Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
МОДЕЛЮВАННЯ ФРАКТАЛЬНОЇ ПОВЕРХНІ КЛАСТЕРІВ ТА РОЗРАХУНОК ЇЇ ЕФЕКТИВНОЇ ПЛОЩІ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2004
Тип роботи:
Курсова робота
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Курсова робота
МОДЕЛЮВАННЯ ФРАКТАЛЬНОЇ ПОВЕРХНІ КЛАСТЕРІВ ТА РОЗРАХУНОК ЇЇ ЕФЕКТИВНОЇ ПЛОЩІ.
Мукачево 2004
ЗМІСТ.
ВСТУП.
Розділ I. ФРАКТАЛЬНО-КЛАСТЕРНА БУДОВА
НЕВПОРЯДКОВАНИХ СТРУКТУР.
1. Розмірність нерегулярних структур.
2. Фрактали.
Розділ II. ОСНОВНІ ПАРАМЕТРИ ФРАКТАЛІВ.
1. Параметри щільності структур.
2. Пористість фракталів.
Розділ III. МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕРХНІ КЛАСТЕРІВ.
1. Моделювання щільних, невпорядкованих структур.
2. Алгоритм розрахунку площі поверхні фракталів.
ВИСНОВКИ.
ЛІТЕРАТУРА.
3
ВСТУП.
Структура речовини один із самих цікавих та важливих об’єктів наукових досліджень. Саме взаємне розташування атомів, молекул, агломератів являється тим фактором, що визначає значну частину фізичних та хімічних властивостей речовини. Розуміння структури речовини на молекулярному рівні є визначальним в бурхливому розвитку найважливіших напрямків сучасної науки та техніки: фізики твердого тіла, каталізу, молекулярної біології.
Розвиток сучасних методів комп’ютерного моделювання, в першу чергу молекулярної динаміки, відкриває новий етап в вивченні структури речовин та її параметрів, основними з яких є параметри щільності, топології, ієрархічності.
Параметри щільності – важливе поняття в теорії утворення стійких систем з заданою структурно-геометричною будовою. Надзвичайно складно на основі лише одних даних про фракційний склад матеріалу передбачити вихідні параметри упаковки, такі як інтегральна щільність, локальна щільність, пористість, координаційне число. Справа в тому, що на результат формування здійснюють вплив фактори, що відносяться до різних ієрархічних рівнів структур. Наприклад, на мікрорівні при зменшенні розмірів частинок росте ймовірність утворення агломератів, а на макрорівні ріст компакту приводить до механічного розрихляючого ефекту (утворення фрактальних структур). Підбір оптимальних параметрів на моделях дозволяє охоплювати всі ієрархічні рівні [1].
Очевидно, що визначення параметрів структур, повинно узгоджуватися з особливостями моделювання структур, тобто використовувати універсальні в обох випадках прийоми, й одночасно опиратися на досить простих, придатних для алгоритмізації принципах.
Такої універсальності можна досягти завдяки тому факту, що любий об’єкт можна представити як сукупність сфер (адекватність такого відображення прямо пропорційна кількості сфер).
А відомо, що кожна сфера у просторі характеризується чотирма основними параметрами: трьома координатами, та радіусом. При необхідності до цих чотирьох
4
параметрів можна деякі скалярні параметри (тип, колір, тощо). Взаємодію між сферами можна описати більш менш простим (складність залежить від характеру взаємодії) скалярним рівнянням.
Дана аналогія може дозволити визначати параметри різних складних струтур, в тому числі й пористість та її характеристики (розміри, структуру, ефективну площу пор, звязок між ними, тощо). Інформація про пористість, в свою чергу дозволяє описувати такі реальні фізичні явища в структурах: як абсорбція, дифузія ...
5
I. ФРАКТАЛЬНО-КЛАСТЕРНА БУДОВА НЕВПОРЯДКОВАНИХ СТРУКТУР.
1. 1 Розмірність нерегулярних структур.
Найпростішою та найвідомішою розмірністю простору є d-мірний Евклідовий простір. Розглянемо, наприклад, регулярний d-мірний об’єкт.
Масштабуємо його лінійні розміри в L-раз, зберігаючи одночасно форму. Тоді сам об’єкт, а точніше його об’єм зміниться в Ld –раз. Таке масштабування об’єму в реальному 3-х мірному просторі пов’язане з зміною лінійних розмірів предмету найглибше відображає нашу інтуїцію, тісно переплітається з повсякденною практикою, та дає нам можливість абстрагування в вищі розмірності. В кожному такому випадку ми маємо справу з d, яке приймає цілі значення [2].
Проте, якщо ми хочемо розглядати об’єкти стохастичної геометрії, наприклад: полімерні ланцюги, пористі структури , то їх розмірність може приймати й не цілі значення.
Нова розмірність є узагальненням наступного визначення розмірності. Розглянемо конкретний двохмірний приклад [2]. Поділимо прямокутник на 16 рівних, менших прямокутників подібних до початкового, великого. Кожен з нових прямокутників є масштабована версія старого, кожен з їх вимірів є зменшений розмір початкового через коефіцієнт подібності:
r=1/4=16-1/2 (1).
В більш загальному випадку, початковий прямокутник можна поділити на N рівних прямокутників подібних до нього, а коефіцієнт подібності складає :
r(N)=N-1/2 (2) .
Якщо розглянути таку процедуру в 3-х мірному випадку, то паралелепіпед поділиться на N рівних частин, а коефіцієнт подібності складатиме :
r(N)=N-1/3 (3).
В d-мірному випадку
r(N)=N-1/ d (4).
6
Рівняння (4) визначає коефіцієнт масштабування r, що зв’язаний з поділом на N рівних частин , вводить метод масштабування в випадку розмірності d. В випадку регулярних форм, таких як прямокутникк, паралелепіпед, рівняння (4) включає d як розмірність Евклідового ппростору.
Проте, для високо нерегулярних, випадкових форм потрібна інша розмірність, яка б адекватніше відображала таку невпорядкованість.
В математиці таку розмірність називають розмірністю Гаусдорфа-Безиковича, в фізиці більш часто вживаний термін фрактальної розмірності.
В загальному випадку вона може приймати не лише цілі, а дійсні значення (наприклад для розчинів полімерів вона складає 5/3, а для Броунівського руху приймає ціле значення, рівне 2, хоча в обох випадках в класичному розумінні маємо “одномірний ланцюг”, в першому такий, що уникає самоперетину з собою, в другому – ні) [2].
1.2. Фрактали.
Фрактали-поняття, яке виникло в кінці 80-х років завдяки працям Б.Мандельброта. Згідно його власного пробного визначення фрактал-це структура, що складається із частин, які в якомусь розумінні подібних цілому [2]. Іншими словами, вирізавши невелику частину із структури, що має фрактальні властивості, ми можемо розглянути її в деякому збільшенні і побачити, що вона подібна всій структурі в цілому. Вирізавши ще меншу частину із уже вирізаної частини і збільшивши її, ми спостерігатимемо, що вона подібна до початкової структури. Якщо розглядати ідеальну фрактальну структуру, таку процедуру ми можемо проробити до нескінченості, і навіть наймікроскопічніші частинки будуть подібні структурі в цілому. Реальні ж об’єкти мають досить чітко обмежений інтервал масштабів, в яких вони проявляють свою фрактальну природу.
Розповсюдженість в природі фрактальних структур в природі безмежна. Фрактали- це пористі матеріали й гірські породи, розташування гілок дерева, візерунки листя, капілярна система рослин, кровообіг, лімфатична , нервова та інші системи живих організмів, в тому числі й людини, ріки хмари, лінії берегу, гірський
7
рель’єф і т.п. Мало цього, фрактальні практично всі поверхні твердих тіл. В останній час появляються теорії фрактальної будови вакууму [3].
Властивість частинок бути подібним всій структурі в цілому називають самоподібністю. Інтервал самоподібності різних природних об’єктів може містити масштаби від сотих долей мікрометра при розгляданні структури пористих гірських порід і сплавів металів до десятків кілометрів при розгляді рельєфу місцевості та форми хмар. В якості прикладів природних фракталів можна привести дерева, ріки, хмари, ріку з притоками, систему кровообігу людтни, морозні візерунки на склі, тощо. Самоподібність визначає, що копіювання та масштабування деякого еталонного зразка дозволяє природі легко створювати складну багатомасштабну структуру.
Другою важливою властивістю фракталів являється їх ієрархічність, тобто властивість повторятися в різних масштабах простору та часу. Проте існує чіткий критерій належності об’єкту до фракталів - об’єкт не можна вважати фрактальним, якщо йому не притаманна властивість самоподібності, але можна- якщо він не ієрархічний [3].
8
II. ОСНОВНІ ПАРАМЕТРИ ФРАКТАЛІВ.
2.1. Параметри щільності структур.
Параметри щільності – важливе поняття в теорії утворення стійких систем з заданою структурно-геометричною будовою. До них відносяться різні порошки й сипучі матеріали.
Їх підготовка до подальшого використання, наприклад, для спікання або гарячого пресування, зтикається з рядом труднощів. Надзвичайно складно на основі лише одних даних про фракційний склад матеріалу передбачити вихідні параметри упаковки, такі як інтегральна щільність, локальна щільність, пористість, координаційне число. Справа в тому, що на результат формування здійснюють вплив фактори, що відносяться до різних ієрархічних рівнів структур. Наприклад, на мікрорівні при зменшенні розмірів частинок росте ймовірність утворення агломератів, а на макрорівні ріст компакту приводить до механічного розрихляючого ефекту. Підбір оптимальних параметрів на моделях дозволяє охоплювати всі ієрархічні рівні і тому є більш ефективним в порівнянні ніж пошук оптимальних умов укладки реальних структур [1].
Параметри щільності особливо важливі для прогнозування кінематики спікання (ущільнення) порошків. Добре відомим фактом в практиці спікання аморфних та кристалічних порошків є ефект локалізаці осадження в обмежених областях компакту. Цей ефект надзвичайно вражливий до розподілу локальної густини . Варіації локальної густини, як наслідок дисперсії розмірів частинок , приводить до виникнення асиметрії контактів і відмінності значень осадження на контакт для рихлих та щільних зон. Структура порошкових тіл, як правило моделюється укладкою сфер [4-10]. При цьому, розглядають як регулярні, так і нерегулярні, стохастичні моделі, в яких елементи структури розподілені випадковим чином.
9
2.2. Пористість фракталів.
На етапі зародження та росту фрактальних частинок нової фази відбувається збільшення сумарної поверхні розділу фаз, яка характеризується величиною вільної поверхневої енергії, що збільшує повну енергію системи. Це являється рушійною силою для часткового злиття граничних зон кластерів та формування структур більш високого рівня.
Таким чином, домінуючим механізмом формування зернистої структури з кластерів є намагання зменшити вільну поверхневу енергію. Разом з тим дані трансмісійних електронних мікроскопів показують не повне збереження індивідуальності кластерів, фрагментів, блоків та ін. в структурі зерна. Причиною цього є збереження залишкової пористості на границях структурних елементів кожного масштабного рівня. Саме пористість і являється носієм енергії границь зерен та структурних елементів інших масштабних рівнів [3].
При формуванні зернистої структури відбувається також перерозподіл компонентів системи вихідного розплаву, що полягає в концентруванні домішок, легуючих елементів та вуглецю на границях зерен. При цьому дані компоненти заповнюють деякий об’єм пор на границях зерен, що є термодинамічно вігідним фактором, оскільки він призводить до зниження енергії границь зерен, що в свою чергу призводить до зниження значення вільної енергії в цілому по системі твердого сплаву.
Наявність вище згаданих пор та різного роду домішкових та легуючих компонентів на границі структурних елементів відповідних масштабних рівнів обумовлює принципіальну відмінність по складу, структурі та властивостям для центральної частини та периферії структурних елементів сплавів. Найбільш суттєвим фактором, який комплекс енергетичних
10
властивостей граничних шарів таких об’єктів як фрактальні кластери, блоки мозаїки, фрагменти, зерна та інші структурні елементи, являється їх розріджена пориста фрактальна структура.
Описаний вище механізм показує, що пориста структура граничних зон являється невід’ємним елементом ієрархічної структури. Якби ми могли здійснити подорож із центру структурного елементу якогось масштабного рівня на його периферію, наближаючись до його границі, ми би помітили, що пористість та розрідження структури речовини закономірно збільшується [3].
11
III. МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕРХНІ КЛАСТЕРІВ.
3.1. Моделювання щільних, невпорядкованих структур.
Часто для моделювання щільних, невпорядкованих структур застосовують модель Вороного-Делоне [7], яка грунтується на побудові так званих сферополіедрів – деформованих у просторі за певним законом сфер(мал.1) [8]. Метод побудови невпорядкованої структури з влюченнями сферополіедричної форми не з простих в математичному плані. Крім того, він базується на вихідній струтурі, конструктивні елементи якої сфери, а результат отримується шляхом їх просторової трансформації.
А. Сферополіедр SP(O, r)
б. Сферополіедр SP(O, p1,r) («сфероциліндр»)
В. Сферополіедр SP(O, p1, p2, p3, 0)
г. Сферополіедр SP(O, p1, p2, p3, r) (p1(p1(p3)
д. Сферополіедр SP(O, p1, p2,…, pM, 0)
Мал.1 a) Приклади сферополіедрів
Простішою, в плані кінцевого результату (у випадку моделювання щільних структур з несферичними елементами) є модель, отримана ущільненням самих несферичних елементів, тобто структура отримана з так званих перших
12
принципів [9,10]. Адже, наприклад, такі цеглини твердих тіл, як: молекули, гранули керамік, різного роду включення - можуть мати складну форму.
Найбільшою перешкодою на шляху моделювання структур з несферичних компонентів шляхом закидування в досліджуваний об’єм по типу сферичних частинок- є складність математичного визначення умови перетину (неперетину) конструтивних складових.
Розв’язати таку проблему можна врахувуючи той факт, що в принципі кожний реальний об’єкт можна представити як сукупність сферичних тіл [9,10]. Кількість та розміри таких сфер звичайно можна більш-менш оптимізувати. Це необхідно для того, що надто велика їх кількість зповільнить процес моделювання, а мала - зпотворить форму структурних елементів.
Мал. 2 Модель нерегулярної структури з сферичними включеннями.
.
Мал. 3 Модель нерегулярної структури з циліндричними включеннями.
13
Мал. 4 Модель нерегулярної структури з плоскими включеннями.
Подібно до куль можна проробити все це з кластерами, що складаються з сфер, тобто опускаючи їх в найнижче енергетичне положення. Одночасно потрібно здійснювати переміщення в трьох взаємноперпендикулярних напрямках.
Щоб досягти максимальної щільності необхідно також реалізувати обертання тіла навколо трьох взаємноперпендикулярних осей. Як відомо, обертання довільного тіла задається в вигляді трьох послідовних поворотів на три кути Ейлера.
3.2. Алгоритм розрахунку площі поверхні фракталів.
В зв’язку з тим, що фрактальна поверхня має нерегулярну структуру, розрахунок її ефективної площі складна задача. Проте зрозуміло, що розрахунок останньої повинен опиратися на специфіці моделювання самої фрактально-кластерної структури.
Отриману вище описаним чином структуру можна використати для подальшого дослідження її поверхні. Деякі аспекти структури кластерів, наприклад, дослідження розгалуджень кластерів провідності вимагають специфічних алгоритмів, але вони не прості і не дають можливості виділення всіх можливих елементів структури [7,8]. Проте, здається, що визначення
14
ефективної поверхні кластерів можна здійснити не дуже складним алгоритмом.
Для цього необхідно застосувати подібну до вище описаної методику:
Заповнити увесь досліджуваний об’єм структурними елементами довільної форми, але в будь-якому випадку представленими у вигляді сукупності сфер (мал.5);
Мал. 5 Вихідна структура (вибрана сильно розрідженою для більш наочного уявлення методу ).
При необхідності (для випадку кращого зображення, наприклад, неперервної структури) можна найближчі структурні елементи сполучити довільною кількістю сфер (мал.6);
Мал. 6 Модель структури з доповнюючими елементами, які сполучають найближчі елементи.
15
Заповнити цей же об’єм такими ж віртуальними сферами, але вже значно меншого розміру. Для значного скорочення (на декілька порядків) часу побудови, необхідно малі сфери розташувати у вигляді деякої регулярної, щільної упаковки, наприклад, у вигляді простої кубічної (мал.7.а), об’ємоцентрованої (мал.7.б), чи гранецентрованої (мал.7.в) решітки [11]. В зв’язку з тим, що обидва роди сфер віртуальні, таку процедуру можна здійснити;
а)
б)
в)
Мал.7 а) Проста, б) об’ємоцентрована, в) гранецентрована кубічні решітки.
16
Виділити тільки ті малі сфери, які лежать лише на поверхні великих (мал.8,9), тобто задовільняють геометричній умові:
(1),
де, наприклад, для сфери в досить широкому діапазоні (мал.10).
а)
б)
Мал.8 а), б) Покриття структури малими сферами різного радіуса.
17
а)
б)
Мал. 9 а), б) Сітка покриття різного калібру
18
а)
б)
в)
Мал. 10 а), б), в) Покриття сферичного елементу сферами різного радіуса.
19
5) Визначити поверхню кластеру за тривіальною формулою:
(2)
6) Виконувати ітераційні процедури 3), 4) для менших по розміру контрольних сфер, порівнюючи отримані площі до досягнення очікуваноі збіжності (мал. 11 а),б)) в ф-лі (2);
6) Порівняння кожної ітераціЇ, в принципі, дає додаткову інформацію про статистику розміру пор у структурі, тобто теж описує абсорбуючі властивості структури;
Якщо розв’зати задачу на протікання для контрольних сфер різного розміру, то можна дослідити, напридклад, дифузійні вдастивості різних газів, рідин у даній структурі.
20
ВИСНОВКИ
Не дивлячись на невпорядкованість, нерегулярність структури фракталів, в цій невпорядкованості все ж таки мають місце певні закономірності. Знаходження цих закономірностей - шлях до зрозуміння багатьох фізичних, хімічних, біологічних, та взагалі різного роду прироних явищ в таких структурах. Моделювання – крок на даному шляху.
Опираючись на простий математичний підхід запропоновано оригінальний алгоритм, який використано для моделювання поверхні пористих фрактально-кластерних структур. Опираючись на цю модель можна розраховувати ефективну площу його поверхні (показано на прикладі), розмір пор, перколяційні явища в таких структурах .
Описаний вище алгоритм, підхід, можливо носить оригінальний компонент. У всякому випадку, алгоритм оптимально придатний для реалізації його на комп’ютері.
Основним наслідком, який безпосередньо випливає з даних результатів - універсальність підходу для моделювання різних явищ, властивостей нерегулярних структур та моделювання самих структур за допомогою “наближення сфер” (наприклад, явища протікання, процесу спікання нанопорошків, явища дифузії по порожнинам структури, дослідження адсорбційних властивостей структур). Слід відмітити велике значення візуалізації процесу в такого роду моделях що дає змогу контролювати правильність реалізації алгоритму.
В даній роботі для візуалізації була використана програма для зображення атомарної будови хімічних сполук- CARINE 3.1, та розглядався приклад перколяційних кластерів, отриманих за допомогою програми складеною Берча А.І., Богдан Р.Е.
21
ЛІТЕРАТУРА.
Нурканов Е.Ю., Кадушников Р.М., Каменин И.Г., Алиевский Д.М., Карташов В.В. Исследование плотностных характеристик трёхмерных стохастических упаковок сферических частиц с использованием компьютерной модели/ // Порошковая металлургия.- 2001. № 5/6. С. 34-42.
2. Zallen R Fizyka cial amorficznych. Wydawnictwo Naukowe - PWN Warszawa, 1994.-283р.
3. Куликов Д.В., Мекалова Н.В., Закирничная М.М. Физическая природа разрушений. mahp.oil.rb.ru Уфа 1999.
4. Кадушников Р. М. , Бекетов А. Р. Геометрическое моделирование структуры полидисперсных материалов. //Порошковая металлургия, 1989, №10.с.69-74
5. Немошкаленко В.В., Кучеренко Ю.Н. Методы вычислительной физики в теории твердого тела. Электронные состояния в неидеальных кристаллах . “Наука “ Москва , 1986
6. Корнієнко А. Моделювання щільних нерегулярних структур з сферичними включеннями. –Науково-дослідницька робота. МАН. Закарпатська філія. Мукачево, 2001. –18с.
7. Алинченко М.Г., Медведев Н.Н. Применение метода Вороного-Делоне для исследования структуры дефектовв кристаллах. http://www.kinetics.nsc.ru/mvd/COMMON/Def_MiSHR.doc
8 . Алиевский Д.М., Каменин И.Г., Кадушников Р.М., Алиевский В.М.
Геометрическое моделирование плотных упаковок сферополиэдров.
http://siams.com/modeling/clpack/sphpolpack/default.ru.htm
9. Корнієнко А. Моделювання щільних нерегулярних структур з включеннями циліндричної форми. - Науково-дослідницька робота. МАН. Закарпатська філія. Мукачево, 2002.-20с
22
10. Гутак О. Моделювання щільних нерегулярних структур з включеннями плоскої дископодібної форми. - Науково-дослідницька робота. МАН. Закарпатська філія. Мукачево, 2003.-23с.
11. Шаскольская М. Г. Кристаллы. “ Наука “ Москва, -1978
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора