Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2010
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Функція комплексної змінної
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ
РОБОЧА ПРОГРАМА,
методичні вказівки та індивідуальні завдання
до вивчення дисципліни «Вища математика»
( розділ « Функції комплексної змінної та інтегральні
перетворення») для студентів напряму 6.050202 –
автоматизація та комп’ютерно-інтегровані
технології
Дніпропетровськ НМетАУ 2010
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ
РОБОЧА ПРОГРАМА,
методичні вказівки та індивідуальні завдання
до вивчення дисципліни «Вища математика»
( розділ « Функції комплексної змінної та інтегральні
перетворення») для студентів напряму 6.050202 –
автоматизація та комп’ютерно-інтегровані
технології
ЗАТВЕРДЖЕНО
на засіданні Вченої ради
академії
Протокол № 10 від 18.12.09
Дніпропетровськ НМетАУ 2010
УДК 517(07)
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення
дисципліни «Вища математика» (розділ «Функції комплексної змінної та інтег ральні перетворення») для студентів напряму 6.050202- автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології / Укл.: О.Є. Запорож ченко, І.Б. Кочеткова, Л.Ф. Сушко, М.С. Сазонова . – Дніпропетровськ: Н МетАУ, 2010. – 40 с.
Наведені рекомендації до вивчення дисципліни «Вища математика» (розділ «Функції комплексної змінної та інтег ральні перетворення»); необхідний обсяг знань та умінь студентів у результаті її вивчення;література, що рекомен дується; довідковий матеріал; методичні вказівки до ви вчення кожної теми; варіанти індивідуальних завдань.
Призначена для студентів напряму 6.050202- автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології заочної
форми навчання.
Укладачі: О.Є. Запорожченко, канд. фіз.-мат. наук, доц.
І.Б. Кочеткова, асист.
Л.Ф. Сушко, асист.
М.С. Сазонова, канд. фіз.-мат. наук, доц.
Відповідальний за випуск А.В. Павленко, д-р фіз.-мат. наук, проф.
Рецензент Г.Г. Швачич, канд. техн. наук, проф.(НМетАУ)
ЗАГАЛЬНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЇ
ФОРМИ НАВЧАННЯ ДО ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ (КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ) З ДИСЦИПЛІНИ «ВИЩА МАТЕМАТИКА»
Основна форма навчання студента заочної форми навчання – самостійна робота, яка складається з таких елементів: вивчення навчального матеріалу за підручником, розв’язання задач, виконання контрольних робіт. На допомогу студентам академія проводить лекції та практичні заняття. Крім того, студент може розраховувати на консультацію викладача з конкретних питань, відповіді на які він не може знайти (неясність термінів, формулювань тощо). Вказівки студенту також надаються в процесі рецензування контрольних робіт. Але студент повинен пам’ятати, що тільки за умови систематичної самостійної роботи допомога академії буде ефективною.
У процесі вивчення дисципліни «Вища математика» студент повинен виконати контрольні роботи, головною метою яких є допомога студенту в його роботі. Рецензії на ці роботи дозволяють студенту усвідомити рівень засвоєння ним матеріалу.
Студент повинен виконати завдання, які відповідають його варіанту. Номер варіанту збігається з останньою цифрою номера залікової книжки (студентського квитка). Якщо остання цифра ‘‘0’’, то виконується варіант №10.
Виконувати контрольні завдання студент повинен самостійно, інакше він не придбає необхідні знання і буде не в змозі здати залік (іспит).
Контрольну роботу треба надсилати (приносити) до академії в зошиті, на обкладинці якого обов’язково позначити номер контрольної роботи, назву дисципліни, прізвище та ініціали студента, його особистий шифр (номер залікової книжки), факультет та групу, де навчається студент, його домашню адресу. Рецензент перевірятиме контрольну роботу тільки у тому разі, якщо номер варіанта відповідає особистому шифру студента.
Контрольна робота повинна бути подана на кафедру не пізніше як за 10 діб до початку відповідної екзаменаційної сесії.
Після перевірки контрольної роботи треба зробити усі виправлення та доповнення, які вважає необхідними рецензент.
Без прорецензованих та захищених контрольних робіт (з необхідними виправленнями та доповненнями) студент не допускається до заліків або іспитів.
1. Програма дисципліни «Вища математика»
(4 семестр)
1.1. ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ
1. Комплексні числа та дії над ними.
2. Функції комплексної змінної. Границя та неперервність функцій комплексної змінної. Елементарні функції.
3. Диференційовність функції комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. Аналітичні функції.
4. Інтегрування комплексних функцій. Теорема Коші. Інтегральна формула Коші.
5. Ряди з комплексними членами. Степеневі ряди. Круг збіжності.
6. Розвинення функцій в ряд Лорана. Ізольовані особливі точки. Лишки та їх застосування.
1.2. ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
1. Знаходження зображень функцій. Зображення похідних.
2. Розшукування оригінала за зображенням.
3. Застосування операційного числення до розв’язування диференціальних рівнянь.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1977. – 444 с.
2. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Наука, 1974. – 320 с.
3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.
4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. – М.: Наука, 1985. – 560 с.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Наука, 2000. – 416 с.
6. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В.Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1985. – 368 с.
7. Е.С. Синайский, Л.В. Новикова, Л.И. Заславская. Высшая математика: Навч. посібник. – Дніпропетровськ: Національний гірничий університет, 2006. –
Ч.ІІ. – 452 с.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1984. – 832 с.
9. Справочник по специальным функциям. – М. : Наука, 1979. – 832 с.
2. ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ
Комплексні числа та дії над ними
Комплексним числом називається впорядкована пара дійсних чисел . Число називається дійсною частиною комплексного числа та позначається , називається уявною частиною та позначається . Операції додавання та множення комплексних чисел виконуються за такими правилами:
;
.
Будемо вважати, що дійсні числа є частинним випадком комплексних чисел. Якщо ототожнити дійсне число з комплексним числом та назвати пару числом – уявною одиницею, то число можна записати у вигляді
.
Така форма запису комплексного числа називається алгебраїчною, а дії додавання та множення з числами в алгебраїчній формі зводяться до стандартних перетворень з урахуванням рівності .
Число називається числом, спряженим до числа . Добуток спряжених комплексних чисел є дійсним числом :
.
Ділення комплексних чисел виконується шляхом домноження числівника та знаменника дробу на число, спряжене до знаменника:
.
Геометричним образом комплексного числа є точка на координатній площині з відповідними декартовими координатами. Полярні координати цієї точки також є важливими характеристиками комплексного числа. Відповідний полярний радіус називається модулем комплексного числа, а полярний кут – його аргументом:
, .
Дійсна та уявна частини комплексного числа зв’язані з його модулем та аргументом співвідношеннями , .
Як відомо, кожній точці координатної площини відповідає безліч значень полярного куту, які відрізняються одне від одного на , де – ціле число.
Для однозначного визначення аргументу комплексного числа будемо обирати його з певного проміжку довжиною . Таке значення аргументу називається його головним значенням та позначається . Будемо вважати, що належить проміжку (досить часто також використовують проміжок ).Тоді модуль та головне значення аргументу комплексного числа доцільно обчислювати за формулами
;
або .
З урахуванням наведених вище співвідношень комплексне число можна представити у вигляді
.
Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною, а множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за формулами
;
;
.
З урахуванням формули Ейлера комплексне число може бути записано у показниковій формі
.
Якщо комплексні числа записані у показниковій формі, то дії множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за правилами
;
;
.
Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке число, -ий степінь якого дорівнює . Обчислення кореня виконується за формулою
, ,
тобто корінь -го степеня має значень.
Функції комплексної змінної
Якщо задано закон , згідно з яким кожному значенню , яке належить множині , відповідає певне значення , то кажуть, що задана однозначна функція , яка визначена на та набуває значень в . Якщо значенню відповідає декілька значень , то функція є багатозначною.
Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді
,
де та – функції дійсних змінних та.
Існування границі функції комплексної змінної еквівалентне одночасному існуванню границь дійсної та уявної частин та . Аналогічно неперервність функції у точці еквівалентна неперервності функцій та у точці .
Функція, неперервна у кожній точці області , називається неперервною у цій області.
Елементарні функції комплексної змінної. Введемо показникову функцію комплексної змінної за правилом
.
Тригонометричні та гіперболічні функції зв’язані з показниковою співвідношеннями
; ; ; ;
. ; .
Функції, які введені за цими формулами, по-перше, для дійсних значень аргумента співпадають з відповідними функціями дійсної змінної, та, по-друге, зберігають всі властивості функцій дійсної змінної.
Також є очевидними властивості
; ; ; .
Функції , , , визначають як обернені до функцій , , , відповідно. Зокрема,
, ,
а головне значення логарифмічної функції визначається як
(величина є функцією дійсного аргументу).
Диференційовність функцій. Умови Коші-Рімана.
Околом точки називається внутрішність деякого круга на комплексній площині з центром у вказаній точці, тобто множина , .
Функція , яка визначена у деякому околі точки , називається диференційовною у цій точці, якщо існує скінченна границя
,
яку називають похідною від функції в точці .
Функція є диференційовною в точці тоді та тільки тоді, коли виконуються умови Коші-Рімана
, ,
при цьому
.
Однозначну функцію , яка у всіх точках деякої області є неперервно диференційовною (має неперервну похідну), називають аналітичною (регулярною) в цій області.
Однозначні елементарні функції є аналітичними.
Елементарні функції комплексної змінної можна диференціювати за тими ж формулами, що і функції дійсної змінної.
Інтегрування комплексних функцій. Інтегральна формула Коші
Розглянемо спрямлювану криву , в кожній точці якої задано функцію . Інтегралом від функції вздовж називають
,
де криву поділено на малі частки , – довільна точка, яка лежить на відповідній частці кривої, а границя існує і не залежить від способу поділу кривої на частки та від способу вибору точок .
Якщо є кусочно гладкою кривою, а функція – кусочно неперервна та обмежена, то цей інтеграл завжди існує. Він зводиться до обчислення вздовж кривої криволінійних інтегралів за координатами від функцій дійсних змінних
.
Теорема Коші. Якщо функція аналітична у однозв’язній області , межею якої є кусочно гладкий контур , та неперервна у замкненій області , то інтеграл від цієї функції вздовж лінії дорівнює нулю:
.
Теорема Коші для багатозв’язної області. Розглянемо область , межа якої складається з замкненої лінії та ліній , ,… , які лежать всередині та попарно не перетинаються. Тоді, якщо функція аналітична у області та неперервна у замкненій області , то інтеграл від цієї функції вздовж повного контуру дорівнює нулю:
, тобто
.
Інтегральна формула Коші. Розглянемо однозв’язну область та замкнену криву , яка повністю міститься у разом з своєю внутрішністю . Якщо функція аналітична у області , то для будь-якої точки має місце рівність
.
Інтеграл називається інтегралом Коші.
Формула типу Коші. Якщо функція аналітична у області та неперервна у замкненій області , то у довільній внутрішній точці області функція має похідну будь-якого порядку, та
.
Ряди з комплексними членами.
Степеневі ряди. Круг збіжності
Розглянемо послідовність комплексних чисел та побудуємо ряд . Частковою сумою цього ряду називається сума .
Якщо існують скінченні границі та , то величина також має скінченну границю , ряд називається збіжним, а число – сумою цього ряду.
Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд .
Необхідна умова збіжності. Якщо ряд збігається, то .
Наслідок. Якщо , то ряд розбігається.
Ознака збіжності Даламбера. Нехай . Тоді, якщо , ряд є абсолютно збіжним, а якщо , то та ряд розбігається.
Ознака збіжності Коші. Нехай . Тоді, якщо , ряд є абсолютно збіжним, а якщо , то та ряд розбігається.
Функціональний ряд структури називається степеневим. Область збіжності такого ряду (тобто множину всіх значень змінної, для яких збігається відповідний числовий ряд) складають внутрішні точки кругу збіжності , та, можливо, деякі або всі точки кола , яке обмежує цей круг. У внутрішніх точках круга збіжності ряд є абсолютно збіжним, ззовні кола ряд розбігається. Радіус збіжності обчислюється за формулами
або .
Круг збіжності можна також можна знайти безпосередньо з умов або , де та .
Розвинення функцій в ряди Тейлора та Лорана.
Особливі точки. Лишки
Функція , аналітична у внутрішніх точках круга , може бути представлена у цьому крузі збіжним степеневим рядом , який називається рядом Тейлора.
Для елементарних функцій комплексної змінної зберігаються розвинення у ряди Тейлора та Маклорена, отримані для функцій дійсної змінної:
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, тощо.
Якщо функція є аналітичною у кільці , то вона може бути представлена у точках цього кільця своїм рядом Лорана
,
де , , інтегрування виконується вздовж кола , .
Радіуси та зв’язані з коефіцієнтами Лорана співвідношеннями
та .
Точка називається ізольованою особливою точкою функції , якщо не визначена, та існує окіл , в якому функція є аналітичною. Особлива точка називається
усувною, якщо існує скінчений ;
полюсом, якщо ;
істотно особливою точкою, якщо не існує.
Число називається порядком нуля функції в точці, якщо функція аналітична в точці , , та . Якщо точка є нулем порядку для функції , то вона є полюсом порядку для функції . Зокрема, число є полюсом порядку для функції , якщо .
Якщо особлива точка є усувною, всі коефіцієнти головної частини відповідного ряду Лорана дорівнюють нулю, у випадку полюса порядку мають місце умови , , нарешті, для істотно особливої точки існує нескінченна множина відмінних від нуля коефіцієнтів головної частини ряду Лорана.
Лишком функції відносно скінченої точки називається величина
,
де – будь-яке додатно орієнтоване коло , яке лежить в кільці збіжності ряду Лорана.
Якщо точка є точкою аналітичності функції або її усувною особливою точкою, то .
Лишок в простому полюсі обчислюють за формулами
або
, де, причому .
Якщо – кратний полюс порядку , то
.
Для обчислення лишків в істотно особливих точках знаходять коефіцієнт ряду Лорана інтегруванням або за допомогою відомих розвинень функцій у степеневі ряди.
Основна теорема про лишки. Якщо функція є аналітичною у замкненій області за винятком скінченої кількості особливих точок , ,…, які лежать усередині , то
.
Операційне числення
Операційний метод – це специфічний спосіб розв’язування різних математичних задач, в першу чергу, диференційних рівнянь. Він базується на застосуванні інтегральних перетворень, зокрема, перетворення Лапласа, та складається з таких етапів:
1) від шуканої функції переходять до функції комплексної змінної, яку називають зображенням шуканої функції;
2) над зображенням виконують операції, які відповідають заданим операціям над шуканою функцією, – отримують так зване операторне рівняння для зображення ;
3) операторне рівняння розв’язують відносно ;
4) від отриманого зображення переходять до оригіналу, який є шуканою функцією.
Інтегральне перетворення Лапласа
Розглянемо функцію дійсної змінної , яка відповідає таким умовам:
1. При .
2. При функція на будь-якому скінченному проміжку вісі має не більше ніж скінченну кількість точок розриву першого роду.
3. При функція має обмежену степінь зростання, тобто існують такі додатні константи та , що для всіх
.
Інтегральне перетворення Лапласа ставить у відповідність такій функції
функцію комплексної змінної за допомогою співвідношення
.
Функція називається зображенням Лапласа функції , а функція – оригіналом функції . Зв’язок між функціями та будемо символічно позначати таким чином:
.
Основні властивості інтегрального перетворення Лапласа.
1. Лінійність зображення .
2. Теорема подібності .
3. Диференціювання оригіналу ;
.
4. Диференціювання зображення .
5. Інтегрування оригіналу
6. Інтегрування зображення .
7. Теорема спізнення .
8. Теорема зміщення
9. Теорема множення (теорема Бореля) .
Зображення Лапласа деяких функцій
Перетворення Лапласа застосовується для функцій, які при від’ємному значенні аргумента дорівнюють нулю. Такі функції можуть бути записані у вигляді , де – функція Хевісайда, а – деяка функція. У подальшому будемо у більшості випадків випускати множник , маючи на увазі його наявність.
Наведемо зображення Лапласа функцій, які найчастіше зустрічаються при розв’язуванні нескладних задач.
; ;
; ;
; ;
; .
Існують спеціальні таблиці зображень елементарних та спеціальних функцій, які наведені у посібниках з інтегральних перетворень та довідниках .
Якщо функція є кусочно неперервною, наприклад, має вигляд , її можна записати за допомогою функції Хевісайда у вигляді , або . Тоді відповідне зображення має вигляд . Зокрема, зображенням функції буде .
Визначення оригіналу за відомим зображенням
Якщо відомо, що задана функція в області є зображенням кусочно гладкої функції , степінь зростання якої не перевищує , то
, .
Наведена рівність називається формулою Мелліна.
Якщо функція є правильним раціональним дробом, то її оригінал можна побудувати за формулою
.
Зокрема, якщо всі полюси функції є простими, то
,
причому, якщо серед полюсів є комплексно спряжені, то формула набуває вигляду
,
де – дійсні полюси, а – комплексні полюси з додатною уявною частиною.
Дуже важливим з практичної точки зору є також відшукування оригіналу методом підбору: записують зображення у вигляді суми функцій, оригінали яких відомі, та представляють шуканий оригінал як суму цих оригіналів.
КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 7
Тема 1. Теорія функцій комплексної змінної
Література : [1], гл. I-VII; [2], гл. 1, § 1-6, гл. 2, гл. 4,гл. 5, § 1; [3], гл. I;
[6], гл. 11, § 1, 2, 4, гл. 12, § 1, 3, 5, 6.
При вивченні матеріалу цієї теми студент повинен усвідомити основні поняття теорії функції комплексної змінної , навчитися обчислювати значення елементарних функцій, інтегралів вздовж замкненого контуру, будувати розвинення функцій в ряд Лорана та обчислювати лишки.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Побудувати на комплексній площині числа , .
Розв’язок. Числу на координатній площині відповідає точка з координатами , а числу – точка .
Приклад 2. Виконати арифметичні дії з комплексними числами , .
Розв’язок. ;
;
;
.
Приклад 3. Записати комплексні числа у показниковій та тригонометричній формах.
а) .
Розв’язок. Обчислимо модуль та головне значення аргумента комплексного числа.
, .
;
, або
.
Тоді – тригонометрична форма,
та – показникова форма.
б) .
Розв’язок., ;
;
, або
.
Тоді – тригонометрична форма,
та – показникова форма.
Приклад 4. Зобразити геометричне місце точок, які задовольняють умові
.
Розв’язок.
.
Це рівняння кола з центром у точці , яка відповідає комплексному числу . Радіус кола дорівнює .
Приклад 5. Обчислити значення функцій комплексної змінної.
а) .
Розв’язок. Обчислимо модуль та головне значення аргументу комплексного числа.
, ; ;
.
Тоді . За правилом обчислення кореня з комплексного числа маємо
,
.
б) .
Розв’язок., ; ;
.
.
,
.
в) .
Розв’язок.
1 спосіб. Значення синуса комплексного аргумента можна обчислити з використанням зв’язку цієї тригонометричної та показникової функції.
;
.
2 спосіб. Для тригонометричних функцій комплексної змінної є вірними всі властивості функцій дійсної змінної.
.
г) .
Розв’язок.
1 спосіб.
.
2 спосіб.
.
д) .
Розв’язок..
, , , ;
;
.
е) .
Розв’язок., , , ; ;
.
Приклад 6. З’ясувати, чи є функція аналітичною.
Розв’язок..
Отже, ; .
Обчислимо частинні похідні цих функцій.
; ;
; .
Умови Коші – Рімана , виконуються для будь-яких дійсних х та у , отже, функція є аналітичною на всій комплексній площині.
Приклад 7. Обчислити інтеграли по замкнутому контуру.
а) .
Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точки .
Побудуємо контур інтегрування – коло .
Точка розташована поза колом , тому
б) .
Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точки .
Побудуємо контур інтегрування – коло . Точка – внутрішня точка цього кола, функція аналітична, тому за інтегральною формулою Коші
(або ) отримаємо
.
в) .
Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точок, в яких справджується рівність , тобто крім точок та .
Побудуємо контур інтегрування – лінію . Це коло з центром в точці та радіусом .
Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну фун к цію можна записати у вигляді , де – функція, аналітична у всіх точках області, обмеже ної контуром інтегрування. Тоді згідно з інтеграль ною формулою Коші
.
г) .
Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точок, в яких справджується рівність , тобто крім точок та .
Побудуємо контур інтегрування – лінію . Це коло з центром у початку координат та радіусом . Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді , де – функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування. Згідно з інтегральною формулою Коші
.
д)
Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точок, в яких справджується рівність , тобто крім точок та .
Побудуємо контур інтегрування – лінію . Це коло з центром у точці та радіусом . Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді , де – функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування.
Для обчислення інтеграла від цієї функції можна застосувати інтегральну формулу типу Коші
.
Для отримаємо .
Тоді , , та
.
Приклад 8. Знайти круг збіжності степеневого ряду та побудувати його на комплексній площині. Якщо є можливість, дослідити поведінку ряду на межі кругу.
а)
Розв’язок. ; .
Обчислимо радіус збіжності :
.
Ряд абсолютно збігається для всіх , які задовольняють умові . З’ясуємо поведінку ряду у точках, для яких :
.
Цей ряд абсолютно збігається, отже, степеневий ряд є абсолютно збіжним для всіх чисел, для яких . Цій умові відповідає круг з центром у початку координат та радіусом . Граничні точки також входять до області збіжності ряду.
б) .
Розв’язок. .
Обчислимо радіус збіжності :
.
Таким чином, ряд абсолютно збігається для всіх , які задовольняють умові , тобто у внутрішніх точках кругу з центром у точці та радіусом .
Дослідимо поведінку ряду на межі цього кругу, тобто при :
.
Цей ряд згідно з необхідною умовою збіжності розбігається (), отже, на колі степеневий ряд є розбіжним.
в)
Розв’язок. Це ряд з пропуском степенів, отже, для його дослідження доцільно скористатися ознакою Даламбера або Коші.
Оберемо ознаку Даламбера:
; ;
.
.
Таким чином, ряд абсолютно збігається для всіх , які задовольняють умові , тобто у внутрішніх точках кругу з центром у точці та радіусом .
Дослідимо поведінку ряду на межі цього кругу, тобто для , які задовольняють умові :
.
Цей числовий ряд з додатними членами збігається, отже, степеневий ряд на колі є абсолютно збіжним.
Приклад 9. Знайти лишки функції у всіх її скінченних особливих точках.
а) .
Розв’язок. Особливі точки функції відповідають умові
; , – полюси 1-го порядку.
Лишки у полюсах 1-го порядку обчислюються за формулою
,
тобто
;
.
б) .
Розв’язок. ; – полюси 1-го порядку.
Лишки у таких точках можна також обчислити за формулою
,
де – аналітична функція, .
Тоді
;
.
в) .
Розв’язок. – полюс 3-го порядку.
Лишок у цій точці обчислюється за формулою
, або для
.
Тоді ;
; ,
отже, .
б) .
Розв’язок. Особлива точка . Для обчислення лишка у цій точці побудуємо розвинення функції у відповідний ряд Лорана. Для цього скористаємося відомим розвиненням показникової функції у степеневий ряд
.
Тоді
.
Згідно з означенням лишка, .
Тема 2. Інтегральні перетворення
Література : [2], гл. 8; [3], гл. VI; [4], гл. XIX; [6], гл. 13.
При розгляді цієї теми студент повинен навчитися будувати зображення Лапласа функцій з використанням властивостей перетворення Лапласа та таблиці зображень, оволодіти найпростішими методами відновлення оригіналу за відомим зображенням та навчитися розв’язувати диференціальні рівняння методами операційного числення.
Розглянемо деякі приклади.
Приклад 1. Знайти зображення Лапласа заданих функцій.
а) .
Розв’язок. Розглядувана функція є лінійною комбінацією функцій, зображення яких відомі:
; .
Тоді
.
б) .
Розв’язок.
1 спосіб. Зображення Лапласа функції відомо:
.
За теоремою про диференціювання зображення
;
.
Остаточно .
2 спосіб. Зображення Лапласа функції відомо:
.
Скористаємося теоремою про диференціювання зображення:
.
За теоремою зміщення отримаємо:
.
в) .
Розв’язок. Запишемо розглядувану функцію за допомогою функції Хевісайда:
.
Зображення функції відомо:
.
Згідно з теоремою спізнення маємо:
.
Остаточно .
Приклад 2. Знайти оригінал за заданим зображенням.
а) .
Розв’язок. Розглядувану функцію дуже легко записати як лінійну комбінацію табличних:
;
; ; .
Тоді .
б) .
Розв’язок.
1 спосіб. Запишемо задане зображення у вигляді, який дозволяє використати таблицю оригіналів.
.
Отже, .
Тоді шуканим оригіналом є функція .
2 спосіб. Функція є правильним дробом. Особливі точки цієї функції задаються умовою . Цій рівності відповідають числа та , які є комплексно спряженими полюсами 1-го порядку.
Тоді шуканий оригінал можна знайти за допомогою лишків:
;
;
.
Таким чином, .
в) .
Розв’язок. Запишемо функцію у вигляді, якій дозволяє скористатися таблицею оригіналів та властивостями перетворення Лапласа.
.
Перший доданок є табличним, оригінал другого доданку можна знайти за допомогою теореми спізнення:
; .
Тоді . Це означає, що для , а для
.
Остаточно .
Приклад 3. Розв’язати за допомогою операційного метода задачу Коші
, , .
Розв’язок. Застосуємо до диференціального рівняння перетворення Лапласа. Позначимо як зображення шуканої функції :
.
Тоді зображення похідних цієї функції можна побудувати за теоремою про диференціювання оригіналу:
, ;
, .
Зображення правої частини диференціального рівняння будується за допомогою таблиці зображень найпростіших функцій:
.
Тоді функція буде розв’язком операторного рівняння
.
Розв’яжемо це рівняння.
;
;
.
Знайдемо оригінал, який відповідає отриманому зображенню.
1 спосіб. Запишемо зображення у вигляді суми функцій, оригінали для яких відомі:
;
;
; ;
; .
Тоді шуканий розв’язок задачі Коші дорівнює
.
2 спосіб. Отримане зображення є правильним алгебраїчним дробом, отже, шуканий оригінал можна знайти за допомогою лишків:
.
Особливі точки функції – та – є полюсами 1-го порядку, отже
, або .
Полюс є дійсним, а полюси та – комплексно спряжені, отже,
;
;
;
.
Остаточно, .
Завдання для контрольної роботи № 7
Завдання 1. Знайти значення функцій комплексної змінної.
1. а) б) в)
2. а) б) в)
3. а) б) в)
4. а) б) в)
5. а) б) в)
6
22.01.2013 23:01-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора