ЧИСЛОВЕ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ. Інструкція до лабораторної роботи з Інші. Робота № 519163

Перехід до торгівельного партнера Binance

ЧИСЛОВЕ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Комп’ютеризовані системи

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2007

Тип роботи:

Інструкція до лабораторної роботи

Предмет:

Інші

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка” ЧИСЛОВЕ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ Інструкція до лабораторної роботи № 5 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та базового напрямку 050201 “Системна інженерія” Затверджено на засіданні кафедри “Комп’ютеризовані системи автоматики” Протокол № 3 від 08.11.2007 Львів 2007 Числове обчислення визначених інтегралів: Інструкція до лабораторної роботи № 5 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та базового напрямку 050201 “Системна інженерія” / Укл.: У.Ю. Дзелендзяк, А.Г. Павельчак, В.В. Самотий – Львів: НУЛП, 2007. – 16 с. Укладачі: У.Ю. Дзелендзяк, к.т.н., доцент А.Г. Павельчак, асистент В.В. Самотий, д.т.н., професор Відповідальний за випуск: А.Й. Наконечний, д.т.н., професор Рецензент: З.Р. Мичуда, д.т.н., професор Мета роботи: вивчити основні методи обчислення визначених інтегралів. 1. Загальні відомості 1.1. Постановка задачі. Нехай нам необхідно знайти визначений інтеграл , (1.1) де функція неперервна на проміжку . Нижню межу інтегрування будемо вважати меншою від верхньої, оскільки випадок зводиться до шляхом переходу до інтегралу з протилежним знаком, а при інтеграл рівний нулю. З курсу математичного аналізу відомо, що точне значення визначеного інтегралу (1.1) обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца , (1.2) де – первісна від функції . Однак на практиці для більшості задач формула (1.2) не має застосування з таких двох причин: а) вигляд функції не дає можливості безпосереднього інтегрування, тобто первісну неможливо виразити через елементарні функції (наприклад, , ); б) значення функції для визначеного проміжку задані у вигляді таблиці. У таких випадках застосовують наближені методи обчислення визначеного інтегралу. 1.2. Аналітичні методи. Ідея аналітичних методів полягає в заміні підінтегральної функції на проміжку певною аналітично заданою функцією , первісна якої знаходиться відносно легко . (1.3) Наприклад, якщо можливо розкласти функцію на проміжку в ряд Тейлора чи тригометричний ряд, то в якості можемо взяти часткову суму членів цього ряду. Тоді шуканий інтеграл від цієї функції легко обчислюється, оскільки вона є або многочленом, або лінійною комбінацією функцій та . Приклад. Обчислимо інтеграл з похибкою . Розкладемо експоненту в ряд Тейлора: Виконавши заміну на у цьому ряді, запишемо інтеграл у такому вигляді 1.3. Числові методи. Згідно визначення за Ріманом (1826-1866, знаменитий німецький математик) визначений інтеграл розглядається як границя інтегральної суми, коли відрізок розбиття прямує до нуля , (1.4) де , довільна крапка з інтервалу . У геометричному змісті інтегральна сума Рімана дорівнює площі криволінійної фігури, обмеженої кривою , прямими , та віссю (рис. 1а). На основі інтегральної суми Рімана (1.4) і будуються основні числові методи обчислення визначеного інтегралу. Забравши у формулі (1.4) знак границі (), отримуємо квадратурну формулу , (1.5) де – значення функції у вузлах інтерполяції , – числові коефіцієнти (ваги квадратурної формули), права частина формули (1.5) – квадратурна сума. В залежності від способу її обчислення отримують різні методи числового інтегрування (квадратурні формули) – методи прямокутників, трапецій, парабол, сплайнів та ін. Якщо на проміжку ввести рівномірну сітку з кроком , тоді площа загальної криволінійної фігури буде дорівнювати сумі площ малих криволінійних фігур з основою (рис. 1б). У геометричному змісті наша задача і полягатиме в наближеному обчисленні цих площ. 2. Метод прямокутників У цьому найпростішому випадку здійснюємо заміну малих криволінійних фігур звичайними прямокутниками з основою ( – к-сть розбиттів) і висотою рівною значенню функції в крапці та обчислюємо суму площ цих прямокутників (рис. 2а) . (2.1) Формулу (2.1) називають формулою лівих прямокутників. Формула правих прямокутників (рис. 2б) записується так . (2.2) Однак на практиці найчастіше використовують формулу середніх прямокутників (рис. 3) . (2.3) Загальний алгоритм методу лівих прямокутників ; ; для Опис алгоритму На початку алгоритму задаємо значення нижньої і верхньої межі інтегрування та – кількості розбиттів проміжку . Обчислюємо величину кроку , присвоюємо перше значення та у циклі обчислюємо значення квадратурної суми (2.1), збільшуючи на кожному кроці значення на величину кроку . При можливості здійснюємо перевірку вірності нашого алгоритму, точно обчисливши визначений інтеграл згідно формули Ньютона-Лейбніца (1.2). 3. Метод трапецій Цей метод використовує лінійну інтерполяцію, тобто графік функції замінюється ламаною (січними), що з’єднує крапки на кривій у вузлах інтерполяції . Тоді площа всієї криволінійної фігури наближено складається з площ елементарних прямолінійних трапецій (рис. 4). Площа кожної такої трапеції рівна добутку півсуми висот на основу . (3.1) Загальна площа криволінійної фігури, що наближено дорівнює шуканому значенню визначеного інтеграла, дорівнює . (3.2) Як видно з формули (3.2), значення додаються двічі, за винятком першої та останньої крапки . Тому формулу трапецій для обчислення визначеного інтегралу можемо записати у такому вигляді . (3.3) Загальний алгоритм методу трапецій ; ; ; для Опис алгоритму На початку алгоритму задаємо значення нижньої і верхньої межі інтегрування та – кількості розбиттів проміжку . Обчислюємо величину кроку , значення функції у крапках і , присвоюємо перше значення та у циклі обчислюємо значення суми (3.3), збільшуючи на кожному кроці значення на величину кроку . Додаємо до обчисленої суми половини значень функції у крапках і та домножаємо отримане на величину кроку . При можливості здійснюємо перевірку вірності нашого алгоритму, точно обчисливши визначений інтеграл згідно формули Ньютона-Лейбніца (1.2). 4. Метод Сімпсона Метод вимагає розбиття проміжку на парну кількість ділянок з кроком . На кожній ділянці , , … , підінтегральну функцію замінюємо параболою другого порядку . (4.1) де . На рис. 5 показана така заміна параболою для перших трьох вузлів інтерполяції. Для цього випадку (рис. 5), коефіцієнти , , обчислюються з накладеної умови, що парабола проходить через крапки функції у цих вузлах інтерполяції. Тобто, можемо записати систему трьох лінійних алгебричних рівнянь, з яких і обчислюються необхідні нам коефіцієнти . (4.2) Розв’язавши систему (4.2), отримаємо значення коефіцієнтів . (4.3) Підставивши отримані значення коефіцієнтів у рівняння параболи (4.1), отримаємо таке співвідношення . (4.4) При підставленні замість підінтегральної функцій виразу (4.4), отримаємо значення визначеного інтегралу на проміжку . (4.5) Узагальнюючи формулу (4.5) для усіх ділянок , , … , , отримаємо такий вираз . (4.6) Просумуємо значення інтегралу на усіх зазначених ділянках (4.7) Записавши значення функцій з коефіцієнтами 2 та 4 у вигляді двох сум, отримаємо загальну формулу методу Сімпсона (парабол) . (4.8) Загальний алгоритм методу Сімпсона ; ; ; для для Опис алгоритму На початку алгоритму задаємо значення нижньої і верхньої межі інтегрування та – кількості розбиттів проміжку . Обчислюємо величину кроку , значення функції у крапках і . У двох циклах обчислюємо значення парної та непарної сум формули (4.8). Значення збільшуємо шляхом додавання до визначеної кількості кроків . Додаємо до порахованих сум значення функції у крапках і та домножаємо отримане на величину . При можливості здійснюємо перевірку вірності нашого алгоритму, точно обчисливши визначений інтеграл згідно формули Ньютона-Лейбніца (1.2). 5. Числова порівняльна оцінка методів З метою оцінки поданих в інструкції методів обчислення визначеного інтегралу наведемо для них числові результати. Обчислимо за формулою Ньютона-Лейбніца такий визначений інтеграл . (5.1) Отримані результати обчислення визначеного інтегралу (5.1) нижче наведені в таблиці Метод к-сь розбит. к-сь розбит. к-сь розбит. лівих прямокутників 0,523598775 0,314159265 0,104719755 правих прямокутників –0,523598775 –0,314159265 –0,104719755 середніх прямокутників 5,74·10–16 1,96·10–17 2,7·10–16 трапецій 3,1·10–16 -2,16·10–18 4,76·10–16 Сімпсона 3,79·10–16 1,34·10–16 2,57·10–16 Для порівняння наведемо ще результати і для такого інтегралу . (5.2) Отримані результати обчислення визначеного інтегралу (5.2) нижче наведені в таблиці Метод к-сь розбит. к-сь розбит. к-сь розбит. лівих прямокутників 4,292350056 4,441127220 4,593360503 правих прямокутників 5,070812434 4,908204647 4,749052979 середніх прямокутників 4,665372658 4,668828682 4,670558037 трапецій 4,681581245 4,674665933 4,671206741 Сімпсона 4,670794226 4,670776862 4,670774302 Як бачимо з наведених результатів, найкращі результати отримані методом Сімпсона (парабол), дещо гірші результати дають методи середніх прямокутників та трапецій, а найгірші результати в обох таблицях отримані методами лівих та правих прямокутників. Тому замість двох останніх рекомендується використовувати метод середніх прямокутників, який є однаковий з ними по складності. 6. Порядок виконання роботи Вдома вивчити теоретичні відомості, необхідні для виконання лабораторної роботи. Згідно варіанту (порядкового номера в журналі викладача) завдання (таблиця 1 та 2), вдома написати програму для реалізації алгоритму вказаного методу, а в лабораторії вписати програмний код та налагодити цю програму. Отримані на комп’ютері числові результати представити викладачу. По результатах виконаної роботи оформити звіт та здати його. Таблиця 1. Завдання до лабораторної роботи *визначені інтеграли вибираються з таблиці 2 № п/п Завдання (метод та кількість розбиттів проміжку інтегрування) Для методів прямокутників та трапецій: Для методу Сімпсона: Група 1 Група 2 Група 3 1 Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників 2 Метод трапецій Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників 3 Метод лівих прямокутників Метод трапецій Метод Сімпсона 4 Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників Метод трапецій 5 Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників 6 Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників 7 Метод трапецій Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників 8 Метод лівих прямокутників Метод трапецій Метод Сімпсона 9 Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників Метод трапецій 10 Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників 11 Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників 12 Метод трапецій Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників 13 Метод лівих прямокутників Метод трапецій Метод Сімпсона 14 Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників Метод трапецій 15 Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників 16 Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників 17 Метод трапецій Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників 18 Метод лівих прямокутників Метод трапецій Метод Сімпсона 19 Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників Метод трапецій 20 Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників 21 Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників 22 Метод трапецій Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників 23 Метод лівих прямокутників Метод трапецій Метод Сімпсона 24 Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників Метод трапецій 25 Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників 26 Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників 27 Метод трапецій Метод Сімпсона Метод середніх прямокутників 28 Метод лівих прямокутників Метод трапецій Метод Сімпсона 29 Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників Метод трапецій 30 Метод середніх прямокутників Метод правих прямокутників Метод лівих прямокутників Таблиця 2. Визначені інтеграли та їх первісні №1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 №13 №14 №15 №16 №17 №18 №19 №20 №21 №22 №23 №24 №25 №26 №27 №28 №29 №30 7. Зміст звіту Номер і назва лабораторної роботи, із зазначенням її виконавця. Мета роботи. Завдання до лабораторної роботи. Короткі теоретичні відомості, що необхідні для виконання лабораторної роботи. Блок-схема розробленої програми. Список ідентифікаторів констант, змінних, функцій, методів, використаних у програмі, та їх пояснення. Остаточна версія програми. Результати виконання програми. Висновки. 8. Контрольні запитання Наведіть формулу для точного обчислення визначеного інтегралу. Чому не завжди вдається обчислити визначений інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца? У чому полягає ідея аналітичних методів наближеного обчислення визначеного інтегралу? Що таке інтегральна сума Рімана? Який геометричний зміст обчислення визначеного інтегралу? Наведіть та поясніть геометричну інтерпретацію методу лівих прямокутників. Яка відмінність методів правих та середніх прямокутників? Наведіть та поясніть геометричну інтерпретацію методу трапецій. У чому полягає ідея методу Сімпсона? Дайте числову порівняльну оцінку основним методам обчислення визначеного інтегралу. 9. Список літератури Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Лекції: Навчальний посібник для вузів / І.А.Анджейчак, В.Є.Анохін, І.М.Бойко та ін. – Нац. ун-т "Львівська політехніка", Львів. – 2001. – 150 с. Комп’ютерні методи прикладної математики: Навчальний посібник для студентів вищих технічних навчальних закладів / К.Х.Зеленський, В.М.Ігнатенко, О.П.Коц – К.: Академперіодика. – 2002. – 479 с. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш.шк. – 1994. – 544 с. ЗМІСТ 1. Загальні відомості …………..…………..………………………. 1 2. Метод прямокутників .…..……………………………………... 3 3. Метод трапецій …………………………..……………………... 5 4. Метод Сімпсона ……...…………………………………………. 6 5. Числова порівняльна оцінка методів ……………………….. 9 6. Порядок виконання роботи ……………………………………. 10 7. Зміст звіту ……………………………………………………….. 14 8. Контрольні запитання ………………………………………….. 14 9. Список літератури …………………………………………….. 15 Навчальне видання Числове обчислення визначених інтегралів: Інструкція до лабораторної роботи № 5 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження систем керування” для студентів базового напрямку 6.0914 “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та базового напрямку 050201 “Системна інженерія”. Укладачі: Дзелендзяк Уляна Юріївна Павельчак Андрій Геннадійович Самотий Володимир Васильович

Інструкція до лабораторної роботи Інші

sergiwez

28.01.2013 18:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись