Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
КН
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2000
Тип роботи:
Інші
Предмет:
Програмування та алгоритмічні мови
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
І н с т р у к ц і я
до лабораторної роботи № 19 з курсу
"Програмування і алгоритмічні мови"
Львів 2000
АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ
МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
Мета роботи: вивчення і програмна реалізація алгоритмів побудови апроксимуючих залежностей методом найменших квадратів. Одержання навиків програмування і роботи в середовищах TurboС++.
ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ
Нехай в результаті вимірювань в процесі експериментальних досліджень одержана таблиця залежності функції від аргументу :
Таблиця №1
Треба знайти формулу, яка виражає цю залежність аналітично.
Поставимо задачу так: знайти функцію заданого вигляду:
, (1)
яка в точках , , ..., приймає значення якнайближче до табличних значень , ,..., , але яка одночасно враховує характер експериментально знайденої функції.
Практично вигляд наближеної функції можна визначити наступним способом. За таблицею 1 будують точковий графік функції , а відтак проводять плавну криву, яка відображає характер розташування експериментальних точок.
За одержаною таким чином кривою встановлюють (вибирають) вигляд наближеної функції (часто з числа простих за виглядом аналітичних функцій).
Процес наближення для експериментально встановленої функціональної залежності за методом НК складається з двох етапів: спочатку вибирають вид формули і вже після цього визначають числові значення параметрів, для яких наближення буде найкращим.
Вид формули наближення вибирають виходячи з теоретичних міркувань або з числа елементарних функцій за виглядом точкового графіку.
Розглянемо метод знаходження параметрів наближеної функції в загальному вигляді на прикладі наближеної функції з трьома параметрами:
(1)
Сума квадратів різниць відповідних значень функцій і має вигляд .
Ця сума є функцією трьох змінних (параметрів ). Задача зводиться до знаходження її мінімуму. Застосуємо необхідну умову
екстремуму: ; ; .
З врахуванням того, що ; ; ,
одержимо систему
Розв'язавши цю систему трьох рівнянь з трьома невідомими відносно параметрів одержимо конкретний вигляд шуканої функції .
Як видно з розглянутого прикладу, зміна кількості параметрів не міняє суті даного методу, а виразиться лише у зміні кількості рівнянь у системі (5).
Природно очікувати, що значення знайденої функції у точках , , ... , відрізнятимуться від табличних значень , , ..., . Значення різниць
; , (6)
називають відхиленнями виміряних значень від обчислених за формулою (4).
Для знайденої емпіричної формули (4) по відношенню до таблиці 1 можна знайти суму квадратів відхилень
яка згідно з принципом найменших квадратів для заданого виду наближеної функції має бути найменшою.
З двох різних наближень однієї і тієї ж табличної функції ліпшим є те для якого сума (7) має менше значення. Отже величину можна використовувати для вибору найліпшої з розглядуваних функцій , які наближують задану функцію . При цьому слід пам'ятати, що параметр при наближенні експериментальних даних є, по-перше, розмірною величиною і, по-друге, не дозволяє оцінити якість кожного окремого наближення.
Для оцінки якості наближення можна використовувати також відносне середнє квадратичне відхилення:
При виборі вигляду функції за характером точкового графіку слід розглядати такі випадки:
1) вигляд точкового графіку вказує на те, що функція є монотонно-зростаючою (спадною) і не має точок перегину;
2) функція має екстремум;
3) функція має точки перегину, або точки перегину і екстремуми.
У першому випадку достатню точність забезпечить наближення елементарними функціями (лінійною, степеневою, показниковою і т.д.). Зокрема, якщо значення абсциси значно більші від значень ординати, то застосовують логарифмічну, або дробово-логарифмічну залежності.
Для випадку 2) доцільно застосовувати наближення квадратним тричленом.
У випадку 3) потрібно проводити наближення складнішими функціями: поліномом вищого порядку, тригонометричними функціями і іншими.
Якщо характер точкового графіку відповідає вимогам першого випадку, то часто застосовують елементарні двопараметричні функції приведені в таблиці № 2.
Параметри і кожного з наведених рівнянь можна одержати складанням і розв'язуванням системи рівнянь типу (5). Саме таким шляхом одержані формули для параметрів і лінійної регресії. Формули для розрахунку параметрів всіх інших вищенаведених рівнянь одержані нижче через формули лінійної регресії шляхом перетворення вихідного рівняння регресії до лінійного виду. Формули для визначення параметрів і вищевказаних наближуючих функцій зведені в таблицю №2.
Таблиця №2
Формули розрахунку параметрів елементарних рівнянь регресії.
Функція
Лінійна
T1/G1
H1/G1
Степенева
T2/G2
exp(H2/G2)
Показникова
T3/G1
exp(H3/G1)
Логарифмічна
T4/G2
H4/G2
Гіперболічна
T5/G3
H5/G3
Дробово-лінійна
T6/G1
H6/G1
Дробово-раціональна
T7/G3
H7/G3
Дробово-логарифмічна
T8/G2
H8/G2
; , ; (8)
; (9)
; (10)
; ;
ПРИКЛАД ПОБУДОВИ РОЗРАХУНКОВИХ ФОРМУЛ
Нехай як апроксимуючу залежність вибрано показникову функцію . Для розрахунку коефіцієнтів і в таблиці 2 дано формули: a=T3/G1; b=exp(H3/G1).
Вираз для знаходження G1 будується наступним чином:
згідно з (8) , де - перший елемент масиву ; . Тоді , а так як сумування потрібно здійснити для пар значень, .
Щоб побудувати розрахункові формули для T3, H3, потрібно вияснити зміст елементів двомірного масиву Z - , . Для T3, G3 j=3, отже Z =Z =x, Z =Z =v. Тоді формули для T3, G3 приймуть такий вигляд :
T3= n S x v - S x S v ; H3= S v S x - S x S x v .
Формули розрахунку параметрів квадратного тричлена
;
; ;
;
; ;
; .
ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ
1. Побудувати точковий графік експериментальної залежності згідно з отриманим завданням. За виглядом графіку вибрати формули функцій для апроксимації.
2. Скласти блок-схему алгоритму розрахунку коефіцієнтів апроксимаційних формул та похибок апроксимації.
3. Розробити програми мовами TurboС++. Після перевірки їх викладачем відредагувати програми у відповідному середовищі і отримати результати обчислень.
4. Побудувати в одній системі координат графіки апроксимуючих функцій.
5. Оформити звіт згідно поданої схеми.
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Заварыкин В.М. и др. Численные методы. -М.: Просвещение, 1990.
2. Брановицкая С.В. Вычислительная математика в химии и химической технологии. К: Высшая школа, 1986.
3. Светозарова Г.И. и др. Практикум по программированию на языке бейсик. - М.: Наука, 1988.
4. Гаврилюк М.А. и др. Прикладные программы и лабораторный практикум для персонального компьютера. -Киев: УМК ВО, 1988.
5. Кетков Ю.Л. GW-, Turіo- и Quick-ІASIC для IІM PC. М.: Финансы и статистика, 1992.
6. Сердюченко В.Я. Розробка алгоритмів та програмування Turіo Pascal. Х.:Парітет, 1995.
7. Гринчишин Я.Т. Turіo Pascal: Чисельні методи в фізиці та математиці. -Тернопіль, 1993.
8. Васюкова Н.Д., Тюляева В.В. Практикум по основам программирования. Язык Паскаль. -М.: Высшая школа, 1991.
9. Аладьев В.З., Тупало В.Г. Turіo-Pascal для всех. - Київ: Техніка, 1993.
10. Довгаль С.И., Сбитнев А.И. Паскаль, Турбо Паскаль, многооконная среда на персональных ЗВМ. -К: Информсистема сервис, 1992.
ЗАВДАННЯ НА САМОСТІЙНУ РОБОТУ
pВарp Номер пари значень p
p p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p
p p X 0.23 0.34 0.45 0.65 0.81 0.94 1.15 1.30 1.51p
p p Y 1.07 0.95 3.32 5.83 5.67 6.95 6.48 5.61 5.00p
p p X 0.62 0.70 0.86 1.25 1.44 1.81 2.00 2.41 2.59p
p p Y -6.46 -4.85 -5.25 -2.54 -3.74 -1.23 0.01 0.66 1.37p
p p X 0.51 0.69 0.87 1.26 1.44 1.64 2.21 2.43 2.51p
p p Y 0.31 0.15 0.17 0.11 0.15 0.13 0.02 0.12 0.13p
p p X 0.69 0.88 0.91 1.51 1.65 1.81 2.33 2.51 2.67p
p p Y 3.48 4.25 4.51 6.43 7.61 8.76 10.4 13.8 16.2p
p p X -1.06 -0.43 0.25 0.87 1.41 2.18 2.81 3.37 3.69p
p p Y -8.31 -6.64 -5.71 -4.18 -3.08 -1.65 -0.74 0.81 1.37p
p p X 0.01 0.12 0.33 0.51 0.62 0.84 0.99 1.34 2.08p
p p Y 0.03 0.24 0.45 0.46 1.36 1.51 1.49 1.56 1.34p
p p X 0.52 0.71 0.84 1.02 1.28 1.51 1.75 2.03 2.25p
p p Y 0.61 0.57 0.85 0.93 1.04 1.12 1.15 1.20 1.19p
p p X 0.31 0.60 0.78 1.25 1.48 1.81 2.26 2.52 2.78p
p p Y 0.01 0.80 1.81 2.61 2.53 1.73 1.42 1.09 0.52p
p p X 0.11 0.23 0.47 0.83 1.28 1.51 2.06 3.85 4.07p
p p Y 8.64 6.13 4.37 2.55 0.34 -0.64 -0.88 -1.24 -1.58p
p p X 0.11 0.45 0.56 0.78 0.98 1.23 1.53 1.64 1.89p
p p Y 0.04 0.14 0.67 0.85 0.91 0.97 1.25 1.10 1.19p
p p X 1.24 1.89 2.03 2.65 3.25 4.11 4.78 5.13 5.77p
p p Y 0.23 0.31 0.35 0.57 0.87 1.25 1.47 1.51 1.45p
Додаток
СХЕМА ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ
1. Завдання.
2. Точковий графік залежності. Обгрунтування вибору функцій для наближення.
3. Формули для розрахунку коефіцієнтів вибраних функцій.
4. Блок-схема алгоритму.
5. Програмна реалізація алгоритму.
6. Результати обчислень. Графіки апроксимаційних функцій.
7. Порівняння точності апроксимації різними функціями.
Висновки.
07.03.2013 16:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора