Чисельне інтегрування функцій однієї змінної . Звіт до лабораторної роботи з Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем . Робота № 521341

Чисельне інтегрування функцій однієї змінної

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

ІКТА

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2013

Тип роботи:

Звіт до лабораторної роботи

Предмет:

Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти і науки України Національний університет „ Львівська Політехніка ” ІКТА Кафедра БІТ З В І Т До лабораторної роботи №4 з курсу: „ Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем ” на тему: „ Чисельне інтегрування функцій однієї змінної ” Варіант 18 Львів – 2011 Мета роботи – ознайомлення з методами наближеного інтегрування означених інтегралів. Метод Сімпсона Цей метод значно точніший у порівнянні з методами прямокутників або трапецій.. Для досягнення тої ж точності в ньому можна брати менше число n ділянок розбиття та відповідно більший крок h, а при одному й тому ж кроці h він дає менші абсолютну та відносну похибки. Розіб’ємо відрізок на парне число 2n частин довжиною (9) Нехай точкам розбиття ,, відповідають значення підінтегральної функції (тобто ,, i=) Рис. 4 На відрізку проведемо через три точки параболу, якою замінимо підінтегральну функцію . Рівняння параболи (10) (причому значення коефіцієнтів А, В, С невідомі). Якщо замінити площу криволінійної трапеції на відрізку площею криволінійної трапеції, обмеженої параболою (10), то можна записати (11) Винесемо спільний множник (12) Невідомі коефіцієнти А, В, С в рівняннях (10), (11) шукаються з умови, що при Враховуючи, що (13) Перемножуючи другу рівність (13) на 4 та додаючи всі три рівності, знайдемо (14) що співпадає з квадратною дужкою рівняння (12). Отже, (15) Очевидно, що для кожної наступної пари ділянок одержимо таку ж формулу: (16) Додаючи рівності вигляду (15) та (16) по всіх відрізках, одержимо : (17) Це і є формула Сімпсона. Похибка методу (формули парабол) визначається за формулою : , (18) При написанні програм доцільно формулу Сімпсона зобразити у вигляді , (19) де , тобто i= Оцінка похибки за правилом Рунге Оцінка похибки методів інтегрування за формулами (4), (8), (18) досить часто виявляється малоефективною через труднощі, пов’язані з оцінкою похідних підінтегральної функції . Тому на практиці доволі часто користуються прийомом, запропонованим Рунге. Нехай точне значення інтеграла , - його наближене значення, обчислене за однією з квадратурних формул з кроком , - наближене значення інтеграла, обчислене за тою ж формулою з кроком . Граничні значення абсолютних похибок можна записати у вигляді : (20) k - порядок точності формули ; (21) М - добуток сталої на похідну. Відповідно можна записати , . Віднімемо ці рівності: Одержимо оцінку похибки за правилом Рунге (враховуючи (21)): (22) Користуючись формулою (22), можна уточнити наближене значення інтеграла, вважаючи, що: Таку формулу називають формулою екстраполяції за Річардсоном. Оцінка похибки за методом Рунге для формул прямокутників та трапецій (к=2): , для формул Сімпсона (): . Прийом багатократного зменшення кроку та оцінки похибки можна запрограмувати та одержати алгоритм автоматичного вибору кроку для наближеного обчислення інтеграла з заданою точністю. Правило Рунге використовують, якщо задається гранична абсолютна похибка обчислення інтегралу. Для одержання ефективної програми (при оцінці похибки за правилом Рунге) слід враховувати наступне. В формулах прямокутників, трапецій і Сімпсона при подвоєнні числа кроків нема необхідності обчислювати значення підінтегральної функції знову в усіх вузлах сітки, оскільки вузли сітки, одержані при числі кроків n , є вузлами сітки і при числі кроків 2n. Завдання Скласти програму обчислення означеного інтеграла вказаним викладачем методом.Методи прямокутників, трапецій і Сімпсона зі змінним кроком інтегрування, Гаусса і Чебишова – з сталим. № вар. Підінтегральна функція Інтервал інтегрування Метод Абсолютна похибка 18 [0; 2] Сімпсона 0,001 Блок-схема алгоритму програми Схема до методу Сімпсона Текст програми #include <math.h> #include <iostream> #include <conio.h> using namespace std; double func(double x) { double r; r = sin(pow(x,2)); return r; } double simpson( double (*Fx)(double), double a, double b, int h); int main(int argc, char* argv[]) { double I; double a,b; int h; cout << " Enter a = "; cin >> a; cout << " Enter b = "; cin >> b; cout << " Enter h = "; cin >> h; I = simpson( &func, a, b, h ); cout << endl << " I = " << I; getch(); } double simpson( double (*Fx)(double), double a, double b, int h) { double I,I2 = 0, I4 = 0; I4 = Fx(a+h); for(int k = 2; k <=b ; k += 2 ) { I4 += Fx(a+(k+1)*h); I2 += Fx(a+k*h); } I = Fx(a)+Fx(b)+4*I4+2*I2; I *= h/3; getch(I); } Виконання програми Висновок В даній лабораторної роботи я ознайомився з методом чисельного інтегрування функцій однієї змінної. В роботі я склав програму для знаходження інтеграла з граничною абсолютною похибкою Е = 0,001, відокремлений на відрізку [a, b] методом Сімпсона.

Звіт до лабораторної роботи Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем

NIOON

16.03.2013 13:13

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись