Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
КН
Кафедра:
Кафедра автоматизованих систем управління
Інформація про роботу
Рік:
2013
Тип роботи:
Розрахунково - графічна робота
Предмет:
Теорія управління
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Кафедра автоматизованих систем управління
Розрахунково-графічна робота
З дисципліни
Теорія Управління
T3
T2
T1
T0
K
1
4
6
10
1
Записати передатну функцію при даних коефіцієнтах
Передатною функцією називається відношення перетвореної за Лапласом вихідної дії до перетворених за Лапласом вхідної дії при нульових початкових умовах та відсутності збурень.
За даними коефіцієнтами передатна функція має такий вигляд:
Побудувати амплітудно-фазочастотну характеристику (АФЧХ)
Амплітудно-фазово-частотною характеристикою (АФЧХ) називається геометричне місце точок кінців вектора комплексної передатної функції системи при зміні частоти ω від 0 до ∞.
Для побудов АФЧХ представимо передатну функцію в алгебраїчній формі замінюючи , знаходимо:
.
a(ω) називається дійсною, а b(ω) – уявною частиною.
Сам по собі вираз b(ω) є дійсним і не повинен містити ніяких j.
Передатна функція набуде вигляду:
Маючи залежності a(ω), b(ω), будемо будувати АФЧХ в декартових координатах. Змінюючи з деяким кроком частоту ω від 0 до достатньо великих значень, відкладатимемо по осі OX значення a(ω), а по осі OY – значення b(ω) для кожного ω. Змінюючи ω від 0 до ∞ на комплексній площині, будуємо графік АФЧХ (W(ω))
Графік побудови АФЧХ теоретичним шляхом зображений на рис. 1.
Рис. 1. АФЧХ
Побудувати амплітудно-частотну характеристику (АЧХ)
Амплітудно-частотною характеристикою називається залежність модуля передатної функції від частоти, при зміні частоти від 0 до ∞.
Для побудови АЧХ у середовищі Matlab виконуємо послідовність команд:
num=[1];
den=[1 4 6 10];
[mag,phase,w]=bode(num,den);
plot(w,mag(:)),grid
Після виконання таких команд, отримаємо графік АЧХ (Рис.2)
Рис. 2. АЧХ
Побудувати фазочастотну характеристику (ФЧХ)
Фазочастотною характеристикою називається залежність фазового зсуву між вихідною та вхідною дією при гармонічному вхідному сигналі.
Для побудови ФЧХ у середовищі Matlab, виконуємо послідовність команд:
num=[1];
den=[1 4 6 10];
[mag,phase,w]=bode(num,den);
semilogx(w,phase(:));
grid on
Після виконання таких команд отримаємо графік ФЧХ. (Рис. 3)
Рис. 3 ФЧХ
Побудувати логарифмічну амплітудно-фазочастотну характеристику (ЛАФЧХ).
Логарифмічна амплітудно-фазочастотна характеристика є сукупністю двох характеристик - ЛАЧХ і ФЧХ, побудованих на одному графіку.
Зручніше користуватись десятковим логарифмом і будувати окремо логарифмічно-амплітудну і фазову характеристики.
– одиниці вимірювання дБ (децибел)
1 Бел представляє собою логарифмічну одиницю, що відповідає десятикратному збільшенню потужності.
Особливість логарифмічної характеристики, зображеної на Рис. 4, полягає в тому, що вона відображається сукупністю відрізків прямої.
Для побудови ЛАФЧХ у середовищі Matlab виконуємо послідовність команд:
num=[1];
den=[1 6 4 10];
[mag,phase,w]=bode(num,den);
semilogx(w,20*log10(mag(:))),grid on
Після виконання таких команд отримаємо графік ЛАФЧХ. (Рис. 4)
Рис. 4 ЛАФЧХ
Оцінити систему на стійкість за двома критеріями
Стійкість – здатність системи повертатись в стан рівноваги після припинення дії вимушуючи сил (вхідна дія, збурення).
Для того, щоб оцінити систему на стійкість необхідно знаменник передатної функції прирівняти до 0.
Критерії стійкості (КС) поділяються на 2 групи:
а) алгебраїчні (КС Вишнєградського, КС Рауса, КС Гурвіца);
б) частотні (КС Михайлова, КС Найквіста, логарифмічний КС);
Стійкість нас цікавить тому, що нестійкі системи – непрацездатні. Невеликі збурення виводять їх з планової траєкторії, до якої вони ніколи не зможуть повернутися.
Стійкість – внутрішня властивість системи, яка не залежить від величини вхідної дії чи від величини збурення.
Для великих систем ця характеристика вироджується в надійність чи живучість.
6.1) Оцінити систему на стійкість за алгебраїчним критерієм.
З алгебраїчних критеріїв для оцінки стійкості системи третього порядку доцільно використати критерій Вишнєградського.
Цей критерій використовується для систем не вище третього порядку.
Якщо різниця добутків середніх і крайніх коефіцієнтів поліному (характеристичного рівняння) більша від нуля і кожен з коефіцієнтів є додатним, то система стійка.
Тобто якщо виконується умова:
Згідно завдання:
;
4* 6 – 10 * 1 = 12 => 2 > 0, Отже, система стійка.
6.2) Оцінити систему на стійкість за частотним критерієм.
Приймемо, що система незамкнута, тоді оцінити її на стійкість можна за критерієм Михайлова. Відокремлюючи дійсну і уявну частину, поліном D(p) приводимо до вигляду:
a()=an – ω2an-2+ ω4an-4-… - парні степені
b(ω)= ωan-1- ω3an-3+ ω5an-5-… - непарні степені
Геометричне місце точок кінця вектора D(jω) при зміні частоти 0< ω<∞ називається годографом Михайлова.
Динамічна система, що описується лінійним диференційним рівнянням n-го порядку стійка, якщо при зміні частоти від 0 до ∞, годограф Михайлова послідовно проходить в напрямку проти годинникової стрілки n квадрантів комплексної площини і не перетворюється в 0.
Критерій Михайлова, зображений на Рис. 5 використовується для розімкнених систем управління.
Два наступних критерії, а саме – критерій стійкості Найквіста та логарифмічний критерій стійкості використовуються для оцінки на стійкість замкнутих систем управління.
Оцінку стійкості почнемо з визначення коренів рівнянь:
Для побудови Годографа Михайлова у середовищі Matlab виконуємо послідовність команд:
W=0:0.1:1.6;
plot(1-W.^2,2*W.^1-W.^3),grid on
Після виконання таких команд отримаємо Годограф Михайлова Рис. 5.
Рис. 5 Годограф Михайлова
Як видно з Рис. 5, Годограф Михайлова для даної розімкненої системи проходить в напрямку проти годинникової стрілки і не перетворюється в нуль, тому це свідчить про те, що система є стійкою.
Критерій Найквіста дає можливість оцінити стійкість замкнутих систем за стійкістю розімкнених систем.
Якщо лінійна динамічна система (ЛДС) в розімкнутому стані стійка, то вона стійка і в замкнутому стані, при умові, що її АФЧХ при зміні частоти від 0 до ∞ не охоплює на комплексній площині точку з координатами (-1, j0)
Як видно з Рис5, система стійка.
Знайти вираз перехідної функції h(t). Побудувати її графік.
Перехідна функція – показує перехідний процес на виході ланки, якщо на вході діє одинична ступінчата функція. Одинична ступінчата функція має таку розмірність, як і вхідна величина.
Для побудови графіка перехідної функції h(t) у середовищі Matlab виконуємо послідовність команд:
num=[1];
den=[1 4 6 10];
t=0:0.1:15;
y=step(num,den,t);
plot(t,y),grid on
Після виконання таких команд отримаємо графік перехідної функції. Рис. 6
Рис. 6 Графік перехідної функції
Вираз перехідної функції
Для знаходження виразу перехідної функції скористаємось пакетом Mathcad і виконаємо таку послідовність команд:
Знайти розміщення нулів і полюсів системи
Нулі системи – це ті точки, при яких чисельник передатної функції перетворюється в нуль, а полюси – це точки, при яких знаменник перетворюється в нуль. Розміщення нулів і полюсів системи (див. Рис.7) можна отримати, користуючись засобами MATLAB.
num=[1];
den=[1 4 6 10];
[mag,phase,w]=bode(num,den);
t=0:0.1:16;
y=step(num,den,t);
[p,z]=pzmap(num,den);
hold;
plot(p,’bx’);
grid;
Рис. 7 Розміщення полюсів системи
Для знаходження числових значень полюсів системи потрібно набрати в середовищі MATLAB послідовність команд:
w=tf([1],[1 4 6 10]);
pole(w)
ans =-3.1049
-0.4476 + 1.7379i
-0.4476 - 1.7379i
Здійснити корекцію системи
Запасом стійкості за фазою θ називається різниця π-|φ|, де ,
При w=wзр, wзр – частота зрізу. Wзр – це така частота, при якій L(w)=0.
Оскільки система стійка, з’ясуємо запас стійкості за фазою та амплітудою.
Для цього потрібно виконати таку послідовність команд в MATLAB.
num=[1];
den=[1 4 6 10];
h=tf(num,den);
margin(h);
grid;
Рис. 8 Боде діаграма системи до корекції
Здійснити декомпозицію системи третього порядку на типові ланки.
При знаходженні нулів і полюсів функції виявилося, що система має один цілий та два комплексних корені. Тому систему можна декомпонувати тільки на дві типові ланки, що проілюстровано на Рис. 9.
Рис. 9 Типові ланки
Рис. 10 Результати моделювання
Побудувати фазовий портрет відкоректованої системи
Для наочного зображення складних процесів управління застосовують поняття фазового простору, яке полягає в наступному: диференційне рівняння замкнутої системи n-порядку приводяться до системи рівнянь 1 порядку.
Система n-порядку замкнута, описується системою n-рівнянь 1 порядку і вводять поняття зображуваної точки M0, а траєкторія руху точки називається фазовою траєкторією. Сукупність траєкторій називається фазовим портом.
Побудуємо фазовий портрет за допомогою середовища Simulink (Рис. 11).
Рис 11. Схема дослідження
Рис. 12 Фазовий портрет системи
Висновок: Виконуючи дану розрахунково-графічну роботу, я поглибив свої знання з курсу Теоретичні основи управління, покращив навички роботи у середовищі MATLAB. У ході роботи, я встановив, що система, є достатньо стійкою, а також здійснив декомпозицію системи на типові ланки і побудував фазовий портрет системи.
13.02.2013 23:02-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора