Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
МЕТОД ГАУССА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКТА
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра захисту інформації
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Звіт до лабораторної роботи
Предмет:
Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ”ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА ”
ІКТА
кафедра захисту інформації
ЗВІТ
до лабораторної роботи №2
з курсу:
Комп'ютерні методи дослідження інформаційних
процесів і систем
на тему:
“ МЕТОД ГАУССА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ
ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ”
Варіант 1
1. Мета роботи:
Мета роботи – ознайомлення з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
2. Короткі теоретичні відомості:
Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Класичний метод Гаусса.
Розглянемо систему рівнянь четвертого порядку:
(1)
Зауважимо, що елементи вектора-стовпчика вільних членів занесені в матрицю коефіцієнтів А.
Будемо вважати, що . З першого рівняння знаходимо х1:
, (2)
де , .
З допомогою рівняння (2) можна виключити з решти рівнянь, для чого достатньо підставити (2) для в друге, третє і четверте рівняння системи. Це і є першим кроком – кроком виключення невідомого .
,
Перехід від початкової системи
до новоствореної
відбувається за такою формулою:
Другий крок – виключення невідомого відбувається аналогічно:
Третій крок – виключення невідомого
,
;
Останнє рівняння можна переписати у вигляді:
або .
Отже, в результаті прямого ходу одержимо систему рівнянь:
Знаходження невідомих проводиться в оберненому ході методу Гаусса шляхом зворотніх підстановок.
Якщо п – кількість рівнянь (порядок) системи, то програмування обчислювального процесу проводиться так:
L – кількість кроків виключення ;
j – позначення другого індексу при визначенні α ;
і – номер рядка системи ;
k – номер стовпця.
Можна записати, що для всіх
Обернений хід: , .
Отже, обчислювальна схема прямого ходу методу Гаусса має вигляд:
Для
Для
Для
Для
i піддається спрощенню.
Початкове обчислення всіх коефіцієнтів α не є обов’язковим. Це випливає з наступного. Наприклад, перехід від початкової системи коефіцієнтів до наступної відбувається так:
Наприклад, коефіцієнти першого чи другого стовпця нової системи утворюються за правилом
,
або
Отже, визначивши, наприклад α12 зразу ж можна переходити до визначення коефіцієнтів нової системи і т.п. Таким чином цикли по J i по K можна об’єднати (оскільки J i K змінюються в однакових межах).
Якщо замінити на та цикли по J та по K об’єднати в один, одержимо загальну форму методу виключення Гаусса із стовпцевою формою розкладу матриці А до трикутного вигляду
В кінці цих перетворень одержимо:
Метод Гаусса (рядкова і стовпцева форми розкладу матриці А до трикутного вигляду).
Розглянемо систему лінійних рівнянь
(1)
з невиродженою матрицею А розміру.
Більшу частину всього обчислювального процесу поглинає зведення матриці А до трикутного вигляду.
Можливі дві форми розкладу (зведення) матриці А до трикутного вигляду – рядкова або стовпцева. Як ми вже знаємо, стовпцева форма розкладу зображується наступною обчислювальною схемою:
Для до
Для до
(2)
Для до
Права частина системи (1) також може оброблятися в ході зведення матриці А до трикутного вигляду. Тому можна приєднати до і-го рядка (член ) – як ми й робили раніше (в такому випадку в циклі "k" верхня межа зростає до ). Можна залишити на місці, не вносячи в масив А. В цьому випадку в результаті виконання прямого ходу методу Гаусса одержується система рівнянь:
(3)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.
Обернений хід при стовпчиковій формі розкладу описується загальною формулою:
, (4)
Розглянемо тепер рядкову форму розкладу матриці А. Вона базується на зведенні системи лінійних рівнянь до трикутного вигляду. Для цього спочатку нормують перше рівняння, ділячи його на а11(0), тобто роблять коефіцієнт при х1 рівним 1. Потім це перше рівняння домножують відповідно на коефіцієнт аі,1(0) при х1 всіх інших рівнянь і послідовно віднімають від усієї решти рівнянь. В результаті х1 буде виключене із всіх рівнянь, крім першого. На другому кроці виключають х2 з третього, четвертого, ..., п –го рівнянь. Цю процедуру повторюють до тих пір, доки вся система не буде зведена до такого трикутного вигляду
(5)
Рядкова форма зображається наступною обчислювальною схемою:
Для до
Для до
(6)
Для до
Тобто, на відміну від стовпчикової форми, обчислення коефіцієнтів нової матриці відбувається по рядках. Результат же одержується той самий.
При (обертанні) обчисленні оберненої матриці доцільно використовувати розклад матриці А до трикутного вигляду за рядковою формою.
3. Завдання:
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.
4. Блок-схема алгоритму програми:
початок
1
f(x)
x1:=f(x)
ні
k<3 k:=k+1
так
i<k+1
i:=i+1
ні
так
j>=k ні
j:=j-1
так
a[i,j]:= f(x)
f(x)
i>=0
i:=i-1
ні
j>i
j:=j-1
x[i]:= f(x)
x[i]:=f(x)
так
i<k+1
i:=i+1
так
x1,x2,x3,x4
кінець
5. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі:
x1,x2,x3,x4 – змінні, які використовуються для знаходження коренів
рівнянь системи.
i,j – змінні, що застосовуються в циклах для позначення
рядків та стовпців.
n – константа, означає кількість стовпців вихідної матриці.
s, p – константи, що використовують для визначення
коефіцієнтів вихідних рівнянь.
mas() - функція, в якій відбувається виведення вихідної
системи на екран, знаходження допоміжних
коефіцієнтів, обчислення коренів системи рівнянь і
виведення їх на екран.
6. Остаточно відлагоджений текст програми згідно з отриманим завданням мовами С:
using System;
class Gays
{
double s, p;
double[] x = new double[4];
int i,j,k;
public Gays(int a,int d)
{
s = 0.2*a;
p = 0.2*d;
}
public void mas()
{
double[,] a ={{8.3,2.62+s,4.1,1.9,10.55+p},
{3.92,8.45,7.78-s,2.46,12.21},
{3.77,7.21+s,8.04,2.28,15.45-p},
{2.21,3.65-s,1.69,6.99,-8.35}};
Console.Clear();
Console.WriteLine(@" Розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь класичним методом Гаусса");
Console.WriteLine("\n");
for (i = 0; i < 4; i++)
{
for (j = 0; j < 5; j++)
{
if(j==3)
Console.Write("{0} x{1} ", a[i, j], j + 1);
else if (j == 4)
Console.Write(" = " + a[i, j]);
else
{
Console.Write("{0} x{1}", a[i, j], j + 1);
Console.Write(" + ");
}
}
Console.WriteLine("\n");
}
for (k = 0; k < 3; k++)
{
for (i = k + 1; i < 4; i++)
{
for (j = 4; j >= k; j--)
{
a[i, j] = a[i, j] - (a[k, j] / a[k, k]) * a[i, k];
}
}
}
Console.WriteLine("\n\n\nКорені рівнянь:");
for (i = 3; i >= 0; i--)
{
for (j = 3; j > i; j--)
x[i] = x[i] + a[i, j] * x[j];
x[i] = (1.0 / a[i, i]) * (a[i, 4] - x[i]);
}
for (i = 0; i < 4; i++)
Console.WriteLine("x{0}={1}", i + 1, x[i]);
}
}
class program
{
public static void Main()
{
Gays g=new Gays(4,1);
g.mas();
}
}
7. Результати виконання програми
= - 2.59337878250051
= 0.872517820090582
= 2.63106754200257
= -1.36649682745585
8.Висновок:
На цій лабораторній роботі я ознайомився з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Розробив програму для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь класичним методом Гаусса.
16.01.2013 12:01-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора