Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Встановлення закономірностей в натуральному ряді
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра автоматизованих систем управління
Інформація про роботу
Рік:
2013
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Інформаційні технології
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Національний університет «Львівська політехніка»
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра автоматизованих систем управління
Лабораторна роботи №1
на тему:
«Встановлення закономірностей в натуральному ряді»
Львів 2013
Лабораторна робота №1
Тема роботи: Встановлення закономірностей в натуральному ряді
Мета роботи: Навчитись знаходити і аналітично відображати закономірності
розміщення підмножин натурального ряду.
Короткі теоретичні відомості
Додатні числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., що з’явилися в результаті рахунку називаються натуральними і утворюють натуральний ряд чисел. Для запису натуральних чисел користуються десятковою системою числення, в основі якої лежать десять знаків - цифр. На першому місці в натуральному ряді стоїть число 1, за ним іде число 2, далі 3 і так до 9. Після 9, згідно з правилом десяткового числення, йде число 10, а за 10 іде 11, і у натуральному ряді немає останнього числа - за кожним натуральним числом стоїть ще одне натуральне число, за яким - ще одне і т.д.
Натуральних чисел нескінченно багато. Найбільше натуральне число назвати в принципі неможливо, оскільки нескінченність ряду таких чисел розуміє обов'язкову наявність числа, більшого будь-якого названого на 1. За цих умов правий край ряду натуральних чисел прийнято позначати символом нескінченності (значок ∞).
Крім того, всяке натуральне число відноситься або до класу простих чисел, або до класу складених чисел; відповідно, ряд натуральних чисел складається з простих і складених чисел. Просте число ділиться без залишку тільки на себе і на 1, тому має лише два позитивних дільники. Натуральне число, яке ділиться без залишку ще на якесь натуральне число, крім самого себе і 1 називається складеним.
Додатково по натуральних числах можна сказати наступне.
Одиниця умовно вважається простим числом, хоча вона не є ні простим, ні складеним числом, адже одиниця має лише один позитивний дільник. Виходить так, що одиниця відповідає критерію простих чисел, бо ділиться на саму себе і на 1, хоча дільник насправді виходить один і той же.
Двійка - той поодинокий випадок, коли в клас простих чисел потрапило парне число. Взагалі ж серед простих чисел більше немає жодного парного числа, оскільки інші парні числа більше 2 діляться як мінімум на 2.
Простих чисел у ряді натуральних чисел теж нескінченна множина в тому сенсі, що прості числа продовжують з'являтися на всьому проміжку ряду натуральних чисел, а не перериваються в якійсь точці ряду.
Прості числа (ті натуральні числа, які мають тільки два натуральних дільники: одиницю й саме себе) зовсім не такі прості, як може здатися на перший погляд. Скоріше навпаки: серед різних чисел вони приховують, напевно, найбільшу кількість загадок, над якими от уже багато сторіч б’ються кращі математики.
Два, три, п’ять, сім, одинадцять, тринадцять, сімнадцять... — щороку математики знаходять усе більші й більші прості числа. Якщо за часів Ейлера таким було 2147483647, то сьогоднішній рекордсмен — 2 у ступені 43112609 мінус 1 — у десятковому записі має 12978189 розрядів! Але математиків набагато більше за конкретні прості числа цікавлять пов’язані з ними закономірності: скільки їх, яка логіка їхньої появи серед натуральних чисел тощо. І якщо нескінченність кількості простих чисел зумів довести ще Евклід, то друге питання математики не можуть розв’язати досі.
Світло на нього кинуло випадкове відкриття польсько-американського математика Станіслава Улама (до речі, наш співвітчизник — він народився в польському тоді Львові). Якось 1963 року, сидячи на нудній доповіді, учений почав за спіраллю заповнювати числами клітинки листка у зошиті, при цьому машинально відзначав серед них прості. Виявилося, що прості числа розташовуються не хаотично, а утворюють орнаменти з діагональних ліній.
Сучасні комп’ютери будують такі «вишиванки» (математики не дуже шанобливо називають їх «скатертинами Улама») для десятків мільйонів чисел, і знайдена закономірність підтверджується. Однак підвести під цю «красу» міцний теоретичний фундамент поки не вдалося.
Прості числа зовсім не такі прості, як може здатися на перший погляд. Скоріше навпаки: серед різних чисел вони приховують, напевно, найбільшу кількість загадок, над якими от уже багато сторіч б’ються кращі математики.
Просте число — це натуральне число, яке має рівно два натуральних дільники (лише 1 і саме число). Решту чисел, окрім одиниці, називають складеними. Таким чином, всі натуральні числа понад одиницю розбивають на прості і складені. Теорія чисел вивчає властивості простих чисел. В теорії кілець простим числам відповідають незвідні елементи.
Натуральних чисел нескінченно багато. Найбільше натуральне число назвати в принципі неможливо, оскільки нескінченність ряду таких чисел розуміє обов'язкову наявність числа, більшого будь-якого названого на 1. За цих умов правий край ряду натуральних чисел прийнято позначати символом нескінченності (значок ∞).
Крім того, всяке натуральне число відноситься або до класу простих чисел, або до класу складених чисел; відповідно, ряд натуральних чисел складається з простих і складених чисел. Просте число ділиться без залишку тільки на себе і на 1, тому має лише два позитивних дільники. Натуральне число, яке ділиться без залишку ще на якесь натуральне число, крім самого себе і 1 називається складеним.
Одиниця умовно вважається простим числом, хоча вона не є ні простим, ні складеним числом, адже одиниця має лише один позитивний дільник. Виходить так, що одиниця відповідає критерію простих чисел, бо ділиться на саму себе і на 1, хоча дільник насправді виходить один і той же.
Двійка - той поодинокий випадок, коли в клас простих чисел потрапило парне число. Взагалі ж серед простих чисел більше немає жодного парного числа, оскільки інші парні числа більше 2 діляться як мінімум на 2.
Простих чисел у ряді натуральних чисел теж нескінченна множина в тому сенсі, що прості числа продовжують з'являтися на всьому проміжку ряду натуральних чисел, а не перериваються в якійсь точці ряду.
Прості числа (ті натуральні числа, які мають тільки два натуральних дільники: одиницю й саме себе) зовсім не такі прості, як може здатися на перший погляд. Скоріше навпаки: серед різних чисел вони приховують, напевно, найбільшу кількість загадок, над якими от уже багато сторіч б’ються кращі математики.
Два, три, п’ять, сім, одинадцять, тринадцять, сімнадцять... — щороку математики знаходять усе більші й більші прості числа. Якщо за часів Ейлера таким було 2147483647, то сьогоднішній рекордсмен — 2 у ступені 43112609 мінус 1 — у десятковому записі має 12978189 розрядів! Але математиків набагато більше за конкретні прості числа цікавлять пов’язані з ними закономірності: скільки їх, яка логіка їхньої появи серед натуральних чисел тощо. І якщо нескінченність кількості простих чисел зумів довести ще Евклід, то друге питання математики не можуть розв’язати досі.
Приклад №1
Хід роботи:
Знайти аналітичні вирази двох головних піддіагоналей і двох бічних піддіагоналей числової спіралі з центром 62.
f2(x) f1(x)
126
125
124
123
122
121
120
119
118
127
98
97
96
95
94
93
92
117
128
99
78
77
76
75
74
91
116
129
100
79
66
65
64
73
90
115
130
101
80
67
62
63
72
89
114
131
102
81
68
69
70
71
88
113
132
103
82
83
84
85
86
87
112
133
104
105
106
107
108
109
110
111
134
135
136
137
138
139
140
141
142
f3(x) f4(x)
Спосіб 1:
Розташувавши числа по спіралі, можна знайти закономірності їх появи на піддіагоналях f1(x), f2(x), f3(x) та f4(x), які можна описати за такими формулами:
f1(x)= ;
f2(x)= ;
f3(x)= ;
f4(x)= ;
де ; n [0; )– номер квадрату (номер числа на будь-якій піддіагоналі).
Підставимо в ці формули :
1) f1(n)=;
2) f2(n)=;
3) f3(n)=;
4) f4(n)=;
Між знайденими вище формулами можна знайти ще одну закономірність, і представити її у вигляді такої загальної формули:
fk(n)=; де k [1;4] – номер піддіагоналі;
Перевіримо, знайдемо 3-те число у кожній з піддіагоналей:
k=1:
k=2:
k=3:
k=4:
Спосіб 2:
62 64 74 92 118
2 10 18 26
8 8 8
Будемо розглядати квадратний многочлен: , де x [1; ).
Для нашого прикладу:
Обчислюємо першу різницю:
R1=(4A+2B+C)-(A+B+C) = 3A+B
R2=(9A+3B+C)-(4A+2B+C) = 5A+B
Обчислюємо другу різницю:
d=(5A+B)-(3A+B)=2A=8
A=8/2=4.
B+C=62-4=58
2B+C=64-4*4=48
B=-10;
C=68.
Аналогічні обчислення робимо і для інших піддіагоналей.
Отже, отримуємо:
1. f1(x)=
2. f2(x)=
3. f3(x)=
4. f4(x)=
Для перевірки знайдемо п’яте число у кожній з піддіагоналей:
1.
2.
3.
4.
Приклад №2
Хід роботи:
Знайти аналітичні вирази двох головних піддіагоналей і двох бічних піддіагоналей числової спіралі з центром 63.
Розв’язання
7
6
5
4
3
2
1
2
3
4
5
6
7
VI
VII
VIII
7
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
6
218
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
5
217
172
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
185
4
216
171
134
105
106
107
108
109
110
111
112
145
186
3
215
170
133
104
83
84
85
86
87
88
113
146
187
2
214
169
132
103
82
69
70
71
72
89
114
147
188
1
V
213
168
131
102
81
68
63
64
73
90
115
148
189
I
2
212
167
130
101
80
67
66
65
74
91
116
149
190
3
211
166
129
100
79
78
77
76
75
92
117
150
191
4
210
165
128
99
98
97
96
95
94
93
118
151
192
5
209
164
127
126
125
124
123
122
121
120
119
152
193
6
208
163
162
161
160
159
158
157
156
155
154
153
194
7
207
206
205
204
203
202
201
200
199
198
197
196
195
IV
III
II
Закономірність появи чисел можна описати формулами:
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора