МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ. Методичні вказівки до лабораторної роботи з Інформаційні технології. Робота № 521389

Перехід до торгівельного партнера Binance

МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Управління інформацією

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2013

Тип роботи:

Методичні вказівки до лабораторної роботи

Предмет:

Інформаційні технології

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Методичні вказівки до лабораторної роботи № 6 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" Затверджено на засіданні кафедри «Безпека інформаційних технологій» Протокол № 12 від 12.05.2011р. Львів – 2011 Методи чисельного розв’язування диференціальних рівнянь: Методичні вказівки до лабораторної роботи №6 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" / Укл.: Л.В. Мороз, А.Я. Горпенюк, Н.М. Лужецька - Львів: Видавництво НУ“ЛП”, 2011..- 14 с. Укладачі: Л.В. Мороз, к.т.н., доц. А.Я. Горпенюк, к.т.н., доц. Н.М. Лужецька, асист. Відповідальний за випуск: В.М. Максимович, д.т.н., проф. Рецензент: В.В. Хома, д.т.н., проф. А.Е. Лагун, к.т.н., доц., Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного розв’язування диференційних рівнянь. ВСТУП Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних. Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР) -го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні до -го порядку включно: (1) - незалежна змінна; - невідома функція (залежна змінна); - похідні цієї функції. Диференціальне рівняння -го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді: (2) Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної. Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші, а при або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою. Значення залежної змінної та її похідних називаються додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними. Задача Коші Задача Коші формулюється так: Нехай задане ДР (3) з початковими умовами . Потрібно знайти функцію , що задовольняє дане рівняння та початкову умову. Для одержання чисельний розв’язку цієї задачі спочатку обчислюють значення похідної, а потім задаючи малий приріст, переходять до нової точки Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива . Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної. Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші. Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій потрібна інформація лише про попередній крок. Багатокрокові. Для знаходження наступної точки кривої вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок. Всі ці методи розв’язування ДР дають розв’язок у вигляді таблиці значень. Метод Ейлера Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку виду. (4) Метод Ейлера базується на розкладі функції в ряд Тейлора в околі точки (5) Якщо мале, то, знехтувавши членам розкладу, що містять в собі і т.д. отримаємо (6) Похідну знаходимо з рівняння (4), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співвідношення. , роблячи як завгодно багато кроків. Похибка методу має порядок , оскільки відкинуті члени, що містять в другій і вище степенях. Недолік методу Ейлера - нагромадження похибок, а також збільшення об’ємів обчислень при виборі малого кроку з метою забезпечення заданої точності. В методі Ейлера на всьому інтервалі тангенс кута нахилу дотичної приймається незмінним і рівним . Очевидно, що це призводить до похибки, оскільки кути нахилу дотичної в точках та різні. Точність методу можна підвищити, якщо покращити апроксимацію похідної. Модифікований метод Ейлера В модифікованому методі Ейлера спочатку обчислюється значення функції в наступній точці за звичайним методом Ейлера. (7) Воно використовується для обчислення наближеного значення похідної в кінці інтервалу . Обчисливши середнє між цим значенням похідної та її значенням на початку інтервалу, знайдемо більш точне значення : (8) В обчислювальній практиці використовується також метод Ейлера-Коші з ітераціями: знаходиться грубе початкове наближення (за звичайним методом Ейлера) будується ітераційний процес (9) Ітерації продовжують до тих пір, доки два послідовні наближення не співпадуть з заданою похибкою . Якщо після декількох ітерацій співпадіння нема, то потрібно зменшити крок . Метод Рунге – Кутта четвертого порядку В методі Рунге-Кутта значення функції , як і в методі Ейлера, визначається за формулою Якщо розкласти функцію в ряд Тейлора і обмежитись членами до включно, то приріст можна записати у вигляді (10) Замість того, щоб обчислювати члени ряду за формулою (10) в методі Рунге-Кутта використовують наступні формули. Похибка на кожному кроці має порядок . Таким чином метод Рунге-Кутта забезпечує значно вищу точність ніж метод Ейлера, однак вимагає більшого об’єму обчислень. Деколи зустрічається інша форма представлення методу Рунге-Кутта 4-го порядку точності. Методи з автоматичною зміною кроку Застосовуються в тому випадку, якщо розв’язок потрібно одержати із заданою точністю. При високій точності (похибка ) автоматична зміна кроку забезпечує зменшення загального числа кроків в декілька разів (особливо при розв’язках у вигляді кривих, що сильно відрізняються крутизною). Метод Рунге-Кутта з автоматичною зміною кроку Після обчислення з кроком всі обчислення виконуються повторно з кроком . Після цього порівнюються результати, отримані в точці хn+1 з кроком і . Якщо модуль різниці менший , то обчислення продовжуються з кроком , в іншому випадку крок зменшують. Якщо нерівність дуже сильна, то крок збільшують. Маємо - значення незалежної змінної в точці - значення функції в точці - значення функції в точці , обчислене з кроком - значення функції в точці , обчислене з кроком - значення функції , обчислене з кроком 1) Якщо обчислення повторюються з кроком і т.д., доки не виконається умова . 2) Якщо виконується ця умова, то можливі два варіанти, в залежності від значення K, де K – ознака поділу кроку. Початкове значенняі залишається таким після першого поділу кроку на два. Надалі, якщо крок ділиться, то K приймає значення одиниці. а) Якщо , то навіть коли виконалась умова , крок не змінюється, тобто лишається тим самим (обчислення далі проводяться з попереднім кроком). б) Якщо і виконалась умова , тоді . В обох випадках а) і б) результат виводиться на друк. Метод Рунге-Кутта-Мерсона з автоматичною зміною кроку Метод дозволяє оцінити похибку на кожному кроці інтегрування. При цьому не потрібно зберігати в пам’яті обчислення значень функцій на кроці і для оцінки похибки. Алгоритм методу 1. Задаємо число рівнянь , похибку , початковий крок інтегрування , початкові умови . 2. За допомогою п’яти циклів з керуючою змінною обчислюємо коефіцієнти 3. Знаходимо значення та похибку 4. Перевіряємо виконання умов Можливі випадки: а) Якщо перша умова не виконується, тобто , то ділимо крок на 2 та повторюємо обчислення з п.2, встановивши початкові значення . б) Якщо виконується перша та друга умови, значення та виводяться на друк. Якщо друга умова не виконується, крок збільшується вдвічі і тоді обчислення знову повторюється з п.2. Треба відмітити, що похибка на кожному кроці методу Рунге-Кутта-Мерсона оцінюється приблизно. При розв’язуванні нелінійних ДР істинна похибка може відрізнятися в декілька разів від заданої . , де . - крок поділити на 2 і повернутися на початок. для всіх рівнянь: виводимо на друк , а крок збільшуємо удвічі. Метод Рунге-Кутта-Фельберга з автоматичною зміною кроку Це метод четвертого порядку, дає більш точну оцінку похибки (порівняно з методом Рунге-Кутта-Мерсона) на кожному кроці і реалізується послідовним циклічним обчисленням за наступними формулами: Похибка Якщо а) , крок зменшується в двічі б) Якщо , крок збільшується вдвічі. Час розрахунку для однієї точки удвічі більший, ніж для методу Рунге-Кутта-Мерсона. Методи прогнозу і корекції Дані методи для обчислення положення нової точки використовують інформацію про декілька раніше отриманих точок. Для цього застосовується дві так звані формули прогнозу і корекції. Схеми алгоритмів для таких методів приблизно однакові, а самі методи відрізняються лише формулами. Обчислення виконують таким чином. Спочатку за формулою прогнозу та початковими значеннями змінних визначають значення . Верхній індекс (0) означає, що прогнозоване значення є одним із послідовності значень уп+1, розташованих в порядку зростання точності. За прогнозованим значенням з допомогою диференціального рівняння: знаходимо похідну: Ця похідна підставляється у формулу корекції для обчислення уточненого значення . В свою чергу використовується для одержання більш точного значення похідної: Якщо значення похідної недостатньо близьке до попереднього, то воно вводиться у формулу корекції і ітераційний процес продовжується. Якщо ж похідна змінюється в допустимих межах, то значення використовується для обчислення остаточного значення . Після цього процес повторюється і обчислюється . Метод Мілна На етапі прогнозу використовується формула Мілна. , (11) а на етапі корекції - формула Сімпсона (12) Останні члени в обох формулах в ітераційному процесі не використовуються і служать лише для оцінки помилок. Метод Мілна відносять до методів четвертого порядку точності. Потрібно мати на увазі, що для користування формулою (11) необхідно попередньо одним із однокрокових методів визначити і значення похідних . Похибка, внесена на будь-якому кроці, зростає експоненціально, тому методу Мілна властива нестійкість. Метод Адамса Має четвертий порядок точності. Формула прогнозу отримана на основі інтерполяційної формули Ньютона і має вигляд: (13) Формула корекції (14) На відміну від методу Мілна, похибка, внесена на кроці, не має тенденції до експоненціального зростання. Метод Хемінга Це стійкий метод четвертого порядку точності. Формула прогнозу: (15) Формула корекції (16) Формула прогнозу зазвичай доповнюється формулою уточнення прогнозу: (17) (18) 2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ Розв’язати чисельним методом звичайне диференційне рівняння. № п./п. Диференційне рівняння Початкові умови 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.1. Домашня підготовка до роботи 1. Ознайомитися з основними теоретичними відомостями. 2. Розробити блок-схему алгоритму методу 3.Написати програму, яка забезпечить розв’язок та виведення на екран результатів роботи. Варіанти завдань беруть за вказівкою викладача. 2.2. Робота в лабораторії 1. Ввести в комп'ютер програму згідно з отриманим завданням. 2. Здійснити відладку введеної програми, виправивши виявлені компілятором помилки. 3. Виконати програму. Текст відлагодженої програми та отримані результати оформити у звіт з лабораторної роботи. 3. ЗМIСТ ЗВIТУ 1. Мета роботи. 2. Короткі теоретичні відомості. 3. Повний текст завдання. 4. Блок-схема алгоритму програми. 5. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення. 6. Остаточно відлагоджений текст програми згідно з отриманим завданням. 7. Результати виконання програми. 8. Висновок. Контрольні запитання Як називаються додаткові умови в задачі Коші? Як називаються додаткові умови в крайовій задачі? В чому полягає відмінність між однокроковими і багатокроковими методами розв’язування задачі Коші? Поясніть як знаходиться значення функції в наступній точці методом Ейлера. Назвіть переваги і недоліки методу Ейлера. Чим відрізняється звичайний та модифікований методи Ейлера? Поясніть як знаходиться значення функції в наступній точці методом Ейлера-Коші з ітераціями. Поясніть як знаходиться значення функції в наступній точці методом Руннге-Кута. Запишіть основні співвідношення. Коли доцільно застосовувати методи з автоматичною зміною кроку? Назвіть відомі вам методи з автоматичною змінною кроку? СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для инженеров и научных работников. – М.: Наука, 1974. – 830 с. Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ: Учеб. пособие. – Киев: Выща шк., Головное изд-во, 1989. – 213 с. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 235 с. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 1998. –570 с. 5. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк Чисельнные методы. Использование Matlab. Издательский дом «Вильямс» Москва – Санкт-Петербург – Киев, 2001. 6. Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч.посібн. – Львів: Бак, 2003. – 168 с. НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Методичні вказівки до лабораторної роботи № 6 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" Укладачі: Мороз Леонід Васильович Горпенюк Андрій Ярославович Лужецька Наталія Миколаївна Редактор Комп’ютерне верстання

Методичні вказівки до лабораторної роботи Інформаційні технології

NIOON

17.03.2013 12:57

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись