Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2012
Тип роботи:
Розрахункова робота
Предмет:
Програмування
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти, науки, молоді та спорту України
Національний університет “ Львівська політехніка ”
Кафедра МАМ
Розрахункова робота
З курсу «Програмування і комп’ютерні технології у виробництві»
Теоретичні відомості
Принцип Гамільтона – є одним з найосновніших принципів сучасної тео ретичної фізики [97, 98, 111]. Він дає змогу виразити в простій і компактній формі більшість законів природи для голономних систем зі скінченим числом ступенів вільності за умови дії активних сил потенціального характеру [133] і стверджує таке: “Із усіх можливих віртуальних рухів голономної системи лише для реального руху функціонал дії за Гамільтоном одержує стаціонарне значення на всій області інтегрування”. Запишемо це в матема тичній формі, увівши термін “дія за Гамільтоном”:
, (1.1)
де – дія за Гамільтоном, – силова функція Лаґранжа (лаґранжіан), – узагальнена координата, – узагальнена швидкість, – часова ко ордината.
З формулювання згаданого принципу та виразу (1.1) випливає важливий факт: варіація функціоналу дії за Гамільтоном для реального руху завжди дорівнює нулю [216, 220], тобто
, (1.2)
де – кінетична та потенціальна енергії системи відповідно.
Гамільтон сформулював свій принцип, базуючись на функції, яка випливає з рівнянь Лаґранжа другого роду за умови потенціальності активних і пасивних сил, що діють у голономній системі, відсутності сил внутрішньої й зовнішньої дисипацій та відсутності активних і пасивних сил непотенціального характеру, що діють на систему ззовні, зазвичай це консервативні системи. Тому й згадана функція відома в літературі під назвою функція Лаґранжа [109]. На жаль, такий підхід до розв’язання практичних задач є не завжди прийнятним, адже уявити собі реальну систему, де була б відсутньою дисипація енергії, досить важко; а також для багатьох систем очевидна дія ззовні на систему сил непотенціального характеру [125]. Така ситуація призводить до необхідності побудови іншої – модифі кованої функції Лаґранжа [94, 125, 133, 256, 269], яка включатиме не тільки кінетичну та потенціальну енергії системи, а й енергії сил зовнішньої і внутрішньої дисипацій та енергію активних і пасивних сил непотенціального характеру, що діють на систему ззов ні [94]. Цю модифіковану функцію Лаґранжа запишемо так [94, 133, 156, 256, 269]:
, (1.3)
де – модифікована несилова функція Лаґранжа (неконсервативний лаґранжіан); – енергія активних і пасивних сил непотенціального характеру, що діють на сис тему ззовні; – функція зовнішньої та внутрішньої дисипацій енергії; – дисипативна функція системи; – додаткова змінна інтегрування.
Ідея модифікації консервативного силового лаґранжіана відома давно. Так, Мілях О.М. і Шидловський А.К. у своїй монографії [94] цитують великого німецького фізика Гельмгольца, який “прийнявши лаґранжову функцію не як різницю кінетичної й потенціальної енергії, а як основну вихідну величину, яка представляє залежність будь-якого виду від узагальнених координат і швидкостей, поширив варіаційний принцип для фізичних систем із скритими й циклічними рухами” [94]. Теорія Гельмгольца розширила поле наукової діяльності в варіаційних принципах, уможлививши застосування їх в неконсервативних дисипативних системах [133, 146, 249, 256].
Для систем з розподіленими параметрами принцип Гамільтона також є справедливим. Його вперше поширив на системи з безмежним числом ступенів вільності український математик М. Остроградський [111].
Запишемо функціонал дії за Гамільтоном для систем з розподіленими параметрами, використовуючи ідею Остроградського щодо по ширення згаданого принципу на системи з безмежним числом ступенів вільності [97]:
, (1.4)
де – часово-просторова область інтегрування; – густина модифікованої функції Лаґранжа, яку обчислюємо так:
, звідки . (1.5)
Вираз (2.3) справедливий і для (2.4), лише в тому випадку елементи густини модифікованого неконсервативного лагранжіана будуть відповідно густинами кінетичної та потенціальної енергій, дисипації енергії, а також енергії активних сил непотенціального характеру, що діють на систему ззовні.
Уведення в принцип Гамільтона-Осторградського модифікованої функції (густини модифікованої функції) Лаґранжа (2.3) уможливлює поширення згаданого принципу на реальні неконсервативні дисипативні системи із зосередженими та розподіленими параметрами [94]. Так, – за словами Уайта й Вудсона, – неконсервативний лаґранжіан (2.3) також точно відповідає умові рівноваги Ейлера-Лаґранжа. [133].
Одержання математичної інтерпретації ряду фізичних законів на підставі інтегрального варіаційного принципу Гамільтона-Остроградського ми пропонуємо як для лінійних, так і нелінійних дисипативних систем [125, 133]. Для нелінійних систем необхідно записати аналітичний вигляд елементів нелінійного неконсервативного несилового лаґранжіана та підставити його в функціонал дії за Гамільтоном-Остроградським. Зокре ма, такий підхід можна застосувати для одержання рівнянь Лаґранжа дру гого роду для механічних систем. Для прикладу покажемо одержання рів няння обертового руху для систем із зосередженими параметрами за умови нелінійних функціональних залежностей активних і пасивних сил непо тенціального характеру, які діють на систему ззовні, прийнявши допу щення, що коефіцієнти біля інших енергетичних функцій неконсервативного лаґранжіана будуть лінійними; а також покажемо одержання рівнянь нелінійного електричного й магнітного контурів та рівняння вектор-потенціалу електромагнітного по ля в нелінійному анізотропному середовищі. Зауважимо, що для одержан ня рівнянь нелінійної електротехніки використано відому теорію амери канських вчених Черрі й Мілара щодо коенергії [207] про що буде сказано нижче.
1.1. Рівняння Ейлера та Лаґранжа другого роду
Рівняння Ейлера становить математичну основу більшості законів при кладної фізики для систем з розподіленими параметрами. Розв’язуючи сумісно перший вираз в (1.2) та (1.5) за умов (1.3), (1.4), отримаємо
. (2.6)
Для рівності нулю варіації функціоналу дії за Гамільтоном-Остро градським (2.6) достатньо, щоб варіація функціоналу енергії () була рівною нулю [216]:
. (2.7)
Функція має розмірність енергії, поділеної на об’єм (див. перший вираз в (2.5)), тобто густини енергії. Для широкого кола задач прикладної фізики достатньо розглядати функцію , аргументами якої є: функції узагальнених координат , перші () та другі () похідні від функції узагальнених координат, мішані часово-просторові () та мішані просторові () похідні другого порядку, просторові координати () і час (). За таких допущень запишемо так:
, (2.8)
де , а рівняння Ейлера – так [216], додаток А:
. (2.9)
У прикладній фізиці існує ряд задач, для яких порядок рівняння (2.9) є недостатнім. Тоді рівняння Ейлера можна розширити [216].
Диференціальне рівняння (2.9) описує загальний фізичний стан об’єкта. Одержання математичної інтерпретації багатьох законів природи можна здійснити на підставі (2.9) і залежатиме це від кількості аргументів у згаданому рівнянні та аналітичного вигляду густини модифікованої функції Лаґранжа (для систем з розподіленими параметрами) або модифікованої функції Лаґранжа (для систем із зосередженими параметрами).
Рівняння Лаґранжа другого роду становлять математичну основу ана літичної механіки (систем із зосередженими параметрами). Вони одержані Лаґ ранжем на підставі динамічного принципу віртуальних переміщень Даламбера [96, 109]. Також згадані рівняння можна одержати із принципу Гамільтона-Остроградського [97], але їх одержання здійснюється для консервативних сис тем, що, безперечно, не завжди відповідає реальній постановці задачі. Рівняння Ейлера-Лаґранжа для систем із зосередженими параметрами виглядають так [19]:
. (2.10)
У дисертаційній роботі запропоновано метод одержання рівнянь Лаґранжа другого роду для неконсервативних систем, виходячи з принципу Гамільтона та неконсервативного несилового лаґранжіана [94, 125, 133].
Підставляючи перший вираз в (2.3) у рівняння (2.10) за умови, що еле менти модифікованої функції Лаґранжа залежать від таких аргументів [191]:
, за умови
, (2.11)
(коли вираз (2.11) виглядає так: , але , а ), одержимо остаточно рівняння Лаґранжа другого роду для неконсервативних неавтономних систем [180, 191]:
, (2.12)
де назвемо, згідно з термінологією Даламбера, узагальненими силами. Причому перший доданок у другому виразі в (2.12) характеризує активні узагальнені сили непотенціального характеру, що діють на систему ззовні, а другий – пасивні [180, 256].
2.2. Рівняння обертового руху для систем із зосередженими
інерційними ланками
Розглянемо рівняння обертового руху багатомасової системи із скінченим числом ступенів вільності ;, – число узагальнених координат у механічній системі. За узагальнені координати приймемо кути повороту дискретних мас обертових інерційних ланок (). За часові похідні від узагальнених координат (узагальнених швидкостей) приймемо швидкості обертання цих ланок ().
Нехай на систему діє зовнішній активний момент , , прикладений до першої й останньої інерційних ланок, та пасивний момент, наприклад, сил тертя , прикладений до кожної з інерційних ланок. Тоді, у валопроводі діють крутні моменти, які передають дію через податливі ланки з коефіцієнтами штивності і коефіцієнтами внутрішньої дисипації (згідно з принципом Даламбера), а також на систему діють узагальнені сили зовнішньої дисипації (пов’язані з кулонівським тертям) з коефіцієнтами зовнішньої дисипації ). Усі задіяні в (2.3) енергії за умови виглядатимуть так [126, 180]:
, (2.13)
де – кінетична енергія руху багатомасової системи; – потенціальна енергія, накопичена в багатомасовій системі; – функції зовнішньої та внут рішньої дисипацій механічної енергії відповідно; – енергія механічних сил непотенціального характеру, що діють на систему ззовні; – момент інерції -ї інерційної ланки; ; [96].
Зазначимо, що в початковий момент часу, коли система нерухома, дисипація механічної енергії відсутня, тобто .
Ураховуючи (2.13) за умов , , модифікована функція Лаґранжа (перший вираз в (2.3)) виглядатиме так:
. (2.14)
Підставляючи (2.14) в (2.10) та розписуючи послідовно всі доданки, попередньо змінюючи черговість диференціювання (2.11) та застосовуючи теоре му про похідну інтеграла за верхньою межею, отримаємо
; (2.15)
. (2.16)
Додавши вирази (2.15) та (2.16), отримаємо рівняння екстремалей функціоналу дії за Гамільтоном:
. (2.17)
Для валопроводу, поданого як система із зосередженими інерційними ланками за умов , остаточно отримаємо рівняння обертового руху багатомасової системи, надаючи (2.17) матрично-векторного вигляду:
, (2.18)
де
;
;
;
;
;
, (2.19)
причому
. (2.20)
Вираз (2.18) за умов (2.19), (2.20) репрезентує рівняння обертового руху багатомасової системи в матрично-векторній формі з урахуванням зовнішньої та внутрішньої дисипацій механічної енергії. На підставі (2.18) здійснюється аналіз крутильних коливань динамічної системи із зосередженими параметрами.
2.3. Рівняння коливань механічної системи з розподіленими
інерційними ланками
Досить часто в задачах математичного моделювання механічні пристрої неправомірно розглядати як системи із зосередженими параметрами. Такі системи мають безмежне число ступенів вільності й описуються вони не рівняннями Лаґранжа другого роду (2.10), а рівняннями Ейлера (2.9) з певною кількістю аргументів функції Лаґранжа, у залежності від вигляду густин енергій. Ці рівняння описують фізичні процеси в системах з розподіленими параметрами. За таких умов у рівнянні механічного стану будуть присутні просторові та просторово-часові похідні вищих порядків.
2.3.1. Рівняння крутильних коливань пружного вала.
Для одержання рівняння крутильних коливань пружного вала (валопро воду) необхідно подати вирази всіх складових густини модифікованої функції Лаґранжа (перший вираз в (2.3)). Таку задачу з достатнім ступенем адекватності можна розглядати в одновимірному варіанті. Тоді, у виразі (2.3) фігуруватимуть не об’ємні густини енергій, а лінійні.
Ми пропонуємо аналітичний вигляд усіх елементів модифікованої функції Лаґранжа, який одержуємо на підставі принципу Даламбера та закону Гука. Запишемо відомі з теорії пружності вирази [128, 132]:
, (2.21)
де – момент сил пружності у валопроводі; – момент сил зовнішньої дисипації; – момент сил внутрішньої дисипації; – полярний момент інерції валопроводу; – модуль пружності другого роду, – погонний коефіцієнт зовнішньої дисипації; – коефіцієнт внутрішньої дисипації в матеріалі; – кут повороту валопроводу; – швидкість обертання валопроводу, – поточна координата вздовж валопроводу.
Елементи функції Лаґранжа отримуємо скориставшись відомими формулами для кінетичної та потенціальної енергій, а також формулами для функцій зовнішньої та внутрішньої дисипацій [128]:
, (2.22)
де – кінетична енергія руху будь-якої елементарної ділянки валопро воду фіксованої довжини; – потенціальна енергія, зосереджена в будь-якій елементарній ділянці валопроводу фіксованої довжини; – функції зовнішньої та внутрішньої дисипацій відповідно; – взаємне кутове зміщення поперечних перерізів валопроводу з координатами та , – фіксований елемент довжини валопроводу; – різниця кутових швидкостей поперечних перерізів валопроводу з координатами та ; – момент інерції елементарної ділянки валопроводу; – коефі цієнт штивності елементарної ділянки валопроводу; – коефіцієнт внутрішньої дисипації у валопроводі; – коефіцієнт зовнішньої дисипації елементарної ділянки валопроводу.
Коефіцієнти, що входять у (2.22), подамо так [140]:
, (2.23)
де – густина матеріалу.
Ураховуючи (2.23) за умови енергії та дисипативні функції елементарних ділянок валопроводу подамо як прирости відповідно
. (2.24)
Із залежностей (2.24) отримуємо значення лінійних густин енергій та диси пативних функцій валопроводу:
;
(2.25)
Ураховуючи (2.25) та умову , остаточно запишемо лінійні гус тини енергій у функції Лаґранжа (2.3):
;
. (2.26)
Очевидно, що в початковий момент часу (коли вал нерухомий), дисипація механічної енергії в системі відсутня, тобто .
Рівняння Ейлера (2.9) з урахуванням (2.26) запишемо так [156]:
. (2.27)
Ураховуючи умови , модифікована функція Лаґранжа (2.3) виглядатиме так:
. (2.28)
Підставляючи (2.28) в (2.27), змінюючи черговість диференціювання (по хідні від функції узагальнених координат визначені та неперервні (2.11)) та за стосовуючи теорему про похідну інтеграла за верхньою межею, отримаємо
; (2.29)
; (2.30)
. (2.31)
Додаючи вирази (2.29) – (2.31), отримаємо:
, (2.32)
де , – швидкість поширення пружної хвилі в пружному середовищі.
Вираз (2.32) репрезентує відоме в теорії пружності рівняння крутильних коливань пружного вала з урахуванням зовнішньої та внутрішньої дисипацій [136, 140, 146, 156]
МАЛЮНКИ
2Математична модель динамічної системи
24.02.2013 18:02-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора