Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Розділ 4
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Лінійна алгебра та аналітична геометрія
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
1. Канонічне рівняння еліпсаВиберемо прямокутну декартову систему координат так, щоб фокуси , еліпса були розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат і нехай вони мають відповідно координати та . Розглянемо довільну еліпса і знайдемо рівняння еліпса. Згідно з означенням еліпса,.(1) Зрозуміло, що еліпс існує лише при умові, що , тобто.(2) , . ,або ..
..
Оскільки , то можна позначити ,(3).
Поділивши обидві частини на дістаємо канонічне рівняння еліпса. (4)
3. Ексцентриситет еліпса. Ексцентриситетом називається величина. (5)Оскільки , то . При . Звідси, завдяки (3), ,еліпс переходить у коло. Якщо ж , то , тому ,еліпс сплющується до відрізка . Таким чином, ексцентриситет характеризує ступінь сплющеності еліпса.Покажемо, що еліпс можна отримати рівномірним стиском кола. Нехай коло радіуса задано рівнянням , або.(6)
Виконаємо рівномірний стиск площини вздовж осі в разів. Тоді точка кола перейде в , , , а коло (6) перейде в лінію . позначивши через , отримуємо рівняння еліпса.
.4. Фокальні радіуси еліпса. Для кожної точки еліпса відрізки та називаються її фокальними радіусами. Позначимо через довжину відрізка , а через – довжину відрізка . Знайдемо і . .Звідси,.(7)
.Остаточно,. (8)
5. Директриси еліпса. Дві прямі, перпендикулярні до великої осі еліпса і віддалені від центра еліпса на відстань , називаються директрисами еліпса визначаються рівняннями. (9)
Оскільки , то ,директриси не перетинають еліпса. Фокус і директриса еліпса, розташовані по один бік від малої осі еліпса,так що для фокуса відповідною є директриса , а для фокуса – директриса .Наступна властивість директрис є характеристичною властивістю еліпса.Теорема. Точка лежить на еліпсі тоді і лише тоді, коли відношення відстані цієї точки від фокуса до відстані від відповідної директриси є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса.Доведення. Нехай точка лежить на еліпсі . (10)Тоді відстань від точки до фокуса обчислюється , а відстань від точки до відповідної директриси – за формулою . Звідси,.Точно так само.Навпаки, нехай – деяка точка площини, для якої , де – відстань від точки до фокуса еліпса (10), а – відстань від точки до відповідної директриси того самого еліпса. Покажемо, що точка лежить на еліпсі (10). як відстань між двома точками. З нормального рівняння директриси дістаємо, що відстань від до цієї директриси дорівнює . Тоді,або . або. , та – такого:. ,
6. Дотична до еліпса. Знайдемо рівняння дотичної до еліпса в точці .m. (11)Кутовий коефіцієнт дотичної до еліпса в точці дорівнює . Знайдемо диференціюванням рівняння (10) еліпса: ,звідки.Зокрема,.
Підставимо в (11) замість його значення :.Звідси, .,остаточно. (12)
1. Канонічне рівняння гіперболи. . (13)Оскільки в трикутнику різниця двох сторін менша від третьої сторони , то для гіперболи , або . Знайдемо та як відстані між двома точками, і підставимо в рівність (13):.Звідси,
,.
..
;.
Оскільки для гіперболи , то , тому .(14)Тоді .
. (15)
3. Асимптоти гіперболи. Завдяки симетрії гіперболи можна обмежитись дослідженням лише тої її частини, яка лежить у першій чверті і визначається рівнянням. (16) Розглянемо пряму. (17)Зведемо її рівняння до нормального вигля (18)
і знайдемо від змінної лінії (16), до прямої (17). Зазначимо, що якщо точка лежить на лінії (16), то вона має координати . Підставивши координати точки в ліву частину рівняння (18), знайдемо .Звідси, при . Це означає, що при необмеженому зростанні частина гіперболи (16) необмежено наближується до прямої (17).Зауважимо, що пряма (19)
симетрична до прямої (17) відносно осей координат. Оскільки гіпербола також симетрична відносно осей координат, то пряма (19) має аналогічну до прямої (17) властивість. Пряміназиваються асимптотами гіперболи.
5. Ексцентриситет гіперболи. Ексцентриситетом гіперболи називається величина. (20)
Оскільки для гіперболи , то .
6. Фокальні радіуси. Для точок правої вітки гіперболи
.Звідси,. (21)Точно так само
. (22)
8. Дотична до гіперболи. Для знаходження дотичної до гіперболи в її використаємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через задану точку
(27).Для дотичної . Будемо шукати диференціюванням рівняння гіперболи (26):.Звідси,.Зокрема,.Підставимо в (27);;;
;.
1. Канонічне рівняння параболи. Відстань від фокуса параболи до директриси називається параметром параболи і позначається літерою , . візьмемо середину відрізка , довжина якого збігається з параметром параболи . Тоді фокус параболи має координати , а директриса має рівняння . (28)Нехай точка належить параболі. Сполучимо точку з фокусом і довжину відрізка позначимо через . Очевидно, що як відстань між двома точками. Опустимо з точки перпендикуляр на директрису і довжину перпендикуляра позначимо через , яку можна знайти з нормального рівняння директриси за формулою . Згідно з означенням параболи , тобто.Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрата,звідки і дістаємо канонічне рівняння параболи. (29)
3. Фокальний радіус параболи. Відстань від фокуса параболи до будь-якої її точки називається фокальним радіусом цієї точки. Оскільки для параболи (29) і , то . З означення параболи , тому. (31)
4. Дотична до параболи. будемо шукати у вигляді. (32)і знайдемо
Зокрема,. замість в рівняння (32): .Звідси,
.Оскільки , то,або. (33)
1. Перетворення декартової системи координат на площині. Нехай задано два базиси та , які визначають дві декартові системи координат та відповідно. Нехай змінна площини має координати та в системах координат та відповідно. Позначимо через радіус-вектор, так що . (34)Розкладемо кожний з векторів базису за векторами базису . (35)і підставимо отримані розклади в рівність (34): .Звідси, (36)
2. Поворот системи координат.Нехай прямокутна декартова система координат з базисом отримується поворотом на кут прямокутної декартової системи координат з базисом . Оскільки координатами одиничного вектора є його напрямнні косинуси, то . Тоді формули (35), (36) набувають вигляду (35′) (36′)
3. Паралельне перенесення системи координат. Нехай система координат отримується перенесенням системи координат так, що початок координат переходить в точку , яка має координати в системі координат , а осі координат , паралельні до осей , відповідно. Тоді, з рисунка, для змінної точки , яка має координати в системі та координати в системі , справджуються рівності (37)
4. Класифікація кривих другого порядку. Кривою другого порядку називається лінія на площині координати кожної точки якої в деякій прямокутній декартовій системі координат задовольняють рівняння. (38)Рівняння (38) називається загальним рівнянням кривої другого порядку.Позначимо . Крива другого порядку називається кривою гіперболічного типу, якщо ; якщо , то крива називається кривою параболічного типу; у випадку крива називається кривою еліптичного типу.
12.03.2013 17:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора