Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Розділ 1
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Лінійна алгебра та аналітична геометрія
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
РОЗДІЛ 1. МАТРИЦІ ТА ВИЗНАЧНИКИ. крамерові СИСТЕМИ РІВНЯНЬ.
Вступ.
При початковому знайомстві з лінійною алгеброю можна вважати, що одним з основних об’єктів вивчення в лінійній алгебрі є система лінійних алгебраїчних рівнянь
(1)
відносно якої необхідно з’ясувати такі питання: 1) при яких умовах система (1) має розв’язки (система сумісна), а при яких не має розв’язків; 2) при яких умовах система (1) має єдиний розв’язок та конструювання методів його знаходження; 3) при яких умовах система (1) має не єдиний розв’язок та опис всіх розв’язків у прийнятній формі. Для всебічного вивчення цих задач необхідний певний інструментарій – теорія матриць, теорія визначників і т.д. Для побудови теорії визначників, зокрема, зручно скористатися поняттями перестановки та підстановки.
У перших чотирьох параграфах цього розділу подаються основні поняття теорії матриць, розглядаються основні властивості перестановок і підстановок та будується теорія визначників. В останньому, п’ятому, параграфі розглядаються найважливіші методи розв’язування системи (1) при умові, що система має єдиний розв’язок. Питання сумісності системи (1) та проблема знаходження всіх її розв’язків у випадку, коли система має не єдиний розв’язок, розглядаються у наступних розділах.
§1. Матриці.
1. Основні поняття та означення. Матрицею називається прямокутна таблиця, заповнена деякими величинами, які будемо називати елементами матриці.
Як правило, елементи матриці позначають однією літерою з двома індексами, де перший індекс визначає номер рядка, в якому міститься даний елемент, а другий – номер стовпчика. Наприклад, - елемент матриці, який лежить на перетині сьомого рядка та четвертого стовпчика. Звідси, - матрицю, тобто матрицю, яка має рядків та стовпчиків, в загальному вигляді можна записати так
.
Матриці позначають великими латинськими літерами, а також часто вживають скорочений запис .
Якщо , то матриця називається квадратною матрицею -го порядку і має вигляд
. (2)
Діагональ квадратної матриці, яка складається з елементів , називається головною діагоналлю. Якщо всі елементи матриці, крім елементів головної діагоналі, є нулями, то матриця називається діагональною. Якщо в діагональній матриці всі елементи головної діагоналі – одиниці, то матриця називається одиничною і позначається літерою , або літерою .
Матриця, всі елементи якої є нулями, називається нульовою матрицею і позначається літерою .
Якщо рядки будь-якої матриці записати стовпчиками, або, що те саме, стовпчики – рядками, то отримана матриця називається транспонованою до матриці і позначається . Зазначимо, що на перетині -того рядка та -того стовпчика матриці стоїть елемент . Іншими словами, якщо , , то .
2. Символ . Для скороченого запису суми використовується позначення , так що
;
при цьому називається знаком суми, а індекс називається індексом сумування.
Легко перевірити, що для знака суми справджуються такі властивості.
10. Індекс сумуваня можна змінювати:
20. Множник, який не залежить від індекса сумування, можна винести за знак суми:
.
30. .
40. Два знаки суми, які стоять поруч, можна переставити місцями:
.
Для доведення цієї властивості досить знайти суму елементів - матриці двома способами. Спочатку для кожного рядка матриці знайдемо суму елементів цього рядка, а потім просумуємо знайдені величини:
Повторивши такі самі міркування для стовпчиків матриці , отримаємо
Звідси,
3. Додавання матриць. Сумою двох - матриць та називається - матриця , кожен елемент якої обчислюється як сума відповідних елементів матриць та за формулою
, , .
Сума матриць та позначається .
У розгорненому вигляді для матриць
,
.
Наголосимо, що операція додавання матриць визначається лише для матриць однакової розмірності – обидві матриці-доданки повинні мати однакову кількість рядків і рівне число стовпчиків. Для матриць, які не задовольняють цієї вимоги, операція додавання не визначається.
Приклад.
.
4. Множення матриці на число. Добутком - матриці на число називається - матриця , кожен елемент якої є добутком відповідного елемента матриці на число
, , .
Добуток матриці на число позначається .
У розгорненому вигляді
.
Якщо, зокрема, , то добуток можна позначити через . Матриця називається протилежною до матриці .
Приклад.
5. Властивості лінійних операцій над матрицями. Операції додавання матриць та множення матриці на число називаються лінійними операціями над матрицями. Лінійні операції над матрицями мають такі властивості:
10.
20.
30.
40.
50.
60.
70.
80. .
Справді, оскільки лінійні операції над матрицями виконуються поелементно і властивості 10-80 справджуються для чисел, то вони справджуються і для матриць. Зазначимо, що символ 1 в записі властивості 50 означає число 1.
Лінійні операції над матрицями дозволяють визначити різницю двох матриць за формулою
.
6. Множення матриць. Нехай задано - матрицю та - матрицю . Добутком матриць та називається - матриця , кожен елемент якої обчислюється за формулою
, , .
Подане означення добутку двох матриць стисло формулюють так: елемент матриці-добутку, який стоїть на перетині -го рядка та -го стовпчика, дорівнює добутку -го рядка першої матриці на -й стовпчик другої матриці.
Наголосимо, що не кожні дві матриці можна перемножити. Дві матриці можна перемножити лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці, або, що те саме, ширина першого співмножника дорівнює висоті другого. При цьому висота матриці-добутку збігається з висотою першого множника, а ширина – з шириною другого. Зокрема, дві квадратні матриці одного й того самого порядку завжди можна перемножити, до того ж матриця-добуток є квадратною матрицею того самого порядку.
Приклади.
1. .
2. .
3. .
7. Властивості множення матриць. У припущенні, що множення матриць можливе, покажемо, що ця операція має такі властивості.
10. .
Властивість підтверджується прикладами 2, 3 попереднього пункту. Зазначимо, що якщо добуток визначений, то добуток не завжди визначений. Може статися, однак, що для деяких матриць та . Такі матриці називаються переставними. Зокрема, одинична матриця переставна з будь-якою квадратною матрицею того самого порядку:
.
Звідси, одинична матриця відіграє роль одиниці при множенні матриць.
20. .
Нехай , ; , , ; , , ; . Тоді всі добутки , , , визначені. Позначимо , , , . Властивість буде доведено, якщо буде встановлено, що .
Знайдемо
,
.
Звідси, , тобто .
30. .
Нехай , ; , , ; , , ; . Позначимо , , , , і знайдемо
,
,
тобто і властивість доведено.
Точно так само доводиться, що .
40. .
Справді,
.
50. .
Розуміється, що обидві матриці та квадратні одного й того самого порядку . Позначимо , , , , . Тоді
,
.
Звідси, , тобто .
§2. Перестановки та підстановки.
1. Означення перестановки. Нехай - деяка множина з елементів, які перенумеровано за допомогою чисел . Позаяк природа елементів множини нас не буде цікавити, то можна вважати, що елементами множини є номери , тобто , які зовсім не обов’язково розміщувати в порядку зростання.
Множина перших натуральних чисел, записаних у деякому певному порядку, називається перестановкою з елементів.
Перестановку з елементів в загальному вигляді записують так
.
Тут кожен зі символів означає одне з чисел , причому жодне з цих чисел не зустрічається двічі.
Теорема 1. Число різних перестановок з елементів дорівнює .
Доведення. За можна взяти будь-яке з чисел , тобто маємо можливостей для вибору першого елемента перестановки. Якщо вибрано, то за можна взяти будь-яке з чисел, що залишилися після вибору . Звідси, число можливостей для вибору та дорівнює . Для вибору маємо можливості, тому , , можна вибрати способами. Продовжуючи далі такі міркування, доходимо висновку, що різних перестановок з елементів є .
2. Інверсії та парність; транспозиції. Кажуть, що пара елементів , в перестановці утворює інверсію, якщо . Кількість всіх пар елементів, що утворюють інверсії, називається числом інверсій перестановки. Наприклад, в перестановці (1, 5, 2, 4, 3) число інверсій дорівнює 4, оскільки є 4 пари, що утворюють інверсії – (5, 2), (5, 4), (5, 3), (4, 3). Перестановка з парним числом інверсій називається парною, а перестановка з непарним числом інверсій називається непарною.
Перетворення перестановки при якому переставляються місцями два її елементи, а решта елементів залишається на місці, називається транспозицією.
Теорема 2. Будь-яка транспозиція змінює парність перестановки.
Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли елементи над якими виконується транспозиція, стоять поруч в перестановці . Транспозиція перетворює цю перестановку в перестановку . Кожен з елементів і в обох перестановках утворює ті самі інверсії з елементами, які залишилися на місці. Якщо елементи і не утворювали інверсії в заданій перестановці, то вони утворюють її в новій перестановці, тобто число інверсій збільшилося на одиницю. Навпаки, якщо і утворювали інверсію, то в новій перестановці вони її не утворюють, тобто число інверсій зменшилося на одиницю. В обох випадках парність перестановки зміниться.
Нехай тепер між елементами і міститься елементів, тобто перестановка має вигляд
.
Транспозицію елементів і можна дістати в результаті послідовного виконання траспозицій сусідніх елементів – спочатку переставляється разів вправо, а потім переставляється разів вліво:
.
На підставі першої частини доведення кожна з транспозицій сусідніх елементів змінює парність підстановки, тобто парність заданої перестановки змінюється непарне число разів, а тому отримана перестановка має протилежну парність щодо заданої перестановки.
Зазначимо без доведення, що при число парних перестановок з елементів збігається з числом непарних, тобто дорівнює .
3. Означення підстановки. Підстановкою -го степеня називається взаємно однозначне відображення множини на себе.
Підстановку зручно записувати двома рядками - під кожним з елементів , розміщених у вигляді рядка, записують його образ при заданому відображенні у нижньому рядку. Наприклад, запис
означає, що 1 відображується в 3, 2 – в 2, 3 – в 4, 4 – в 1.
Елементи верхнього рядка зручно записувати в натуральному порядку, тобто підстановку -го степеня можна записати так:
,
де - деяка перестановка множини . Звідси, число різних підстановок -го степеня збігається з числом різних перестановок з елементів, тобто, за теоремою 1, дорівнює .
Зауважимо, що підстановка не зміниться, якщо деякі її стовпчики переставити місцями. Звідси, у найзагальнішому вигляді підстановка записується так:
,
де верхній і нижній рядки – деякі перестановки множини , а від одного запису підстановки до іншого її запису можна перейти за допомогою кількох транспозицій стовпчиків.
4. Парні та непарні підстановки. За теоремою 2, кожна транспозиція стовпчиків підстановки змінює парність числа інверсій як верхньої, так і нижньої перестановок. Звідси, парність чи непарність суми чисел інверсій цих перестановок не змінюється при траспозиції стовпчиків, а отже, не залежить від запису підстановки.
Підстановка називається парною, якщо сума чисел інверсій верхньої і нижньої перестановок довільного її запису парна; у супротивному випадку підстановка називається непарною.
З поданого означення випливає, що підстановка парна, якщо парності обох її перестановок збігаються, і непарна, якщо парності її перестановок різні.
Позначимо через суму чисел інверсій обох перестановок підстановки . Тоді буде парною, якщо і непарною, якщо .
5. Множення підстановок. Добутком двох підстановок -го степеня і називається підстановка того самого -го степеня, яка збігається з послідовним виконанням підстановок та і яка позначається .
Приклад. Нехай
, .
Тоді
.
Легко перевірити, що добуток підстановок асоціативний, тобто
,
але не комутативний:
.
Тотожна підстановка
відіграє роль одиниці при множенні підстановок:
.
Наголосимо, що операція множення для підстановок різних степенів не визначається.
6. Обернена підстановка. Якщо в записі підстановки переставити місцями рядки, то отримана підстановка називається оберненою до . Очевидно, що добуток підстановки на обернену є тотожною підстановкою. Обернену підстановку до підстановки позначають символом . Очевидно також, що для будь-якої підстановки існує обернена їй.
7. Поняття про групу. Кажуть, що в множині яких-небудь елементів визначено бінарну операцію, якщо вказано правило, за яким кожній парі елементів цієї множини ставиться у відповідність єдиний елемент тої самої множини . Цю операцію часто називають множенням, а елемент називають добутком елементів та і позначають .
Множина яких-небудь елементів називається групою, якщо в цій множині визначено бінарну операцію (множення) для якої справджуються такі аксіоми:
1) операція множення асоціативна, тобто ;
2) в множині існує елемент такий, що ; елемент називається одиничним елементом і часто позначається символом 1;
3) для кожного елемента існує елемент такий, що ; елемент називається оберненим до і позначається символом .
Оскільки в множині підстановок -го степеня визначено операцію множення для якої справджуються всі аксіоми групової операції, то множина підстановок -го степеня утворює групу відносно операції множення підстановок.
§3. Визначники.
1. Визначники 2-го та 3-го порядків. Визначником 2-го порядку називається величина, яка однозначно визначається квадратною матрицею 2-го порядку за правилом
.
Визначник інакше називають детермінантом і для визначника матриці використовують такі позначення: , , .
Приклади.
1. .
2. .
Визначником 3-го порядку називається величина, яка визначається матрицею третього порядку за правилом
.
Легко запам’ятати, що доданки у визначнику третього порядку разом зі знаками визначаються за схемами
Приклад.
2. Означення визначника -го порядку. Визначником -го порядку називається величина, що визначається квадратною матрицею -го порядку як алгебраїчна сума доданків, кожен з яких є добутком різних елементів матриці, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпчика, причому доданок береться зі знаком плюс, якщо індекси його співмножників складають парну підстановку, і зі знаком мінус – у супротивному випадку.
Означення визначника -го порядку стисло можна записати так:
, (3)
де - підстановка, верхню перестановку якої утворюють перші індекси співмножників, а нижню перестановку – другі індекси, так що
,
причому сумування проводиться по всій множині різних підстановок -го степеня.
Зазначимо, що означення визначників 2-го і 3-го порядку випливають з рівності (3) при і відповідно.
3. Властивості визначників. Означення визначників 2-го та 3-го порядку збігаються з правилами обчислення цих визначників. У випадку визначника -го порядку подане означення фактично непридатне для його обчислення. У цьому пункті вивчаються властивості визначників з метою віднайти більш-менш прийнятні способи їх обчислення.
10. Транспонування матриці не змінює величини її визначника, тобто . Справді, кожний доданок визначника матриці з точністю до знака має вигляд
. (4)
Але всі множники добутку (4) і у визначнику матриці залишаються в різних рядках та різних стовпчиках, тому добуток (4) є членом визначника матриці . Отже, визначники матриць та складаються з одних і тих самих членів. Знак члена (4) у визначнику матриці визначається підстановкою
, (5)
а знак цього члена у визначнику матриці - підстановкою
. (6)
Оскільки парності підстановок (5) і (6) збігаються, то член (4) входить як у визначник матриці , так і у визначник матриці з тим самим знаком. Отже, визначники матриць та є сумами однакових членів, взятих з тими самими знаками, тому .
З доведеної властивості дістаємо важливий наслідок: рядки та стовпчики визначника рівноправні.
20. Якщо який-небудь рядок визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулеві. Справді, в кожен член визначника повинен увійти множником один з елементів нульового рядка, тому кожен член визначника, а отже, і сам визначник, дорівнює нулеві.
30. Якщо переставити місцями два рядки визначника, то визначник змінить знак на супротивний. Справді, переставляючи місцями -й та -й рядки визначника
,
дістанемо
. (7)
Якщо добуток
(8)
є членом визначника , то всі його співмножники й у визначнику (7) залишаються в різних рядках і різних стовпчиках, тому є членом визначника (7). Звідси, визначник і визначник (7) складаються з тих самих членів. Знак добутку (8) у визначнику визначається підстановкою
, (9)
а у визначнику (7) – підстановкою
, (10)
бо, наприклад, елемент матриці стоїть тепер в -тому рядку, але залишається в старому -тому стовпчику. Підстановки (9) і (10) мають, очевидно, протилежні парності, тому член (8) входить у визначник і визначник (7) з супротивними знаками, а тому і самі визначники мають супротивні знаки.
40. Якщо визначник має два однакові рядки, то він дорівнює нулеві. Справді, нехай значення визначника дорівнює і нехай його -тий та -тий рядки однакові. Переставивши -тий та -тий рядки місцями, дістаємо, з одного боку, що нічого не змінилося і “новий” визначник дорівнює , а з другого боку, за 30, визначник змінив знак і, отже, дорівнює . Таким чином, і звідси, .
50. Спільний множник елементів якого-небудь рядка можна винести за знак визначника. Справді,
.
60. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулеві. Справді, нехай елементи -того рядка відрізняються від відповідних елементів -того рядка на множник . Після винесення спільного множника з -того рядка за знак визначника отримаємо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулеві на підставі 40.
70. Якщо всі елементи -того рядка є сумами двох доданків, , то визначник дорівнює сумі двох визначників, в яких всі рядки, крім -того, такі самі, як і у заданому визначнику, а -тий рядок одного з доданків складається з , а другого – з :
.
Справді,
Наслідок.
.
Кажуть, що -тий рядок визначника є лінійною комбінацією решти рядків, якщо існують такі числа , що для всіх .
80. Якщо один з рядків визначника є лінійною комбінацією його решти рядків, то визначник дорівнює нулеві. Справді, застосовуючи послідовно властивості 7º та 6º, отримаємо
.
90. Якщо до якого-небудь рядка визначника додати лінійну комбінацію решти його рядків, то величина визначника не зміниться. Справді, за властивостями 7º, 8º,
.
4. Мінори та їх алгебраїчні доповнення. Визначник -того порядку, утворений елементами, що стоять на перетині яких-небудь рядків та яких-небудь стовпчиків визначника -го порядку , , називається мінором -го порядку визначника .
Нехай - визначник -го порядку і нехай - який-небудь його мінор -го порядку, . Після викреслювання рядків та стовпчиків на перетині яких розташований мінор , залишаться елементи, які утворюють мінор порядку , який називається доповняльним мінором мінора .
Нехай мінор -го порядку розташований в рядках з номерами та стовпчиках з номерами . Позначимо . Алгебраїчним доповненням мінора називається доповняльний мінор , взятий зі знаком , тобто .
5. Теорема про добуток мінора на його алгебраїчне доповнення. Добуток довільного мінора визначника на його алгебраїчне доповнення є алгебраїчною сумою, кожний доданок якої є доданком визначника .
Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли мінор розташований у верхньому лівому кутку визначника .
.
В цьому випадку є числом парним, тому , тобто алгебраїчне доповнення мінора збігається з доповняльним мінором .
Мінор , як визначник, складається з доданків, що мають вигляд
, , (11)
а мінор - з доданків
, . (12)
Перемноживши вирази (11) і (12), дістанемо, що добуток мінорів складається з доданків, які мають вигляд
. (13)
Покажемо, що добутки (13) є одночасно і доданками визначника . Справді, елементи в добутку (13) беруться з різних рядків і різних стовпчиків, тому цей добуток увійде у визначник , але зі знаком , де
.
Оскільки , то жодне не може утворювати інверсії з жодним . Звідси, число інверсій підстановки дорівнює сумі чисел інверсій підстановок і , тому
.
Але добуток (13) має саме такий знак, тому (13) є доданком визначника .
Доведемо тепер загальний випадок, коли мінор розташований у рядках з номерами та у стовпчиках з номерами , до того ж , .
Переставимо місцями рядки та стовпчики визначника так, щоб мінор перемістився у верхній лівий кут. Для цього переставимо -й рядок з -м, потім з -м і т.д., поки -й рядок не опиниться на місці першого рядка; при цьому буде виконано транспозицій рядків. Аналогічно переставимо -й рядок на місце другого рядка, виконавши транспозицій рядків. Таке переставляння продовжуємо доти, поки рядок з номером не опиниться на місці -того рядка. При цьому, очевидно, буде виконано
транспозицій рядків.
Тепер аналогічним чином переставимо стовпчики з номерами визначника , виконавши при цьому транспозицій стовпчиків.
Після проведених перетворень отримується визначник , у якому мінор розташований у верхньому лівому кутку, а мінор - у правому нижньому. Оскільки визначник отримано з визначника шляхом виконання
транспозицій рядків і стовпчиків, то за 30,
. (14)
У першій частині доведення було показано, що добуток є сумою певної кількості доданків визначника . Враховуючи (14), дістаємо, що є сумою певної кількості доданків визначника , або, що те саме, доданки добутку є доданками визначника . Теорему доведено.
6. Розклад визначника за елементами рядка, або стовпчика. Позначимо через доповняльний мінор елемента визначника , тобто мінор -го порядку, який залишається після викреслювання -го рядка та -го стовпчика визначника . Позначимо через алгебраїчне доповнення елемента , тобто . За теоремою про добуток мінора на його алгебраїчне доповнення, є сумою деяких членів визначника . Число цих членів збігається з числом членів мінора , тому дорівнює . Для довільного -го рядка визначника розглянемо добутки
. (15)
Теорема. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення:
. (16)
Доведення. Жоден член визначника не може увійти до двох різних добутків з (15): всі члени визначника, які входять у добуток , містять з -го рядка елемент і тому відрізняються від членів добутку , які містять з -го рядка елемент , і т.д.
З другого боку, загальна кількість членів визначника , які входять у всі добутки (15), дорівнює , тобто добутками (15) вичерпуються всі члени визначника . Теорему доведено.
Зазначимо, що рівність (16) називається розкладом визначника за елементами -того рядка.
Наслідок. Сума добутків елементів будь-якого рядка визначника на відповідні алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка дорівнює нулеві.
Справді, за рівністю (16) для
. (17)
Зауваження 1. Оскільки, за властивістю 10, рядки та стовпчики визначника рівноправні, то всі доведені для рядків властивості справджуються і для стовпчиків. Зокрема, справджується розклад визначника за елементами -го стовпчика
, (16´)
а також справджується аналог рівності (17):
. (17’)
Зауваження 2. Формули (16), (16’) показують, що обчислення визначника -го порядку можна звести до обчислення визначників -го порядку шляхом розкладу визначника за елементами якого-небудь рядка чи стовпчика. Але такий підхід буде оправданим лише при умові, що всі елементи рядка (стовпчика), за яким проводиться розклад, дорівнюють нулеві, крім одного. Цього можна досягти перетворенням визначника відповідно до його властивостей. Проілюструємо сказане на прикладі обчислення визначника 4-го порядку.
Приклад.
.
Помножимо останній рядок визначника на -1 і результат додамо до другого рядка. За властивістю 9° величина визначника від цього не зміниться:
.
Помножимо третій стовпчик на -2 і результат додамо до першого; помножимо третій стовпчик на 1 і додамо до другого:
.
Розкладемо визначник за елементами другого рядка:
.
Помножимо третій рядок отриманого визначника на 1 і додамо до першого рядка:
.
Помножимо третій стовпчик почергово на -1 і -4 і додамо до першого та другого стовпчика відповідно:
.
Винесемо за знак визначника спільний множник -6 з першого стовпчика, а з другого -15,
і розкладемо за елементами першого рядка:
.
7. Трикутний вигляд визначника. Кажуть, що визначник має трикутний вигляд, якщо всі його елементи, які лежать під головною діагоналлю, дорівнюють нулеві, тобто
.
Величина визначника, який має трикутний вигляд, дорівнює добутку елементів головної діагоналі. Справді, розкладаючи визначник за елементами першого стовпчика, дістанемо
.
Визначник, який стоїть у правій частині рівності, знову розкладемо за елементами першого стовпчика:
.
Повторивши процедуру розкладу визначника разів, дістанемо
.
Зазначимо, що будь-який визначник, не всі елементи якого дорівнюють нулеві, можна звести до трикутного вигляду.
Приклад. Звести визначник до трикутного вигляду та обчислити його значення, якщо
.
Щоб звести визначник до трикутного вигляду, необхідно, щоб у верхньому лівому кутку стояв ненульовий елемент, тому переставимо місцями перший і другий стовпчики:
.
Помножимо перший рядок на 2 і результат додамо до другого рядка; далі, помножимо перший рядок на –1 і додамо за чергою до третього та четвертого рядків:
.
Тепер помножимо другий рядок на –3 і додамо до третього рядка; помножимо другий рядок на 1 і додамо до четвертого рядка:
.
З третього рядка за знак визначника винесемо спільний множник –6 і для зручності обчислень переставимо місцями третій і четвертий стовпчики:
.
Помножимо тепер третій рядок на 1 і додамо до останнього рядка
.
Визначник набув трикутного вигляду. Остаточно,
.
8. Лема про визначник квазітрикутної матриці. Матриця називається квазітрикутною, якщо вона має такий вигляд:
.
Позначивши
, , ,
матрицю можна стисло записати так
.
Матриці , , , 0 називаються клітинами, або блоками, матриці .
Лема. Визначник квазітрикутної матриці дорівнює добуткові визначників клітин, що стоять на головній діагоналі:
.
Доведення. Доведемо лему методом математичної індукції. При лема очевидна:
.
Припустимо, що лема справджується для квазітрикутної матриці порядку і доведемо, що вона справджується для матриці порядку . Для цього розкладемо визначник квазітрикутної матриці за елементами першого рядка:
. (18)
Мінор є визначником -го порядку квазітрикутної матриці, тому, за припущенням індукції,
,
де матриця отримується з матриці , як вказують верхні індекси, викреслюванням першого рядка та -го стовпчика. Підставимо значення в (18):
.
Добуток є алгебраїчним доповненням елемента у визначнику , тому є розкладом визначника за елементами першого рядка.
Остаточно,
.
Лему доведено.
9. Теорема про визначник добутку матриць. Для квадратних матриць та однакового порядку
.
Доведення. Позначимо і складемо визначник квазітрикутної матриці порядку :
.
За лемою,
. (19)
Помножимо -й рядок визначника на , -й - на і т.д., -й – на і результати додамо до -го рядка, . Тоді на місці елементів -го рядка стануть нулі, а на місці нулів того самого -го рядка стануть величини
.
Проробивши описані операції для всіх , отримаємо
.
Поміняємо місцями перший та -й стовпчики, другий та -й і т.д., -й та -й. Тоді
.
За лемою,
.
Порівнюючи з (19), маємо
.
Теорему доведено.
10. Визначник Вандермонда. Визначник , який має вигляд
називається визначником Вандермонда.
Покажемо, що . Справді, при
.
Нехай формула справджується для визначника порядку і доведемо, що вона справджуєтся для визначника порядку . Перетворимо визначник так: від -го рядка віднімемо -й, помножений на ; від -го рядка віднімемо -й, помножений на , і т.д. В результаті дістанемо
.
Розкладемо цей визначник за елементами першого стовпчика і винесемо спільні множники у стовпчиках за знак визначника:
.
Останній визначник є визначником Вандермонда порядку , тому, за припущенням індукції, є добутком різниць , ,тобто
.
§ 4. Обернені матриці.
1. Вироджені і невироджені матриці. Квадратна матриця називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулеві, і невиродженою – у супротивному випадку. З теореми про визначник добутку матриць випливає, що добуток матриць, в якому хоч би один зі співмножників є виродженою матрицею, сам є виродженою матрицею, а добуток будь-яких невироджених матриць є невиродженою матрицею.
2. Обернена матриця. Квадратна матриця називається оберненою до квадратної матриці , якщо для них справджуються рівності
.
Покажемо спочатку, що якщо для матриці існує обернена, то вона єдина. Справді, припустимо, що поряд з оберненою матрицею існує інша обернена матриця , тобто
.
Помножимо обидві частини цієї рівності зліва на :
.
Враховуючи, що , дістаємо
,
тобто .
Обернену матрицю до матриці позначають символом .
Покажемо тепер, що вироджена матриця , тобто матриця для якої , не має оберненої. Припустимо супротивне і нехай вироджена матриця має обернену . Тоді
.
Звідси,
.
За теоремою про визначник добутку матриць
,
тому
.
Але остання рівність неможлива, оскільки , тобто вироджена матриця не має оберненої. Нехай - невироджена квадратна матриця. Приєднаною матрицею до матриці називають матрицю, яка отримується транспонуванням матриці, складеної з алгебраїчних доповнень елементів матриці . Приєднану матрицю позначають , так що
.
Теорема. Будь-яка невироджена матриця має обернену, до того ж
.
Доведення. Знайдемо елементи добутку :
.
Якщо , то як сума добутків елементів -го рядка матриці на відповідні алгебраїчні доповнення елементів -го рядка тої самої матриці .
Якщо ж , то
.
Звідси,
,
або
.
Звідси, згідно з означенням оберненої матриці,
. (20)
Приклад. Знайти обернену матрицю до матриці , якщо
.
Перевіримо, чи матриця невироджена.
Отже, матриця має обернену.
Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів заданої матриці:
Знаходимо приєднану матрицю транспонуванням матриці з алгебраїчних доповнень:
.
Знаходимо обернену матрицю діленням кожного елемента приєднаної матриці на :
.
3. Матриця, обернена до добутку матриць. Нехай - невироджені квадратні матриці однакового порядку. Покажемо, що . Справді, знайдемо добуток матриць
.
Звідси, за означенням оберненої матриці,
.
§ 5. Крамерові системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
1. Загальні поняття. Рівняння з невідомими називається лінійним, якщо воно має вигляд
, (21)
де – деякі числа, які називаються коефіцієнтами рівняння (21). Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими
(22)
Розв’язком системи лінійних рівнянь (22) називається будь-яка сукупність чисел , яка перетворює кожне з рівнянь системи (22) в тотожність при заміні в ньому невідомих відповідними числами цієї сукупності.
Якщо система лінійних рівнянь має хоча б один розв’язок, то вона називається сумісною; якщо ж система не має розв’язку, то вона називається несумісною.
Якщо в системі (22) всі вільні члени є нулями, , то система називається однорідною, у супротивному – неоднорідною.
2. Означення крамерової системи лінійних рівнянь. Розглянемо систему лінійних рівнянь, в якій число рівнянь системи збігається з числом невідомих
(23)
Визначник
,
складений з коефіцієнтів системи при невідомих називається визначником системи (23). Система (23) називається крамеровою, якщо її визначник не дорівнює нулеві.
3. Правило Крамера. Позначимо через визначник системи лінійних рівнянь (23).
Теорема. Крамерова система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, який визначається за формулами
, , (24)
12.03.2013 16:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора