Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2012
Тип роботи:
Розрахунково - графічна робота
Предмет:
Безпека життєдіяльності
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МНС України
Львівський державний університет безпеки життєдіяльності
Кафедра фундаментальних дисциплін
Боднар Г.Й., Воробець Б.С.,
Дзюба Л.Ф., Ольховий І.М.
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ
для виконання розрахунково-графічної роботи
з курсу «Теоретична механіка»
для курсантів та студентів напрямів
«Пожежна безпека», «Цивільний захист»
Частина 3. Динаміка
Львів - 2012
Методичні вказівки та завдання для виконання розрахунково-графічної роботи з курсу «Теоретична механіка» для курсантів та студентів напрямів «Пожежна безпека», «Цивільний захист». Частина 3. Динаміка / Боднар Г.Й., Воробець Б.С., Дзюба Л.Ф., Ольховий І.М. – Львів: ЛДУБЖД, 2012. – 56 с.
Рекомендовано до видання навчально-методичною радою Львівського державного університету безпеки життєдіяльності
Протокол № 1 від ”29”серпня2012 р.
Укладачі:
к.т.н., доц. Боднар Г.Й.
к.ф.-м. н., доц. Воробець Б.С.
к.т.н., доц. Дзюба Л.Ф.
к.т.н., доц. Ольховий І.М.
Рецензент: докт. техн. наук, проф. Кузьо І.В.
Зав. каф. «Механіки і автоматизації машинобудування» Національного університету «Львівська політехніка»
Зміст
Стор.
Вступ ………………………………………………………
4
Методичні вказівки до виконання і оформлення розрахунково-графічної роботи………………………………….
4
Розділ 1. Теоретичні довідки і приклади розв’язування задач за тематикою розрахунково-графічної роботи………………………………………………………………
5
Задача 1. Дослідження руху матеріальної точки під дією заданих сил. …………………..........................................................
5
Задача 2. Дослідження руху матеріальної точки за допомогою теореми про зміну кількості руху та зміну кінетичної енергії. ……………………………………………………………...
13
Задача 3. Дослідження руху механічної системи за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії. …………………..
24
Задача 4. Застосування принципу Даламбера для визначення реакцій в’язей. ……………………………………………...
35
Розділ 2. Варіанти задач за тематикою розрахунково-графічної роботи…………………………….……………………
45
Задача 1. Дослідження руху матеріальної точки під дією заданих сил…………………………………………………………
45
Задача 2. Дослідження руху матеріальної точки за допомогою теорем про зміну кількості руху та зміну кінетичної енергії……………………………………………………………..
48
Задача 3. Дослідження руху системи твердих тіл за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії……………………
51
Задача 4. Принцип Даламбера……………………………..
53
Додаток……………………..……………………………….
55
Література……………………………………......................
56
Вступ
«Методичні вказівки та завдання» призначені для самостійної роботи курсантів і студентів при вивченні дисципліни «Теоретична механіка». Самостійна робота курсантів та студентів полягає у розв’язуванні задач під час самопідготовки та виконанні двох розрахунково-графічних робіт. Перша розрахунково-графічна робота містить задачі з розділів «Статика» та «Кінематика». Друга робота – задачі з розділу «Динаміка».
Варіант задач розрахунково-графічних робіт (схему та числові дані ) вибирають так: у першому рядку курсант записує останню цифру номера взводу і дві останні цифри номера залікової книжки. Під ними записуються перші три букви алфавіту. Наприклад, для курсанта, номер взводу якого закінчується цифрою 2, з останніми цифрами залікової книжки 14, слід написати -
2 1 4
а б в
Із кожної колонки таблиці, в нижньому рядку якої є одна із букв а, б, в слід взяти те число, котре знаходиться на перетині даної колонки і рядка, номер якого збігається з номером над буквою.
Наприклад, в наведеному прикладі з колонки а слід брати число в лінійці 2, з колонки б - 1 , з колонки в - 4 .
Методичні вказівки до виконання і оформлення розрахунково-графічних робіт
1. Розв’язування задач виконують у такій послідовності: переписують умову задачі, з таблиці виписують числові дані, викреслюють розрахункову схему відповідно до вибраних числових даних, розв’язують задачу. Розв’язування задачі необхідно супроводжувати короткими поясненнями. За необхідністю хід розв’язування задачі слід ілюструвати кресленням або ескізом, виконаним олівцем, з використанням лінійки і циркуля. Розрахункову схему бажано викреслювати в масштабі, з обов’язковим позначенням необхідних для розрахунку розмірів та величин навантажень.
2. Отримані числові результати належить заокруглювати, кінцевий результат підкреслити.
3. Розв’язування кожної задачі потрібно починати з нової сторінки.
4. Розрахунково-графічні роботи виконують на стандартних аркушах формату А4 лише з одного боку аркуша. Сторінки роботи нумерують, титульний лист є першою сторінкою, яку не нумерують.
5. На останній сторінці слід навести список використаної літератури.
6. Зразок титульного листка наведено в додатку.
Розділ 1. Теоретична довідка та приклади розв’язування задач за тематикою розрахунково-графічної роботи
Задача 1. Дослідження руху матеріальної точки під дією заданих сил
Теоретична довідка. З кінематики відомо, що рух матеріальної точки в просторі можна описати трьома способами: векторним , координатним і натуральним. Кожному з цих способів відповідають рівняння руху матеріальної точки, які встановлюють на підставі основного рівняння динаміки точки
, (1.1)
де - маса точки; - її прискорення; - рівнодійна сил що діють на точку.
Якщо рух матеріальної точки описують векторним способом, тобто її положення у просторі визначається радіус-вектором , то з рівняння (1.1), при , будемо мати
, (1.2)
де - швидкість точки; тут і надалі крапка над відповідною величиною означає її похідну за часом .
Рівняння (1.2) називають диференціальним рівнянням руху матеріальної точки у векторній формі.
Якщо рух матеріальної точки описують координатним способом, тобто її положення у просторі визначається декартовими координатами , , , то рівняння руху (1.1) набуде вигляду :
(1.3)
де , , , , , - проекції векторів прискорення і швидкості точки на осі ; - проекції на ці осі рівнодійної системи сил, що діють матеріальну точку.
Рівняння (1.3) називають диференціальними рівняннями руху матеріальної точки в координатній формі.
Якщо рух матеріальної точки описують натуральним способом, тобто її положення на траєкторії руху визначається дуговою координатою , то рівняння руху (1.1) в проекціях на осі натурального тригранника ( - одиничний вектор, напрямлений по дотичній до траєкторії в додатному напрямку дугової координати; - одиничний вектор, напрямлений вздовж головної нормалі до траєкторії в бік її ввігнутості; - одиничний вектор, напрямлений по бінормалі і утворює з векторами і праву трійку) мають вигляд:
(1.4)
де - алгебраїчна швидкість точки; - радіус кривизни траєкторії в заданій точці; , , - проекції вектора прискорення на напрямки , зокрема - називають дотичним та нормальним прискоренням відповідно; - проекції на вказані напрямки рівнодійної системи сил, що діють на точку.
Рівняння (1.4) називають диференціальними рівняннями руху в натуральній формі .
Приклад 1.1. Тіло масою , яке вважають матеріальною точкою, рухається в порожнистій трубці, розташованій у вертикальній площині (рис. 1.1).
Рис. 1.1
На зігнутій у вигляді півкола радіуса ділянці тіло рухається з точки згідно з законом . На ділянці тіло рухається прямолінійно під дією: сили тяжіння ; реакції , нормальної до поверхні трубки; сили тертя (- коефіцієнт тертя); сили опору (- постійний коефіцієнт). Тривалість руху тіла на ділянці становить На ділянці тіло , що набуло швидкості , рухається з положення () під дією сили тяжіння (опором повітря нехтуємо) і падає на горизонтальну площину (положення ).
Визначити: величину та напрям рівнодійної системи сил, що діють на тіло в положенні , яке задано кутом , та швидкість тіла в положенні на ділянці ; швидкість тіла в положенні на ділянці ; дальність польоту тіла (положення ).
План розв’язування задачі
1. Скласти диференціальні рівняння руху тіла на ділянці .
2. Визначити проекції рівнодійної та рівнодійну системи сил, прикладених до тіла, в положенні на ділянці .
3. Визначити швидкість тіла в положенні на ділянці .
4. Скласти диференціальні рівняння руху тіла на ділянці .
5. Розв’язати диференціальні рівняння руху тіла на ділянці і визначити швидкість тіла в положенні на ділянці .
6. Скласти диференціальні рівняння руху тіла на ділянці і визначити дальність польоту тіла.
Розв’язування
1. Складаємо рівняння руху тіла на ділянці . На цій ділянці тіло рухається по дузі кола, тому рівняння руху запишемо в натуральних координатах (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Тоді згідно з формулами (1.4) для цього випадку будемо мати
; ,
де - проекції рівнодійної на осі відповідно.
2. Визначаємо проекції рівнодійної і модуль рівнодійної у положенні на ділянці . З рівняння руху тіла на ділянці будемо мати
; .
Тоді вирази для проекцій і мають вигляд
; .
Визначимо ці проекції в момент часу , коли тіло досягне положення . Для цього спочатку знайдемо час . З одного боку за цей час тіло переміститься з положення в положення і пройде шлях
,
а з другого боку дугову координату у положенні можна обчислити за формулою
.
З порівняння виразів для одержимо рівняння для визначення моменту часу :
Оскільки згідно з умовою задачі , то . У цей момент часу швидкість тіла в положенні дорівнює
.
Проекції та модуль рівнодійної системи сил, що діють на тіло , в момент часу визначаємо за формулами
; ;
.
Напрямні косинуси вектора рівнодійної :
; .
3. Визначаємо швидкість тіла в положенні на ділянці . Кутова координата, що визначає це положення, дорівнює: . Швидкість тіла в положенні визначаємо аналогічно до того, як визначали швидкість тіла у положенні . У результаті отримаємо
; .
Якщо прирівняти ці вирази для шляху , то одержимо
.
Додатній корінь цього рівняння визначає час, протягом якого тіло досягне положення . Тоді швидкість тіла в положенні дорівнює :
.
4. Складаємо рівняння руху тіла на ділянці . На цій ділянці тіло рухається прямолінійно в напрямку осі під дією сил: тяжіння ; тертя ; опору та реакції поверхні (рис.1.3).
Диференціальні рівняння руху тіла запишемо у координатній формі (1.3), які у випадку дії плоскої системи сил, мають вигляд :
Рис. 1.3
Оскільки при прямолінійному русі тіла на ділянці його переміщення в напрямку осі дорівнюють нулеві (), то . Тоді з другого рівняння системи маємо
і сила тертя, що діє на тіло, дорівнює
.
Після підстановки виразів для сил у перше диференціальне рівняння руху дістаємо
.
Одержаний вираз описує прямолінійний рух тіла на ділянці .
5. Розв’язуємо диференціальне рівняння руху тіла на ділянці і визначаємо швидкість тіла в положенні . Приймемо до уваги, що . Тоді останнє рівняння руху запишемо у такому вигляді
,
або з врахуванням числових даних задачі:
; ,
будемо мати
.
Розв’язуємо це рівняння методом розділення змінних. Для цього запишемо його в такому вигляді
.
Проінтегруємо праву та ліву частину цього рівняння та одержимо :
,
де сталу інтегрування визначимо з початкової умови, що при , . Тоді
і рівняння для визначення швидкості тіла має вигляд
.
Звідси швидкість тіла на ділянці дорівнює
.
Для визначення швидкості тіла в положенні в одержану формулу підставимо час його руху на ділянці . Отримаємо:
.
6. Складаємо диференціальні рівняння руху тіла на ділянці і визначаємо дальність польоту тіла. Рух тіла на цій ділянці відбувається в площині під дією сили тяжіння з початковою швидкістю (рис. 1.4).
Диференціальні рівняння руху тіла запишемо в координатній формі (1.3), які стосовно нашого випадку мають вигляд
; .
Оскільки , то ці рівняння можна подати так :
; .
Знайдемо залежності, що описують положення тіла при його русі на ділянці . Для цього проінтегруємо останні рівняння. У результаті одержимо :
; ;
Рис. 1.4 ; ;
де - сталі інтегрування, які визначимо з початкових умов, зокрема при : , ; , .
З цих початкових умов визначаємо значення сталих інтегрування:
; ; ; .
Отже, рівняння руху тіла на ділянці мають вигляд
; .
Якщо з цих рівнянь виключити час , наприклад, з першого рівняння знайти і підставити у друге рівняння, то одержимо рівняння траєкторії руху тіла :
.
З цього рівняння видно, що траєкторією руху тіла є парабола.
Визначимо дальність польоту тіла, коли тіло досягне положення . Для цього підставимо в рівняння траєкторії , а також інші числові дані. Тоді будемо мати :
,
або
.
Додатній корінь цього рівняння визначає дальність польоту тіла .
Задача 2. Дослідження руху матеріальної точки за допомогою теореми про зміну кількості руху та зміну кінетичної енергії
Теоретична довідка. Теорема про зміну кількості руху. Кількість руху матеріальної точки та імпульс сили. Теорема про зміну кінетичної енергії. Робота сили, прикладеної до матеріальної точки.
Кількістю руху матеріальної точки називають векторну величину, яка дорівнює добутку маси точки на вектор її швидкості :
(1.5)
Вектор , як і швидкість точки, направлений по дотичній до траєкторії руху. Розмірність .
Елементарним імпульсом сили називають векторну величину, що характеризує дію сили за елементарний проміжок часу . Обчислюють елементарний імпульс як добуток сили на час :
(1.6)
Повний імпульс сили за час дорівнює
(1.7)
Модуль імпульсу можна обчислити через його проекції на осі декартової системи координат так :
, (1.8)
де проекції дорівнюють
(1.9)
Напрямні косинуси імпульсу сили визначають за формулами:
(1.10)
Розмірність
Теорему про зміну кількості руху матеріальної точки в інтегральній формі (теорема імпульсів) формулюють так : зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу рівнодійної системи сил, прикладеної до точки, за цей самий проміжок часу:
, (1.11)
де - початкова швидкість точки.
У проекціях на осі декартової системи координат з формул (1.11) будемо мати:
(1.12)
Зауважимо , що теорему про зміну кількості руху доцільно використовувати в задачах динаміки, коли сили прикладені до матеріальної точки є постійними або залежать лише від часу.
Елементарна робота сили характеризує дію сили на елементарному переміщені точки її прикладання.
За векторного способу задання руху точки прикладання сили елементарна робота дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор елементарного переміщення точки її прикладання (рис. 1.5):
(1.13)
За координатного способу задання руху точки елементарна робота дорівнює :
(1.14)
де і - проекції векторів сили і елементарного переміщення на осі
Рис. 1.5
За натурального способу задання руху точки елементарна робота сили дорівнює :
(1.15)
де - проекція сили на дотичну до траєкторії руху точки ; - елементарне переміщення точки вздовж траєкторії руху.
Зауважимо, що елементарна робота не завжди є повним диференціалом деякої скалярної функції координат точки.
Оскільки (рис. 1.5), то з рівності (1.15) маємо
. (1.16)
З (1.16) видно, що елементарна робота додатна, коли кут є гострим, і від’ємна, коли кут є тупим. При , , а при , . За , , тобто, коли сила напрямлена перпендикулярно до переміщення , тоді елементарна робота дорівнює нулеві.
Повна робота сили характеризує дію сили на скінченому переміщенні точки її прикладання і дорівнює криволінійному інтегралу, взятому вздовж траєкторії руху від до (рис. 1.5). Тоді з рівностей (1.13) – (1.15) одержимо :
(1.17)
Розмірність
Потужність – це фізична величина, що характеризує швидкість виконання роботи силою, яка прикладена до матеріальної точки, і дорівнює скалярному добутку сили на швидкість точки:
(1.18)
Розмірність .
Приклади обчислення роботи сили
Робота сталої сили на прямолінійному переміщені точки її прикладання (рис. 1.6) згідно з формулами (1.16) і (1.17) дорівнює
. (1.19)
Рис. 1.6
Робота сили тяжіння. Нехай матеріальна точка рухається по деякій траєкторії з положення в положення поблизу поверхні Землі під дією сили тяжіння (рис. 1.7).
Рис. 1.7
Проекції сили на координатні осі дорівнюють: . Тоді на підставі формули (1.17) будемо мати:
(1.20)
де - величина вертикального переміщення точки прикладання сили тяжіння.
Отже, робота сили тяжіння дорівнює взятому із знаком плюс або мінус добутку модуля сили на вертикальне переміщення точки її прикладання. Робота додатна, якщо початкова точка розміщена вище ніж кінцева і навпаки. Робота сили тяжіння не залежить від форми траєкторії, по якій рухається точка її прикладання.
Робота лінійної сили пружності. Розглянемо вантаж , що лежить на горизонтальній площині і прикріплений до вільного кінця деякої пружини (рис. 1.8).
Рис. 1.8
Початкове положення точки, що відповідає недеформованій пружині, позначимо на площині точкою . Якщо відтягнути вантаж від зрівноваженого положення , то пружина видовжиться на величину і тоді на вантаж буде діяти сила пружності пружини , яка буде направлена до точки . Величина цієї сили згідно з законом Гука пропорційна видовженню пружини і дорівнює (- коефіцієнт жорсткості пружини).
Роботу, яку виконує пружна сила при переміщенні вантажу з положення в положення , визначимо за формулою (1.17). В даному випадку проекції сили на координатні осі такі :. Отже
. (1.21)
В одержаній формулі є початковим видовженням пружини, а - кінцевим видовженням пружини. Отже, робота пружної сили дорівнює половині добутку коефіцієнта жорсткості на різницю квадратів початкового і кінцевого видовжень (чи вкорочень) пружини.
Кінетичною енергією матеріальної точки називають скалярну величину, яка дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості :
(1.22)
Розмірність =Дж =.
Теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки в інтегральній формі формулюють так: зміна кінетичної енергії матеріальної точки на кінцевому переміщенні дорівнює роботі всіх сил, що діють на точку, на тому самому переміщенні:
, (1.23)
де - відповідно початкова та кінцева швидкість точки.
Приклад 2.1. Тіло масою , яке вважають матеріальною точкою, рухається з положення з початковою швидкістю усередині порожнистої трубки, яка розташована у вертикальній площині (рис. 1.9). Прямолінійна ділянка трубки нахилена під кутом до горизонтальної осі. Криволінійна ділянка трубки має форму дуги кола радіуса і положення тіла на цій ділянці задане кутом .
Рис. 1.9
Рух тіла на прямолінійних ділянках трубки відбувається під дією сил тяжіння та сил тертя (- реакція стінки трубки; - коефіцієнт тертя між тілом та стінкою трубки). Крім того, на ділянці на тіло додатково діє сила пружності пружини, жорсткість якої дорівнює при цьому початкова деформація пружини є відсутньою. Механічними процесами, які виникають у пружині після максимального її стиску, нехтуємо.
На криволінійній ділянці трубки тіло рухається тільки під дією сил тяжіння .
Тривалість руху тіла на ділянці трубки дорівнює .
Визначити швидкості тіла в положеннях та найбільший стиск пружини.
План розв’язування задачі
1. На підставі теореми про зміну кількості руху матеріальної точки обчислити швидкість тіла в положенні на ділянці .
2. На підставі теореми про зміну кінетичної енергії матеріальної точки обчислити :
а) швидкості і тіла в положеннях і на ділянці
б) найбільший стиск пружини на ділянці .
Розв’язування
1. Записуємо співвідношення, яке виражає теорему про зміну кількості руху для тіла, що рухається на ділянці . На цій ділянці тіло рухається прямолінійно в напрямку осі під дією сили тяжіння , сили тертя ковзання і реакції стінки трубки (рис. 1.10).
Рис. 1.10
Співвідношення, що випливає із теореми про зміну кількості руху в цьому випадку, згідно з першою з рівностей (1.12), запишемо так:
,
де - швидкості тіла в початковому положенні та кінцевому - проекція на вісь рівнодійної імпульсів сил, які діють на тіло.
Визначимо проекцію рівнодійної імпульсів сил, що діють на тіло, на ділянці . Проекція рівнодійної імпульсів сил дорівнює сумі проекцій імпульсів сил і на вісь , тобто
,
де - проекція сили тяжіння тіла на вісь ; - сила тертя; - реакція стінки трубки (нормальна сила); - тривалість руху тіла на ділянці .
Зауважимо, що імпульс нормальної сили дорівнює нулеві, тому що ця сила є перпендикулярною до напрямку руху тіла.
Оскільки , то вираз для можна записати так :
Обчислимо швидкість тіла в положенні . Для цього використаємо теорему про зміну кількості руху матеріальної точки та отримаємо
.
Після підстановки числових даних маємо
2. Записуємо співвідношення , що виражає теорему про зміну кінетичної енергії для тіла, що рухається на ділянці . Рух тіла на цій криволінійній ділянці відбувається під дією сили тяжіння (рис. 1.11). Початкова швидкість тіла
Рис. 1.11
Для визначення швидкості тіла в положеннях і використаємо формулу (1.23), яка виражає теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки. Стосовно руху тіла на ділянці , його швидкість у положенні визначимо з рівняння
,
а швидкість у положенні - з рівняння
,
де - початкова швидкість тіла в положенні ; , - робота сили тяжіння, що діє на тіло під час його руху з положення в положення і відповідно.
Визначаємо роботу сили тяжіння. Як відомо, робота сили тяжіння не залежить від форми траєкторії руху тіла, а залежить лише від початкового і кінцевого його положення. В такому разі, згідно з формулою (1.20), робота сили тяжіння при переміщенні тіла з положення у положення чи дорівнює
де і - величини вертикальних переміщень тіла в положеннях і відповідно (рис. 1.11). Знак мінус вказує на те , що початкове положення тіла є нижче кінцевих положень та .
Обчислимо швидкості і тіла в положеннях і .
З урахуванням виразу для роботи для визначення швидкості тіла в положенні отримаємо:
.
Звідси
,
або
,
де - вертикальне переміщення тіла в положенні , яке визначаємо з прямокутного трикутника (рис. 1.11):
.
З урахуванням числових даних одержимо
Для визначення швидкості тіла в положенні з урахуванням виразу для роботи отримаємо:
.
Звідси:
де - вертикальне переміщення тіла в положенні . Визначимо його з рівнобедреного трикутника (рис. 1.11) за теоремою синусів:
Далі з прямокутного трикутника одержимо
Тоді швидкість тіла з урахуванням виразу для та числових даних дорівнює:
Для визначення найбільшого стиску пружини на ділянці (рис. 1.12) записуємо співвідношення, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії тіла, що рухається на проміжку ділянки На цій ділянці відбувається прямолінійний рух тіла з початковою швидкістю , яка визначена вище, під дією: сил тяжіння ; реакції стінки трубки сили тертя сили пружності пружини .
Рис. 1.12
Для визначення величини максимального стиску пружини використаємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки (1.23), яку для цього випадку запишемо так
,
де - швидкість тіла в положенні , в якому пружина максимально стиснута; - сумарна робота усіх сил , що діють на тіло під час його руху з положення у положення .
Визначаємо сумарну роботу прикладених до тіла сил під час його руху на проміжку довжиною . Цю роботу визначимо як суму робіт від кожної сили зокрема, тобто
,
де - робота сили тяжіння, яка на підставі формули (1.20), дорівнює
- робота сили тертя, яка на підставі формули (1.19) , дорівнює
- робота сили пружності пружини, яка на підставі формули (1.21) за відсутності початкової деформації дорівнює
;
- робота реакції дорівнює нулеві , оскільки напрям її дії є перпендикулярним до напрямку руху тіла.
Обчислимо величину максимального стиску пружини . Виходячи з записаного вище рівняння з урахуванням виразів для робіт сил, а також, приймаючи до уваги, що при максимальному стиску пружини швидкість тіла в положенні дорівнює нулеві , будемо мати
або
Підставимо числові дані та одержимо
.
Звідси після обчислень маємо
.
Корені цього рівняння:
Оскільки найбільший стиск пружини не може бути від’ємним, то візьмемо додатний корінь
.
Задача 3. Дослідження руху системи твердих тіл за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії
Теоретична довідка. Кінетичною енергією механічної системи називають скалярну величину, що дорівнює сумі кінетичних енергій усіх точок системи
, (1.24)
де mi , vi – маса та швидкість i – ої точки системи.
Якщо система складається з декількох тіл, то її кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій цих тіл
. (1.25)
Під час поступального руху твердого тіла його кінетичну енергію визначають за формулою
, (1.26)
де m, – маса твердого тіла та швидкість його центра мас.
Під час обертального руху твердого тіла навколо деякої осі з кутовою швидкістю його кінетична енергія дорівнює
, (1.27)
де - момент інерції тіла відносно осі обертання.
Під час плоскопаралельного руху твердого тіла кінетична енергія складається з кінетичної енергії поступального руху тіла зі швидкістю центра мас і кінетичної енергії обертального руху навколо осі , що проходить через центр мас, перпендикулярно до площини руху тіла, і дорівнює
, (1.28)
де – маса тіла; - момент інерції тіла відносно центральної осі, що проходить через центр мас тіла; - кутова швидкість обертання тіла під час плоскопараллельного руху.
Теорема про зміну кінетичної енергії системи
Зміна кінетичної енергії механічної системи на деякому її переміщенні дорівнює сумі робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на систему, під час цього переміщення:
, (1.29)
де - відповідно початкова і кінцева кінетичні енергії системи; - відповідно робота зовнішніх та внутрішніх сил, прикладених до точок системи.
У випадку твердого тіла, коли сума робіт внутрішніх сил на довільному переміщені дорівнює нулю, з рівності (1.33) випливає теорема про зміну кінетичної енергії абсолютно твердого тіла
. (1.30)
Робота сил, що діють на тверде тіло
Роботу сил обчислюють за тими самими формулами, що й для матеріальної точки. У разі твердого тіла розглянемо додаткові випадки.
а). Роботу сили тяжіння, що діє на тверде тіло, обчислюють як роботу рівнодійної сил тяжіння тіла на переміщенні центра тяжіння (чи центра мас) тіла, тобто
, (1.31)
де - вертикальне переміщення центра тяжіння (чи центра мас) твердого тіла.
б). Роботу моменту , прикладеного до тіла при обертальному русі навколо осі , визначають за формулою
(1.32)
де - елементарний кут повороту тіла; - кут, що визначає кінцеве положення тіла.
У випадку сталого моменту
. (1.33)
Робота моменту додатна, коли напрям дії моменту і кута повороту збігаються.
в). Робота сил тертя, що діють на тіло кочення. Якщо тіло кочення (коток) котиться по деякій поверхні без проковзування, то в точці їх дотику виникають: сила тертя ; нормальна реакція поверхні та момент опору коченню , що дорівнює
, (1.34)
де - коефіцієнт тертя кочення, розмірність якого см (чи м).
Для тіла кочення точка дотику з поверхнею є миттєвим центром швидкостей, через який проходять лінії дії сил і . Робота цих сил на будь-яких переміщеннях тіла дорівнює нулю: ;. Роботу моменту опору коченню обчислюють за формулою (1.32) чи (1.33).
Зауважимо, що має місце таке твердження: робота сил, прикладених до миттєвого центра швидкостей, дорівнює нулеві.
Приклад 3.1. Система твердих тіл (рис. 1.13) складається з тіла 1 масою m1=9 кг, циліндричного суцільного тіла 2 масою m2=2 кг і ступінчастого циліндричного тіла 3 масою m3=3 кг. Більший радіус тіла 3 дорівнює R3=0,4 м, менший – r3=0,2 м, а його радіус інерції =0,28 м. Тіла прикріплені до блока 3 за допомогою нерозтяжних невагомих ниток.
Рис. 1.13
У початковий момент часу система перебуває в стані спокою. В момент руху системи на неї діють сили тяжіння. Крім того на тіло 2, що рухається без проковзування по нахиленій площині під кутом до горизонту, діє сила тертя кочення та момент тертя кочення, коефіцієнт тертя кочення .
Визначити швидкості і прискорення а1 тіла 1 при його переміщенні на величину = 0,5 см.
План розв’язування задачі
1. Записати формулу, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи.
2. Визначити кінетичну енергію окремих тіл та системи загалом у початковому та кінцевому її положеннях.
3. Визначити роботу зовнішніх сил, прикладених до окремих тіл системи, на викликаних цими силами переміщеннях тіл та записати сумарну роботу зовнішніх сил.
4. Користуючись формулою, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи, записати рівняння для визначення потрібної величини.
Розв’язування
1. Записуємо співвідношення, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії для системи твердих тіл з урахуванням перебування її в початковий момент часу в стані спокою (Т0=0). Тоді з рівності (1.34) будемо мати
,
де Т – кінетична енергія системи в кінцевому її положенні; - робота зовнішніх сил, прикладених до k –го тіла, на викликаному цими силами переміщенні тіла.
2. Визначаємо кінетичну енергію системи в кінцевому положенні, яка дорівнює сумі кінетичних енергій окремих тіл системи
,
де Т1 – кінетична енергія тіла 1, Т2 – кінетична енергія тіла кочення 2 і Т3 – кінетична енергія тіла 3 (шарнірно опертого блоку)
Враховуючи маси тіл і кут нахилу площини руху тіла 2, можна твердити, що тіло 1 переміщується вертикально вниз.
Тіло 1 здійснює поступальний рух зі швидкістю , тому його кінетична енергія дорівнює
.
Тіло 3 здійснює обертальний рух з кутовою швидкістю , тому його кінетична енергія дорівнює
,
де - момент інерції тіла 3 відносно осі обертання, який за відомим радіусом інерції тіла визначаємо за формулою . З рис. 1.14 видно, що лінійна швидкість в точці тіла дорівнює , а , і кутова швидкість тіла 3 . Тоді будемо мати
.
Рис. 1.14
Тіло 2 здійснює плоскопаралельний рух, тому його кінетична енергія дорівнює
,
де - момент інерції тіла 2 відносно осі, яка перпендикулярна до площини руху тіла і проходить через центр мас С2 тіла (R2 - радіус тіла); - відповідно швидкість центра мас і кутова швидкість тіла 2. Для визначення цих величин використаємо те, що точка є миттєвим центром швидкостей, а також залежності між лінійними швидкостями точок і кутовими швидкостями тіл 2 і 3 (рис. 1.14):
, , , , ,
,.
Тоді будемо мати:
.
Сумарна кінетична енергія системи з врахуванням числових даних дорівнює:
3. Визначаємо роботу всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, на відповідних переміщеннях. На систему (рис. 1.14) діють зовнішні сили: сила тяжіння першого тіла , сила тяжіння другого тіла , нормальна реакція похилої площини , сила тертя , момент опору коченню , сила тяжіння третього тіла , реакція підшипника зі своїми складовими . Сили роботи не виконують, оскільки прикладені до миттєвого центра швидкостей.
18.01.2013 15:01-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора