Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» Кафедра автоматизованих систем управління Звіт до лабораторної роботи № 1 з курсу «Чисельні методи в інформатиці» на тему «Абсолютна та відносна похибка» Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання. Короткі теоретичні відомості Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі. Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову δ ≤

, де ат – перша значуща цифра числа а . Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти δa =
де аm - перша значуща цифра числа а . Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти δa =
. Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто
Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою δ =
де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|. Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а . 1. Похибки суми. Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел. |∆и| ≤ |∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто ∆и = ∆х1 +∆ х2 + ... +∆ хп . Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.
max
=
. 2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2: и = х1-х2 . Тоді, на підставі наслідку з теореми 1, ∆и = ∆х1 +∆ х2 , δu=
, (6) де А – точне значення різниці х1-х2. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел. 3. Похибки добутку. | ∆u | = | А – u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+ + x1 x2 … хn-1 + ∆хп . За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти ∆u = x2x3 … xn ∆x1+ х1 х3… xn ∆x2 +…+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп . Тоді за граничну відносну похибку добутку можемо прийняти
. 4. Похибки частки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2 , де для простоти будемо вважати, що x1 > 0, x2 > 0,
,
. Тоді
,
За граничну відносну похибку частки можна прийняти
. 5. Похибки степеня. Нехай А = (х + ∆ х)т , и = хт , де т – натуральне число, х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо |∆u| < mxm - 1|∆x|, δ ≤ mδ1, де δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти ∆u= mxm - 1∆x, δu= mδx Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату. Варіант 17 Оцінити абсолютну та відносну похибку при обчисленні величини F за умов: a) заданих точних значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3; B) заданих значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3 з похибкою (= N*10-3, де N – номер варіантy F = 5x12 + 3x22 + 2x32 - 4x2x3 - 2x1 – cos(x2 * x3 ); Текст програми: unit Unit1; interface uses Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, jpeg, ExtCtrls; type TForm1 = class(TForm) Edit1: TEdit; Edit2: TEdit; Edit3: TEdit; Label1: TLabel; Label2: TLabel; Label3: TLabel; Edit4: TEdit; Edit5: TEdit; Edit6: TEdit; Label4: TLabel; Label5: TLabel; Label6: TLabel; Button1: TButton; Button2: TButton; Label7: TLabel; Image1: TImage; procedure Button1Click(Sender: TObject); procedure Button2Click(Sender: TObject); private { Private declarations } public { Public declarations } end; var Form1: TForm1; implementation {$R *.dfm} procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var x:array [1..3] of real; F, ab_p, vid_p,dx: real; begin dx:=0.002; x[1]:=StrtoFloat(Edit1.Text); x[2]:=StrtoFloat(Edit2.Text); x[3]:=StrtoFloat(Edit3.Text); F:=5*sqr(x[1])+3*sqr(x[2])+2*sqr(x[3])-4*x[2]*x[3]-2*x[1]-cos(x[2]*x[3]); Edit4.Text:=FloattoStrF(F,ffFixed,7,3); ab_p:=abs(5*2*x[1]*dx)+abs(3*2*x[2]*dx)+abs(2*2*x[3]*dx)+ +abs(4*(x[2]+x[3])*dx)+abs(2*x[1]*dx)+abs(sin(x[2]+x[3])*dx); Edit5.Text:=FloatToStrF(ab_p,ffFixed,6,3); vid_p:=abs(ab_p/F)*100; Edit6.Text:=FloatToStrF(vid_p,ffFixed,5,2)+'%'; end; procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject); begin Edit1.Text:=''; Edit2.Text:=''; Edit3.Text:=''; Edit4.Text:=''; Edit5.Text:=''; Edit6.Text:=''; end; end.. Результат виконання програми:
Висновок: На цій лабораторній роботі я вивчив і засвоїв поняття абсолютної та відносної похибки і методи їх оцінювання.