Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2009
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Національний Університет “Львівська Політехніка”
Методичні вказівки
Львів - 2009
Розв’язування трикутників
Мета:
- формувати вміння і навички розв’язування трикутника за трьома його основними елементами;
- повторити теореми синусів , косинусів та наслідки з них;
- повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників;
- розвивати пошукову пізнавальну активність учнів, логічне мислення, уяву, зв’язне мовлення;
- виховувати самостійність, наполегливість, впевненість у собі, інтерес до предмету.
Тип уроку: урок закріплення.
Обладнання: інструктивна картка для учнів ( 1. Пам’ятка для учнів.
2. Історична довідка. 3. Умови задач рівнів А,В,С.)
Математика цікава тоді,
коли живить нашу винахідливість
і здатність міркувати.
Д. Пойа
І. Повідомлення теми і мети уроку. Мотивація навчальної діяльності.
На попередніх уроках ви розглянули теореми синусів, косинусів та наслідки з них, ввели поняття розв’язування трикутників, розглянули основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників.
Сьогодні перед нами стоїть задача:
повторити все, що вивчили;
пригадати те, що забули;
вміло застосовувати отримані знання до розв’язування геометричних задач.
Незважаючи на те, що попереду у нас велика пізнавальна робота, я сподіваюсь, що ми зможемо зберегти гарний настрій до кінця уроку, а якщо вдасться, то ще його й покращимо.
Але перш, ніж ми почнемо я прошу звернути вашу увагу на «Пам’ятку для учнів». Ознайомтесь, будь-ласка, із запропонованими вам рекомендаціями. Якщо ви будете слідувати їм, то я впевнена, що сьогодні на уроці ви обов’язково виконаєте всі завдання тільки на високому рівні.
Справжній скарб для людини – вміння трудитися.
Езоп
Пам’ятка для учнів.
Будь уважним.
Міркуй, шукай, порівнюй, роби висновки, працюй.
Шукай нові способи розв’язування проблеми.
Самостійно встановлюй зв’язки відомого з невідомим.
Будь наполегливим і не бійся помилитися.
Експериментуй та виправляй невдалі спроби.
Будь упевнений у своїх здібностях.
Для початку зробимо не великий екскурс в історію.
Ознайомитись з історичною довідкою і дати відповіді на запитання:
В якому столітті видатним астрологом ал-Беруні була доведена теорема синусів? (у XI)
Коли нею почали користуватися європейські математики? (у XVI столітті)
Яка теорема була доведена геометрично в «Началах» Евкліда? (теорема косинусів)
Ким і коли вона була сформульована словесно? (французьким математиком Франсуа Вієтом, XVI століття)
Хто і коли надав їй сучасного вигляду? (французький математик Лазар Карно, у 1801 році)
Історична довідка.
Вчені Індії, зводили розв’язування будь-яких трикутників до розв’язування прямокутних трикутників і не потребували теорему синусів і не знали її. Ця теорема була доведена лише в одинадцятому столітті видатним астрологом ал-Беруні. Теоремою синусів користувалися, починаючи з ХVI століття і європейські математики.
Теорема косинусів була доведена, звичайно, геометрично ще в «Началах» Евкліда.
Словесно теорема косинусів була вперше сформульована французьким математиком Француа Вієтом в ХVI столітті.
Сучасний вид теорема косинусів приймає в 1801 році у французького математика Лазара Карно.
ІІ. Актуалізація опорних знань.
1. Вказати назви сформульованих теорем.
Теорема 1.
Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів ( теорема синусів).
Теорема 2.
Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними
( теорема косинусів).
Запишіть їх за допомогою формул.
( 1) = = = 2R ; 2) a2 = b2 + c2 - 2bc cos α.)
2. Замість … вставити пропущені слова:
У будь-якому трикутнику відношення сторони до …дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього трикутника (синуса протилежного кута).
У трикутнику проти … лежить більший кут, проти більшого кута лежить … ( більшої сторони; більша сторона).
Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін «±» подвоєний добуток однієї з них на проекцію другої. Знак «+» беремо тоді, коли протилежний кут …, а знак «-», коли …( тупий; гострий).
Теорему косинусів називають іноді узагальненою теоремою …(Піфагора).
… і … трикутника називаються основними його елементами ( сторони; кути).
Розв’язати трикутник означає: за даними … основними елементами трикутника … . При цьому серед заданих основних елементів хоча б один повинен бути … (трьома; знайти три інші його основні елементи; стороною трикутника).
3. Використовуючи малюнок заповнити пропуски у таблиці:
Основні задачі на обчислення елементів довільних трикутників
№.
Тип задачі
Дано
Знайти
1.
За стороною і прилеглими до неї кутами
AB, A, B.
2.
За двома сторонами і кутом між ними
AB, A, B.
3.
AB, BC, AC
A, B, C.
4.
За двома сторонами і кутом, протилежним одній із них
AC, BC, A
За трьома кутами задача розв’язків не має !
ІІІ. Розв’язування задач.
Учні, які мають середній і достатній рівні навчальних досягнень виконують задачі рівня А і рівня B, а ті, які мають високий рівень – рівня В і рівня С.
Рівень А.
Задача 1.
Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 7 см, а кут між ними 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.
Розв’язання.
Нехай АС=5см, АВ=7см, .
Використовуючи теорему косинусів маємо:
ВС² = АВ ² + АС ² – 2 АВ ·АС cos.
ВС ² = 25 + 49 - 2·5·7· = 39.
ВС =.
Відповідь: .
Задача 2.
Сторона трикутника дорівнює 10 см , а прилеглі до неї кути - 45° і 75°. Знайти сторону протилежну до кута 45°.
Розв’язання.
Нехай АС=10 см,
ВС – сторона яка лежить проти кута 45°.
Використовуючи теорему синусів маємо:
= ;
=
Відповідь:
Задача 3.
Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 9 см, 8 см. Знайти косинус кута, який лежить проти більшої сторони.
Розв’язання.
Нехай АС=6 см, СВ=8 см, АВ=9 см.
Використовуючи теорему косинусів маємо:
АВ² = АС ² + ВС ² – 2АС ·ВС· cosС;
81 = 36 + 64 - 2 cos;
96 cos=19;
cos=.
Відповідь: .
Задача 4.
Сторони трикутника 6 см і 3 см, а кут протилежний до більшої з цих сторін, дорівнює 60°. Знайти синус кута, що лежить проти меншої сторони.
Розв’язання.
Нехай АС=6 см, АВ=3 см ,
Використовуючи теорему синусів маємо: = ;
sin
Відповідь:
Рівень Б.
Задача 1.
Вивести формулу для площі трикутника S = , де a, b, c – сторони трикутника, R- радіус описаного кола.
Розв’язання.
= 2R ; sinα = ; S = bc sinα = bc = .
Що і треба було довести.
Задача 2.
Довести , що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.
Розв’язання.
Нехай AD - бісектриса внутрішнього А. Тоді
Що і треба було довести.
Задача 3.
Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.
Розв’язання.
Нехай Застосувавши теорему косинусів для трикутників АВD і ACD маємо:
Додаючи почленно рівності (1) і (2) отримаємо:
Що і треба було довести.
Задача 4.
Вивести формулу Герона для площі трикутника.
Розв’язання.
Як відомо: a2 = b2 + c2 - 2bc cos α; S=
Отже:
Підставимо знайдені вирази в формулу sin2α + cos²α = 1
Оскільки:
Маємо:
Що і треба було довести.
Рівень В.
Задача 1.
Доведіть, що для довільного трикутника виконується рівність
r = , де r – радіус вписаного кола, α, β, γ – кути трикутника, а – сторона , яка лежить проти кута α.
Розв’язання.
Нехай точка О – центр кола вписаного в трикутник АВС, ОК – його радіус, ОК=r. Так як центр вписаного кола це точка перетину бісектрис, то
Із трикутника ВОС:
Використовуючи теорему синусів маємо:
Із трикутника ОКС :
Що і треба було довести.
Задача 2.( теорема Стюарта)
Якщо а, в, с – сторони трикутника АВС і точка D ділить сторону ВС на відрізки , то
Розв’язання.
Нехай
Застосувавши теорему косинусів для трикутників АDС і ADВ маємо:
Помноживши (1)рівність на , а другу на і почленно додавши маємо:
Отже: .
Що і треба було довести.
IV. Домашнє завдання.
Повторити теореми синусів, косинусів та наслідки з них.
Довести теорему Птолемея.
Якщо чотирикутник вписаний в коло, то добуток діагоналей чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.
V. Підсумок уроку.
1. Закінчити речення:
1. Сьогодні на уроці я повторив …
2. Сьогодні на уроці я навчився …
3. Необхідно додатково попрацювати над …
4. Найважчим для мене було…
2. Порівняй свої знання на початку і в кінці уроку і дай відповіді на запитання:
Чи отримав ти задоволення від власної праці?
Який етап діяльності був найцікавіщим?
Які загальнонавчальні вміння допомагали у складних ситуаціях?
31.03.2013 23:03-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора