Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра економічної кібернетики
Інформація про роботу
Рік:
2003
Тип роботи:
Інші
Предмет:
Економетрія
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти та науки України
Чернігівський державний інститут економіки і управління
Кафедра економічної кібернетики
ЕКОНОМЕТРІЯ
Чернігів 2003
Чернігівський державний інститут економіки і управління
Кафедра економічної кібернетики
Затверджено
методичною радою
економічного факультету
для використання
у навчальному процесі
Протокол №-- від --.--.2003р.
ЕКОНОМЕТРІЯ
(навчально-методичний посібник)
Затверджено
на засіданні кафедри
економічної кібернетики
Протокол №-- від --.--.2003р.
Чернігів 2003
Економетрія. Навчально – методичний посібник
Укладач Скітер І.С ., Чернігів, ЧДІЕУ, 2003, 66 ст.
Навчально – методичний посібник призначений для засвоєння основних понять, методології та методів економетрії. Він містить: навчальну програму дисципліни та список літератури; плани завдання та методичні рекомендації для практичних занять та самостійної роботи, а також завдання індивідуальної семестрової роботи і контрольної роботи для студентів заочної форми навчання з методичними рекомендаціями.
В посібник включенні необхідні таблиці критичних значень розподілу статистик Х2, Стьюдента (t), Фішера (F), Дарбіна – Уотсона (d1, d2).
Зміст
1.Предмет, методи, структура, коротка історична довідка
та мета дисципліни "Економетрія"
Навчальна програма дисципліни
Список літератури
Плани практичних занять та самостійної роботи.
Практичне Заняття 1. Загальні поняття та парна лінійна регресія.
1. Методичні вказівки.
1.1 Специфікація моделі.
1.2 Етапи побудови економетричної моделі
1.3 Приклади економетричних моделей
Модель споживання
Виробнича функція Кобба - Дугласа
Модель пропозиції та попиту
Модель Кейнса
1.4 Оцінювання параметрів парної лінійної регресії методом найменших квадратів
1.5 Запитання та завдання для практичного заняття
1.6 Завдання для самостійної роботи
Практичне заняття 2. Нелінійна парна регресія.
2.1 Методичні вказівки
Загальні поняття
Приклади
Оцінка адекватності парної нелінійної регресії
2.2 Запитання та завдання для практичного заняття та самостійної роботи
Практичні заняття 3-4. Економетрична модель множинної лінійної регресії.
Методичні вказівки
Запитання та завдання для практичного заняття
Завдання для самостійної роботи
Методичні рекомендації до виконання самостійної роботи
Практичне заняття 5. Мультиколеніарність факторів моделі
5.1 Методичні вказівки
Основні наслідки мультиколінеарності
Дослідження мультиколінеарності
Способи усунення мультиколінеарності
Запитання та завдання для практичного заняття
Завдання для самостійної роботи
Практичне заняття 6. Гетероскедастичність моделі.
6.1 Методичні вказівки
Поняття гетероскедастичності та її наслідки
Перевірка гетероскедастичності
Визначення матриці
Метод Ейткена
Прогноз
6.2 Запитання та завдання для практичного заняття і самостійної роботи
Практичне заняття 7. Автокореляція відхилень
7.1 Методичні вказівки
Поняття автокореляції та її наслідки
Перевірка наявності автокореляції
Оцінка параметрів моделі
Запитання та завдання для практичного заняття
Завдання для самостійної роботи
Практичне заняття 8. Економетричні моделі системи одночасних структурних рівнянь. Залік. 8.1 Методичні вказівки
8.1.1 Поняття системи одночасних структурних рівнянь та різновиди їх форм
8.1.2 Ідентифікованість системи одночасних структурних рівнянь
8.1.3 Оцінка параметрів та точкового прогнозу 8.2 Запитання та завдання для самостійної роботи
Індивідуальні завдання та завдання контрольної роботи
Методичні рекомендації та вимоги до виконання і оформлення індивідуальної семестрової (контрольної) роботи
7. Додаток Таблиці критичних значень статистик
1. Предмет, методи, структура та мета дисципліни.
При дослідженні багатьох проблем економіки, менеджменту та маркетингу необхідно приймати науково обґрунтовані оптимальні рішення. Для цього потрібно знати кількісний зв'язок між економічними показниками. Найчастіше потрібну інформацію можна одержати лише з деякою імовірністю.
Наприклад, для прийняття рішення про збільшення послуг мобільного зв'язку доцільно визначити зв'язок попиту на мобільний зв'язок певних груп населення при зростанні їх доходу або при умові зменшення вартості однієї хвилини розмови.
Економетрія — фундаментальна економіко - математична наука, яка на основі статистичних даних вивчає методику побудови та дослідження економетричних моделей, які характеризують кількісні зв'язки між економічними показниками, динаміку процесів з метою прогнозування та аналізу взаємного впливу явищ і прийняття оптимальних рішень щодо планування та розподілу матеріальних, трудових і фінансових ресурсів.
Методи викладання та вивчення економетрії аналогічні методам математичних дисциплін. Вони передбачають постановку задачі та аналіз розв'язків, які одержують з використанням певних означень, критеріїв, формул або алгоритмів.
При розв'язуванні економетричних задач використовують матричну алгебру, математичну статистику, диференціальне числення функцій кількох змінних.
Останнім часом ефективно використовуються пакети електронних таблиць, зокрема Ехсеl 5.0 або Ехсel 97.
Мета дисципліни - набуття студентами основних понять методології економіко - математичного моделювання та економетричного аналізу, вивчити класичні методи розв'язування економетричних задач.
Коротка історична довідка.
Економетрія виникла як спроба передбачити поводження товарного та грошового ринків з врахуванням випадкових економічних явищ (наприклад, у випадку коливання попиту або цін).
Термін "економетрія" запропонував Львівський учений O.Чомпа в 1910 році.
Засновники економетрії (Р. Фріш, Е. Шумпетер, Я. Тірберчен) намагались поєднати економічну теорію з математичними та статистичними методами.
Лише після Другої світової війни були побудовані економетричні моделі на макрорівні, які враховували попит, фінансовий стан, податки, прибуток, ціни.
В останні 30 років розроблялись нові методи розв'язування та дослідження економетричних моделей з врахуванням зв'язків між економічними параметрами (мультиколінеарності), у випадку із запізнювальними (лаговими) змінними, методи застосування обчислювальної техніки.
Структура дисципліни.
Економетрію можна поділити на дві частини:
економетричні методи;
економетричні моделі.
Економетричні методи умовно можна розбити на 4 групи:
оцінювання параметрів класичної економетричної моделі;
методи оцінювання параметрів узагальненої економетричної моделі;
- методи оцінювання параметрів динамічної економетричної моделі, їх верифікація (перевірка значущості).
- методи оцінювання параметрів економетричних моделей, які побудовані на основі систем одночасних структурних рівнянь
2. Навчальна програма дисципліни.
Тема 1. Предмет, методи і завдання курсу.
Предмет і метод курсу. Місце і значення дисципліни серед фундаментальних дисциплін підготовки економістів. Взаємозв'язки економетрії з суміжними дисциплінами. Історія виникнення і формування курсу.
Тема 2. Основи економетричного моделювання.
Особливості економетричних моделей. Відбір змінних для моделі та формування вихідної сукупності спостережень. Приклади економетричних моделей: виробнича функція Кобба - Дугласа, попиту і пропозицій, Кейнса, споживання. Метод найменших квадратів.
Тема 3. Методи побудови парної та множинної лінійної моделі.
Визначення економетричної моделі та етапи її побудови. Специфікація моделі. Вимоги до застосування методу найменших квадратів. Оцінювання параметрів методом найменших квадратів. Властивості оцінок. Визначення матриці коваріацій оцінок параметрів. Прогноз.
Тема 4. Мультиколінеарність.
Поняття та наслідки мультиколінеарності, її ознаки. Алгоритм Фаррара -Глобера перевірки наявності мультиколінеарності.
Тема 5. Гетероскедастичність.
Поняття гетероскедастичності та її вплив на оцінки параметрів моделі. Методи визначення гетероскедастичності. Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена). Прогноз.
Тема 6. Автокореляція.
Причини виникнення автокореляції та методи її визначення. Наслідки автокореляції залишків. Методи оцінки параметрів: Ейткена, перетворення вихідних даних, наближені. Прогноз.
Тема 7. Економетричні моделі на основі системи одночасних рівнянь.
Системи одночасних рівнянь: структурні, приведені, рекурсивні. Ідентифікація систем. Непрямий метод найменших квадратів. Прогноз.
3. Список літератури
І.Г.Лукьяненко, Л.І.Краснікова. Економетрика.,К., 1998, 345с.
К.Доугерти. Введение в эконометрию, М., 1997, 396с.
Й. Грубер. Эконометрия.,т.1.,К., 1997, 422 с.
Толбатов Ю.А., Економетрика, - К., "Четверта хвиля'', 1997, 319с;
Наконечний С.І.. Терещенко Т.О., Романюк Т.П., Економетрія, -К., КНЕУ, 2000
Лук'яненко І.Г., Краснікова Л.І., Економетрика: Практикум з використанням комп'ютера.-К., "Знання", 1998.
4. Плани практичних занять та самостійної роботи.
Практичне заняття 1.
Тема. Специфікація економетричної моделі, етапи її побудови. Приклади. Оцінювання параметрів парної лінійної регресії методом найменших квадратів.
Мета. Поглибити поняття особливості економетричної моделі, її специфікації та етапів побудови. Набути навичок оцінювання параметрів парної лінійної регресії методом найменших квадратів.
1. Методичні вказівки.
1.1 Економетричні моделі належать до функціональних моделей. У загальному вигляд: їх можна записати так:
Y = f(X,L),
де X - вхідні економічні показники (фактори), L - випадкова складова, яку називають відхиленням (залишком, похибкою, збуренням). Економетрична модель є стохастичною (одному значенню фактора X може відповідати декілька значень показника Y).
Стохастична залежність обумовлена тим, що випадкові величини L формуються в результаті впливу на них значної кількості факторів, частина яких є спільною для L та Y.
З математичної статистики відомо, що серед стохастичних залежностей особливе місце займає кореляційна залежність, тобто коли умовне математичне сподівання М(Y/х) або М(Y/x1,х2,...,хm) є певною функцією однієї або декількох інших випадкових величин.
Наприклад, у випадку двох випадкових величин
М(У/х)=ф(Х) або У = ф(Х)
У випадку кількох величин
М(У/x1 ,Х2,,,Хm)= ф(Х1 ,Х2,... ,Хm)
У = ф(х1,х2,...,хm),
де У- умовна середня вибірки.
Ці рівняння називають рівняннями регресії.
У випадку нормально розподілених випадкових величин рівняння регресії лінійні.
Для лінійних рівнянь регресії умовні дисперсії не залежать від значень випадкових величин, а визначаються дисперcіями випадкових величин та коефіцієнтом кореляції.
За статистичними даними (результатами вибірки) часто не можна визначити закон розподілу показника У (вид функції ф), а тому не можна знайти рівняння регресії. В цьому випадку припустимий вираз ф для У знаходять так, щоб дисперсія була мінімальною. Коефіцієнти рівняння лінійної регресії знаходять методом найменших квадратів.
Специфікація економетричної моделі включає вибір виду рівняння регресії та закон розподілу випадкової величини L.
В класичній лінійній економетричної моделі
Y = a0 + a1X1 + a2X2 + … + amXm + L (1.1)
Випадкова змінна L повинна бути розподіленою за нормальним законом з математичним сподіванням М(L)=0 і сталою (невідомою) дисперсією δ2, тобто L є N(0,δ2), фактори ХІ,Х2...Хm) не корельовані.
1.2 Етапи побудови економетричної моделі.
Економетричне моделювання базується на професійних знаннях про об'єкт дослідження і має такі етапи:
Знайомство з економічною теорією, визначення набору змінних, які описують процес функціонування досліджуваних об'єктів.
Аналіз взаємозв'язків між окремими змінними, висунення гіпотези взаємозв’язку. Залежні змінні називають ендогенними, а незалежні змінні - екзогенними.
Специфікація моделі. Прийняті теоретичні уявлення та гіпотези виразити у вигляді математичних рівнянь, тобто зробити вибір раціонального типу економетричної модем.
Формування масиву вхідної інформації згідно з метою та завданням дослідження.
Оцінка параметрів моделі методом найменших квадратів та аналіз залишків (відхилень) з метою виявлення відповідності специфікацій моделей вимогам класичної лінійної моделі.
Якщо деякі вимоги не виконуються, то для продовження аналізу треба замінити специфікацію або застосувати інші методи оцінювання параметрів.
7. Верифікація моделі. Проведення аналізу достовірності моделі та прогнозу за побудованою моделлю.
1.3 Приклади економетричних моделей.
1.3.1 Модель споживання. Метою усіх виробничих систем & виробництво матеріальних благ, які споживаються відразу або надходять у запаси і споживаються у майбутньому.
Усі види споживання можна поділити на дві групи: виробниче і невиробниче споживання.
Метою вивчення обсягу споживання є пошук закономірностей споживання деякою товару або групи товарі” залежно під їх піни, доходу населення та інших параметрів. .
Економічні та статистичні спостереження споживання дозволяють висунути певні гіпотези і описати закономірності за допомогою моделі.
Позначимо уі - споживання і - го продукту (наприклад, олії) і-тою сім'єю, доход якої дорівнює Хi.
Якщо кожному значенню хі відповідає одне певне значення уі, то між Хі та Уі існує певний функціональний зв'язок: уі=f (xi).
Але на розмір споживання продукту уі крім доходу сім'ї хі, впливають інші фактори (розмір сім'ї, середній вік, специфіка праці, схильність до ощадливості, стриманість або надмірність у витратах), частина яких є випадковими. Сім'ї з однаковим доходом , хі мають різний розмір споживання, тому функціональний зв'язок теоретично треба замінити рівнянням регресії
Ŷ = f (хі)
де Ŷi— середнє значення розміру споживання і - ого продукту.
Якщо врахувати вилив усіх випадкових факторів і ввести у моделі, випадкову складову Li, то одержимо
Ŷ = f (хі) + Li
Загальний вигляд моделі споживання для і=1, 2,..., n, буде
Y = F(X) + L,
де У, X та L - вектори.
В частності, у випадку лінійної функції f теоретична модель має вигляд
Ŷ = ах + b (1. 2)
де а та b - невідомі параметри.
Наблизити обчисленні значення Ŷ до фактичних можна шляхом заміни рівняння (1. 2) лінійним рівнянням
Y = αX + β + L (1.3)
з стохастичною складовою L. Бажано, щоб L є N (0,δ2).
Відмітимо, що коефіцієнти α. та β моделі (1.3) називають оцінюваними параметрами, а коефіцієнти а та b в моделі (1.2) називають їх оцінками.
На підставі вибіркових спостережень X та У потрібно - не лише статистично оцінити коефіцієнти а та b в моделі (1.2), але і перевірити виконання щодо них, наприклад, таких гіпотез:
Чи буде гранична схильність до споживання (коефіцієнт а>1/2) більша за половину?
Чи можна вважати споживання пропорційним доходу сім'ї (b = 0)?
Чи виправдана для розглядаємої вибіркової сукупності гіпотеза про сталу дисперсію відхилень (залишків) для усіх значень X?
Ці запитання є типовими задачами економетричних досліджень.
1.3.2. Виробнича функція Кобба-Дугласа.
Нехай Y - обсяг випускаємої продукції, F - фінансові витрати, L -вартість робочої сили. Функцію
Y = aFα L β, 0<α<1, 0< β<1 (1.4)
називають виробничою функцією Кобба-Дугласа.
У загальному вигляді права частина рівності (1.4) може містити більшу кількість факторів.
Розглянемо деякі властивості виробничої функції.
1. Якщо рівень кожного виробничого ресурсу збільшити на ґ %, тоді обсяг продукції буде
З цієї рівності випливає, що при α + β >1 темпи росту обсягу продукції вище за темпи росту виробничих ресурсів.
При α + β > 1 темпи росту обсягу продукції будуть нижчі за темпи росту ресурсів.
2. Знайдемо частинні похідні першого порядку виробничої функції
Ці рівності означають, що граничний приріст продукції за рахунок приросту кожного ресурсу визначається як добуток коефіцієнта еластичності на середню ефективнність ресурсу.
Параметр a у виробничій функції (1.4) залежить від вибраних одиниць вимірювання Y, F, L, а його числове значення визначається ефективністю виробничого процесу.
3.Частинні похідні другого порядку виробничої функції мають вигляд:
Поскільки 0< α <1 і 0< β <1, то
Ці нерівності означають, що при збільшенні ресурсів граничний приріст обсягу продукції буде зменьшуватнся.
Якщо обсяг продукції Y у виробничої функції (1.4) вважати сталим, то можна обчислити граничні норми заміщення ресурсів.
Отже, гранична норма заміщення ресурсів у виробничій функції (1.4) визначається як добуток відношення величин ресурсів та їх коефіцієнтів еластичності.
Швидкість зміни норми заміщення ресурсів у зв'язку зі зміною величини ресурсів обчислюється за формулами.
Розглянемо поводження виробничої функції (1.4) при зміні маштабу виробництва.
Якщо витрати кожного ресурсу збільшити в λ раз, то обсяг продукції Y прийме нове значення.
Тобто степінь однорідності виробничої функції дорівнює α+β.
Якщо α+β<1, то з розширенням маштабів виробництва середні витрати ресурсів в розрахунку на одиницю продукції зменшуються , а при α+β>1 - збільшуються.
Якщо до функції прибутку
застосувати метод Лагранжа знаходження екстремуму, то можна знайти значення Y, F та L, що забезпечують максимізацію прибутку.
Висновок: Модель виробничої функції Кобба - Дугласа дозволяє аналізувати виробничу діяльність, визначати шляхи її вдосконалення з метою підвищення ефективності.
1.3.3 Модель пропозиції та попиту.
На конкурентному ринку рівновага обміну встановлюється як рівновага між пропозицією та попитом.
Нахай y1 та у2 - обсяги попиту і пропозиції деякого продукту в певний день на деякому ринку, р - ціна реалізації продукту.
Оськільки ціна може не влаштовувати покупців та продавців, то обсяг проданого товару змінюється, тобто
Y1 = f1(p,L) - функція попиту;
Y2 = f2(p,Е) - функція пропозиції.
Знаючи ціну р можна визначити величини попиту та пропозиції.
Отже, моделлю рівноваги на розглядаємому ринку буде
В реальних умовах попит і пропозиція певного товару залежать не лише від ного ціни р, але і під цін товарів, що можуть його замінити або доповнити. Попит залежить ще від доходу покупців, а пропозиція залежить від виробничих умов.
Тому модель ускладнюється і приймає вигляд
В цій моделі попит залежить від ціни у період t, а пропозиція - від ціни попереднього періоду (t -1). Таке явище називається лагом (запізненням) ціни.
1.3.4. Найпростіша кон 'юктурна модель (модель Кейнса).
Щоб передбачити розвиток економіки і впливати на нього, потрібно знати зв'язок між рівнем випуску продукції та зайнятості.
Економістами встановлено, що інвестиції (капіталовкладення) відіграють основну роль в кон'юкторній еволюції з двох причин:
інвестиції автономні і впливають па зростання обсягів виробництва в секторах предметів споживання та засобів виробництва:
зростання обсягів виробництва збільшує доходи, які впливають на збільшення обсягу виробництва предметів споживання.
Ці міркування спрощено можна подати у вигляді моделі
де: Р — загальний обсяг продукції; С - обсяг виробництва предметів споживання; j- обсяг засобів виробництва, що задається автономно; R - доходи, які розподіляються; f- деяка функція, що вказує зв'язок між обсягом споживання і розподіленими доходами (для різних країн в різні періоди функції f - різні); L - стохастична складова.
P – f(R,L) = j (1.9)
добре пояснює досягнутий рівень виробництва, дозволяє визначити залежність обсягу виробництва P від автономно заданого обсягу капіталовкладень j.
Так, наприклад, якщо
C = f(R) = αR + β = αP + β
То перше рівняння системи (1.8) прийме вигляд
Коефіцієнти α та β залежать від функції споживання f.
Багато кон'юнктурних моделей навіть для короткострокового прогнозування (менше 3 років) використовують значно більше зміних та рівнянь, але їх логічна природа близька до моделі Кейнса (1.8) або (1.9).
1.3 Оцінювання параметрів парної лінійної регресії методом найменших квадратів.
Найпростіша парна лінійна економетрична модель
Ŷ = ах + b (1.10)
встановлює теоретичну функцію залежності між показником Y та показником X. Але статистичні спостереження не співпадають із залежністю (1.10), тому цю теоретичну модель в економетрії замінюють імовірною моделлю, формування якої називають специфікацією.
Y = αX + β + L (1.11)
де вектор залишків
L1 - стохастична величина відхилення значення показника уі в і - тому спостереженні від теоретичного значення Yi функції (1.10)
Специфікація моделі (1.11) включає (крім функції залежності Y від X) закон розподілу імовірностей величин Li. В класичній економетричній моделі приймають такі припущення:
1.Матиматичне сподівання залишків повино дорівнювати нулю; М(L) = 0
2. Дисперсія залишків повинна бути постійною; М(LLT) = δ2Е
3. Залишки в моделі не залежать від пояснювальної змінної X; М(ХТL)=О
4. Величини Li, розподіленні за нормальним законом, тобто; L є N(0, δ 2)
Щоб оцінити параметри моделі необхідно сформувати сукупність спостережень, кожна одиниця якої характеризується упорядкованою парою (хk, уj). Сукупність цих пар в системі координат ХОУ утворює кореляційне поле точок.
Нехай проведено n спостережень. В і-тому спостереженні при значенні X = Xi; одержали у=уі. За розрахунковою формулою (1.10) для цього Хi| можна знайти
Yi = axi + b, і=1,2,...,n
Тому сума квадратів відхилень теоретичних значень показника від фактігчних буде
Принцип найменших квадратів відхилень полягає в знаходженні таких а і b, для яких
найменша.
Метод, що реалізує цей принцип, називають методом найменших квадратів. Цей метод можна застосувати лише при виконанні вказаних вище умов специфікації моделі.
Отже, треба знайти такі а і b, при яких функція двох змінних Ф(а,b) має мінімум.
Критичні значення а і b знайдемо, використовуючи необхідну умову існування екстремуму.
Одержали лінійну неоднорідну систему двох алгебраїчних рівнянь з невідомими а та b. Усі інші величини цієї системи відомі на основі сукупності спостережень (статистичних даних).
Основний визначник систем
тому існує єдиний розв'язок системи:
З другого рівняння системи (1.12) b можна знайти за формулою:
З (1.14) випливає
тобто лінія рефесії проходить через точку, координати якої с середні значення показника У та фактора X.
Рівності (1.13) описують координати критичної точки.
Достатньою ознакою існування екстремуму функції в критичній точці (а,b) є додатне значення визначника.
Причому при Ф11 (a+b)>0 функція має мінімум
В розглядаємому випадку маємо:
Отже, оцінки параметрів а та b є такими, для яких виконується умова
Якщо чисельник і знаменик першої рівності (1.13) поділити на n2, то отримаємо
Ця рівність означає, що коефіцієнта а моделі (1.10) дорівнює (відношенню кореляційного моменту до дисперсії фактора і дорівнює тангенсу кута між лінією регресії і віссю ОХ.
Для визначення зв'язку між величинами X та Y використовують вибірковий коефіцієнт кореляції
Який має властивість: -1: r(X,Y) :1
Якщо r(X,Y)>0, то між X та У існує пряма залежність.
Якщо r(X,Y)<0, то між цими величинами існує обернена залежність.
Якщо r(X,Y)=0, то величини X та У некорельовані.
Оцінку дисперсії залишків знаходять за формулою:
Стандартне (середне квадратичне) відхилення оцінки а буде
Надійні межі для параметра а визначаються за формулою
Ст'юдента, яка визначається за заданим значенням надійної імовірності і числом ступенів вільності к = n - 2.
Дисперсію вільного члена рівняння регресії знаходять за формулою
Надійні межі для вільного члена визначаються за формулою b+Δb, де
Середнє значення прогнозу показника Ур при значенні фактора Хр визначається за формулою
Yp = aXp + b
Межі надійності інтервалів індивідуальних прогнозних значень (Ypi ± ΔYpi),
де tak - статистика Ст'юдента, а - рівень значущості, k = n - 2 ступені вільності.
1.5 Запитання та завдання для практичного заняття.
До якого типу математичних моделей належить економетрична модель?
Які особливості має економетрична модель?
Які змінні називають екзогеними, пояснювальними, ендогеними?
Що таке сукупність спостережень та її однорідність ?
Як визначається набір зміних для побудови економетричної моделі? Вкажіть етапи побудови моделі.
Наведіть кілька прикладів економетричних моделей.
Дайте тлумачення випадкової складової економетричної моделі.
Яку економетричну модель називають найпростішою класичною моделлю?
Вкажіть специфікацію парної лінійної моделі?
На якому принципі базується метод найменших квадратів оцінювання параметрів парної лінійної моделі і в чому суть цього методу.
Вкажіть формули оцінювання параметрів парної лінійної регресії методом найменших квадратів.
Як визначити дисперсію залишків економетричної моделі?
Побудувати економетричну модель залежності витрат на одиницю продукції від рівня фондомісткості, продукції для заданих в умовних одиницях вхідних даних:
Х
90
75
120
100
80
78
110
115
115
125
У
50
40
65
55
45
42
56
60
64
65
Визначити граничне збільшення витрат при зростанні фондомісткості продукції та значення коефіцієнта еластичності витрат щодо фондомісткості продукції, залишки моделі.
1.6 Завдання для самостійної роботи.
1. Знайдіть оцінку параметрів моделі Y = aX + β + L методом найменших квадратів, якщо задані такі вектори X та У
a).
X
3
4
4
5
6
7
9
9
10
11
Y
10
11
12
15
16
18
20
21
23
23
b).
X
3
4
3
5
6
4
8
8
Y
5
7
6
9
10
8
11
12
Визначити залишки економетричної моделі та їх дисперсію.
2. Знайдіть методом найменших квадратів оцінки параметрів моделі
Y = aX + β + L на основі вибіркових даних завдання 1 б), до яких приєднується ще спостереження:
А). Б).
Х
9
Х
9
10
У
13
У
13
15
Порівняйте дисперсії залишків завдань 1б), 2а), та 2б) і визначіть найефективніші оцінки параметрів.
3. Ознайомитись з теоретичним матеріалом до практичного завдання 2 "Різновиди парної нелінійної регресії та оцінювання їх параметрів".
Практичне заняття 2
Тема. Нелінійна парна регресія.
Мета. Ознайомитись з різновидами парної нелінійної регресії та набути навичок оцінювання їх параметрів.
2.1 Методичні вказівки.
2.1.1 Загальні поняття.
В практиці часто зустрічаються економетричні моделі з нелінійною залежністю між показником У і фактором X.
За методікою оцінок параметрів парної нелінійної регресії поділяють на два типи:
1. нелінійні за факторами, але лінійні за невідомими параметрами.
Такі регресії називають квазілінійними;
2. нелінійні за факторами і параметрами.
У загальному вигляді парну квазілінійну регресію можна записати у вигляді
Y = aφ (X) + b (2.1)
Заміною Z = φ (Х) нелінійна парна регресія зводиться до лінійної регресії
Y = aZ - b (2.2)
З допоміжним фактором Z.
Згідно формул (1.13) та (1.14) оцінки параметрів будуть:
(2.3)
2.1.2 Приклади
Найчастіше використовуються такі парні квазілінійні регресії:
Y = a/x + b
Y = a ln X + b
Y = aex + b
Y = a√x + b
Y = aXk + b, k = 2,3, …
Нелінійна за показником регресія 1/Y = aX + b заміною Y1 = 1/Y зводиться до лінійної регресії Y1 = aX + b
Оцінки параметрів в цьому випадку згідно рівностям (1.13) та (1.14) знаходять за формулами
Для приведення нелінійної регресії вигляду
до лінійної регресії вигляду Y1 = aZ + b треба зробити заміни:
Оцінки параметрів в цьому випадку знаходять за формулами:
(2.5)
8. Нелінійна парна регресія вигляду Y = bax після логарифмування зводиться до лінійної регресії Y1 = a1X + b1, де Y1 = ln Y, a1 = ln a, b1 = ln b. Спочатку знайдемо оцінки параметрів b1 та a1 за формулами:
а потім знаходимо оцінки a та b: а = еа1 , b = eb1, a1>0, b1>0.
Показниково – степенева парна регресія
Y = Xax + b
Після логарифмування і заміни Y1 = ln Y; Z = X ln X; b1 = ln b зводиться до лінійної регресії Y1 = aZ + b1
Параметри а та b1 знаходимо за формулами
(2.6)
а потім знаходимо b = eb1
2.1.3 Оцінка адекватності парної нелінійної регресії.
Адекватність парної нелінійної регресії спостережуваним даним можна оцінювати за критерієм Фішера. Для цього треба порівняти розрахункове значення статистики Фішера Fроз, з табличним значенням Fa1k1k2, де а - рівень значущості (а = 1 - Р, Р - задана надійна імовірність), k1 = m, k2 = n - m - ступені вільності.
За критерієм Фішера:
якщо Fроз > Fa1k1k2 , то з надійністю Р = 1 - а можна вважати, що розглянута модель адекватна спостережуваним даним:
якщо Fроз < Fa1k1k2 , то з імовірністю Р економетричиу модель не можна вважати адекватною.
Розрахункове значення статистики Фішера визначають, за формулою:
де
Де т — число факторів, n - число спостережень.
2.2 Запитання та завдання для практичного заняття і самостійної роботи.
На які типи поділяють парні нелінійні регресії?
Який вигляд має загальна парна квазілінійна регресія і яким чином її можна звести до лінійної регресії?
За якими формулами знаходять оцінки параметрів парної лінійної регресії та загальної квазілінійної регресії?
Як знайти оцінки параметрів регресій?
5. Вказати критерій оцінки адекватності нелінійної моделі статистичним даним?
6. На основі наданих у таблиці статистичних даних показника У та фактора X знайти оцінки параметрів заданої стохастичної залежності, з надійністю Р = 0.95 оцінити адекватність прийнятої моделі статистичним даним, побудувати графік лінії регресії, знайти точкову оцінку прогнозу.
X
1
2
3
4
5
7
8
9
10
12
Y
5.04
5.85
6.95
7.34
8.06
9.2
9.3
9.62
9.48
9.9
Стохастичні залежності:
Ознайомитись з теоретичним матеріалом до третього практичного заняття за темою “Множинна лінійна регресія”.
Практичні заняття 3-4.
Тема: Економетрнчиа модель множинної лінійної регресії.
Мета:Ознайомитись із специфікацією класичної множинної лінійної моделі та набути навичок застосування методу найменших квадратів у матричній формі.
3.1.Методичні вказівки.
Припустимо що між показником у і факторами х1, х2…хm існує лінійна залежність
В цій рівності a1, a2…am - параметри лінії регресії, l - відхилення. В результаті n спостережень одержимо n рівнянь:
(3.2)
Цю систему рівнянь можна записати у матричній формі Y = ХА + L (3.3)
Де :
- вектор-стовпчик спостережуваних даних показника;
- вектор-стовпець оцінюваних параметрів;
- вектор – стовпець відхилень фактичних даних
- матриця спостережувальних факторів
х1,х2...,хn, та фіктивного фактору xо, усі елементи якого дорівнюють одиниці і який дописується коли модель має вільний член а0
Зауваження. Треба звернути увагу на індекси елементів хij матриці перший індекс і вказує номер стовпця матриці, а другий індекс j вказує номер рядка матриці.
Відносно вектора L зробимо такі припущення:
для кожного спостереження j = 1,2,...,n величина l1, - випадкова; математичне сподівання відхилень М(L) =0; дисперсія відхилень - стала, тобто
одинична матриця.
Фактори моделі не пов'язані із відхиленнями, тобто
Фактори моделі не мультиколінеарні, тобто визначник добутку матриць ХТХ не дорівнює нулеві, (іншими словами:фактори X1, Х2,...Хn„ утворюють лінійно незалежну систему).
При виконані вказаних умов можна застосувати метод найменших квадратів для знаходження оцінок параметрів А.
Суть методу полягає в знаходжені таких оцінок А, при яких сума квадратів відхилень буде мінімальною. Ознайомимось з цим методом у матричній формі.
Із рівності (3.3) випливає, що L = Y – XA, тому функціонал Ф має вигляд
оскільки XA = Y.
Згідно
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора