Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
КН
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2009
Тип роботи:
Інші
Предмет:
Моделювання
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
І н с т р у к ц і я
до лабораторної роботи
з курсу "Числові методи і моделювання на ЕОМ, ч.1"
Львів 2009
АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ
МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
Мета роботи: вивчення і програмна реалізація алгоритмів побудови апроксимуючих залежностей методом найменших квадратів. Одержання навиків програмування і роботи в середовищах Сі.
ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ
Нехай в результаті вимірювань в процесі експериментальних досліджень одержана таблиця залежності функції f від аргументу х:
Таблиця №1
х
х1
х2
…
хn
f(x)
y1
y2
…
yn
Треба знайти формулу, яка виражає цю залежність аналітично.
Поставимо задачу так: знайти функцію заданого вигляду:
y= f(x), (1)
яка в точках х1, х2, ..., хn приймає значення якнайближче до табличних значень y1, y2,..., yn, але яка одночасно враховує характер експериментально знайденої функції.
Практично вигляд наближеної функції f(x) можна визначити наступним способом. За таблицею 1 будують точковий графік функції f(x), а відтак проводять плавну криву, яка відображає характер розташування експериментальних точок (див. рис. 1).
Рис.1. Вигляд апроксимуючої експериментальні точки кривої.
За одержаною таким чином кривою встановлюють (вибирають) вигляд наближеної функції (часто з числа простих за виглядом аналітичних функцій).
Процес наближення для експериментально встановленої функціональної залежності y= f(x) за методом НК складається з двох етапів: спочатку вибирають вид формули і вже після цього визначають числові значення параметрів, для яких наближення буде найкращим.
Вид формули наближення вибирають виходячи з теоретичних міркувань або з числа елементарних функцій за виглядом точкового графіку.
Розглянемо метод знаходження параметрів наближеної функції в загальному вигляді на прикладі наближеної функції з трьома параметрами:
(1)
Сума квадратів різниць відповідних значень функцій f(x) і має вигляд .
Ця сума є функцією трьох змінних (параметрів ). Задача зводиться до знаходження її мінімуму. Застосуємо необхідну умову
екстремуму: ; ; .
З врахуванням того, що ; ; ,
одержимо систему
Розв'язавши цю систему трьох рівнянь з трьома невідомими відносно параметрів одержимо конкретний вигляд шуканої функції .
Як видно з розглянутого прикладу, зміна кількості параметрів не міняє суті даного методу, а виразиться лише у зміні кількості рівнянь у системі (5).
Природно очікувати, що значення знайденої функції у точках х1, х2, ..., хn відрізнятимуться від табличних значень y1, y2,..., yn. Значення різниць
; , (6)
називають відхиленнями виміряних значень від обчислених за формулою (4).
Для знайденої емпіричної формули (4) по відношенню до таблиці 1 можна знайти суму квадратів відхилень
яка згідно з принципом найменших квадратів для заданого виду наближеної функції має бути найменшою.
З двох різних наближень однієї і тієї ж табличної функції ліпшим є те для якого сума (7) має менше значення. Отже величину можна використовувати для вибору найліпшої з розглядуваних функцій , які наближують задану функцію . При цьому слід пам'ятати, що параметр при наближенні експериментальних даних є, по-перше, розмірною величиною і, по-друге, не дозволяє оцінити якість кожного окремого наближення.
Для оцінки якості наближення можна використовувати також відносне середнє квадратичне відхилення:
При виборі вигляду функції y= f(x) за характером точкового графіку слід розглядати такі випадки:
1) вигляд точкового графіку вказує на те, що функція є монотонно-зростаючою (спадною) і не має точок перегину;
2) функція має екстремум;
3) функція має точки перегину, або точки перегину і екстремуми.
У першому випадку достатню точність забезпечить наближення елементарними функціями (лінійною, степеневою, показниковою і т.д.). Зокрема, якщо значення абсциси значно більші від значень ординати, то застосовують логарифмічну, або дробово-логарифмічну залежності.
Для випадку 2) доцільно застосовувати наближення квадратним тричленом.
У випадку 3) потрібно проводити наближення складнішими функціями: поліномом вищого порядку, тригонометричними функціями і іншими.
Якщо характер точкового графіку відповідає вимогам першого випадку, то часто застосовують елементарні двопараметричні функції наведені в таблиці № 2.
Параметри і кожного з наведених рівнянь можна одержати складанням і розв'язуванням системи рівнянь типу (5). Саме таким шляхом одержані формули для параметрів і лінійної регресії. Формули для розрахунку параметрів всіх інших вищенаведених рівнянь одержані нижче через формули лінійної регресії шляхом перетворення вихідного рівняння регресії до лінійного виду. Формули для визначення параметрів і вищевказаних наближуючих функцій зведені в таблицю №2.
Таблиця №2
Формули розрахунку параметрів елементарних рівнянь регресії.
Функція
а
b
Лінійна
T1/G1
H1/G1
Степенева
T2/G2
exp(H2/G2)
Показникова
T3/G1
exp(H3/G1)
Логарифмічна
T4/G2
H4/G2
Гіперболічна
T5/G3
H5/G3
Дробово-лінійна
T6/G1
H6/G1
Дробово-раціональна
T7/G3
H7/G3
Дробово-логарифмічна
T8/G2
H8/G2
; , ; (8)
; (9)
; (10)
; ;
ПРИКЛАД ПОБУДОВИ РОЗРАХУНКОВИХ ФОРМУЛ
Нехай як апроксимуючу залежність вибрано показникову функцію . Для розрахунку коефіцієнтів a і b в таблиці 2 дано формули: a=T3/G1; b=exp(H3/G1).
Вираз для знаходження G1 будується наступним чином:
згідно з (8) , де - перший елемент масиву ; . Тоді , а так як сумування потрібно здійснити для пар значень, .
Щоб побудувати розрахункові формули для T3, H3, потрібно вияснити зміст елементів двомірного масиву Z - , . Для T3, G3 j=3, отже Z =Z =x, Z =Z =v. Тоді формули для T3, G3 приймуть такий вигляд :
T3= n S x v - S x S v ; H3= S v S x - S x S x v .
Формули розрахунку параметрів квадратного тричлена
;
; ;
;
; ;
; .
ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ
1. Побудувати точковий графік експериментальної залежності згідно з отриманим завданням. За виглядом графіку вибрати формули функцій для апроксимації.
2. Скласти блок-схему алгоритму розрахунку коефіцієнтів апроксимаційних формул та похибок апроксимації.
3. Розробити програми мовами TurboС++. Після перевірки їх викладачем відредагувати програми у відповідному середовищі і отримати результати обчислень.
4. Побудувати в одній системі координат графіки апроксимуючих функцій.
5. Оформити звіт згідно з поданою схемою.
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Заварыкин В.М. и др. Численные методы. - М.: Просвещение, 1990.
2. Брановицкая С.В. Вычислительная математика в химии и химической технологии. К: Высшая школа, 1986.
4. Гаврилюк М.А. и др. Прикладные программы и лабораторный практикум для персонального компьютера. - Киев: УМК ВО, 1988.
ЗАВДАННЯ НА САМОСТІЙНУ РОБОТУ
і
1
2
3
4
5
6
7
8
9
№ варіанту
1
Х
0.23
0.34
0.45
0.65
0.81
0.94
1.15
1.30
1.51
У
1.07
0.95
3.32
5.83
5.67
6.95
6.48
5.61
5.00
2
Х
0.62
0.70
0.86
1.25
1.44
1.81
2.00
2.41
2.59
У
-6.46
-4.85
-5.25
-2.54
-3.74
-1.23
0.01
0.66
1.37
3
Х
0.51
0.69
0.87
1.26
1.44
1.64
2.21
2.43
2.51
У
0.31
0.15
0.17
0.11
0.15
0.13
0.02
0.12
0.13
4
Х
0.69
0.88
0.91
1.51
1.65
1.81
2.33
2.51
2.67
У
9.48
7.25
5.51
6.43
7.61
8.76
10.4
13.8
16.2
5
Х
-1.06
-0.43
0.25
0.87
1.41
2.18
2.81
3.37
3.69
У
-8.31
-6.64
-5.71
-4.18
-3.08
-1.65
-0.74
0.81
1.37
6
Х
0.01
0.12
0.33
0.51
0.62
0.84
0.99
1.34
2.08
У
0.03
0.24
0.45
0.46
1.36
1.51
1.49
1.56
1.34
7
Х
0.52
0.71
0.84
1.02
1.28
1.51
1.75
2.03
2.25
У
0.61
0.57
0.85
0.93
1.04
1.12
1.15
1.20
1.19
8
Х
0.31
0.60
0.78
1.25
1.48
1.81
2.26
2.52
2.78
У
0.01
0.80
1.81
2.61
2.53
1.73
1.42
1.09
0.52
9
Х
0.11
0.23
0.47
0.83
1.28
1.51
2.06
3.85
4.07
У
8.64
6.13
4.37
2.55
0.34
-0.64
-0.88
-1.24
-1.58
10
Х
0.11
0.45
0.56
0.78
0.98
1.23
1.53
1.64
1.89
У
0.04
1.14
2.67
3.85
2.91
1.97
1.25
1.10
1.19
11
Х
1.24
1.89
2.03
2.65
3.25
4.11
4.78
5.13
5.77
У
2.23
1.31
0.85
0.57
0.27
1.15
1.47
1.51
1.45
Додаток
СХЕМА ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ
1. Завдання.
2. Точковий графік залежності. Обґрунтування вибору функцій для наближення.
3. Формули для розрахунку коефіцієнтів вибраних функцій.
4. Блок-схема алгоритму.
5. Програмна реалізація алгоритму.
6. Результати обчислень. Графіки апроксимаційних функцій.
7. Порівняння точності апроксимації різними функціями.
Висновки.
07.03.2013 16:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора