Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Державний університет інформаційно-комунікаційних технологій
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2010
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Фізика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІНФОРМАЦІЙНО КОМУНІКАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ
Редько Р.А., Гориня Л.М.
Лабораторна робота
з фізики
на тему:Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника
Київ 2010
Лабораторна робота №8
Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника
Мета роботи.
Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт затухання, час релаксації коливань).
Теоретичні відомості.
В реальних фізичних системах, які здійснюють вiльнi коливання, крім внутрішньої сили, яка повертає систему до положення рівноваги, завжди діють сили тертя та опору. Тому реальні вiльнi коливання відбуваються з поступовими втратами енергії коливань на роботу проти цих сил i створення коливань у навколишньому середовищі, i вони є затухаючими.
Розглянемо вiльнi затухаючі коливання математичного маятника. Математичним маятником називається матеріальна точка підвішена на невагомій i нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. На практиці математичним маятником можна вважати металеву кульку масою m, підвішену на легкій нитці, довжина якої l значно більша за розміри кульки (рис. 1). Центр мас такої системи збігається з центром мас кульки.
При вiдхиленнi маятника від положення рівноваги виникає повертаюча до положення рівноваги сила F, яка є складовою сили тяжіння кульки i дорівнює:
,
де g – прискорення вільного падіння, α- кутове зміщення маятника відносно положення рівноваги.
При малих кутах (α ≤10º ) , (1)
де х – лінійне зміщення кульки відносно положення рівноваги.
Тому повертаюча сила дорівнюватиме:
, (2)
де знак “ - “ вказує на те, що сила напрямлена в протилежну сторону до зміщення х.
Повертаюча сила F за природою не є пружною, але як і остання пропорційна зміщенню від положення рівноваги, тому вона називається квазіпружною.
Коефіцієнт називається коефіцієнтом квазіпружної сили.
Будемо вважати, що причиною затухання коливань є сила опору в’язкого середовища, яка у випадку невеликої швидкості руху тіла дорівнює:
, (3)
де r – коефіцієнт опору, який залежить від в’язкості середовища та форми тіла, а – швидкість тіла, що дорівнює:
Знак “ - ” в рівнянні (3) вказує на те, що сила опору повітря напрямлена у бік протилежний швидкості кульки.
Запишемо рівняння динаміки руху математичного маятника:
, (4)
де а – прискорення кульки, яке дорівнює:
Рис. 1.
Підставимо вираз для швидкості та прискорення в формулу (4) і отримаємо:
Поділимо останнє рівняння на m і введемо позначення:
(5)
Остаточно рівняння вільних затухаючих коливань математичного маятника матиме вигляд:
(6)
Розв’язком цього рівняння є функція:
(7)
Враховуючи те, що кутове зміщення α відповідно до формули (1) пропорційне лінійному зміщенню х, диференціальне рівняння вільних коливань та його розв’язок можна представити у вигляді:
(8)
,
де - амплітуда затухаючих коливань в довільний момент часу, амплітуда коливань в початковий момент часу, β – коефіцієнт затухання, визначається формулою (5), - циклічна частота затухаючих коливань
, (9)
де - власна частота коливань:
(10)
Як видно з рівняння затухаючих коливань, амплітуда коливань з часом зменшується, тому затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними. Умовний період затухаючих коливань визначається за формулою:
(11)
Графік затухаючих коливань зображений на рис. 2.
Рис. 2.
Амплітуда затухаючих коливань зменшується за експоненціальним законом, але відношення амплітуд двох послідовних коливань є величиною сталою, тобто характеристикою коливань. Ця величина називається декрементом затухання, а її логарифм логарифмічним декрементом затухання:
(12)
Затухаючі коливання також характеризують часом релаксації τ. За цей час амплітуда коливань зменшується в е раз:
Звідки випливає, що:
(13)
Таким чином, частота, період, коефіцієнт затухання, час релаксації та логарифмiчннй декремент затухання є характеристиками затухаючих коливань.
3. Методика вимірювання.
Характеристики затухаючих коливань математичного маятника визначаються за вимірюваними значеннями амплітуди коливань в початковий момент часу та через час t, а також за кількістю коливань за цей час.
Період коливань маятника визначається за формулою:
(14)
Амплітуда коливань в момент часу t від початку коливань згідно формули (8) дорівнює:
З цієї формули отримаємо розрахункову формулу для коефіцієнта затухання:
(15)
З формули (13) час релаксації є величиною оберненою коефiцiєнту затухання. Тоді:
(16)
Підставимо вирази (15), (14) в формулу (12) і дістанемо розрахункову формулу для логарифмічного декремента затухання:
(17)
4. Порядок виконання роботи.
1. Відхилити маятник від положення рівноваги на кут α ≤10º i відпустити.
2. Пропустивши (1-2) коливання, виміряти кут відхилення маятника, який визначає амплітуду коливань в початковий момент часу αm, і одночасно увімкнути секундомір.
3. Відрахувати (20 —30) коливань і вимкнути секундомір. Записати час цих коливань і амплітуду коливань αm через цей час. Результати занести в таблицю 1. Вимірювання провести 3 рази.
Таблиця 1.
№
, град
, град
п
t, c
1
2
3
Середні значення
4. За середніми значеннями отриманих величин визначити середні значення періоду, коефіцієнта затухання, часу релаксації та логарифмічного декремента затухання за формулами (14), (15), (16), (17). Результати завести в таблицю 2.
5. Визначити відносні похибки вимірювання періоду, часу релаксації, коефіцієнта затухання, логарифмічного декремента затухання за формулами:
, ,
, ,
, ,
, ,
відповідно. Результати занести в таблицю 2
6. Визначити абсолютні похибки непрямих вимірювань за формулами: , , , відповідно та зробити висновки. Результати занести в таблицю 2.
Таблиця 2.
5. Прилади та обладнання.
Математичний маятник зі шкалою, секундомір, лінійка.
07.02.2013 23:02-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора