Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
ЧИСЛОВЕ ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Управління інформацією
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2011
Тип роботи:
Методичні вказівки до лабораторної роботи
Предмет:
Інформаційні технології
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ЧИСЛОВЕ ІНТЕГРУВАННЯ
ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Методичні вказівки
до лабораторної роботи № 4
з курсу
"Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації",
6.170103 "Управління інформаційною безпекою"
Затверджено
на засіданні кафедри
«Безпека інформаційних
технологій»
Протокол № 12 від 12.05.2011р.
Львів – 2011
Чисельне інтегрування функцій однієї змінної: Методичні вказівки до лабораторної роботи №4 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" /Укл.: Л.В. Мороз, А.Я. Горпенюк, Н.М. Лужецька - Львів: Видавництво НУ“ЛП”, 2011.- 14 с.
Укладачі: Л.В. Мороз, к.т.н., доц.
А.Я. Горпенюк, к.т.н., доц.
Н.М. Лужецька, асист.
Відповідальний за випуск: В.М. Максимович, д.т.н., проф.
Рецензент: В.В. Хома, д.т.н., проф.
А.Е. Лагун, к.т.н., доц.,
Мета роботи – ознайомлення з методами наближеного обчислення означених інтегралів.
Чисельне інтегрування функцій однієї змінної
Нехай задана деяка функція на відрізку . Розглянемо задачу обчислення її означеного інтеграла
.
Якщо для відома первісна , то інтеграл обчислюється за формулою Ньютона - Лейбніца
(1)
Однак для великого класу функцій не можна виразити через елементарні функції, тому означений інтеграл не можна обчислити за допомогою формули Ньютона - Лейбніца. Бувають також випадки, коли підінтегральна функція задається таблично. Тоді використовують формули наближеного інтегрування, які називають квадратурними. Сам процес чисельного визначення інтегралу називають квадратурою.
Ідея чисельних методів інтегрування в наступному. Означений інтеграл
можна трактувати як площу фігури (Рис.1), обмеженої ординатами a і b , віссю абсцис і графіком підінтегральної функції (криволінійною трапецією).
Рис. 1
Рис. 2
При наближеному обчисленні криволінійну трапецію заміняють фігурою, обмеженою тим самим відрізком , площа якої обчислюється значно простіше.
Найбільш прості формули чисельного інтегрування - формули прямокутників та трапецій.
Розглянемо метод прямокутників.
Відрізок розбивають на відрізків , де i= . На кожному з відрізків площа криволінійної трапеції заміняється площею прямокутника з основою та висотою .
Тоді (2)
Якщо відрізки рівновеликі :
(3)
Формулу (3) називають також формулою «середніх» прямокутників. Якщо за висоту прямокутника взяти або , то можна одержати формули «лівих» та, відповідно, «правих» прямокутників.
Формула лівих прямокутників :
.
Формула правих прямокутників :
.
Похибка методу прямокутників
( гранична абсолютна похибка, похибка квадратурної формули (3) ):
(4)
де , x([a;b] .
Вираз (4) для похибки показує, що формула (3) є точною для будь-якої лінійної функції, оскільки друга похідна такої функції дорівнює нулю, а отже похибка теж дорівнює нулю.
Рис. 3
Метод трапецій
Розіб’ємо відрізок інтегрування на n рівних частин, довжиною .
На кожній такій частині дуга кривої заміняється стягуючою її хордою. В точках розбиття проведемо ординати до перетину з кривою . Кінці ординат з’єднаємо прямолінійними відрізками. Тоді можна замінити кожну з одержаних криволінійних трапецій прямолінійною (Рис.3). Площа криволінійної трапеції наближено дорівнює сумі площ прямолінійних трапецій.
Площа лівої трапеції
Відповідно для трапеції, розміщеної над ділянкою знайдемо:
(5)
Звідси
(6)
Або (7)
Похибка методу
Гранична абсолютна похибка методу трапецій знаходиться за формулою:
(8)
, , .
Співставляючи формули (8) та (4) бачимо, що похибка формули середніх прямокутників ( в 2 рази менша, ніж похибка формули трапецій.
Метод Сімпсона
Цей метод значно точніший у порівнянні з методами прямокутників або трапецій.. Для досягнення тої ж точності в ньому можна брати менше число n ділянок розбиття та відповідно більший крок h, а при одному й тому ж кроці h він дає менші абсолютну та відносну похибки.
Розіб’ємо відрізок на парне число 2n частин довжиною
(9)
Нехай точкам розбиття ,, відповідають значення підінтегральної функції (тобто ,, i=)
Рис. 4
На відрізку проведемо через три точки параболу, якою замінимо підінтегральну функцію .
Рівняння параболи
(10)
(причому значення коефіцієнтів А, В, С невідомі). Якщо замінити площу криволінійної трапеції на відрізку площею криволінійної трапеції, обмеженої параболою (10), то можна записати
(11)
Винесемо спільний множник
(12)
Невідомі коефіцієнти А, В, С в рівняннях (10), (11) шукаються з умови, що при
Враховуючи, що
(13)
Перемножуючи другу рівність (13) на 4 та додаючи всі три рівності, знайдемо
(14)
що співпадає з квадратною дужкою рівняння (12). Отже,
(15)
Очевидно, що для кожної наступної пари ділянок одержимо таку ж формулу:
(16)
Додаючи рівності вигляду (15) та (16) по всіх відрізках, одержимо :
(17)
Це і є формула Сімпсона. Похибка методу (формули парабол) визначається за формулою :
, (18)
При написанні програм доцільно формулу Сімпсона зобразити у вигляді
, (19)
де , тобто i=
Оцінка похибки за правилом Рунге
Оцінка похибки методів інтегрування за формулами (4), (8), (18) досить часто виявляється малоефективною через труднощі, пов’язані з оцінкою похідних підінтегральної функції . Тому на практиці доволі часто користуються прийомом, запропонованим Рунге. Нехай точне значення інтеграла , - його наближене значення, обчислене за однією з квадратурних формул з кроком , - наближене значення інтеграла, обчислене за тою ж формулою з кроком .
Граничні значення абсолютних похибок можна записати у вигляді :
(20)
k - порядок точності формули ;
(21)
М - добуток сталої на похідну.
Відповідно можна записати
,
.
Віднімемо ці рівності:
Одержимо оцінку похибки за правилом Рунге (враховуючи (21)):
(22)
Користуючись формулою (22), можна уточнити наближене значення інтеграла, вважаючи, що:
Таку формулу називають формулою екстраполяції за Річардсоном.
Оцінка похибки за методом Рунге для формул прямокутників та трапецій (к=2):
,
для формул Сімпсона ():
.
Прийом багатократного зменшення кроку та оцінки похибки можна запрограмувати та одержати алгоритм автоматичного вибору кроку для наближеного обчислення інтеграла з заданою точністю.
Правило Рунге використовують, якщо задається гранична абсолютна похибка обчислення інтегралу.
Для одержання ефективної програми (при оцінці похибки за правилом Рунге) слід враховувати наступне. В формулах прямокутників, трапецій і Сімпсона при подвоєнні числа кроків нема необхідності обчислювати значення підінтегральної функції знову в усіх вузлах сітки, оскільки вузли сітки, одержані при числі кроків n , є вузлами сітки і при числі кроків 2n.
Метод Гаусса
Формулу Гаусса називають формулою найвищої алгебраїчної точності, абсциси xi при інтерполяції (наближенні) функції вибираються з умови забезпечення мінімальної похибки інтерполяції. В методі Гауссса інтеграл
(23)
зводиться до вигляду
(24)
тобто точне значення заміняється на наближену квадратурну формулу.
Це зведення відбувається у наступній послідовності. У формулі (23) змінна x заміняється на
(25)
Тоді
(26)
І з врахуванням (24) можна записати, що:
. (27)
В формулі (24) коефіцієнти та абсциси (вузли) вибираються в залежності від числа вузлів. Значення невідомих є коренями поліномів Лежандра. Вузли розташовані на інтервалі (-1,1), завжди симетрично відносно нуля. Всі вагові коефіцієнти додатні, а їх сума дорівнює 2.
n
i
ti
Ai
1
1
0
2
2
1 ; 2
0,57735027
1
3
1 ; 3
2
0,77459667
0
5/9
8/9
4
1 ; 4
2 ; 3
0,86113631
0,33998104
0,34785484
0,65214516
5
1 ; 5
2 ; 4
3
0,906179846
0,538469310
0
0,236926885
0,478628670
0,568888889
Для достатньо гладкої підінтегральної функції формула Гаусса (27) забезпечує високу точність вже при невеликому числі вузлів . Для оцінки похибки обчислень за формулою Гаусса з вузлами користуються формулою:
,
Наприклад, при
;
.
Метод Чебишoва
Як і в методі Гаусса, метод Чебишoва передбачає заміну інтегралу квадратурною формулою
(28)
з фіксованим числом . Але на відміну від методу Гаусса, тут (в даному методі) найкращі вузли з точки зору наближення підінтегральної функції вибираються з умови, що значення вагових коефіцієнтів рівні між собою і дорівнюють . Тоді формула Чебишoва має вигляд
(29)
Значення в залежності від зведені в таблицю
n
ti
2
0.577350269 t1=-t2
3
0.707106781 t1=-t3
0 t2
4
0.794654472 t1=-t3
0.187592474 t1=-t4
5
0.832497487 t1=-t5
0.374541409 t2=-t4
0 t3
6
0.866246818 t1=-t6
0.422518653 t2=-t5
0.266635401 t3=-t4
7
0.883861700 t1=-t7
0.529656775 t2=-t6
0.323911810 t3=-t5
0 t4
Слід зауважити, що вираз (29) буде точним для вигляду , тобто для поліномів до n-ї степені включно(формула Гаусса - для поліномів степені ). Причому в формулі Чебишoва може приймати значення тільки 2,3,4,5,6,7,9. Більш високого порядку формул нема. В цьому полягає недолік методу. Як і в методі Гаусса, при межах інтегрування, відмінних від -1 та +1, з врахуванням формули (29), інтеграл зводиться до вигляду
(30)
Як метод Гаусса, так і метод Чебишова можна використати наступним чином. Проміжок розбивається на декілька відрізків, до кожного з яких застосовується формула інтегрування з n вузлами, а сумарне значення дорівнює інтегралу на проміжку.
2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Скласти програму обчислення означеного інтеграла вказаним викладачем методом.Методи прямокутників, трапецій і Сімпсона зі змінним кроком інтегрування, Гаусса і Чебишова – з сталим.
№ вар.
Підінтегральна функція
Інтервал інтегрування
Метод
Абсолютна похибка
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
[1; 3,5]
[1/6; 1/3]
[2; 3]
[1; 4]
[0; ln(2)]
[0; 1]
[0; 2]
[0; 2]
[1; 2,5]
[0; 3]
[0; 3]
[1; 3]
[0; 1]
[1; 2]
[0; 1]
[0; 1]
[0; 2]
[0; 2]
прямокут.
трапецій
Сімпсона
Гаусса (n=4)
Чебишова (n=3)
прямокут.
трапецій
Сімпсона
Гаусса (n=5)
Чебишова (n=4)
прямокут.
трапецій
Сімпсона
Гаусса (n=5)
Чебишова (n=5)
Прямокут.
Трапеції
Сімпсона
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
19
20
21
22
23
24
25
[1; e]
[0; 3]
[0; 1]
[1; 1,5]
[0; 1,5]
[0; 3/4]
[0; 1]
Гаусса (n=4)
Чебишова (n=6)
прямокут.
трапецій
Сімпсона
Гаусса (n=3)
Чебишова (n=7)
0,001
0,001
0,001
2.1. Домашня підготовка до роботи
1. Ознайомитися з основними теоретичними відомостями.
2. Розробити блок-схему алгоритму методу
3. Написати програму, яка забезпечить розв’язок та виведення на екран результатів роботи. Варіанти завдань беруть за вказівкою викладача.
2.2. Робота в лабораторії
1. Ввести в комп'ютер програму згідно з отриманим завданням.
2. Здійснити відладку введеної програми, виправивши виявлені компілятором помилки.
3. Виконати програму. Текст відлагодженої програми та отримані результати оформити у звіт з лабораторної роботи.
Контрольні запитання
Опишіть порядок числового інтегрування функції методом прямокутників.
В яких випадках похибка методу прямокутників рівна нулю?
Обґрунтуйте чому метод прямокутників має похибку меншу ніж метод трапецій.
Опишіть порядок числового інтегрування функції методом трапецій.
Опишіть порядок числового інтегрування функції методом Сімпсона.
Яка умова ефективного вибору вузлів в методі Чебишова?
3. ЗМIСТ ЗВIТУ
1. Мета роботи.
2. Короткі теоретичні відомості.
3. Повний текст завдання.
4. Блок-схема алгоритму програми.
5. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення.
6. Остаточно відлагоджений текст програми згідно з отриманим завданням.
7. Результати виконання програми.
8. Висновок.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для инженеров и научных работников. – М.: Наука, 1974. – 830 с.
Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ: Учеб. пособие. – Киев: Выща шк., Головное изд-во, 1989. – 213 с.
Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 235 с.
Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 1998. –570 с.
Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк Чисельнные методы. Использование Matlab. Издательский дом «Вильямс» Москва – Санкт-Петербург – Киев, 2001.
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ЧИСЛОВЕ ІНТЕГРУВАННЯ
ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Методичні вказівки
до лабораторної роботи № 4
з курсу
"Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації",
6.170103 "Управління інформаційною безпекою"
Укладачі: Мороз Леонід Васильович
Горпенюк Андрій Ярославович
Лужецька Наталія Миколаївна
Редактор
Комп’ютерне верстання
17.03.2013 12:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора