Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли. Контрольна робота з Інші. Робота № 523262

Перехід до торгівельного партнера Binance

Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Інші

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2025

Тип роботи:

Контрольна робота

Предмет:

Інші

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Контрольна робота Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли. ПЛАН Поставка задачі. Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли. Постановка задачі Многосленом називається функція f комплексної змінної, значення f(Z) якої визначається за формулою. f(Z) = a0Zn+a1Zn-1+…an (1) Як правило, завжди припускається, що а00.При цьому число n називається степенем многочлена. Числа а0, а1...,an називаються коефіцієнтами многочлена (1).Будемо вважати ці коефіцієнти довільними комплексними числами. Комплексне число Z0 називається коренем )а також нулем) многочлена f, якщо f(Z0) = 0 Якщо Z1, .., Zm – всі корені многочлена f, то f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zm)nm (2) де n11,…, nm1. Число n1, і=1, ...m називається кратністю кореня Zi. Сума кратності всіх коренів рівна степеню n многочлена: n1+...nm=n, так, що число всіх коренів, врахованих стільки раз, яка їх кратність, рівна n. Тому розклад (2) можна переписати в наступному вигляді. f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zn) (3) де тепер Z1, .., Zn – корені многочлена, кожний із яких повторяється стільки раз, яка його кратність. Ми будемо цікавитись тільки коренями. Тому будемо вважати, що а0=1. Проте це порушить симетрію деяких формул. Разом з тим вважати коефіцієнт а0 довільним теж не добре. Тому вважатимемо коефіцієнт а0 дійсним додатнім числом: а0 > 0 Корені є комплексними числами і якось розташовані на площині комплексної змінної. Можна, не шукаючи коренів, отримати інформацію про їх розташування. Для цього є багато такого роду теорем. В кожній з них задається деякий клас многочленів і деякий клас областей. Кожному многочлену даного класу співставляється деяка область, і теорема стверджує, що всі корені многочлена належать цій області. Тому є теореми другого типу. В них задається область і шукаються умови на коефіцієнти многочлена, при виконанні яких всі корені многочлена належать цій області. Найпростішими областями є півплощини. Виберемо для визначеності так звану ліву півплощину По, складену із m-k Z=x+iy, для яких х0. Означення 1. Многочлен. f=a0Zn+a1Zn-1+an-1Z+an, a00, називається стійким, якщо всі його корені лежать в лівій півплощині По, тобто якщо всі їх частини від’ємні. Многочлени малих степенів. Т-ма Стодоли. Для многочленів з дійсними коефіцієнтами степеня 2 дослідження на стійкість тривіальне. Дійсно, многочлен першого степеня a0t+a1 має єдиний корінь . Цей корінь тоді і тільки тоді від’ємний, коли а00). Многочлен другого степеня a0Z2+a1Z+a2 має корені: Випадок 1. (і, отже, а20). В цьому випадку обидва корені мають одну і ту ж дійсну частину . Тому многочлен тоді і тільки тоді стійкий, коли а10. Випадок 2. . В цьому випадку обидва корені дійсні. Якщо а10, то один з коренів від’ємний, а другий від’ємний тоді і тільки тоді, коли а20. Якщо ж а10, то хоча б один корінь гарантовано додатній. Цим доведена наступна теорема: Теорема 1. Многочлен першого і другого степеня (з дійсними коефіцієнтами і додатнім старшим коефіцієнтом а0) тоді і тільки оді стійкий, коли всі його коефіцієнти додатні. Для стійкості многочленів вищих ступенів умова додатності коефіцієнтів в будь-якому випадку необхідна. Теорема 2. (теорема Стодоли). Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами стійкий, то (при ао – 0) всі його коефіцієнти додатні. Доведення. Відомо, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами є дійсними коефіцієнтами є добутком многолченів степеня 2 (також з дійсними коефіцієнтами. Дійсно, відомо, що для будь-якого многочлена з дійсними коефіцієнтами з деяким коренем Z=ч0+іу0. Комплексно спряжене з ним число буде коренем тієї ж кратності. Тому в розклад многочлена на множники виду Z-Z1 уявні множники будуть входити парами виду (Z-Zі) (Z-Zі). Оскільки , де р = х0, , то звідси випливає, що будь-який многочлен (1) з дійсними коефіцієнтами допускає розклад виду: f(Z) = a0(Z-х1)…(Z-хr)(Z2+2p1+2psZ+q3) де х1..., хr – дійсні корні (кожний корінь повторюється стільки раз, яка його кратність), aZ2+2psZ+q1,…, Z2+2psZ+q3 – такі квадратні тричлени, кожен з яких відповідає одній парі комплексно спряжених коренів, що . Так, як будь-який дільник стійкого многочлена, очевидно, стійкий, звідси і з теореми 1 випливає, що будь-який стійкий многолчен з дійсними коефіцієнтами є добутком многчленів з додатніми коефіцієнтами і тому сам являється многочленом з додатніми коефіцієнтами (тому що коефіцієнти добутку одержуються із коефіцієнтів множників тільки діями множення і додавання. Без віднімання). Приклад: Многочлена Z2+Z2+4Z+30 має додатні коефіцієнти, але серед його коренів 3, 13і два корені мають додатні дійсні частини.

Контрольна робота Інші

daniel

01.04.2013 00:04-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись