Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Розділ 3
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Лінійна алгебра та аналітична геометрія
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
3. Кут між двома прямими. Нехай прямі , утворюють з віссю абсцис кути , . Кутом між прямими , будемо називати будь-який з двох можливих кутів, які утворюють між собою ці прямі, наприклад, кут . Тоді.Якщо відомо кутові коефіцієнти , прямих , відповідно, то . (14)
4.Умови паралельності двох прямих. Два вектори та колінеарні тоді і лише тоді, коли існує таке ненульове число , що . Якщо , , то векторна рівність рівносильна системі скалярних рівностейЗвідси два вектори колінеарні тоді і лише тоді, коли їх координати пропорційні.Твердження 1. Дві прямі , , задані , відповідно, паралельні тоді і лише тоді, коли.Доведення. , . Прямі , паралельні тоді і лише тоді, коли їх нормалі , колінеарні. Оскільки два вектори колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні, то.
Твердження 2. Якщо прямі , задано , відповідно, то прямі , паралельні тоді і лише тоді, коли .Доведення. Прямі , паралельні тоді і лише тоді, коли кут між ними дорівнює 0, що можливо лише тоді, коли . Тоді з рівності (14) дістаємо, що .
5. Умови перпендикулярності двох прямих. Твердження 3. Прямі , , задані загальними рівняннями, взаємно перпендикулярні тоді і лише тоді, коли .Доведення. Прямі , взаємно перпендикулярні тоді і лише тоді, коли взаємно перпендикулярні їх нормалі та , при умові, що , .Твердження 4. Дві прямі , , задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом, взаємно перпендикулярні тоді і лише тоді, коли .Доведення. Прямі , перпендикулярні тоді і лише тоді, коли кут між ними прямий, , тобто , що, на підставі рівності (14), можливо лише тоді, коли . Звідси, .
6. Жмуток прямих. Множина прямих, які лежать в одній площині і кожна з яких проходить через фіксовану, називається жмутком прямих, а називається центром жмутка. Нехай проходить через і має рівняння. (15)Якщо та є змінними параметрами, то (15) задає множину прямих, кожна з яких проходить через.
Парою прямих. Справді, нехай прямі , , визначені загальними рівняннями , відповідно, належать жмуткові з центром у точці . Тоді.Звідси, будь-яка пряма з множини прямих, що визначається рівнянням, (16)де – довільні числа, проходить через центр жмутка і тому належить жмуткові.ьПоділимо обидві частини рівняння (16) на і . Тоді (16) має вигляд.
8. Зведення загального рівняння прямої до нормального вигляду. Якщо пряму задано ,то для знаходження її нормального рівняння досить перейти від до . Для цього помножимо рівняння прямої на нормувальний такий, щоб дістати одиничну нормаль:.З умови маємо,звідки .Щоб забезпечити умову , знак нормувального множника слід брати протилежним до знака вільного члена .
1. Рівняння площини.Позначимо через радіус-вектор точки , а через – радіус-вектор змінної , яка належить площині . Оскільки координати точки є одночасно координатами її радіуса-вектора, то , . Тоді вектор лежить у площині , тому і взаємно перпендикулярні. Звідси. (20)Рівняння (20) називається векторним рівнянням площини . Враховуючи, що скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат цих векторів, то з (20) дістаємо рівняння, (21)
яке називається рівнянням площини, що проходить через задану точку. Позначивши , з (21) дістаємо загальне рівняння площини. (22)Якщо в рівності (22) , то,або, . (23)Це рівняння площини у відрізках. Тут – відрізки, які площина відтинає по осях координат: – по осі абсцис, – по осі ординат і – по осі аплікат. Нехай площина проходить через точку , паралельно до пари неколінеарних векторів , . Тоді для кожної змінної площини вектор можна єдиним чином подати у вигляді лінійної комбінації векторів , :. (24)Величини , називаються параметрами, а рівняння (24) називається векторно-параметричним рівнянням площини.
Векторне рівняння (24) рівносильне трьом скалярним рівностям(25які називаються параметричними рівняннями площини.Оскільки вектори , , компланарні, то. (26)Якщо, площина проходить через три точки , , , які не лежать на одній прямій, то за можна взяти точку , а за , можна взяти вектори , . Тоді векторна рівність (26) в координатній формі має вигляд. (27)Це рівняння площини, щочерез три точки.
2. Кут між двома площинами. Кутом між двома площинами називається кут між їх нормалями. Якщо площини задано загальними рівняннями ,то нормалі , мають координати , відповідно, тому .
3. Умова паралельності двох площин. два ненульових вектори , колінеарні тоді і лише тоді, коли їх координати пропорційні.Векторна рівність рівносильна трьом скалярним рівностям . Звідси, . (28)Нехай дві площини , задано . (29)Тоді вектори , є нормалями площин , відповідно.Твердження. Дві площини , паралельні тоді і лише тоді, коли їх нормалі та колінеарні. Звідси, на підставі рівностей (28),.
4. Умова перпендикулярності двох площин. Дві площини , , задані загальними рівняннями , перпендикулярні тоді і лише тоді, коли .(30)Справді, площини , перпендикулярні тоді і лише тоді, коли перпендикулярні їх нормалі та . Звідси, , тобто .
1. Рівняння прямої у просторі. як перетин двох непаралельних площин: Це загальні рівняння прямої у просторі.Нехай пряма проходить через в напрямі . Нехай – змінна прямої, а – її радіус-вектор. Позначимо через радіус-вектор точки . Тоді вектор колінеарний до вектора . За теоремою 1 попереднього розділу, існує таке число , що.(33)
Векторне рівняння (33) прямої рівносильне трьом скалярним рівностям (34)звідки дістаємо параметричні рівняння прямої (35)З умови негайно дістаємо . (36) називається канонічними рівняннями прямої у просторі.
12.03.2013 17:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора