Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Розділ 8
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Лінійна алгебра та аналітична геометрія
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
РОЗДІЛ 8. ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛІНІЙНИХ ПРОСТОРІВ.
§1. Основні поняття теорії лінійних перетворень.
1. Мотивація. У розділі 6 було показано, що якщо два базиси , лінійного простору зв’язані матрицею переходу , , , то координати , вектора в базисах , відповідно, зв’язані співвідношенням . Формулу можна витлумачити і інакше, а саме: якщо вектор має координати в деякій системі координат, то йому ставиться у відповідність вектор з координатами в тій самій системі координат за формулою . Іншими словами, співвідношення визначає в лінійному просторі функцію, яка кожному векторові ставить у відповідність деякий вектор того самого простору. В цьому розділі ми будемо систематично вивчати саме такі функції.
2. Означення та приклади. Якщо кожному векторові лінійного простору поставлено у відповідність єдиний вектор того самого простору, то кажуть, що задано перетворення цього простору, яке будемо позначати . При цьому вектор називається прообразом, а вектор – образом перетворення .
Перетворення лінійного простору називається лінійним, якщо для нього справджуються такі умови:
1.
2. .
Приклади. 1. Поворот тривимірного евклідового простору навколо якої-небудь осі, що проходить через початок координат, на який-небудь кут є лінійним перетворенням цього простору, яке кожному векторові ставить у відповідність вектор, отриманий поворотом вектора на кут навколо даної осі. Перевірити виконання умов 1, 2 як вправу.
2. Позначимо через який-небудь двовимірний підпростір тривимірного евклідового простору. Кожному векторові простору поставимо у відповідність вектор , який є ортогональною проекцією вектора на підпростір. Перевірити, що для такого перетворення справджуються умови 1, 2.
3. Нехай – – вимірний лінійний простір і нехай – деяка квадратна матриця порядку . Векторові простору поставимо у відповідність вектор того самого простору за правилом . Перевіримо, що так визначене перетворення лінійне. Справді, за відповідними властивостями множення матриць ,
,
.
4. В лінійному просторі многочленів, степінь яких не перевищує , покладемо . Це перетворення лінійне:
,
.
5. В просторі неперервних на проміжку функцій покладемо . Таке перетворення лінійне:
,
.
Перетворення , яке кожному векторові ставить у відповідність той самий вектор , , є лінійним і називається одиничним, або тотожним перетворенням.
Перетворення , яке кожний вектор відображує в нуль-вектор, , є лінійним і називається нульовим перетворенням.
Зазначимо, що будь-яке лінійне перетворення відображує нульовий вектор в самого себе:
.
3. Образ лінійного підпростору. Нехай – лінійне перетворення простору і нехай – який-небудь підпростір цього простору. Позначимо через сукупність образів всіх векторів підпростору при дії лінійного перетворення , . будемо називати образом лінійного підпростору, а сам лінійний підпростір – прообразом.
Теорема про образ лінійного підпростору. Кожне лінійне перетворення лінійного простору відображує будь-який лінійний підпростір в лінійний підпростір, до того ж вимірність образу не перевищує вимірності прообразу.
Доведення. Нехай – лінійне перетворення простору , – підпростір цього простору і нехай – пара яких-небудь векторів сукупності. Тоді існують такі вектори підпростору, що , . Звідси, для будь-якої пари чисел
,
тобто в сукупність разом з кожною парою векторів входить і їх довільна лінійна комбінація, тому є лінійним підпростором.
Припустимо, що. Розглянемо в який-небудь базис . Згідно з припущенням, , тому система векторів лінійно залежна. Звідси,існує нетривіальна нульова лінійна комбінація . Подіємо лінійним перетворенням на обидві частини цієї рівності:
.
Звідси,
,
тобто вектори лінійно залежні, що суперечить умові. Таким чином, . Теорему доведено.
4. Умови існування та єдиності лінійного перетворення. Два лінійних перетворення лінійного простору збігаються, якщо .
Теорема існування та єдиності лінійного перетворення. Для будь-якого базису лінійного простору і будь-якої системи векторів цього простору існує єдине лінійне перетворення простору , яке задовольняє умови
. (1)
Доведення. Побудуємо перетворення лінійного простору за таким правилом: для будь-якого вектора
. (2)
Покажемо, що перетворення лінійне. Нехай . Тоді
,
.
Легко побачити, що побудоване за формулою (2) лінійне перетворення задовольняє умови (1). Справді, поклавши в рівності (2) отримуємо , .
Доведемо єдиність, тобто покажемо, що якщо для лінійного перетворення лінійного простору справджуються умови (1), то лінійне перетворення збігається з лінійним перетворенням . Справді, для будь-якого вектора
.
Теорему доведено.
5. Матриця лінійного перетворення. Нехай – базис лінійного простору , – яка-небудь система векторів цього простору і нехай – лінійне перетворення простору для якого , . Кожний вектор , , можна розкласти за векторами базису :
. (3)
чисел утворюють квадратну матрицю – го порядку, яка називається матрицею лінійного перетворення в базисі . Таким чином, кожному лінійному перетворенню –вимірного лінійного простору однозначно відповідає квадратна матриця – го порядку у заданому базисі. Очевидно, що й навпаки, – у заданому базисі кожна квадратна матриця – го порядку однозначно визначає лінійне перетворення за формулами (3).
Якщо стовпчик векторів позначити через , , то систему рівностей (3) можна компактно записати в матричній формі
. ()
Звідси випливає, що якщо вектори утворюють базис лінійного простору , то матрицю лінійного перетворення можна трактувати як матрицю переходу від базису до базису , . Навпаки, матрицю переходу від базису до базису , , можна трактувати як матрицю лінійного перетворення, для якого , .
Насамкінець зауважимо, що позначення лінійного перетворення та його матриці одною й тою самою літерою не призводить до непорозумінь. Навпаки, такий збіг позначень дуже зручний.
6. Матричні записи. Нехай лінійне перетворення – вимірного лінійного простору в базисі цього простору має матрицю і нехай – яка-небудь – матриця з числовими елементами. Тоді добуток матриць є стовпчиком висотою , елементами якого є вектори , , . Позначимо через стовпчик висотою , складений з образів векторів , , при дії лінійного перетворення , тобто
.
Покажемо, що
. (4)
Для цього знайдемо – тий елемент стовпчика , . Враховуючи (3), маємо
. (5)
Тепер знайдемо – тий елемент стовпчика :
. (6)
З рівностей (5) і (6) випливає рівність (4).
Поклавши в рівності (4) , де – одинична матриця – го порядку, отримаємо , тобто рівність ().
Нехай – довільний вектор простору . Позначимо . Тоді розклад вектора за векторами базису можна записати в матричній формі:
.
З рівності (4) при отримуємо
. (7)
7. Зв’язок між координатами образу та прообразу. Нехай , , , , і нехай для деякого лінійного перетворення лінійного простору , заданого матрицею в базисі . Знайдемо зв’язок між координатами прообразу та координатами його образу . Враховуючи (7),
,
звідки
.
Ліва частина цієї рівності є лінійною комбінацією векторів базису коефіцієнтами якої є елементи рядка . Оскільки лінійна комбінація векторів базису дорівнює нулеві лише при нульових значеннях коефіцієнтів цієї лінійної комбінації, то
.
Звідси,
,
або, транспонуючи обидві частини цієї рівності, остаточно отримуємо
. (8)
Таким чином, якщо лінійне перетворення має матрицю в базисі , то стовпчик базисних векторів перетворюється за допомогою матриці (рівність ()), а стовпчик координат вектора – за допомогою матриці (рівність (8)).
Зазначимо насамкінець, що якщо вектори , ототожнити зі стовпчиками їх координат , відповідно, , , то рівність (8) дає підставу використовувати запис замість позначення . Запис зручний тим, що його можна трактувати двояко – або як добуток матриці лінійного перетворення на стовпчик координат вектора , або як значення лінійного перетворення на векторі .
8. Зв’язок між матрицями лінійного перетворення в різних базисах. Нехай , – два базиси лінійного простору, зв’язаних матрицею переходу ,
, (9)
і нехай лінійне перетворення задається матрицями та в цих базисах відповідно, тобто, за (),
.
З одного боку, враховуючи (9),
.
З другого боку, на підставі рівностей (9) і (4),
.
Таким чином,
.
Якщо хоча б для одного , , – тий рядок матриці не збігався з – тим рядком матриці , то дві різні лінійні комбінації векторів базису збігалися б, що суперечить теоремі про єдиність розкладу вектора за векторами базису. Таким чином,
.
Транспонуючи обидві частини і враховуючи, що матриця переходу невироджена, остаточно отримуємо
. (10)
Квадратні матриці , зв’язані рівністю , де – довільна невироджена квадратна матриця, називаються подібними. Таким чином, матриці лінійного перетворення в різних базисах подібні.
9. Операції над лінійними перетвореннями. Нехай в – вимірному лінійному просторі задано два лінійних перетворення та .
Сумою лінійних перетворень та називається перетворення, яке позначається символом і яке визначається рівністю
. (11)
Перетворення лінійне. Справді, для будь-яких двох векторів , і будь-якого числа
,
Добутком лінійного перетворення на число називається перетворення, яке позначається і яке визначається рівністю
. (12)
Перетворення лінійне:
,
.
Добутком лінійних перетворень та називається перетворення, яке позначається символом і яке визначається рівністю
, (13)
тобто перетворення отримується як результат послідовного виконання перетворень та . Перетворення лінійне:
,
.
10. Матриці лінійних перетворень , , . Нехай , – два лінійні перетворення з матрицями та в базисі відповідно, тобто , .
На підставі () для суми лінійних перетворень маємо
, (14)
тобто матриця суми лінійних перетворень в якому-небудь базисі дорівнює сумі матриць цих перетворень у тому самому базисі.
Тепер застосуємо рівність () до лінійного перетворення :
, (15)
тобто матриця лінійного перетворення в деякому базисі дорівнює добутку матриці перетворення в тому самому базисі на число .
Послідовно застосовуючи рівності () та (4), для добутку двох лінійних перетворень дістаємо
, (16)
тобто матриця добутку лінійних перетворень в деякому базисі дорівнює добутку матриць цих перетворень у тому самому базисі і в тому самому порядку.
11. Лінійний простір лінійних перетворень. З отриманих результатів випливає, що сукупність лінійних перетворень –вимірного лінійного простору сама утворює лінійний простір, ізоморфний лінійному просторові квадратних матриць – го порядку, при умові , що зафіксовано базис лінійного простору. Справді, в множині лінійних перетворень визначено операції додавання та множення на скаляр. Між множиною лінійних перетворень і простором квадратних матриць – го порядку існує взаємно однозначна відповідність , до того ж сумі лінійних перетворень відповідає сума матриць, а добутку лінійного перетворення на скаляр відповідає добуток матриці на той самий скаляр. Це означає, що, по-перше, для сукупності лінійних перетворень справджуються аксіоми лінійного простору, оскільки вони справджуються для простору квадратних матриць, тобто сукупність є лінійним простором, а по-друге, відображення є ізоморфним відображенням.
12. Обернене перетворення. Лінійне перетворення лінійного простору називається оберненим до лінійного перетворення того самого простору, якщо їх добуток збігається з тотожним перетворенням, , .
Теорема існування оберненого перетворення. Для лінійного перетворення обернене перетворення існує тоді і лише тоді, коли його матриця в якому-небудь базисі невироджена, до того ж матриця оберненого перетворення в тому самому базисі збігається з оберненою матрицею .
Доведення. Нехай матриця лінійного перетворення в базисі невироджена. Покажемо, що лінійне перетворення , яке в базисі має матрицю , є оберненим до перетворення . Справді, для будь-якого вектора
,
тобто – обернене до .
Навпаки, нехай лінійне перетворення має обернене перетворення і нехай вони мають відповідно матриці та в деякому базисі , , . З одного боку,
З другого боку, за означенням оберненого перетворення,
,
тому
,
або
.
Коефіцієнти нульової лінійної комбінації векторів базису дорівнюють нулеві, тому
.
Звідси,
,
тобто . Теорему доведено.
З доведеної теореми випливає, що якщо , то . Справді,
Якщо лінійне перетворення має обернене, то перетворення називається невиродженим. Обернене лінійне перетворення позначають символом .
13. Група невироджених лінійних перетворень. Легко перевірити, що сукупність невироджених лінійних перетворень лінійного простору утворює групу відносно операції множення лінійних перетворень. Справді, нехай – базис лінійного простору і нехай – будь-який вектор цього простору, , . Тоді для будь-яких невироджених лінійних перетворень простору за рівностями () і (7) маємо
,
тобто множення лінійних перетворень асоціативне. Роль одиниці групи відіграє тотожне перетворення . Крім того, кожне невироджене перетворення має обернене.
Якщо лінійний простір дійсний, то група невироджених лінійних перетворень цього простору позначається ; у випадку комплексного лінійного простору – .
14. Ранг лінійного перетворення. Нехай лінійне перетворення має матрицю в деякому базисі і матрицю в якому-небудь іншому базисі . Тоді, за (10), , де – матриця переходу від базису до базису , . Звідси, за наслідком з теореми про ранг добутку матриць, , тобто ранги матриць одного й того самого лінійного перетворення в усіх базисах збігаються.
Ранг матриці лінійного перетворення в якому-небудь базисі називається рангом лінійного перетворення.
15. Образ лінійного перетворення. З теореми про образ лінійного підпростору випливає, що образ простору є лінійним підпростором цього простору, до того ж . Підпростір називається образом лінійного перетворення . В цьому пункті для образу лінійного перетворення ми істотно уточнимо теорему про образ лінійного підпростору.
Теорема про вимірність образу лінійного перетворення. Вимірність образу лінійного перетворення збігається з рангом цього перетворення.
Доведення. Нехай лінійне перетворення має матрицю в базисі , . Для будь-якого вектора , , . Оскільки , то . Звідси, базисом підпростору може служити будь-яка максимальна лінійно незалежна підсистема системи векторів . Запишемо рівність в розгорненому вигляді:
Звідси добре видно, що стовпчики матриці складаються з координат векторів у базисі . Звідси, згідно з теоремою про ранг матриці, максимальне число лінійно незалежних векторів системи дорівнює рангові матриці . Теорему доведено.
Доведена теорема дає підставу називати вимірність образу – число – рангом лінійного перетворення. Образ лінійного перетворення позначають ще , або .
16. Ядро лінійного перетворення. Ядром лінійного перетворення називається сукупність прообразів нуль-вектора. Ядро лінійного перетворення позначається символом , так що .
Ядро є лінійним підпростором простору . Справді, якщо , тобто , , то . Звідси, , тобто є лінійним підпростором.
Вимірність ядра лінійного перетворення називається дефектом цього перетворення.
Теорема. Сума рангу та дефекту лінійного перетворення дорівнює вимірності лінійного простору, .
Доведення. Нехай ядро лінійного перетворення має вимірність , . Виберемо базис ядра , , і доповнимо його векторами до базису простору .
Покажемо спочатку, що образ лінійного перетворення збігається з лінійною оболонкою векторів , . Справді, для будь-якого вектора існує прообраз , . Розкладемо вектор за векторами базису , . Тоді , тобто , тому .
Покажемо тепер, що векторів лінійно незалежні і тому утворюють базис образу . Припустимо супротивне і нехай існують такі, не всі нульові, числа , що . Звідси, за лінійністю , , тобто і тому вектор можна розкласти за векторами базису ядра:
.
Звідси,
,
що можливо лише при умові, що , . З отриманої суперечності випливає, що вектори лінійно незалежні, тому . Звідси, і теорему доведено.
Оскільки для невиродженого лінійного перетворення лінійного простору , то з доведеної теореми випливає, що образом невиродженого лінійного перетворення є весь лінійний простір. Якщо ж лінійне перетворення вироджене, то і, відповідно, образом такого перетворення є деякий власний лінійний підпростір простору .
§2. Власні значення і власні вектори лінійного перетворення.
1. Інваріантні підпростори. Лінійний підпростір простору називається інваріантним підпростором лінійного перетворення , якщо для кожного вектора , тобто .
Приклади.
1) Розглянемо поворот тривимірного евклідового простору на кут навколо якої-небудь осі, що проходить через початок координат. Таке перетворення має два інваріантних підпростори – вісь обертання (одновимірний інваріантний підпростір) та площину, яка проходить через початок координат перпендикулярно до осі обертання (двовимірний інваріантний підпростір).
2) Нехай для будь-якого вектора – вимірного лінійного простору , тобто лінійне перетворення здійснює розтяг в разів вздовж вектора ,. Прямі з напрямними векторами відповідно є одновимірними інваріантними підпросторами перетворення .
3) Нехай лінійне перетворення – вимірного лінійного простору в деякому базисі має квазітрикутну матрицю
Тоді лінійна оболонка є інваріантним підпростором перетворення . В цьому легко переконатися за рівністю . Якщо, крім того,, , тобто матриця лінійного перетворення має вигляд
то підпростір також буде інваріантним.
4) Образ та ядро довільного лінійного перетворення – вимірного лінійного простору є інваріантними підпросторами цього перетворення. Справді, якщо , то за означенням образу лінійного перетворення; якщо ж , то .
Нехай лінійне перетворення лінійного простору має інваріантний підпростір , тобто . Звідси випливає, що в підпросторі визначено лінійне перетворення , яке визначається рівністю і яке називається звуженням перетворення . Поза підпростором перетворення не визначене.
2. Власні значення і власні вектори. Нехай – лінійне перетворення лінійного простору .
Ненульовий вектор лінійного простору , для якого справджується рівність
, (17)
називається власним вектором лінійного перетворення , а число – власним значенням цього перетворення. При цьому кажуть, що власний вектор відповідає власному значенню .
Зрозуміло, що у випадку комплексного лінійного простору власні значення є, взагалі кажучи, комплексними числами; якщо ж лінійний простір дійсний, то власними значеннями можуть бути лише дійсні числа.
Зазначимо, що власний вектор , який відповідає власному значенню , визначає одновимірний інваріантний підпростір лінійного перетворення . Справді, для будь-якого числа вектор також є власним вектором, що відповідає тому самому власному значенню :
.
Вправа. Довести, що кожний вектор одновимірного лінійного простору є власним вектором будь-якого лінійного перетворення цього простору. (, ).
Знайдемо власні значення і власні вектори лінійного перетворення . Для цього виберемо який-небудь базис лінійного простору і позначимо через власний вектор цього перетворення, що відповідає власному значенню . Вектор розкладемо за векторами базису , , . На підставі (7),
,
де – матриця лінійного перетворення в базисі . Звідси, на підставі (17),
.
Звідси
.
Лінійна комбінація векторів базису дорівнює нулеві лише при нульових значеннях коефіцієнтів цієї лінійної комбінації, тому
.
Транспонуючи обидві частини останньої рівності, дістаємо
,
або, що те саме,
.
Остаточно,
. (18)
Запишемо систему (18) в розгорненому вигляді:
Розв’язавши систему , знайдемо координати власного вектора в базисі . Оскільки за означенням власного вектора, то нас влаштовують лише ненульові розв’язки цієї системи, а система , як однорідна система, має ненульові розв’язки лише при умові, що визначник цієї системи дорівнює нулеві:
. (19)
З рівності (19), яка називається характеристичним рівнянням, знаходимо власні значення перетворення . Ліва частина характеристичного рівняння (19) є многочленом – го степеня відносно , який називається характеристичним многочленом матриці .
Приклад. Знайти власні значення і відповідні їм власні вектори лінійного перетворення, заданого матрицею в деякому базисі, якщо
.
Розв’язування. Складаємо характеристичне рівняння:
.
Обчисливши визначник, наприклад, за правилом трикутників, отримаємо
,
звідки знаходимо власні значення та .
Знайдемо власні вектори, що відповідають власному значенню . Для цього підставимо значення в систему :
.
Легко переконатися, що ранг матриці системи дорівнює двом, а максимальну лінійно незалежну підсистему утворюють, наприклад, перші два рівняння
.
Загальний розв’язок останньої системи має вигляд . Таким чином, власному значенню відповідають власні вектори .
Підставимо тепер в систему власне значення і знайдемо відповідні йому власні вектори:
.
Максимальну лінійно незалежну підсистему утворюють, наприклад, два останні рівняння
загальний розв’язок якої має вигляд , так що власному значенню відповідають власні вектори .
3. Властивості власних векторів. Сформулюємо та доведемо деякі властивості власних векторів.
Теорема 1. Сукупність власних векторів, що відповідають одному й тому самому власному значенню, доповнена нульовим вектором, утворює лінійний підпростір.
Доведення. Нехай – деяке власне значення лінійного перетворення. Тоді, при кожний ненульовий розв’язок системи є власним вектором, що відповідає власному значенню . Сукупність всіх розв’язків системи при утворює, як відомо, лінійний підпростір. Теорему доведено.
Теорема 2. Якщо власні вектори відповідають різним власним значенням , , , то вони лінійно незалежні.
Доведення. Припустимо супротивне і нехай існує нетривіальна нульова лінійна комбінація цих векторів
. (20)
Нехай . Подіємо лінійним перетворенням на обидві частини рівності (20):
. (21)
Помножимо обидві частини рівності (20) на і результат віднімемо від рівності (21):
. (22)
Знову подіємо перетворенням на обидві частини рівності (22):
. (23)
Помножимо (22) на і результат віднімемо від (23):
.
Продовжуючи таким способом на кожному кроці зменшувати лінійну комбінацію на один доданок, прийдемо врешті-решт до рівності
.
Оскільки всі різні і , то , що суперечить тому, що – власний вектор. Теорему доведено.
Теорема 3. Якщо та – матриці лінійного перетворення в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць збігаються.
Доведення. Згідно з рівністю (10), . Звідси,
Таким чином, характеристичний многочлен матриці можна називати характеристичним многочленом лінійного перетворення, що визначається даною матрицею в деякому базисі.
Теорема 4. – кратному власному значенню лінійного перетворення відповідає не більше, ніж лінійно незалежних власних векторів.
Доведення. Нехай – кратне власне значення лінійного перетворення і нехай йому відповідає лінійно незалежних власних векторів , , . Доповнимо систему векторів векторами до базису лінійного простору. Знайдемо матрицю лінійного перетворення в цьому базисі. З одного боку, , . З другого боку, , . Звідси, при і при . Отже, матриця має вигляд:
,
де – деяка -матриця.
Складемо характеристичний многочлен і розкладемо цей визначник послідовно за елементами кожного з перших стовпчиків:
.
За означенням кратного кореня многочлена, . Теорему доведено.
Теорема 5. Лінійне перетворення має власним значенням число нуль тоді і лише тоді, коли його матриця вироджена.
Доведення. Зазначимо насамперед, що значення будь-якого многочлена в точці дорівнює вільному члену . Звідси, число нуль є коренем многочлена тоді і лише тоді, коли . Зокрема, вільний член характеристичного многочлена збігається з :
,
тому число нуль є коренем характеристичного рівняння тоді і лише тоді, коли . Теорему доведено.
Наслідок. Будь-який ненульовий вектор ядра лінійного перетворення є власним вектором цього перетворення, що відповідає власному значенню . Справді, якщо , то .
4. Діагональний вигляд матриці лінійного перетворення. Значення поняття власного вектора полягає в тому, що матриця лінійного перетворення в базисі, який складається з власних векторів, має найпростіший вигляд.
Теорема 6. Матриця лінійного перетворення в базисі має діагональний вигляд тоді і лише тоді, коли кожний вектор базису є власним вектором лінійного перетворення .
Доведення. Нехай вектори базису є власними векторами лінійного перетворення , що відповідають власним значенням відповідно. Тоді
,
звідки , при , , тобто матриця має діагональний вигляд.
Навпаки, якщо матриця має діагональний вигляд у базисі ,
,
то вектори базису - власні вектори лінійного перетворення :
Теорему доведено.
Наслідок. Якщо лінійне перетворення дійсного лінійного простору має різних власних значень, то існує базис з власних векторів цього перетворення, в якому матриця лінійного перетворення має діагональний вигляд.
5. Одновимірні та двовимірні інваріантні підпростори лінійного перетворення дійсного лінійного простору. Нагадаємо ще раз, що всі отримані в попередніх параграфах цього розділу результати справджуються як для комплексного, так і для дійсного лінійного простору.
Легко показати, що будь-яке лінійне перетворення комплексного лінійного простору має принаймні один власний вектор (одновимірний інваріантний підпростір). Справді, за основною теоремою алгебри, характеристичний многочлен має принаймні один комплексний корінь . Тоді однорідна система при має ненульові розв’язки, кожен з яких є власним вектором лінійного перетворення і кожен з яких породжує одновимірний інваріантний підпростір. Так само легко зрозуміти, що для дійсного лінійного простору це не завжди так. Втім, у випадку дійсного лінійного простору справджується наступна теорема.
Теорема. Кожне лінійне перетворення дійсного лінійного простору має одновимірний або двовимірний інваріантний підпростір.
Доведення. Нехай лінійне перетворення дійсного лінійного простору має матрицю в базисі цього простору. Нехай – корінь характеристичного многочлена . Знайдемо розв’язки системи
(24)
де .
Якщо – дійсне число, тобто є власним значенням лінійного перетворення , то з системи (24) можна знайти власний вектор , , який породжує одновимірний інваріантний підпростір .
Розглянемо тепер випадок, коли – комплексне число, . В такому разі не є власним значенням лінійного перетворення . Підставимо формально в систему (24) і знайдемо який-небудь її ненульовий комплекснозначний розв’язок . Позначимо , , . Тоді . Підставивши цей розв’язок в (24), отримаємо
або
.
Розкриємо дужки і відокремимо дійсну та уявну частини:
.
Прирівняємо до нуля дійсну та уявну частини:
, .
Звідси,
, .
Будемо розглядати стовпчик як стовпчик координат деякого вектора в базисі , а - як стовпчик координат вектора . Тоді останні дві рівності можна переписати так:
, .
Таким чином, , , а це означає, що двовимірна лінійна оболонка є інваріантним підпростором лінійного перетворення .
§ 3. Лінійні перетворення евклідового простору.
1. Спряжене лінійне перетворення. Наголосимо, що всі факти, викладені в попередніх параграфах цього розділу, справджуються і для евклідового простору. Але в евклідовому просторі можна виділити певні, важливі надалі, класи лінійних перетворень.
Лінійне перетворення евклідового простору називається спряженим до лінійного перетворення цього простору, якщо для всіх векторів справджується рівність
. (25)
Вправа. Довести, що операція переходу від лінійного перетворення евклідового простору до спряженого перетворення має такі властивості:
а) ;
б) ;
в) ;
г) , ;
д) якщо невироджене, то .
Теорема. Якщо лінійне перетворення евклідового простору, задане матрицею в деякому базисі цього простору, має спряжене лінійне перетворення, то матриця спряженого перетворення в тому самому базисі визначається рівністю
, (26)
де – матриця Грама базису ; якщо базис ортонормований, то
. (27)
Доведення. Для довільних векторів позначимо , , де , , . Тоді
,
.
Оскільки
,
де – матриця Грама, то
.
Підставимо отримані значення скалярних добутків у рівність (25):
,
або
.
Оскільки – довільні рядки, то звідси
,
або, остаточно,
.
Якщо, зокрема, базис ортонормований, то і тому
.
З доведеної теореми випливає, що якщо спряжене перетворення існує, то воно єдине.
Теорема. Кожне лінійне перетворення евклідового простору має єдине спряжене перетворення.
Доведення. Виберемо який-небудь ортонормований базис евклідового простору і поряд з лінійним перетворенням з матрицею в цьому базисі розглянемо лінійне перетворення з матрицею в тому самому базисі. Тоді
,
і звідси
,
тобто
.
2. Самоспряжені лінійні перетворення. Лінійне перетворення евклідового простору називається самоспряженим, або симетричним, якщо воно збігається зі своїм спряженим перетворенням, , або, що те саме, , .
Вправа. Довести, що будь-яке лінійне перетворення одновимірного лінійного простору є самоспряженим.(, ).
Добуток двох самоспряжених лінійних перетворень не є, взагалі кажучи, самоспряженим перетворенням.
Теорема. Добуток двох самоспряжених лінійних перетворень є самоспряженим лінійним перетворенням тоді і лише тоді, коли перетворення , переставні, тобто .
Доведення. Нехай , і нехай , тобто –самоспряжене перетворення. Тоді . Звідси .
Навпаки, якщо , то , тобто – самоспряжене.
З рівності (27) випливає, що лінійне перетворення буде самоспряженим тоді і лише тоді, коли його матриця в будь-якому ортонормованому базисі симетрична, .
Теорема 1. Всі корені характеристичного рівняння матриці самоспряженого лінійного перетворення дійсні.
Доведення. Позначимо через матрицю самоспряженого перетворення в якому-небудь ортонормованому базисі. Припустимо, що характеристичне рівняння має комплексний корінь і розглянемо систему лінійних рівнянь
(28)
де . Матриця цієї системи комплексна, тому її розв’язки, взагалі кажучи, комплексні. Ненульові розв’язки існують, бо , і нехай – який-небудь ненульовий розв’язок. Підставимо в (28) і помножимо обидві частини отриманої тотожності зліва на ненульовий рядок :
. (29)
Покажемо, що – дійсне число. Будемо розглядати число як матрицю першого порядку. Тоді
. (30)
З другого боку,
.
Але – дійсна симетрична матриця, тобто , тому, за (30),
,
тобто ліва частина рівності (29) – дійсне число. Очевидно, що – також дійсне число, до того ж ненульове. Поділивши обидві частини рівності (29) на , дістаємо, що – дійсне число, що суперечить припущенню. Теорему доведено.
Теорема 2. Власні вектори самоспряженого лінійного перетворення, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.
Доведення. Нехай для самоспряженого лінійного перетворення , і . Тоді , . Звідси, рівність рівносильна рівності , тобто . Оскільки , то . Теорему доведено.
Теорема 3. Якщо підпростір евклідового простору є інваріантним підпростором самоспряженого перетворення , то ортогональне доповнення цього підпростору також є інваріантним підпростором того самого перетворення.
Доведення. За умовою, . Тоді . Оскільки – самоспряжене, то . Звідси, попередня рівність набуває вигляду , що й означає, що . Теорему доведено.
Теорема 4 (про базис з власних векторів самоспряженого перетворення). В евклідовому просторі існує ортонормований базис, який складається з власних векторів самоспряженого перетворення цього простору.
Доведення. Доведемо теорему методом математичної індукції за числом вимірності простору.
Для одновимірного евклідового простору теорема очевидна, бо в такому просторі кожний вектор є власним вектором будь-якого лінійного перетворення цього простору.
Припустимо, що теорема справджується для - вимірних евклідових просторів і доведемо її для - вимірного евклідового простору . За теоремою 1 самоспряжене перетворення в просторі має принаймні одне дійсне власне значення , а отже, має принаймні один одновимірний інваріантний підпростір, який відповідає власному значенню . Позначимо цей підпростір через, а одиничний вектор в ньому – через . Ортогональне доповнення підпростору є - вимірним підпростором, який позначимо через . За теоремою 3, є інваріантним підпростором перетворення .
Розглянемо звуження перетворення на підпросторі. Легко побачити, що перетворення самоспряжене:
.
За припущенням індукції, в існує ортонормований базис з власних векторів перетворення . Позаяк кожний власний вектор перетворення є власним вектором перетворення , то вектори є власними векторами перетворення .
Система векторів ортогональна: вектори попарно ортогональні за припущенням індукції, а вектор ортогональний до кожного з них, оскільки , а . Звідси, система векторів утворює шуканий базис. Теорему доведено.
3. Ортогональні перетворення. Лінійне перетворення евклідового простору
12.03.2013 17:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора