Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Різницеві лінійні рівняння
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Розрахункова робота
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Розрахункова робота
Різницеві лінійні рівняння
При використанні ПЕОМ усі неперервні за часом процеси дискретизуються. Від неперервно змінних аргументів переходять до дискретно змінних аргументів, бо цифрова машина може діяти тільки з числами. При цьому від диференціальних рівнянь переходять до різницевих рівнянь. Зокрема, економічні дані фіксуються дискретно, наприклад, через тиждень, місяць, рік і т. п. Аналіз цих даних також приводить до різницевих рівнянь. Наведемо основні положення про лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Оператор зсуву
Введемо символічний оператор S, дія якого на функцію у(х) полягає в збільшенні значення аргументу на сталу величину h(h > 0):
. (8.67)
Оператор S називається оператором зсуву. У загальному випадку рівність
. (8.68)
Приклад. Справджуються такі рівності:
, , ,
.
Застосуємо символічний оператор диференціювання D, .
При цьому маємо рівність , , , .
Припустимо, що функції у(х), що зустрічаються в таких обчисленнях, можна подати рядами Тейлора. При цьому правильна рівність яку можна записати у вигляді символічної формули:
(8.69)
У подальшому проводимо дискредитацію аргументу х, беручи
, (8.70)
Із попередніх формул (8.67) — (8.70) дістаємо рівність
,
На практиці користуємось функціями від оператора зсуву
, , (8.71)
які називаються операторами спадної і зростаючої різниць.
Маємо рівності , .
Із формули
, (8.72)
використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо формулу для операторів (k, що називаються спадними різницями порядку k
Аналогічні формули можна дістати для додатних степенів оператора зсуву S через степені оператора (.
(8.73)
Звідси знаходимо формули:
Зауважимо, що різниці k-го порядку від многочлена k-го порядку є сталими.
Приклад. Складемо таблицю різниць для функції при x0 = 0, h =1 (табл. 8.2):
Таблиця 8.2
xn
yn
(yn
(2yn
(3yn
0
1
2
3
4
5
6
–1
–1
1
5
11
19
29
0
2
4
6
8
10
2
2
2
2
2
0
0
0
0
Аналогічно знаходять зростаючі різниці функції у(х).
Інтерполювання функцій, що задаються таблично
Якщо відоме значення функції у = у(х) для рівновіддалених значень аргументу, то для обчислення значень функції для проміжних значень аргументу використовуються інтерполяційні формули. З формули (8.68) знаходимо рівність .
Використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо інтерполяційну формулу Грегорі—Ньютона:
. (8.74)
Приклад. Із таблиці 8.2 знайдемо значення функції у(х) при х = 3.5.
( При xn = 3 знаходимо значення функції і її спадних різниць у(3) = 5, (у(3) = 6, (2у(3) = 2, (3у(3) = 0.
З формули (8.74) при t = 0,5, h = 1 дістаємо:
.
Аналогічно можна використати іншу формулу Грегорі—Ньютона
(8.75)
Використовуючи дискретні значення , можна знайти похідну функції у(х). З формули (8.69) знайдемо оператор диференціювання:
. (8.76)
З цієї формули знаходимо формулу чисельного диференціювання:
. (8.77)
Приклад. Використовуючи таблицю 8.2, знайдемо значення у((4).
( Маємо .
З формули (8.77) знайдемо значення похідної
Підносячи рівність (8.76) у квадрат, дістаємо формулу для знаходження похідної другого порядку:
.
Підсумовування функцій
Наведемо відомий спосіб для обчислення суми виду
. (8.78)
Введемо функцію (F)x, яка задовольняє різницеве рівняння
, . (8.79)
Підставляючи значення і підсумовуючи рівняння, дістаємо рівність
. (8.80)
Із рівняння (8.79) знайдемо оператор , обернений до оператора різниці .
Оператор називається оператором підсумовування і позначається символом (. З формули (8.70), (8.71) знайдемо вираз для :
Звідси знаходимо розв’язок різницевого рівняння (8.79) у вигляді розкладу:
(8.81)
Приклад. Знайдемо розв’язок різницевого рівняння
.
( З формули (8.81) при h = 1 дістаємо вираз
.
Знайдемо вираз для суми
.
З формули (8.81) знайдемо формулу Ейлера для виразу суми через визначений інтеграл:
(8.82)
Формула Ейлера пов’язує суму з визначеним інтегралом. На основі цієї формули можна вивести формули для знаходження визначених інтегралів:
(8.83)
Наведемо також формулу чисельного інтегрування Грегорі:
(8.84)
яка використовує тільки дискретні значення функції у (х).
Приклад. Обчислимо інтеграл від функції у = х2 – х – 1, заданий у табл. 8.2.
( Маємо значення різниць
По формулі (8.84) знаходимо значення інтеграла:
Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами
Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння
, (8.85)
де bi(i = 0, 1, 2 ..., n) — сталі коефіцієнти. Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S (8.72), то можемо записати різницеве рівняння в рівносильній формі
(8.86)
Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі:
(k = 0, 1, 2, ...).
. (8.87)
Якщо , то різницеве рівняння називається однорідним, якщо , то рівняння називається неоднорідним.
Нагадаємо, що оператор зсуву має таку властивість:
(8.88)
Далі, замість слів «різницеве рівняння» будемо використовувати позначення РР. Для однозначного визначення розв’язків РР достатньо задати початкові умови:
. (8.89)
Означення. Розв’язком РР (8.86) називається послідовність , яка при підставлянні її в РР (8.86) перетворює його на тотожність.
Приклад. Покажемо, що послідовність yk = 2k є розв’язком РР (k = 0, 1, 2, ...). Підставляючи значення yk = 2k, yk+1 = 2k+1 в РР, дістаємо тотожність .
Однорідні різницеві рівняння
Наведемо деякі властивості розв’язків однорідного РР
(8.90)
1. Якщо РР (8.90) має частинні розв’язки yk = yk,1 (k = 0, 1, 2, …), то воно має також розв’язок yk = Cуk,1, C = const.
2. Якщо РР (8.90) має два розв’язки yk = yk,1, yk = yk,2, то воно має також розв’язок yk = yk,1 + yk,2. Звідси випливає, що РР має розв’язок:
Означення. Розв’язок РР (8.90) при а0 0.
(8.91)
називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2, ..., Сn можна задовольнити довільні початкові умови (8.89).
Якщо yk (8.91) загальне рішення РР (8.90), то система лінійних алгебраїчних рівнянь завжди має розв’язок відносно сталих С1, С2, ..., Сn.
Означення. Визначник
(8.92)
називається визначником Вронського.
Замінюючи k на k + 1 у визначнику (8.92), дістаємо рівняння для визначника Вронського:
.
Л. Ейлер запропонував загальний метод розв’язування РР (8.90). Розглянемо спочатку РР першого порядку .
З рівняння при k = 0, 1, 2, ... дістаємо:
, , .
Виходячи з цього, РР (8.90) має частинний розв’язок.
Розв’язок (k = 0, 1, 2, ...) обмежений при (a( ( 1; прямує до нуля при k ( +(; якщо (a( ( 1; необмежено зростає за модулем при (a( ( 1.
Л. Ейлер запропонував шукати розв’язок РР (8.90) у вигляді yk = (k, ( = const (k = 0, 1, 2 ...). Число ( називається мультиплікатором розв’язків РР (8.90).
Оскільки справджується рівність , , то для визначення мультиплікаторів дістанемо алгебраїчне рівняння
або
Це рівняння називається мультиплікаторним або характеристичним.
І. Якщо рівняння L(() = 0 має n різних коренів (1, (2, ..., (n, то загальний розв’язок РР (8.90) набирає вигляду .
Частинні розв’язки будуть лінійно незалежні, оскільки визначник Вронського
є визначником Вандермонда і відмінний від нуля при , .
Приклад. Знайдемо загальний розв’язок РР.
.
( Мультиплікаторне рівняння має розв’язок у1 = 2, у2 = 3. Тому РР має загальний розв’язок .
Приклад. Знайдемо частинний розв’язок РР
з початковими умовами у0 = 0, у1 = 1.
( Мультиплікаторне рівняння має комплексні корені , .
Загальний розв’язок в комплексній формі має вигляд
.
Цей розв’язок у дійсній формі має вигляд
.
Для визначення сталих С3, С4 дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
, .
З цієї системи рівнянь знаходимо , . Остаточно дістаємо частинний розв’язок , що задовольняє задані початкові умови.
ІІ. Якщо рівняння має корінь (1 кратності n1, то РР (8.90) має n1 лінійно незалежних частинних розв’язків
, , ..., .
Наведемо теорему про загальний розв’язок РР (8.90).
Теорема 7. Якщо мультиплікаторне рівняння має корені (1, ..., (l кратності , то загальний розв’язок РР (8.90) подається у вигляді
Приклад. Знайдемо загальний розв’язок РР
.
( Мультиплікаторне рівняння має трикратний корінь ( = 2. Тому загальний розв’язок має вигляд
.
Будь-яке різницеве рівняння n-го порядку (8.90) можна записати у вигляді системи n рівнянь першого порядку виду
де А — матриця розміру
Приклад. Різницеве рівняння
.
Введемо позначення
.
При цьому дістанемо рівняння
які можна записати у вигляді системи РР
,
із системи РР знаходимо .
Звідси маємо загальний розв’язок системи РР:
.
Приклад. Знайдемо загальний розв’язок системи РР
Знайдемо власні числа матриці А із рівняння
Знаходимо Будь-яка функція від матриці А подається формулою
Знайдемо матриці з функцією
Дістанемо:
Знаходимо фундаментальну матрицю розв’язків
і загальний розв’язок системи різницевих рівнянь:
Неоднорідне різницеве рівняння
Неоднорідне РР
(8.93)
завжди може бути зведене до підсумовування відомих функцій, якщо використовувати метод варіації довільних сталих.
Загальний розв’язок неоднорідного РР (8.93) є сумою частинного розв’язку неоднорідного РР та загального розв’язку однорідного РР.
Найчастіше зустрічається РР
, (8.94)
де — многочлен від k степеня q. Можна довести теорему.
Теорема 8. Якщо то рівняння (8.94) має частинний розв’язок виду , де деякий многочлен від k степеня q.
Якщо ( є коренем кратності m рівняння то РР (8.94) має частинний розв’язок виду
Многочлен можна знайти методом невизначених коефі- цієнтів.
Приклад. Знайдемо частинний розв’язок РР .
( Частинний розв’язок шукаємо у вигляді .
Підставляючи у РР, дістаємо рівняння для визначення А, В:
,
з якого знаходимо , , .
Розв’язок РР (8.94) можна знайти у вигляді . При цьому приходимо до РР і розв’язок zk шукається у вигляді многочлена , де m — кратність кореня ( рівняння .
Приклад. Шукаємо частинний розв’язок РР
.
( Узявши , дістанемо РР .
Шукаємо розв’язок zk у вигляді многочлена . Підставляючи zk, маємо
Економічна модель прискорення Самюельсона—Хікса
Споживання Ct через прибутки Yt виражається формулою
(8.95)
Вкладання Іt через прибутки Yt виражається формулою
(8.96)
Прибуток Yt у сучасний період є сума споживання Ct, вкладання Іt та постійних витрат А:
. (8.97)
Виключаючи Ct, Іt, дістаємо різницеве рівняння
(8.98)
Частинний розв’язок РР знаходимо у вигляді
Введемо розв’язок однорідного РР , який є різницею між розв’язком Yt і частинним сталим розв’язком . Однорідне РР
має мультиплікаторне рівняння . Найбільш цікавим для досліджень є випадок комплексно спряжених коренів, коли .
Тоді мультиплікатори мають вигляд
.
Розв’язок однорідного РР (8.98) є спадним, якщо .
ЛІТЕРАТУРА
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.
Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.
Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.
31.03.2013 23:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора