.
Значення залежної змінної та її похідних називаються додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними.
Задача Коші
Задача Коші формулюється так:
Нехай задане ДР
(3)
з початковими умовами . Потрібно знайти функцію , що задовольняє дане рівняння та початкову умову. Для одержання чисельний розв’язку цієї задачі спочатку обчислюють значення похідної, а потім задаючи малий приріст, переходять до нової точки
Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива . Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної.
Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші.
Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій потрібна інформація лише про попередній крок.
Багатокрокові. Для знаходження наступної точки кривої вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок.
Всі ці методи розв’язування ДР дають розв’язок у вигляді таблиці значень.
Метод Ейлера
Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку виду.
(4)
Метод Ейлера базується на розкладі функції в ряд Тейлора в околі точки
(5)
Якщо мале, то, знехтувавши членам розкладу, що містять в собі і т.д. отримаємо
(6)
Похідну знаходимо з рівняння (4), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співвідношення.
,
роблячи як завгодно багато кроків.
Похибка методу має порядок , оскільки відкинуті члени, що містять в другій і вище степенях.
Недолік методу Ейлера - нагромадження похибок, а також збільшення об’ємів обчислень при виборі малого кроку з метою забезпечення заданої точності.
В методі Ейлера на всьому інтервалі тангенс кута нахилу дотичної приймається незмінним і рівним . Очевидно, що це призводить до похибки, оскільки кути нахилу дотичної в точках та різні. Точність методу можна суттєво підвищити, якщо покращити апроксимацію похідної.
Модифікований метод Ейлера
В модифікованому методі Ейлера спочатку обчислюється значення функції в наступній точці за звичайним методом Ейлера.
(7)
Воно використовується для обчислення наближеного значення похідної в кінці інтервалу .
Обчисливши середнє між цим значенням похідної та її значенням на початку інтервалу, знайдемо більш точне значення :
(8)
В обчислювальній практиці використовується також метод Ейлера-Коші з ітераціями:
знаходиться грубе початкове наближення (за звичайним методом Ейлера)
будується ітераційний процес
(9)
Ітерації продовжують до тих пір, доки два послідовні наближення не співпадуть з заданою похибкою . Якщо після декількох ітерацій співпадіння нема, то потрібно зменшити крок .
Метод Рунге – Кутта четвертого порядку
В методі Рунге-Кутта значення функції , як і в методі Ейлера, визначається за формулою
Якщо розкласти функцію в ряд Тейлора і обмежитись членами до включно, то приріст можна записати у вигляді
(10)
Замість того, щоб обчислювати члени ряду за формулою (10) в методі Рунге-Кутта використовують наступні формули.
Похибка на кожному кроці має порядок . Таким чином метод Рунге-Кутта забезпечує значно вищу точність ніж метод Ейлера, однак вимагає більшого об’єму обчислень.
Деколи зустрічається інша форма представлення методу Рунге-Кутта 4-го порядку точності.
Методи з автоматичною зміною кроку
Застосовуються в тому випадку, якщо розв’язок потрібно одержати із заданою точністю. При високій точності (похибка ) автоматична зміна кроку забезпечує зменшення загального числа кроків в декілька разів (особливо при розв’язках у вигляді кривих, що сильно відрізняються крутизною).
Метод Рунге-Кутта з автоматичною зміною кроку
Після обчислення з кроком всі обчислення виконуються повторно з кроком . Після цього порівнюються результати, отримані в точці хn+1 з кроком і . Якщо модуль різниці менший , то обчислення продовжуються з кроком , в іншому випадку крок зменшують. Якщо нерівність дуже сильна, то крок збільшують.
Маємо
- значення незалежної змінної в точці
- значення функції в точці
- значення функції в точці , обчислене з кроком
- значення функції в точці , обчислене з кроком
- значення функції , обчислене з кроком
1) Якщо
обчислення повторюються з кроком і т.д., доки не виконається умова .
2) Якщо виконується ця умова, то можливі два варіанти, в залежності від значення K, де K – ознака поділу кроку.
Початкове значенняі залишається таким після першого поділу кроку на два. Надалі, якщо крок ділиться, то K приймає значення одиниці.
а) Якщо , то навіть коли виконалась умова , крок не змінюється, тобто лишається тим самим (обчислення далі проводяться з попереднім кроком).
б) Якщо і виконалась умова , тоді .
В обох випадках а) і б) результат виводиться на друк.
Метод Рунге-Кутта-Мерсона з автоматичною зміною кроку
Метод дозволяє оцінити похибку на кожному кроці інтегрування. При цьому не потрібно зберігати в пам’яті обчислення значень функцій на кроці і для оцінки похибки.
Алгоритм методу
1. Задаємо число рівнянь , похибку , початковий крок інтегрування , початкові умови .
2. За допомогою п’яти циклів з керуючою змінною обчислюємо коефіцієнти
3. Знаходимо значення
та похибку
4. Перевіряємо виконання умов
Можливі випадки:
а) Якщо перша умова не виконується, тобто , то ділимо крок на 2 та повторюємо обчислення з п.2, встановивши початкові значення .
б) Якщо виконується перша та друга умови, значення та виводяться на друк.
Якщо друга умова не виконується, крок збільшується вдвічі і тоді обчислення знову повторюється з п.2.
Треба відмітити, що похибка на кожному кроці методу Рунге-Кутта-Мерсона оцінюється приблизно. При розв’язуванні нелінійних ДР істинна похибка може відрізнятися в декілька разів від заданої .
, де .
- крок поділити на 2 і повернутися на початок.
для всіх рівнянь: виводимо на друк , а крок збільшуємо удвічі.
Метод Рунге-Кутта-Фельберга з автоматичною зміною кроку
Це метод четвертого порядку, дає більш точну оцінку похибки (порівняно з методом Рунге-Кутта-Мерсона) на кожному кроці і реалізується послідовним циклічним обчисленням за наступними формулами:
Похибка
Якщо
а) , крок зменшується в двічі
б) Якщо , крок збільшується вдвічі.
Час розрахунку для однієї точки удвічі більший, ніж для методу Рунге-Кутта-Мерсона.
Методи прогнозу і корекції
Дані методи для обчислення положення нової точки використовують інформацію про декілька раніше отриманих точок. Для цього застосовується дві так звані формули прогнозу і корекції. Схеми алгоритмів для таких методів приблизно однакові, а самі методи відрізняються лише формулами.
Обчислення виконують таким чином. Спочатку за формулою прогнозу та початковими значеннями змінних визначають значення . Верхній індекс (0) означає, що прогнозоване значення є одним із послідовності значень уп+1, розташованих в порядку зростання точності. За прогнозованим значенням з допомогою диференціального рівняння:
знаходимо похідну:
Ця похідна підставляється у формулу корекції для обчислення уточненого значення . В свою чергу використовується для одержання більш точного значення похідної:
Якщо значення похідної недостатньо близьке до попереднього, то воно вводиться у формулу корекції і ітераційний процес продовжується. Якщо ж похідна змінюється в допустимих межах, то значення використовується для обчислення остаточного значення . Після цього процес повторюється і обчислюється .
Метод Мілна
На етапі прогнозу використовується формула Мілна.
, (11)
а на етапі корекції - формула Сімпсона
(12)
Останні члени в обох формулах в ітераційному процесі не використовуються і служать лише для оцінки помилок. Метод Мілна відносять до методів четвертого порядку точності. Потрібно мати на увазі, що для користування формулою (11) необхідно попередньо одним із однокрокових методів визначити і значення похідних .
Похибка, внесена на будь-якому кроці, зростає експоненціально, тому методу Мілна властива нестійкість.
Метод Адамса
Має четвертий порядок точності. Формула прогнозу отримана на основі інтерполяційної формули Ньютона і має вигляд:
(13)
Формула корекції
(14)
На відміну від методу Мілна, похибка, внесена на кроці, не має тенденції до експоненціального зростання.
Метод Хемінга
Це стійкий метод четвертого порядку точності.
Формула прогнозу:
(15)
Формула корекції
(16)
Формула прогнозу зазвичай доповнюється формулою уточнення прогнозу:
(17)
(18)
2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Розв’язати чисельним методом звичайне диференційне рівняння.
№ п./п.
Диференційне рівняння
Початкові умови
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.1. Домашня підготовка до роботи
1. Ознайомитися з основними теоретичними відомостями.
2. Розробити блок-схему алгоритму методу
3.Написати програму, яка забезпечить розв’язок та виведення на екран результатів роботи. Варіанти завдань беруть за вказівкою викладача.
2.2. Робота в лабораторії
1. Ввести в комп'ютер програму згідно з отриманим завданням.
2. Здійснити відладку введеної програми, виправивши виявлені компілятором помилки.
3. Виконати програму. Текст відлагодженої програми та отримані результати оформити у звіт з лабораторної роботи.
3. ЗМIСТ ЗВIТУ
1. Мета роботи.
2. Короткі теоретичні відомості.
3. Повний текст завдання.
4. Блок-схема алгоритму програми.
5. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення.
6. Остаточно відлагоджений текст програми згідно з отриманим завданням.
7. Результати виконання програми.
8. Висновок.
Контрольні запитання
Як називаються додаткові умови в задачі Коші?
Як називаються додаткові умови в крайовій задачі?
В чому полягає відмінність між однокроковими і багатокроковими методами розв’язування задачі Коші?
Поясніть як знаходиться значення функції в наступній точці методом Ейлера.
Назвіть переваги і недоліки методу Ейлера.
Чим відрізняється звичайний та модифікований методи Ейлера?
Поясніть як знаходиться значення функції в наступній точці методом Ейлера-Коші з ітераціями.
Поясніть як знаходиться значення функції в наступній точці методом Руннге-Кута. Запишіть основні співвідношення.
Коли доцільно застосовувати методи з автоматичною зміною кроку?
Назвіть відомі вам методи з автоматичною змінною кроку?
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для инженеров и научных работников. – М.: Наука, 1974. – 830 с.
Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ: Учеб. пособие. – Киев: Выща шк., Головное изд-во, 1989. – 213 с.
Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 235 с.
Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 1998. –570 с.
5. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк Чисельнные методы. Использование Matlab. Издательский дом «Вильямс» Москва – Санкт-Петербург – Киев, 2001.
6. Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч.посібн. – Львів: Бак, 2003. – 168 с.
16.01.2013 12:01-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора