Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКТА
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2011
Тип роботи:
Звіт про виконання лабораторної роботи
Предмет:
Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
ІКТА
кафедра БІТ
Звіт про виконання
лабораторної роботи №5
з курсу: «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем»
на тему: «МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ»
Мета роботи - ознайомлення з найпоширенішим ітераційним методом розв’язування систем нелінійних рівнянь – методом Ньютона.
1.Короткі теоретичні відомості
Стандартний метод Ньютона
Метод Ньютона базується на лінеаризації задачі і заміні розв'язування нелінійної системи (2) на послідовність розв'язувань лінійних систем (найчастіше прямими методами).
Будемо вважати, що система рівнянь (2) має розв'язок; позначимо його через вектор і розкладемо кожну функцію в ряд Тейлора в околі розв'язку
(2)
де - члени другого і вищих порядків.
Вважаючи, що дуже близьке до , знехтуємо членами вищих порядків і запишемо систему рівнянь в лінеаризованій формі:
(3)
або в іншому вигляді
(4)
де – матриця Якобі (якобіан) системи (1)
Враховуючи, що є розв'язком системи, згідно з (2) можемо записати:
Звідси випливає, що і праву частину (4) також можна прирівняти до нуля:
(5)
Розв'язком системи (5) є нове значення вектора X, яке не точно дорівнює значенню вектора (оскільки знехтували членами другого і вищих порядків). Використовуючи верхні індекси для позначення послідовності ітерацій, можна записати
(6)
Звідси
(7)
де - обернена матриця Якобі; .
У достатньо широкому околі розв'язку ітераційний процес (7) збігається, якщо .
Ітераційний процес закінчується при виконанні умови
(8)
де Σ - задана гранична похибка уточнень коренів системи (1).
Таким чином, алгоритм стандартного методу Ньютона можна розбити на декілька кроків.
Крок 1. Вибір вектора початкових уточнень
.
Крок 2. Обчислення елементів матриці Якобі.
Крок 3. Обчислення елементів оберненої матриці Якобі.
Крок 4. Перемноження значень функції (див. формулу (7))
Крок 5. Одержаний на кроці 4 вектор віднімається від вектора , у результаті чого одержується покращений вектор розв'язку .
Крок 6. Перевірка умови закінчення ітерацій (8). Якщо вона не виконується, то за вектор початкових уточнень приймається вектор і проводиться наступна ітерація, починаючи з кроку 2.
При використанні стандартного методу Ньютона слід мати на увазі наступне.
1. Стандартний метод Ньютона надзвичайно ефективний.
2. Збіжність на початку ітераційного процесу, як правило, лінійна.
3. Починаючи з деякого кроку ( уточнити його попередньо неможливо), збіжність різко прискорюється і стає квадратичною.
4. Бувають випадки, коли метод розбігається або спостерігається зациклювання ітерацій. Тому необхідно обмежувати максимальну кількість ітерацій деяким попередньо заданим числом.
Основний недолік методу полягає в повторних обчисленнях на кожному кроці вектора , матриці Якобі , оберненої матриці Якобі . Тому на практиці досить часто з метою зменшення витрат машинного часу використовують стандартний метод Ньютона без обертання матриці Якобі.
Позначаючи
(9)
перепишемо (6) у вигляді
(10)
Таким чином, задача зводиться до пошуку вектора поправок (приростів) із системи лінійних алгебраїчних рівнянь (10), у якій матрицею коефіцієнтів при невідомих є матриця Якобі , а вектором-стовпцем вільних членів служить вектор значень функції – . Розв'язуючи цю систему одним із відомих методів (як правило, це представники групи прямих методів – метод Гаусса з вибором головних елементів, метод LU – факторизації та ін.) , знаходимо . Значення визначаємо із виразу
(11)
Приклад. Уточнити корені системи нелінійних рівнянь
стандартним методом Ньютона без обертання якобіана при початкових наближеннях коренів .
Знайдемо вирази для функцій
за якими будуть визначатись елементи матриці Якобі:
Обчислимо значення функцій та елементів матриці Якобі в точці :
Розв'яжемо згідно з (10) систему лінійних рівнянь відносно приростів
Уточнені значення коренів визначаються за формулою (11):
Наступна ітерація проводиться таким чином:
знаходяться значення функцій та елементів матриці Якобі в точці і розв'язується відповідна система лінійних рівнянь:
Звідси
Отже,
Завдання до лабораторної роботи
Розв’яжіть систему нелінійних рівнянь одним із методів, вказаних викладачем, вибираючи за початкові наближення . Ітерації проводити до збігу двох послідовних наближень з похибкою .
25)
3.Блок-схема алгоритму програми
4. Текст програми
using System;
namespace taras
{
class Program
{
static void Main()
{
Metod M = new Metod();
M.Obrach();
}
}
class Metod
{
public double f1(double x10, double x20)
{
return x10-x10*x10+x20*x20+0.1;
}
public double f2(double x10, double x20)
{
return x20-2*x10*x20+0.1;
}
public double df1dx1(double x10, double x20)
{
return 1-2*x10;
}
public double df1dx2(double x10, double x20)
{
return 2*x20;
;
}
public double df2dx1(double x10, double x20)
{
return -2*x20;
}
public double df2dx2(double x10, double x20)
{
return 1-2*x10;
}
public void Obrach()
{
double x10 = 0, x20 = 0, h = 0.00001;
double delX1, delX2, poh;
Console.WriteLine("Початковi наближення \n x10= "+x10+"\n x20= "+x20+" \nПохибка= "+h);
if ((df1dx1(x10, x20)*df2dx2(x10, x20) - df1dx2(x10, x20)*df2dx1(x10, x20)) != 0)
do
{
delX1=df1dx2(x10,x20)*f2(x10,x20)-df2dx2(x10,x20)*f1(x10,x20);
delX2=df2dx1(x10,x20)*f1(x10,x20)-df1dx1(x10,x20)*f2(x10,x20);
poh=delX1/x10;
x10+=delX1;
x20+=delX2;
}
while (Math.Abs(poh)>h);
else Console.WriteLine("Визначник Якобiана=0");
Console.WriteLine("Результат :\n x1="+x10+"\n x2="+x20);
Console.ReadKey();
}
}
}
5. Результати роботи програми
/
6. Висновки
На даній лабораторній роботі я навчився розв’язувати системи нелінійних
алгебраїчних рівнянь за допомогою комп’ютерних програм . Я розв’язував
системи за допомогою методу Ньютона. Використовуючи алгоритм ми суттєво скорочуєм час на обчислення нелінійних алгебраїчних рівнянь.
30.03.2013 22:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора