Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2004
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Математика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІОНУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до практичних занять і типових розрахунків з курсу
“Теорія керування”
для студентів базового напряму 8.080204
“Прикладна математика”
Затверджено
на засіданні кафедри
прикладної математики
Протокол № 4 від 18.12.2003 р.
Львів – 2004
Дослідження функціонування нелінійних систем: Методичні вказівки до практичних занять і типових роз ра хунків з курсу “Теорія керування” для студентів бака лав ра ту базового напряму 8.080204 “Прик ладна математика” / Укл.: В. А. Ліщинський, Б. М. Маркович. – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”. 2004. –21 c.
Укладачі
Ліщинський В. А., канд. техн. наук, доц.,
Маркович Б. М., асистент
Відповідальний за випуск
Мединський І. П., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Рецензенти
Каленюк П. І., доктор фіз.-мат. наук, проф.,
Кутнів М. В., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Розрахункова робота
Тема: Дослідження функціонування нелінійних систем.
Завдання 1.
Дослідити автоколивання в системі .
Завдання 2.
Оцінити стійкість тривіального роза’язку системи .
Методичні вказівки.
Загальні
Варіанти завдань видає викладач, який проводить практичні заняття.
Послідовність виконання
Завдання 1.
Побудувати опис в цілому лінійної частини системи:
побудувати структурну схему підсистем А і В;
побудувати передавальні функції підсистем А і В;
побудувати передавальну функцію і рівняння лінійної частини.
Побудувати опис системи в цілому.
Лінеаризувати нелінійність.
Побудувати опис лінеаризованої системи в цілому.
Записати характеристичне рівняння лінеаризованої системи.
Визначити параметри періодичного розв’язку:
підставити в характеристичне рівняння значення, яке відповідає періодичному розв’язку ();
розділити дійсну і уявну частину;
знайти параметри періодичного розв’язку ().
Оцінити стійкість періодичного розв’язку:
перевірити виконання основної умови (щодо зв’язку і );
перевірити додаткову умову (чи решта коренів характеристиуного рівняння мають від’ємну дійсну частину).
Зробити висновки і сформулювати відповідь.
Завдання 2.
Побудувати передбачувану функцію Ляпунова з неозначеними коефіцієнтами.
Визначити коефіцієнти, які забезпечують виконання останньої умови ().
Перевірити виконання усіх інших умов.
Сформулювати відповідь.
Оформлення
Розрахункова робота оформляється на білому папері формату А4 (210 Χ 297мм). Аркуш, крім титульної сторінки, можна використовувати з обох боків. Поля за ли шаються на кожній сторінці з чотирьох боків. Розмір лівого поля — 3 см, правого — 1,5 см, верхнього і нижнього — 2,5 см.
Роботу можна писати від руки темним чорнилом чи пастою, друкувати на друкарській машинці або набирати на комп’ютері. Почерк мусить бути чітким і роз бірливим. Якщо робота друкується на машинці, то формули слід вписувати чор ним чорнилом чи пастою. В роботі, яка не набирається на комп’ютері, всі ма люнки, таблиці і графіки потрібно виконувати чорною тушшю, чорним чорнилом чи пастою. Набираючи роботу на комп’ютері, слід використовувати фонт Times New Ro man 14 pt, для заголовків — відповідні стилі заголовків. Інтервал для комп’ю тер но го набору і друкування на машинці — 1,5, відступ першого рядка абзацу — 1,3 см.
Зразок титульної сторінки наведено в кінці Додатку.
Структура роботи повинна відповідати пронумерованим пунктам послідовності вико нан ня.
Приклад розв’язування
Завдання 1
Дослідити автоколивання в системі , яка задана списком:
,
(1.1)
де — суматор, — нелінійний елемент, та — лінійні підсистеми, які задані списками та :
,
(1.2)
де , , ; , ,
,
(1.3)
де , , , .
Нелінійність за да на у списку нелінійностей під номером 24, причому , , , .
Розв’язання
Опис лінійної частини в цілому.
Структурну схему системи , яку задано списком (1.1), зображено на рис. 1.
Побудуємо структурні схеми підсистем (рис. 2) та (рис. 3), які задані списками (1.2) та (1.3):
Передавальні функції підсистем та мають такий вигляд:
(1.4)
.
(1.5)
Система складається з лінійної частини (її передавальну функцію позначимо через ) та нелінійної частини, яка описується функцією . З рис. 1 видно, що передавальна функція лінійної частини є добутком передавальних функцій підсистем та :
.
(1.6)
Тоді, врахувавши що та зробивши обернене лапласове пе ре тво рен ня, отримуємо таке диференціальне рівняння лінійної частини:
,
(1.7)
де — диференціальний оператор ().
Опис системи в цілому.
Враховуючи, що (це видно із рис. 1), запишемо рівняння системи в ці ло му:
.
(1.8)
Лінеаризація нелінійності.
Згідно з методом гармонічної лінеа ри зації, лінеаризовану неліній ність можна пред ста ви ти так:
,
де . Оскільки нелінійність од но значна та непарно си мет рич на, то
,
.
У випадку (див. рис. 4) коефіцієнт є та ким:
,
оскільки задано, що , то лінеари зо вана не лі ній ність набуває такого виг ляду:
.
У випадку (рис. 5) коефіцієнт має такий вигляд:
де невідомий параметр , як легко бачити із рис. 5, знаходиться з такого рівняння:
.
Врахувавши це рівняння, отримуємо такий вираз:
.
Таким чином, лінеаризована нелінійність є такою:
де вже враховано конкретні значення параметрів заданої нелінійності.
У випадку (рис. 6) коефіцієнт має такий вигляд:
де враховано, що , (рис. 6).
Таким чином, лінеаризована нелінійність є такою:
,
де вже враховано конкретні значення параметрів заданої нелінійності.
4. Опис лінеаризованої системи в цілому:
.
(1.9)
5. Характеристичне рівняння системи:
.
(1.10)
6. Визначення параметрів періодичного розв’язку.
Підставивши в це характеристичне рівняння значення , яке відповідає періо дич но му розв’язку, отримуємо таке рівняння:
.
Відокремивши дійсну та уявну частини цього рівняння, отримуємо систему двох рівнянь для невідомих та :
,
(1.11)
.
(1.12)
З рівняння (1.12) знаходимо частоту автоколивань: та підставляємо її у рівняння (1.11), з якого знаходимо: . Амплі туду автоколивань мож на знай ти гра фіч но (див. рис. 7). Для цьо го будуємо графік функції (яка бу ла знайдена нами при лі не аризації не лі ній нос ті) та пряму (штрихова го ри зон тальна лі нія), абсцисою точки пере ти ну цих ліній є шукана амплітуда .
Отже, параметри шуканого періо дич ного розв’язку такі:
, .
7. Оцінка стійкості періодичного розв’язку.
Для оцінки стійкості періодичного розв’язку необхідно перевірити виконання основної умови:
.
(1.13)
У нашому випадку
.
Отже, основна умова виконується.
Потрібно ще перевірити чи решта коренів характе рис тичного рівняння мають від’ємну дійсну частину. Для цього, оскільки характе рис тичне рівняння (1.10) є рівнянням четвертого порядку, достатньо щоб його коефіцієнти були додатними. Легко бачити що і ця умова виконується.
8. Відповідь.
Отже, в системі є автоколивання, з параметрами , .
Завдання 2
Оцінити стійкість тривіального розв’язку системи:
.
(2.1)
Розв’язання
Передбачувана функція Ляпунова з неозначеними коефіцієнтами:
.
(2.2)
Визначення коефіцієнтів та так, щоб виконувалась умова:
.
(2.3)
Для того, щоб виконувалась умова (2.3) необхідно щоб коефіцієнти та за до вольня ли таким умовам:
Нехай , тоді і функція є такою:
.
(2.4)
Перевірка виконання інших умов:
— функція лише координат системи та ,
, якщо ,
функція є знаковизначеною (додатна), тобто , якщо та .
функція є неперервною по своїх аргументах та має неперервні перші час тин ні похідні.
Відповідь.
Тривіальний розв’язок системи (2.1) асимптотично стійкий, функція (2.4) є функцією Ляпунова.
Захист розрахункової роботи.
Умови зарахування захисту:
Наявність правильно виконаної і оформленої роботи.
Уміння виконувати і пояснити виконання кожного пункту роботи.
Правильні відповіді на питання за темою “Нелінійні системи” (перелік питань наведено в Додатку).
Література
Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1979. – 256 с.
Додаток
Варіанти завдання 1
Типи загальної структури
K1={0C, CA, АН, НВ, В0, ВС_};
K2={0C, CA, АВ, ВН, Н0, НС_};
K3={0C, CН, НА, АВ, В0, ВС_};
K4={0C, CA, АН, Н0, НВ, ВС_};
K5={0C, CН, НВ, В0, ВА, АС_};
K6={0C, CН, Н0, НА, AВ, ВС_};
K7={0C, CA, А0, АВ, ВН, НС_};
K8={0C, CA, АВ, В0, ВН, НС_};
де С –суматор, Н –нелінійний елемент.
Типи лінійних підсистем (А, В)
K={01, 10}; ;
K={01, 12, 20}; , ;
K={01, 11_, 12, 20}; , ;
K={01, 11_, 12, 22_, 20}; , .
Типи нелінійностей
Варіанти завдання 2
Система
Перелік питань за темою “Нелінійні системи”
Типи нелінійних систем, особливості.
Загальна характеристика методів дослідження нелінійних ситем.
Суть методу припасовування.
Загальні положення методу фазових траєкторій.
Взаємозва’язок між фазовими траєкторіями і відповідними перехідними процесами.
Суть методу ізоклін.
Особливі точки фазових портретів лінійних систем.
Послідовність побудови фазових портретів нелінійних систем.
Особливості фазових портретів нелінійних систем.
Особливості методу ізоклін для нелінійних систем.
Загальні положення мотоду гармонічної лінеаризації.
Гармонічна лінеаризація нелінійності для симетричних коливань.
Особливості обчислення коефіцієнтів гармонічної лінеаризації.
Визначення аперіодичного розв’язку.
Оцінка стійкості аперіодичного розв’язку.
Особливості дослідження стійкості нелінійних систем.
Функції Ляпунова.
Обгрунтування використання функцій Ляпунова для оцінки стійкості.
Теореми прямого методу Ляпунова.
Поняття абсолютної стійкості.
Перший критерій Попова.
Другий критерій Попова.
Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Інститут прикладної математики і фундаментальних наук
Кафедра прикладної математики
Розрахункова робота
з теорії керування на тему:
“Дослідження функціонування нелінійних систем”
Виконав : ст. гр. <назва групи>
<прізвище студента>
Прийняв :
Львів – 2004
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІОНУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до практичних занять і типових розрахунків з курсу
“Теорія керування”
для студентів базового напряму 8.080204
“Прикладна математика”
Укладачі
Ліщинський Віталій Арсенійович
Маркович Богдан Михайлович
Редактор
Оксана Чернигевич
Комп'ютерне верстання
Ліщинський Віталій Арсенійович
Маркович Богдан Михайлович
09.04.2013 21:04-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора