Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Розділ 6
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Лінійна алгебра та аналітична геометрія
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
РОЗДІЛ 6. ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ.
§ 1. Основні поняття.
1. Означення лінійного простору. Кажуть, що в множині деяких елементів визначено операцію додавання, якщо кожній парі , елементів множини поставлено у відповідність єдиний елемент тої самої множини, який називається сумою елементів , і позначається . Точно так само, в множині визначено операцію множення елементів на числа, якщо кожному елементові множини і будь-якому числу поставлено у відповідність єдиний елемент тої самої множини, який називається добутком елемента на число і позначається . Наголосимо, що так визначені операції додавання елементів та множення елемента на число не виводять за межі множини , або, що те саме, множина замкнена відносно цих операцій.
Множина деяких елементів називається лінійним простором, якщо в ній визначено операції додавання елементів та множення елемента на число і для цих операцій справджуються аксіоми:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. .
Елементи лінійного простору називаються векторами.
Лінійний простір називається дійсним лінійним простором, якщо числові множники належать полю дійсних чисел . Якщо ж скалярні множники належать полю комплексних чисел , то простір називається комплексним. Надалі, якщо не обумовлено супротивне, розглядаються комплексні лінійні простори.
2. Приклади лінійних просторів. У попередніх розділах було розглянуто два приклади дійсних лінійних просторів.
1). Множина векторів тривимірного простору разом з визначеними в ній операціями додавання векторів і множення вектора на число.
2). Множина – матриць разом з визначеними в ній операціями додавання матриць та множення матриці на число.
Наведемо ще кілька прикладів.
3). Множина функцій, визначених і неперервних на проміжку , разом зі звичайними операціями додавання функцій та множення функції на дійсне число, утворює дійсний лінійний простір. Справді, з математичного аналізу відомо, що сума двох неперервних функцій є неперервною функцією, так само як і добуток неперервної функції на число. Оскільки додавання функцій та множення функції на число зводяться до тих самих операцій над числами, а для чисел аксіоми 1–8 лінійного простору справджуються очевидним чином, то вони справджуються і для неперервних на проміжку функцій.
4). В множині всеможливих систем дійсних чисел визначимо операції додавання та множення на число за такими правилами:
а) сумою елементів , будемо називати елемент ;
в) добутком елемента на число назвемо елемент .
Зрозуміло, що так визначені лінійні операції не виводять за межі множини . Оскільки лінійні операції виконуються покомпонентно, то вони зводяться до операцій над числами, а для чисел аксіоми 1–8 справджуються. Отже, аксіоми лінійного простору справджуються і для елементів множини .
Зазначимо, що лінійний простір іноді називають арифметичним лінійним простором і цей простір в лінійній алгебрі є чи не найважливішим прикладом лінійного простру.
Точно так само сукупність впорядкованих систем комплексних чисел утворює комплексний лінійний простір.
5). Перевірити як вправу, що сукупність многочленів, степінь яких не перевищує , разом зі звичайними операціями додавання многочленів та множення многочлена на число, утворює лінійних простір.
3. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори. Вектори лінійного простру називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , серед яких принаймні одне не дорівнює нулеві, що ; якщо ця рівність можлива лише при , то вектори називаються лінійно незалежними.
Очевидно, що якщо в систему векторів входить нульовий вектор, то ця система лінійно залежна.
Якщо вектор можна подати у вигляді , то кажуть, що вектор розкладено за векторами , або що вектор є лінійною комбінацією векторів .
Теорема про лінійну залежність векторів. Ненульові вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли хоч би один з них є лінійною комбінацією решти.
Доведення. Нехай вектори лінійно залежні. Тоді існують числа , серед яких є принаймні одне ненульове, що
. (1)
Нехай . Тоді з (1) дістаємо
,
тобто вектор є лінійною комбінацією решти векторів заданої системи.
Навпаки, нехай є лінійною комбінацією векторів :
.
Звідси,
,
що й означає, що система векторів лінійно залежна.
4. Вимірність лінійного простору. У розділі “Векторна алгебра” було доведено, що на прямій будь-які два вектори лінійно залежні; на площині можна знайти два лінійно незалежні вектори, а будь-які три вектори лінійно залежні; в просторі існують трійки лінійно незалежних векторів, але будь-які чотири вектори лінійно залежні. Таким чином, максимальне число лінійно незалежних векторів на прямій, площині чи в просторі збігається з геометричним поняттям вимірності прямої, площини чи простору. Це спостереження покладено в основу означення вимірності будь-якого лінійного простору.
Означення. Лінійний простір називається – вимірним, якщо в ньому існує лінійно незалежних векторів, а будь-яка система з більшого числа векторів лінійно залежна.
Той факт, що лінійний простір є – вимірним, відзначають записом . При знаходженні вимірності простору мало знайти систему лінійно незалежних векторів, – треба ще показати, що в цьому просторі не існує ширшої системи лінійно незалежних векторів. Для цього часто використовується така лема.
Лема про лінійні комбінації. Нехай – деяка система векторів лінійного простору і нехай кожний з лінійно незалежних векторів є лінійною комбінацією векторів . Тоді .
Доведення. Доведемо лему методом математичної індукції. При лема очевидна. Припустимо, що лема справджується для векторів і доведемо, що вона справджується для векторів .
Згідно з умовою леми лінійно незалежні вектори можна подати як лінійні комбінації векторів :
(2)
Якщо всі коефіцієнти при дорівнюють нулеві, то, за припущенням індукції, . Тим більше і лему в цьому випадку доведено.
Нехай тепер хоч би один з коефіцієнтів при в рівностях (2) не дорівнює нулеві, наприклад, . Тоді з останньої рівності
.
Підставимо значення в решта рівностей (2) і зведемо подібні члени:
(3)
Якщо довести, що вектори лінійно незалежні, то за припущенням індукції , або , і лему буде доведено.
Покажемо, що вектори лінійно незалежні. Припустимо супротивне і нехай існують такі числа , серед яких є принаймні одне ненульове, що
,
або,
.
Звідси,
.
За умовою леми вектори лінійно незалежні, тому всі коефіцієнти цієї лінійної комбінації є нулями, зокрема, . З отриманої суперечності робимо висновок, що вектори лінійно незалежні. Лему повністю доведено.
Суть леми про лінійні комбінації полягає в тому, що за заданими векторами з допомогою лінійних операцій можна отримати не більше, ніж лінійно незалежних векторів.
Лема про лінійні комбінації є узагальненням наслідків з теорем 2, 4, 6 розділу “Векторна алгебра” для багатовимірних просторів.
Вправа. Показати, що якщо вектори лінійно залежні, то .
Наслідок. Якщо кожний вектор лінійного простору можна подати як лінійну комбінацію деяких лінійно незалежних векторів, то .
Справді, нехай будь-який вектор лінійного простору можна подати у вигляді лінійної комбінації лінійно незалежних векторів . Тоді, за лемою про лінійні комбінації, для будь-якої системи лінійно незалежних векторів ,
цього простору . Іншими словами, в не існує ширшої системи лінійно незалежних векторів, тому .
5. Базис лінійного простору. Будь-яка сукупність лінійно незалежних векторів –вимірного лінійного простору називається базисом цього простору.
За означенням – вимірного лінійного простору, в ньому існує лінійно незалежних векторів, тобто існує базис.
Теорема про доповнення до базису. Будь-яку систему лінійно незалежних векторів – вимірного лінійного простору , , можна доповнити до базису цього простору.
Доведення. Серед векторів простору є принаймні один вектор , який не можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів . Якби це було не так, то за наслідком з леми про лінійні комбінації , тоді як . Долучимо вектор до системи . Отримана система , лінійно незалежна за теоремою про лінійну залежність. Якщо , то у просторі існує вектор , який не є лінійною комбінацією векторів , з тої самої причини. Долучимо вектор до системи ,. Цей процес продовжуємо доти, поки не прийдемо до лінійно незалежних векторів, тобто до базису. В отриманий базис входить система векторів . Теорему повністю доведено.
Теорема існування та єдиності розкладу вектора. Будь-який вектор лінійного простору можна єдиним чином розкласти за векторами базису цього простору.
Доведення. Нехай вектори утворюють базис – вимірного лінійного простору і нехай – довільний вектор цього простору. Система складається з вектора, тому, за означенням – вимірного лінійного простору, ця система лінійно залежна:
. (4)
Якби , то рівність (4) означала б, що вектори базису лінійно залежні, що неможливо, тому і з рівності (4) маємо
,
тобто розклад вектора за векторами базису існує.
Покажемо, що цей розклад єдиний. Припустимо, що вектор має два розклади – та . Віднімемо від першої рівності другу:
.
Оскільки вектори базису лінійно незалежні, то остання рівність можлива лише при . Звідси, і єдиність розкладу доведено.
Теорема існування та єдиності розкладу вектора є підставою для такого означення рівності двох векторів: два вектори лінійного простору рівні, якщо їх розклади в деякому базисі збігаються.
6. Координати вектора. Якщо вектори утворюють базис – вимірного лінійного простору і який-небудь вектор цього простору розкладено за векторами базису,
,
то коефіцієнти цього розкладу називаються координатами вектора в базисі .
З теореми існування та єдиності розкладу вектора негайно дістаємо, що в заданому базисі кожен вектор лінійного простору має однозначно визначені координати.
Нехай два вектори лінійного простору розкладено за векторами базису :
.
З аксіом 1 – 8 лінійного простору дістаємо, що сума цих векторів має розклад
,
а для довільного числа вектор має такий розклад:
.
Іншими словами, при додаванні векторів їх координати додаються, а при множенні вектора на число його координати множаться на це число.
Зазначимо, що нульовий вектор, і лише він, має всі нульові координати у будь-якому базисі.
За теоремою існування і єдиності розкладу вектора, між векторами лінійного простору і наборами координат цих векторів у деякому базисі існує взаємно однозначна відповідність, тому вектор можна ототожнити з набором його координат. Звідси, два вектори рівні, якщо рівні їх відповідні координати.
7. Приклади базисів деяких лінійних просторів. 1. Для сукупності векторів тривимірного простору означення базису та координат вектора збігаються з відповідними означеннями, поданими у розділі “Векторна алгебра”.
2. Покажемо, що в арифметичному лінійному просторі вектори
лінійно незалежні. Припустимо супротивне і нехай для деяких чисел
.
Ця рівність рівносильна такій рівності
,
або такій
,
звідки , тобто вектори лінійно незалежні.
Будь-який вектор можна подати у вигляді
, (5)
тобто подати як лінійну комбінацію лінійно незалежних векторів . Звідси, за наслідком з леми про лінійні комбінації, простір є – вимірним, а тому система векторів утворює базис цього простору.
Зазначимо, що рівність (5) дозволяє трактувати компоненти вектора як координати цього вектора в базисі .
Вправа. Довести, що система векторів
також утворює базис арифметичного простору та знайти координати вектора у цьому базисі.
3. Такими самими міркуваннями, як і в попередньому прикладі, легко показати, що в лінійному просторі – матриць матриці
лінійно незалежні, а будь-яку – матрицю можна подати у вигляді лінійної комбінації матриць :
.
Звідси, за наслідком з леми про лінійні комбінації, множина – матриць утворює –вимірний лінійний простір, а матриці утворюють базис цього простору. При цьому елементи матриці можна розглядати як її координати в цьому базисі.
4. Покажемо, що функції , для будь-якого натурального лінійно незалежні. Припустимо супротивне і нехай існують такі числа , що
,
або
. (6)
Згідно з основною теоремою алгебри рівняння – го степеня (6) має щонайбільше різних коренів, тобто існує найбільше таких значень невідомої , що
, ,
а для будь-якого іншого значення , , ,
.
Звідси, рівність (6) може справджуватись лише при умові, що , а це означає, що функції лінійно незалежні.
Будь-який многочлен, степінь якого не перевищує , можна записати у вигляді
,
де – деякі числа, тобто будь-який многочлен , степінь якого не перевищує , можна подати як лінійну комбінацію функцій :
.
За наслідком з леми про лінійні комбінації сукупність многочленів, степінь яких не перевищує , є – вимірним лінійним простором, функції утворюють базис цього простору, а коефіцієнти многочлена є координатами цього многочлена у вказаному базисі.
5. Нехай – довільне натуральне число. У попередньому прикладі було показано, що функції лінійно незалежні, до того ж кожна з них є неперервною функцією. Звідси, завдяки тому, що довільне, в просторі неперервних функцій існує будь-яке число лінійно незалежних функцій, а це означає, що простір неперервних функцій нескінченновимірний. Нескінченновимірний простір не має базису, бо подане у п.5 означення базису не можна застосувати до нескінченновимірних просторів.
Зауважимо насамкінець, що іноді вектори лінійного простору зручно і корисно уявляти як напрямлені відрізки в цьому просторі. В такому разі всі вектори лінійного простору “паралельним” перенесенням можна звести до спільного початку, який будемо називати початком координат.(цей абзац переробити в окремий приклад векторно-афінного простору)
8. Зв’язок між базисами. Нехай – базис, а – довільна система векторів – вимірного лінійного простору . Кожний вектор , , можна розкласти за векторами базису :
. (7)
Систему рівностей (7) можна стисло записати в матричній формі
, (8)
де
, , .
Таким чином, задана система векторів однозначно визначає квадратну матрицю – го порядку , таку, що , де – вибраний базис лінійного простору . Навпаки, будь-яка квадратна матриця – го порядку однозначно визначає векторів за допомогою рівності (8). В цьому зв’язку виникає таке запитання. Які умови повинна задовольняти матриця , щоб система векторів , отримана за допомогою рівності (8), також утворювала базис простору ?
Теорема про зв’язок між базисами. Нехай – базис – вимірного лінійного простору і нехай
, (9)
де . Система векторів буде базисом простору тоді і лише тоді, коли матриця невироджена.
Доведення. Нехай система векторів утворює базис лінійного простору . Тоді кожний вектор базису можна розкласти за векторами базису ,
, .
Підставивши в цю рівність замість його значення з (9), отримаємо
,
або
.
Отримана матрична рівність визначає нульових лінійних комбінацій векторів базису , тому всі коефіцієнти кожної лінійної комбінації дорівнюють нулеві, тобто
,
або
.
Звідси, за теоремою про детермінант добутку матриць, , тобто , отже, матриця невироджена.
Покажемо тепер, що якщо матриця невироджена, то система векторів лінійно незалежна. Припустимо супротивне і нехай існує система чисел , серед яких хоч би одне не дорівнює нулеві, що . Звідси, за (9),
,
або
.
Переставивши місцями знаки суми, отримаємо
.
З лінійної незалежності векторів випливає, що всі коефіцієнти лінійної комбінації в лівій частині останньої рівності мають дорівнювати нулеві,
, ,
або, в розгорненому вигляді,
. (10)
Матриця системи (10) збігається з матрицею , тому, за умовою теореми, визначник цієї системи не дорівнює нулеві, . За правилом Крамера, система (10) має єдиний нульовий розв’язок . Це означає, що вектори лінійно незалежні і тому в –вимірному лінійному просторі утворюють базис. Теорему доведено.
Про рівність , , кажуть, що матриця визначає перехід від базису до базису , або, що матриця визначає перетворення базису в базис .
9. Зв’язок між координатами вектора у різних базисах. Насамперед домовимося надалі позначати матрицю-стовпчик одною літерою, наприклад,
.
Тоді матрицю-рядок логічно позначати літерою зі знаком транспонування, наприклад, .
Нехай в – вимірному лінійному просторі задано два базиси та і нехай
, . (11)
Кожний вектор можна розкласти як за векторами базису , так і за векторами базису ,
,
або, в матричній формі,
, (12)
де , , , . Звідси, враховуючи (11),
,
або
.
Оскільки вектори базису лінійно незалежні, то
,
або
.
Транспонуючи обидві частини, остаточно маємо
.
Таким чином, координати вектора в нештрихованому базисі визначаються лінійно через координати того самого вектора у штрихованому базисі за допомогою матриці, транспонованої до матриці, з допомогою якої вектори штрихованого базису визначаються через вектори нештрихованого базису.
§ 2. Підпростори лінійного простору.
1. Означення та приклади. Підмножина векторів лінійного простору називається лінійним підпростором простору , якщо вона замкнена відносно визначених в просторі лінійних операцій, тобто для неї справджується умова
. (13)
В кожний лінійний підпростір простору входить нульовий вектор простору . Справді, за умовою (13), разом з кожним вектором у підпросторі лежить вектор , тобто протилежний вектор. За тою самою умовою, в лежить і їх сума . Всі решта аксіоми лінійного простору для підпростору як підмножини векторів простору виконуються очевидним чином. Тому можна сказати, що підмножина сама є лінійним простором відносно визначених у просторі лінійних операцій.
Оскільки підпростір є лінійним простором, то такі поняття як вимірність, базис і т.п. властиві і для підпростору. Зазначимо, що вимірність підпростору не може перевищувати вимірності простору, бо в підпросторі не може бути ширшої системи лінійно незалежних векторів, ніж у самому просторі.
Нехай і – який-небудь базис підпростору . Доповнимо цей базис векторами до базису простору , . Величина називається ковимірністю підпростору і позначається , так що , а система векторів називається кобазисом підпростору .
Приклади.
1. У попередньому параграфі було показано, що сукупність многочленів, степінь яких не перевищує , утворює – вимірний простір. Оскільки кожний многочлен є неперервною на проміжку функцією, то вказана сукупність многочленів є – вимірним підпростором простору неперервних на проміжку функцій.
2. Нехай – який-небудь ненульовий вектор – вимірного лінійного простору . Згідно з (13), сукупність векторів , де пробігає відповідне числове поле, утворює одновимірний лінійний підпростір простору . Якщо до кожного з векторів додати один і той самий вектор , то отримаємо сукупність векторів
. (14)
У випадку тривимірного лінійного простору ми називали рівність (14) векторно-параметричним рівнянням прямої. За аналогією з тривимірним простором, сукупність векторів (14) у будь-якому лінійному просторі логічно називати прямою в цьому просторі. Сукупність векторів (14) не є, взагалі кажучи, лінійним підпростором. Одновимірний лінійний підпростір відрізняється від прямої (14) лише тим, що визначає пряму, яка проходить через початок координат паралельно до прямої (14).
Якщо у деякому базисі лінійного простору вектори мають відповідно координати , , , то векторна рівність (14) рівносильна системі скалярних рівностей
(14′)
які називаються параметричними рівняннями прямої. З системи (14′) очевидним чином отримуються канонічні рівняння прямої:
.
3. Як і у попередньому прикладі, сукупність векторів лінійного простору , які мають вигляд , де , – зафіксовані лінійно незалежні вектори простору , а і пробігають незалежно один від одного все числове поле, утворюють двовимірний лінійний підпростір. Сукупність векторів
,
де – який-небудь зафіксований вектор, називається двовимірною площиною, яка, взагалі кажучи, не є лінійним підпростором.
Вправа. Записати параметричні рівняння двовимірної площини в – вимірному лінійному просторі .
2. Лінійні оболонки. В цьому пункті розглянемо один спосіб побудови лінійних підпросторів, який є узагальненням прикладів попереднього пункту.
Нехай – деяка система векторів лінійного простору . Позначимо через множину всеможливих лінійних комбінацій векторів . Сукупність є лінійним підпростором лінійного простору . Справді, якщо , тобто , , то і тому . Лінійний підпростір називається лінійною оболонкою векторів , або підпростором, натягненим на вектори , або підпростором, породженим системою векторів . Оскільки кожний вектор лінійної оболонки є лінійною комбінацією векторів , то за лемою про лінійні комбінації .
Підпростір , породжений лінійно незалежними векторами , є –вимірним лінійним підпростором простору , а вектори утворюють в ньому базис. Справді, оскільки кожний вектор лінійного підпростору можна подати як лінійну комбінацію лінійно незалежних векторів , то, за наслідком з леми про лінійні комбінації, ; при цьому система векторів є одним з можливих базисів лінійної оболонки . Таким чином, для кожного натурального , , в – вимірному лінійному просторі існує – вимірний лінійний підпростір. Таким підпростором є лінійна оболонка будь-яких лінійно незалежних векторів. Зокрема, сам лінійний простір є лінійною оболонкою будь-якого свого базису. Зазначимо, що для справджується умова (13), тому є лінійним підпростором, до того ж .
За означенням, лінійна оболонка лінійно незалежних векторів простору збігається з множиною всеможливих лінійних комбінацій , де числа пробігають незалежно одне від одного всю числову множину. За аналогією з тривимірним простором, сукупність векторів
,
де – деякий зафіксований вектор, називається – площиною лінійного простору , або –вимірним лінійним многовидом. Якщо в деякому базисі – вимірного простору , , , , то з останньої векторної рівності отримуємо параметричні рівняння – площини:
3. Гіперплощини. Виберемо в – вимірному лінійному просторі який-небудь базис і позначимо через сукупність векторів лінійного простору координати яких у вибраному базисі задовольняють лінійне рівняння
, (15)
де – набір сталих, серед яких принаймні одна, наприклад , не дорівнює нулеві. Покажемо, що сукупність є лінійним підпростором. Очевидно, що нуль-вектор належить . Далі, нехай вектори , належать сукупності , тобто для цих векторів справджуються рівності
(16)
Координати лінійної комбінації , на підставі (16), задовольняють рівняння (15):
,
тобто , а це означає, що – лінійний підпростір.
Покажемо тепер, що і знайдемо базис . Звичайною перевіркою переконуємося, що кожен з векторів системи
(17)
належить підпросторові . Покажемо, що вектори (17) лінійно незалежні. Припустимо супротивне і нехай існують такі числа , що
.
Перейшовши до покоординатного запису, дістаємо систему рівностей:
За умовою , тому, що й означає, що система векторів (17) лінійно незалежна.
Покажемо тепер, що будь-який вектор лінійного підпростору , можна єдиним чином розкласти за векторами . Якщо це можливо, то повинен існувати єдиний набір чисел , що
, (18)
або, в координатному записі,
Звідси, , , тобто коефіцієнти лінійної комбінації (18) однозначно визначаються вектором , а перша рівність останньої системи перетворюється у рівняння (15). На підставі наслідку з леми про лінійні комбінації . Звідси, система векторів є базисом підпростору .
Розглянемо сукупність векторів лінійного простору , де , , а ─ який-небудь зафіксований вектор простору . Тоді . Підставивши координати вектора в рівняння (15) і позначивши , отримаємо рівняння
. (19)
Сукупність векторів лінійного простору, кожен з яких задовольняє рівняння (19), називається гіперплощиною даного лінійного простору. Звідси, рівняння (15) визначає гіперплощину, яка проходить через початок координат. Зазначимо, що поняття гіперплощини збігається з поняттям – площини при .
4. Перетин та сума лінійних підпросторів. Перетином двох лінійних підпросторів та лінійного простору називається сукупність векторів, яка належить кожному з підпросторів, і позначається символом .
Легко показати, що перетин є лінійним підпростором лінійного простору . Справді, кожному з підпросторів, належить нульовий вектор простору , тому нульовий вектор належить перетинові, тобто – непорожня множина. Далі, якщо деякі вектори належать перетинові, то вони, а разом з ними і їх всеможливі лінійні комбінації , належать кожному з підпросторів та , тому належать.
Приклад. Якщо, – два двовимірні лінійні підпростори тривимірного простору (дві площини, що проходять через початок координат), то – одновимірний лінійний підпростір (пряма перетину цих площин).
Сумою двох підпросторів , лінійного простору називається сукупність всеможливих векторів , які можна подати у вигляді
, , . (20)
Сума підпросторів і позначається символом .
Покажемо, що сума двох лінійних підпросторів є лінійним підпростором. Очевидно, що нуль-вектор простору входить в . Нехай – два вектори сукупності . Тоді , , де , . Звідси, . Оскільки , , то .
Приклад. Нехай, – два двовимірні лінійні підпростори тривимірного лінійного простору, . Тоді сума збігається з самим тривимірним простором.
Зауваження. Слід пам’ятати, що в означенні суми двох лінійних підпросторів не вимагається, щоб вектор підпростору можна було подати єдиним способом у вигляді суми двох векторів – один з простору, а другий з простору.
Виберемо в базис . Доповнимо цей базис, з одного боку, до базису , підпростору, а з другого боку, – до базису , підпростору .
Теорема про базис суми лінійних підпросторів. Система векторів ,, є базисом суми лінійних підпросторів та.
Доведення. Покажемо спочатку, що ця система векторів лінійно незалежна. Припустимо супротивне і нехай
, (22)
або
.
Ліва частина цієї рівності є вектором підпростору, а права – підпростору. Рівність цих двох векторів означає, що права частина належить і підпростору , тому , а тому цей вектор можна розкласти за базисом :
,
або
.
Але вектори , утворюють базис підпростору, тобто вони лінійно незалежні, тому, зокрема, . Тоді (22) набуває вигляду
.
Оскільки , – базис простору, то , тобто система векторів ,, лінійно незалежна.
Покажемо тепер, що будь-який вектор можна розкласти за векторами цієї системи. За означенням суми двох підпросторів будь-який вектор можна подати у вигляді суми
, , .
Вектор можна розкласти за векторами базису , простору, а вектор можна розкласти за векторами базису , простору. Сумуючи обидва розклади, дістаємо, що вектор є лінійною комбінацією векторів ,,. За наслідком з леми про лінійні комбінації , тому система векторів ,, є базисом підпростору . Теорему доведено.
Теорема про вимірності. Нехай, – два лінійні підпростори лінійного простору . Тоді
. (23)
Доведення. Як і у попередній теоремі, виберемо в базис і доповнимо його до базису , підпростору, а також до базису , підпростору. За теоремою про базис суми, . Оскільки базис простору складається з векторів ,, то . Точно так само , . Звідси,
.
Приклад. Перетин двох різних гіперплощин , , – вимірного лінійного простору , які проходять через початок координат, є – вимірним лінійним підпростором простору . Справді, враховуючи, що , з рівності (21) маємо . Звідси, .
5. Прямі суми лінійних підпросторів. Якщо два лінійні підпростори, лінійного простору перетинаються лише по нульовому вектору цього простору, , то сума називається прямою сумою цих підпросторів.
Пряму суму будемо позначати . З теореми про вимірності .
Приклад. Нехай базисом тривимірного лінійного простору є трійка некомпланарних векторів ,,. Позначимо через лінійну оболонку (координатна площина ), через – лінійну оболонку (координатна площина ), а через – одновимірний лінійний підпростір з базисним вектором (координатна вісь ). Тоді збігається з , але ця сума не є прямою; сума також збігається з і є прямою сумою.
Теорема. Сума двох лінійних підпросторів , лінійного простору є прямою сумою тоді і лише тоді, коли кожний вектор можна єдиним способом подати у вигляді суми , , .
Доведення. Нехай сума є прямою сумою і припустимо, що деякий вектор можна подати у вигляді суми двома способами – , , , . Прирівняємо праві частини цих рівностей, , і перепишемо отриману рівність так:
.
Ліва частина визначає вектор підпростору , а права – підпростору, тому , . Позаяк , то , . Звідси, остаточно, , , тобто вектор можна подати у вигляді суми , , єдиним чином.
Навпаки, нехай кожний вектор можна подати у вигляді суми , , єдиним способом і припустимо, що сума не є прямою, тобто . Тоді, якщо – базис , , – базис, а , – базис, то, за теоремою про базис суми лінійних підпросторів, система векторів ,, є базисом простору . Розкладемо вектор за векторами базису:
Позначимо , , . Тоді , , , але , . Суперечність. Теорему доведено.
§3. Ізоморфні лінійні простори.
1. Означення ізоморфних лінійних просторів. Поняття лінійного простору складається з двох істотно різних частин. З одного боку, лінійний простір є множиною елементів, які можуть мати найрізноманітнішу природу – многочлени, матриці, неперервні функції, напрямлені відрізки і т.п. З другого боку, в лінійному просторі визначено лінійні операції. В алгебрі цікавляться саме властивостями операцій, а конкретну природу елементів ігнорують. З такої точки зору деякі лінійні простори збудовані однаково, незалежно від конкретної природи їх елементів, тобто з алгебраїчної точки зору такі простори неможливо відрізнити один від одного. Більш точно цей аспект теорії лінійних просторів описується за допомогою поняття ізоморфізму.
Відображенням множини у множину називається будь-яке правило, за яким кожному елементові відповідає єдиний елемент і позначається , і т.п. При цьому елементи множини називаються прообразами, а елементи множини – образами відображення . Якщо при цьому , то відображення називається перетворенням множини .
Відображення множини в множину називається взаємно однозначним, якщо для нього справджуються такі умови:
1) , , , , , ;
2) .
В сучасній математичній літературі відображення називають ін’єктивним, якщо для нього справджується умова 1); якщо ж для відображення справджується лише умова 2), то його називають сюр’єктивним; відображення, яке є одночасно ін’єктивним і сюр’єктивним, тобто взаємно однозначне відображення, називають бієктивним.
Нехай , . Відображення називається оберненим до відображення , якщо для будь-якого елемента . Обернене до відображення позначається . Очевидно, що взаємно однозначне відображення має обернене. Крім того, відображення є оберненим до відображення , .
Два лінійних простори та називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення , для якого справджуються такі умови:
, (24)
, (25)
тобто образ суми двох векторів дорівнює сумі образів, а образ добутку вектора на число збігається з добутком образу цього вектора на те саме число. При цьому відображення називається ізоморфізмом.
Зазначимо, що умови (24), (25) можна об’єднати однією рівністю
.
Вправа. Довести, що якщо відображення є ізоморфізмом, то обернене відображення також є ізоморфізмом.
Зауважимо, що при ізоморфному відображенні образом нульового вектора простору є нуль простору . Справді, для будь-якого вектора простору , якому відповідає вектор простору , маємо
,
а це означає, що образ нуля є нулем простору .
2. Лема про природний ізоморфізм. Нехай та – два – вимірні лінійні простори з базисами та відповідно. Відображення , яке будь-якому векторові простору ставить у відповідність вектор простору за правилом
(26)
є ізоморфним відображенням простору на простір .
Доведення. Покажемо, що відображення взаємно однозначне. За теоремою існування та єдиності розкладу вектора, кожний вектор можна єдиним способом розкласти за векторами базису , . Якщо , і , то їх розклади відрізняються принаймні одним коефіцієнтом. Іншими словами, для деякого , . Образи , цих векторів при відображенні мають відповідно розклади , і тому . Отже, для відображення виконується умова 1) взаємно однозначного відображення. Далі, для будь-якого вектора лінійного простору існує вектор простору , що , тобто для відображення справджується умова 2) взаємно однозначного відображення. Таким чином, відображення взаємно однозначне.
Покажемо тепер, що є ізоморфним відображенням. Нехай , – два довільні вектори простору . Тоді, за (26), , . Звідси
;
.
Лему доведено.
Збудоване в цьому пункті відображення будемо називати природним ізоморфізмом
12.03.2013 17:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора