НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ І н с т р у к ц і я до лабораторної роботи з курсу "Числові методи і моделювання на ЕОМ, ч.1" Львів 2009 АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ Мета роботи: вивчення і програмна реалізація алгоритмів побудови апроксимуючих залежностей методом найменших квадратів. Одержання навиків програмування і роботи в середовищах Сі. ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ Формули розрахунку параметрів a, b елементарних рівнянь регресії, які зводяться до лінійної форми, представлені у нижченаведеній таблиці. № Функція а b  1 Лінійна y=a x +b T11/G1 H11/G1  2 Степенева y= b xa T22/G2 exp(H22/G2)  3 Показникова y= b ea x T12/G1 exp(H12/G1)  4 Логарифмічна y=a ln(x) +b T21/G2 H21/G2  5 Гіперболічна y=a / x +b T31/G3 H31/G3  6 Дробово-лінійна y=1/(a x +b) T13/G1 H13/G1  7 Дробово-раціональна y=x/(a +b x) T33/G3 H33/G3  8 Дробово-логарифмічна y=1/( a ln(x) +b) T23/G2 H23/G2   Усі вказані в таблиці параметри Тjk, Gj, Hjk, є масивами розмірністю n , елементи яких визначаються через експериментальні точки yi= f(xi). З метою узагальнення запишемо формули визначення цих параметрів для всіх видів вказаних у таблиці регресій через вектори Wj аргументів і Zj функцій лінійної та зведених до лінійної регресій.
; Wj ={x, u, p}; Zk ={y, v, q}; j, k =1,2,3;
;
; u=ln(x); v= ln(y); p=1/x; q=1/y. Приклад побудови розрахункових формул для окремої регресії Нехай як апроксимуючу залежність вибрано показникову функцію y= b ea x. Для розрахунку коефіцієнтів a і b в таблиці дано формули: a= T12/G1; b= exp(H12/G1).
;
;
;
;
;

=
; vi = ln(yi). Формули розрахунку параметрів квадратного тричлена

;
;
;
;

;
;
;
. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ 1. Побудувати точковий графік експериментальної залежності згідно з отриманим завданням. За виглядом графіку вибрати формули функцій для апроксимації. 2. Скласти блок-схему алгоритму розрахунку коефіцієнтів апроксимаційних формул та похибок апроксимації. 3. Розробити програми мовами Сі. Після перевірки їх викладачем відредагувати програми у відповідному середовищі і отримати результати обчислень. 4. Побудувати в одній системі координат графіки апроксимуючих функцій. 5. Оформити звіт згідно з поданою схемою. РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Заварыкин В.М. и др. Численные методы. - М.: Просвещение, 1990. 2. Брановицкая С.В. Вычислительная математика в химии и химической технологии. К: Высшая школа, 1986. 4. Гаврилюк М.А. и др. Прикладные программы и лабораторный практикум для персонального компьютера. - Киев: УМК ВО, 1988. ЗАВДАННЯ НА САМОСТІЙНУ РОБОТУ і   1 2 3 4 5 6 7 8 9  № варіанту 1 Х 0.23 0.34 0.45 0.65 0.81 0.94 1.15 1.30 1.51    У 1.07 0.95 3.32 5.83 5.67 6.95 6.48 5.61 5.00   2 Х 0.62 0.70 0.86 1.25 1.44 1.81 2.00 2.41 2.59    У -6.46 -4.85 -5.25 -2.54 -3.74 -1.23 0.01 0.66 1.37   3 Х 0.51 0.69 0.87 1.26 1.44 1.64 2.21 2.43 2.51    У 0.31 0.15 0.17 0.11 0.15 0.13 0.02 0.12 0.13   4 Х 0.69 0.88 0.91 1.51 1.65 1.81 2.33 2.51 2.67    У 9.48 7.25 5.51 6.43 7.61 8.76 10.4 13.8 16.2   5 Х -1.06 -0.43 0.25 0.87 1.41 2.18 2.81 3.37 3.69    У -8.31 -6.64 -5.71 -4.18 -3.08 -1.65 -0.74 0.81 1.37   6 Х 0.01 0.12 0.33 0.51 0.62 0.84 0.99 1.34 2.08    У 0.03 0.24 0.45 0.46 1.36 1.51 1.49 1.56 1.34   7 Х 0.52 0.71 0.84 1.02 1.28 1.51 1.75 2.03 2.25    У 0.61 0.57 0.85 0.93 1.04 1.12 1.15 1.20 1.19   8 Х 0.31 0.60 0.78 1.25 1.48 1.81 2.26 2.52 2.78    У 0.01 0.80 1.81 2.61 2.53 1.73 1.42 1.09 0.52   9 Х 0.11 0.23 0.47 0.83 1.28 1.51 2.06 3.85 4.07    У 8.64 6.13 4.37 2.55 0.34 -0.64 -0.88 -1.24 -1.58   10 Х 0.11 0.45 0.56 0.78 0.98 1.23 1.53 1.64 1.89    У 0.04 1.14 2.67 3.85 2.91 1.97 1.25 1.10 1.19   11 Х 1.24 1.89 2.03 2.65 3.25 4.11 4.78 5.13 5.77    У 2.23 1.31 0.85 0.57 0.27 1.15 1.47 1.51 1.45   Додаток СХЕМА ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ 1. Завдання. 2. Точковий графік залежності. Обґрунтування вибору функцій для наближення. 3. Формули для розрахунку коефіцієнтів вибраних функцій. 4. Блок-схема алгоритму. 5. Програмна реалізація алгоритму. 6. Результати обчислень. Графіки апроксимаційних функцій. 7. Порівняння точності апроксимації різними функціями. Висновки.