Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКТА
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2013
Тип роботи:
Звіт про виконання лабораторної роботи
Предмет:
Інші
Група:
БІ
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСТВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ІКТА
кафедра БІТ
ЗВІТ
Про виконання лабораторної роботи № 2
"Комп’ютерні методи дослідження
інформаційних процесів та систем"
Мета роботи
Ознайомлення з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Короткі теоретичні відомості
Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Ці методи поділяються на дві групи : прямі та ітераційні.
1) Прямі методи зводяться до скінчених алгоритмів для обчислення коренів рівнянь (тобто розв’язки шукають за певними формулами). Вони дають розв’язки після виконання відомого для даного n (n – порядок) числа арифметичних операцій.
Іншими словами, прямим методом розв’язування лінійної системи називають будь-який метод, котрий дозволяє знайти елементи вектора з допомогою скінченого числа елементарних математичних операцій: додавання, віднімання, ділення, множення, та, можливо, кореня квадратного.
Оцінити ефективність будь-якого методу можна за допомогою двох – трьох важливих характеристик:
числа операцій, необхідних для реалізації даного методу;
об’єму пам’яті;
чутливості до переносу похибок заокруглення (або обчислювальної стійкості).
Практично всі прямі методи розв’язування систем базуються на зведені матриці А до матриці більш простішої структури – діагональної (тоді розв’язок очевидний) або трикутної – та методів розв’язування таких систем.
До групи прямих методів розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь належать:
– метод Гаусса та його різновиди:
а) класичний метод Гаусса із зведенням матриці А до верхньої трикутної матриці і одержанням розв’язків з допомогою обернених підстановок. Число операцій (вартість методу) – операцій сумування, множення та операцій ділення (можна ними знехтувати в порівнянні з ).
б) метод Гаусса з вибором головного елемента (частковим або повним). Число арифметичних операцій при цьому складає ~ сумувань та ~ множень.
Саме цим визначається повна вартість методу, оскільки вартість розв’язку вже самої трикутної системи незначна в порівнянні з вартістю зведення матриці до трикутного вигляду.
– LU-розклад (lower-upper –нижній-верхній)
Якщо використовувати алгоритм Краута, то число операцій складе .
З точки зору об’єму обчислень методу LU- розкладу еквівалентний методу Гаусса з частковим вибором головного елемента; його переваги – це можливість роботи з різними векторами вільних членів та з транспонованими матрицями (рівняння – розв’язок знаходиться за тим же LU-розкладом).
– метод Халецького (схема).
При розкладі симетричних матриць можна зменшити число операцій і об’єм пам’яті. Повна вартість складає половині вартості методу Гаусса + n обчислень квадратного кореня. Метод чисельно стійкий.
– метод Жордана (роблять діагональну матрицю замість трикутної). Досить рідко використовується на практиці.
До прямих методів відносяться також методи для кліткових та розріджених матриць.
2) Ітераційні (або наближені) методи – це методи послідовних наближень. В них необхідно задати деякий наближений розв’язок – так зване початкове наближення. Після цього з допомогою деякого алгоритму проводиться один цикл обчислень, котрий називається ітерацією. В результаті ітерації знаходять нове наближення. Ітерації проводять до тих пір, доки не одержать розв’язок із заданою похибкою. Об’єм обчислень при цьому наперед не відомий.
Чому виникла потреба в ітераційних методах? Чим не влаштовують прямі методи?
Основний недолік прямих методів – це нагромадження похибок в процесі розв’язування, оскільки обчислення на будь-якому етапі використовують результати (з похибками) попередніх операцій. Це особливо небезпечно для великих систем ( і більше) – наростає число операцій, а також для погано обумовлених систем () (малі похибки обчислень або вхідних даних можуть породити значні похибки в розв’язку). Тому прямі методи використовують для відносно невеликих () систем з густо заповненою матрицею та .
Перевагою ітераційних методів над прямими є те, що окремі похибки, що виникають при обчисленнях, не впливають на кінцевий результат (ітерації закінчуються тільки тоді, коли одержано розв’язок із наперед заданою точністю), а ведуть лише до збільшення числа необхідних ітерацій.
Крім того, розв’язування систем ітераційними методами спрощується ще й тому, що на кожній ітерації розв’язується система з одними і тими ж матрицями.
До ітераційних належить: метод простої ітерації, метод Зейделя, метод верхньої релаксації, та інші.
Повний текст завдання
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.
Блок-схема алгоритму програми
Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення
void main() – головна функція програми;
a,b,e,xs,f – змінні дійсного типу;
Std::cout<< – метод який забезпечує введення в програму вхідних величин.
Cin>> – метод класу STD., який забезпечує зчитування значення з клавиатури.
int Main() – метод класу Program, який забезпечує початок роботи програми.
n,m –Змінні котрі визначають розмірність матриці.
i,k,l,j-Змінні котрі використовуються в циклі.
a[n][m]-Змінна масив котра зберігає матрицю, і проміжні результати обчислень
x[n]-змінна масив (одновимірний) котрий зберігає значення коренів рівняння
Остаточно відлагоджений текст програми
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include <iostream>
void main(void)
{
int i,k,l,j;
double a[4][5],x[4];
int n=4;
int m=5;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(k=0;k<m;k++)
{
std::cout<<" a["<<i+1<<"."<<k+1<< "]= ";
std::cin>>a[i][k];
}
std::cout<<"\n";
}
for(l=0;l<(n-1);l++){
for(j=l+1;j<(n+1);j++){
a[l][j]=-a[l][j]/a[l][l];
for(i=l+1;i<n;i++){
a[i][j]+=a[i][l]*a[l][j];}}};
x[n-1]=-(a[n-1][n]/a[n-1][n-1]);
for(i=n-2;i>=0;i--)
{
x[i]=a[i][n];
for(k=i+1;k<n;k++)
{ x[i]+=a[i][k]*x[k];}
}
for(i=0;i<n;i++)
std::cout<<"x["<<i+1<<"]="<<x[i];
std::cout<<" this is the end...";
std::cin>>a[i][k];
}
Результати виконання програми
Висновок
На цій лабораторній роботі я ознайомився з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
24.01.2013 00:29
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора