Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Варіаційне числення та методи оптимізації
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Навчальний посібник
Предмет:
Варіаційне числення
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Передмова
Методи варіаційного числення знаходять широке застосування в різних галузях науки та виробництва при постановці та розв'язуванні задач моделювання, оптимізації та управління. Володіння ними стає складовою частиною сучасної інженерної освіти.
Цей посібник орієнтований на студентів нематематичних спеціальностей і має на меті допомогти їм під час вивчення та перевірки засвоєння відповідно теоретичного матеріалу і розв'язування задач для самостійної роботи.
Вся тема розбита на окремі модулі-завдання, кожне з яких включає короткі теоретичні відомості, приклади розв'язання типових задач і вправи для самостійної роботи.
У кінці наведено перелік запитань для самоперевірки та підготовки до екзамену (заліку), а також список рекомендованої літератури.
Завдання 1. ФУНКЦІОНАЛ ТА ЙОГО
ВАРІАЦІЯ. ЕКСТРЕМУМ
Поняття про функціонал. Екстремум функціоналу. Класичні задачі варіаційного числення. Варіація функції та приріст функціоналу. Неперервність функціоналу. Лінійний функціонал. Перша та друга варіації функціоналу.
1.1. Поняття про функціонал
Нехай задано деякий клас D функцій . Якщо кожній функції із класу D за деяким законом ставиться у відповідність певне числове значення змінної I, то ця змінна І називається функціоналом від однієї функціональної змінної і позначається .
Клас D функцій , на яких визначений функціонал, називається областю визначення функціоналу. При цьому функція служить незалежною змінною (аргументом) функціоналу. Функції із області визначення D даного функціоналу І називаються функціями порівняння або допустимими функціями.
Кожну функцію , яка належить області визначення D функціоналу І[у], можна розглядати як точку (елемент) деякої множини (простору) функцій. Простори, елементами яких служать функції, називаються функціональними просторами. Можна сказати, що функціонал — це функція, в якої значеннями незалежної змінної є точки (елементи) функціонального простору, а значеннями залежної змінної І — числа.
Можна розглядати також функціонали від кількох незалежних функціональних змінних. Якщо скінчен ному набору функцій з певного класу функцій D ставиться у відповідність за деяким законом певне числове значення змінної І, то І називається функціоналом від n функціональних змінних і позначається .
Приклад 1. Обчислити заданий функціонал при заданих значеннях аргументу:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Розв'язання.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Надалі будемо розглядати, в основному, функціонал вигляду , областю визначення якого служить клас функцій , що визначені та неперервні разом з першою похідною на відрізку .
1.2. Екстремум функціоналу
Відстанню нульового порядку між функціями (лініями) і на відрізку називається невід'ємне число При цьому вважається, що розглядувані функції і неперервні на відрізку .
Відстанню першого порядку між функціями (лініями) і на відрізку називається невід'ємне число При цьому вважається, що розглядувані функції і неперервні разом зі своїми першими похідними на відрізку .
Приклад 2. Знайти відстань першого порядку між кривими і на відріз ку .
Розв'язання.
Розглянемо функції і . Знайдемо їх найбільші та найменші значення на відрізку :
Тоді
Нехай D1 — деякий клас функцій порівняння (підмножина області визначення D) функціоналу . Функціонал має в цьому класі D1 абсолютний мінімум (максимум), який реалізується функцією , якщо для довільної функції виконується рівність .
Функціонал має в класі D1 локальний або відносний мінімум (максимум), який реалізується функцією , якщо для довільної функції , яка близька до функції , виконується рівність
Максимуми і мінімуми називаються екстремумами.
Якщо близькість функцій розуміється в смислі відстані нульового порядку, тобто , де — досить мале число, то такий відносний екстремум називається сильним.
Якщо близькість функцій розуміється в смислі відстані першого порядку, тобто , де — досить мале число, то такий відносний екстремум називається слабким.
На рис. 1 зображені лінії, близькі в смислі відстані нульового порядку (координати їх близькі, а напрямки дотичних можуть суттєво відрізнятись), а на рис. 2 наведені криві, близькі в смислі відстані першого порядку (близькі не тільки їх координати, а і напрямки дотичних).
Рис.1 Рис.2
Абсолютний екстремум тим паче є відносним екстремумом. Обернене твердження, в загальному випадку, невірне.
Сильний відносний екстремум тим паче є слабким екстремумом. Обернене твердження, в загальному випадку, невірне.
Надалі будемо розглядати слабкий відносний екстремум і слова "слабкий", "відносний" будемо опускати.
Основною задачею варіаційного числення є дослідження функціоналу на екстремум.
1.3. Класичні задачі варіаційного числення
Задача про максимальну швидкодію (задача про брахістохрону). Знайти криву, розміщену у вертикальній площині, що сполучає дві задані точки і , які не лежать на одній вертикальній прямій, і таку, що матеріальна точка, рухаючись по цій кривій під дією сили тяжіння з точки A без початкової швидкості досягне точки B за найменший проміжок часу (рис.3).
Аналітичне формулювання цієї задачі: серед неперервно диференційовних функцій знайти таку, яка доставляє мінімум функціоналу
при крайових умовах
a b
Рис. 3.
Задача про геодезичні лінії. Нехай на поверхні задано дві точки і . Серед всіх ліній, які лежать на даній поверхні і з'єднують точки A і B, вибрати ту, дуга AB якої має найменшу довжину.
Аналітичне формулювання цієї задачі: серед неперервно диференційовних функцій параметра t знайти такі, які задовольняють рівняння зв'язку і доставляють мінімум функціоналу
при крайових умовах
Ізопериметрична задача (задача Дідо). Нехай на осі задано дві точки і . Серед всіх ліній заданої довжини , які з'єднують на площині ці точки і , вибрати таку, що разом з відрізком AB обмежує найбільшу площу (рис.4).
Аналітичне формулювання цієї задачі: серед неперервно диференційовних функцій вибрати таку, яка задовольняє рівняння зв'язку і доставляє максимум функціоналу при крайових умовах
Рис. 4.
1.4. Варіація функції та приріст
функціоналу. Неперервність. Лінійний
функціонал
Нехай функціонал визначений на класі функцій D, і — довільні функції даного класу D. Функція, яка дорівнює різниці функцій і , називається приростом або варіацією аргументу функціоналу і позначається : .
Тоді .
Різниця називається приростом функціоналу , який відповідає варіації аргументу.
Зазначимо, що похідна варіації функції дорівнює варіації похідної: Дійсно,
Якщо нескінченно малому приросту функції відповідає нескінченно малий приріст функціоналу , то такий функціонал називається неперервним. Точніше, функціонал називається неперервним на кривій в смислі відстані k(того порядку, якщо за довільно заданому знайдеться таке , що при виконанні умови справджується нерівність
Функціонал називається лінійним, якщо виконуються умови:
1. Функціонал від алгебраїчної суми функцій дорівнює відповідній алгебраїчній сумі функціоналів:
2. Сталий множник можна виносити за знак функціоналу:
1.5. Перша та друга варіації функціоналу
Якщо для довільно малої варіації аргументу приріст функціоналу можна подати у вигляді суми головної частини, лінійної відносно , та нескінченно малої вищого порядку порівняно з : де — лінійний відносно функціонал, — нескінченно малий вищого порядку порівняно з функціонал: , тобто, де то сам функціонал називається варійовним, а головна лінійна відносно частина його приросту називається диференціалом або варіацією функціоналу і позначається : де . (Перше означення варіації функціоналу).
При дослідженні функціоналів варіація функціоналу відіграє роль, аналогічну тій, яку виконує при дослідженні функцій диференціал. В таблиці 1 наведено відповідність понять диференціального та варіаційного числень.
Таблиця 1
№ п/п
Диференціальне числення
Варіаційне числення
Аргумент — числова змінна х
Аргумент — числова функція
Залежна змінна — числова y
Залежна змінна — числова I
Приріст аргументу
Варіація аргументу
Приріст функції
Приріст функціоналу
Диференціал функції
Варіація функціоналу
Другий диференціал функції
Друга варіація функ ціоналу
Необхідна умова екстремуму
Необхідна умова екстремуму
Стаціонарна точка функції
Стаціонарна фун кція (допустима екстре маль) функціоналу
Достатня умова екстремуму:
Достатня умова екстремуму:
Варіацію називають також варіацією першого порядку або першою варіацією функціоналу . Варіацію другого порядку введемо аналогічно тому, як це робиться для диференціала другого порядку функції.
Візьмемо довільну допустиму функцію і довільну її варіацію таку, що функція є допустимою функцією. Зафіксуємо та і розглянемо однопараметричну сім'ю функцій , де — деяке число. Функціонал на вказаній сім'ї функцій є функцією параметра :
.
Розкладемо цю функцію за формулою Тейлора до квадратичного члена включно в околі точки :
де залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з : .
Тоді варіаціям першого та другого порядку можна дати такі означення.
Варіацією або першою варіацією функ ціоналу називається значення першої похідної функції при :
(Друге означення варіації функціоналу).
Можна показати, що це означення першої варіації рівносильне наведеному раніше. На практиці зручніше користуватись останнім означенням.
Другою варіацією функціоналу або варіацією другого порядку називається значення другої похідної функції при :
Приклад 3. Знайти варіацію функціоналу а) б) в) користуючись першим означенням як головної лінійної відносно частини приросту .
Розв'язання. а) Знайдемо приріст функціоналу :
За першим означенням
б) Знайдемо приріст функціоналу :
За першим означенням .
в) Знайдемо приріст функціоналу :
За першим означенням .
Приклад 4.Знайти варіацію функціоналу а) б) в) користуючись другим означенням варіації функціоналу як похідної по параметру.
Розв'язання. У відповідності з другим означенням варіації функціоналу маємо:
а)
б)
в)
Задачі для самостійної роботи
1. Обчислити заданий функціонал при заданих значеннях аргументу.
1.1.
1.2.
1.3.
2. Знайти відстань нульового порядку між заданими кривими на вказаних відрізках.
2.1.
2.2.
2.3.
3. Знайти відстань першого порядку між заданими лініями на вказаних відрізках.
3.1.
3.2.
3.3.
4. Знайти варіацію для заданого функціоналу.
4.1. 4.2.
4.3. 4.4.
4.5. 4.6.
4.7. 4.8.
4.9.
Завдання 2. НЕОБХІДНА УМОВА
ЕКСТРЕМУМУ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ
РІВНЯННЯ ЕКСТРЕМАЛЕЙ
Необхідна умова екстремуму функціоналу. Задача на екстремум функціоналу з закріпленими кінцями. Диференціальне рівняння екстремалей (рівняння Ейлера).
Диференціальне рівняння екстремалей функціоналу, в який входять похідні вищих порядків (рівняння Ейлера-Пуассона). Система диференціаль них рівнянь екстремалей функціоналу, що залежить від кількох функцій (система рівнянь Ейлера-Лагранжа). Канонічні рівняння екстремалей.
2.1. Необхідна умова екстремуму
функціоналу
Як відомо, необхідна умова екстремуму функції полягає в рівності нулю її диференціала. Аналогічно, для функціоналу справедлива теорема (необхідна умова екстремуму в варіаційній формі):
Якщо функціонал має варіацію і досягає на деякій функції екстремуму, то його варіація на цій функції дорівнює нулю:
Доведення. Розглянемо однопараметричну сім'ю функцій у0+((у, де ( — деяке число. На вказаній сім'ї функцій функціонал є функцією параметра (: , яка згідно з умовою теореми має екстремум при (=0.
У відповідності з необхідною умовою екстремуму функції маємо , тобто . Згідно з другим означенням вказана похідна є варіацією функціоналу. Отже,
Функції, на яких варіація функціоналу існує і дорівнює нулю, називаються стаціонарними функціями або допустимими екстремалями.
2.2. Задача на екстремум функціоналу
з закріпленими кінцями. Диференціальне
рівняння екстремалей (рівняння Ейлера)
Знайти мінімум (максимум) функціоналу при крайових умовах ; серед неперервно диференційованих на відрізку функцій у, де — відомі числа.
Оскільки в даній задачі всі допустимі криві, серед яких шукається та, що доставляє екстремум функціоналу, проходять через дві різні нерухомі точки і , то поставлена задача називається варіаційною задачею з закріпленими кінцями.
Теорема. Допустимі екстремалі функціоналу з закріпленими кінцями ; , визначаються як розв'язки диференціального рівняння при крайових умовах ; .
Диференціальне рівняння другого порядку називається рівнянням Ейлера. Розв'язки рівняння Ейлера називаються екстремалями, а само рівняння Ейлера — диференціальним рівнянням екстремалей.
Таким чином, в даній задачі допустимі екстремалі виділяються зі всіх екстремалей врахуванням крайових умов.
Доведення. Необхідна умова екстремуму, з якої знаходяться екстремалі, має вигляд . Оскільки ця умова повинна виконуватись для будь-якої варіації функції , то при закріплених кінцях повинні справджуватись рівності .
Виразимо варіацію функціоналу через функцію та її похідні:
де
До другого доданка останньої рівності застосуємо інтегрування частинами:
оскільки (у(х1)=0, (у(х2)=0.
Тоді варіацію функціоналу можна подати у вигляді
На екстремалі варіація функціоналу повинна дорівнювати нулю:
причому для довільної варіації функції (у такої, що (у(х1)=0, (у(х2)=0. Це можливо лише за умови, що вираз в дужках під знаком інтеграла дорівнює нулю для всіх х із відрізка [х1;х2]:
Приклад 5. Знайти екстремалі функціоналу:
а)
б) де а=const, a>0.
Розв'язання. а)Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду: 2-(-2+2у'')=0; y''+2=0.
Розв'яжемо одержане рівняння:
Отже, екстремалями служать функції:
де С1 і С2 — довільні сталі.
б) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду 2a2y-2y''=0; y''-a2y=0.
Розв'яжемо одержане рівняння:
— шукані екстремалі, де С1, С2 — довільні сталі.
Приклад 6. Знайти екстремалі функціоналу, що задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):
а)
б)
в)
г)
Розв'язання. а) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду
18у-(-2y'')=0; y''+9y=0.
Розв'яжемо одержане рівняння:
к2+9=0; к1,2=(3і.
Екстремалями служать функції
y=C1cos0+C2sin0,
де C1, C2 — довільні сталі.
Знайдемо конкретні значення C1 і C2 із крайових умов:
Отже, допустима екстремаль
y=2cos3x.
б) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:
4cosx-2y-2y''=0; y''+y=2cosx.
Розв'яжемо одержане рівняння:
y''+y=0; к2+1=0; к1,2=(і;
— екстремалі,
де C1 і C2 — довільні сталі.
Крайові умови дають систему алгебраїчних рівнянь для знаходження C1 і C2:
З останньої рівності випливає, що С2 може набувати довільних значень. Значить, допустимими екстремалями служать функції
y=C2sinx+xsinx,
де C2 — довільна стала.
Таким чином, варіаційна задача має нескінченну множину розв'язків.
в) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:
Розв'яжемо одержане рівняння:
y''-y=0; к2-1=0; к1,2=(1;
f1(x)=4e-x; y*1=Axe-x; y'*1=Ae-x-Axe-x;
y''*1=-Ae-x-Ae-x+Axe-x=Axe-x-2Ae-x;
Axe-x-2Ae-x-Axe-x=4e-x; -2A=4; A=-2;
y*1=-2xe-x ; f2(x)=12e2x ; y*2=Ae2x ; y'*2=2Ae2x;
y''*2=4Ae2x ; 4Ae2x-Ae2x=12e2x; 3A=12; A=4;
y*2=4e2x ; y*=y*1+y*2=-2xe-x+4e2x ;
— екстремалі,
де C1, C2 — довільні сталі.
Використаємо крайові умови для знаходження C1 і C2:
Отже, допустима екстремаль
г) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду: Звідси
Отже, або в неявній формі - рівняння екстремалей.
Як бачимо, екстремалями служить сім'я кіл.
Використовуючи крайові умови, знаходимо C1 і C2:
Тоді x2+y2=1 —допустима екстремаль.
Приклад 7. Визначити форму твердого тіла, що рухається в потоці газу з найменшим опором. Вважати шукане тіло тілом обертання.
Розв'язання. З фізичних міркувань випливає, що задача зводиться до мінімізації сили опору
при крайових умовах у(0)=0; у(l)=R,
де ( — густина газу, v —швидкість газу відносно тіла.
Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:
Ясно, що у(const, тоді y'(0. Останнє рівняння спрощується: 3yy''+(y')2=0.
Розв'яжемо одержане рівняння:
— екстремалі, де C1, C2 — довільні сталі.
Використавши крайові умови, знайдемо C1 і C2:
Тоді — допустима екстремаль.
Оскільки допустима екстремаль єдина і з фізичних міркувань випливає, що поставлена задача має розв'язок, то функція визначає форму тіла обертання з найменшим опором.
2.3. Диференціальне рівняння екстремалей
функціоналу, в який входять похідні вищих
порядків (рівняння Ейлера-Пуассона)
Ставиться задача знаходження мінімуму (максимуму) функціоналу
при крайових умовах
Із необхідної умови екстремуму при і випливає, що допустимі екстремалі є розв'язками диференціального рівняння при крайових умовах
Розв'язки останнього диференціального рівняння називаються екстремалями, а саме рівняння називається диференціальним рівнянням екстремалей або рівнянням Ейлера-Пуассона.
Приклад 8. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):
а)
б)
в)
Розв'язання. а) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера-Пуассона:
Тоді рівняння Ейлера-Пуассона набуває вигляду:
Розв'яжемо одержане рівняння:
— екстремалі, де — довільні сталі.
Допустимі екстремалі знайдемо, визначивши конкретні значення із крайових умов:
Отже, допустима екстремаль
б) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера-Пуассона:
Тоді рівняння Ейлера-Пуассона
набуває вигляду
Розв'яжемо останнє рівняння:
— екстремалі.
Конкретні значення знайдемо з крайових умов:
Отже, допустима екстремаль
в) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера-Пуассона:
Тоді рівняння Ейлера-Пуассона
набуває вигляду
Розв'яжемо останнє рівняння:
— екстремалі, де — довільні сталі.
Використавши крайові умови, знайдемо значення .
Спочатку із крайових умов визначаємо .
Тоді на основі крайових умов одержуємо систему для знаходження :
Отже, допустима екстремаль
2.4. Система диференціальних рівнянь
екстремалей функціоналу, що залежить
від кількох функцій (система рівнянь
Ейлера-Лагранжа)
Ставиться задача знаходження мінімуму (максимуму) функціоналу
при крайових умовах
Із необхідної умови екстремуму при і випливає, що допустимі екстремалі є розв'язками системи диференціальних рівнянь
при крайових умовах
Розв'язки останньої диференціальної системи називаються екстремалями, а сама система — системою диференціальних рівнянь екстремалей або системою рівнянь Ейлера-Лагранжа.
Приклад 9. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):
а)
б)
Розв'язання. а) Знайдемо похідні, що входять в систему рівнянь Ейлера-Лагранжа:
Тоді система рівнянь Ейлера-Лагранжа
набуває вигляду:
Розв'яжемо останню систему:
Конкретні значення довільних сталих знайдемо з крайових умов:
Отже, допустимі екстремалі:
б) Знайдемо похідні, що входять в систему рівнянь Ейлера-Лагранжа:
Тоді система рівнянь Ейлера-Лагранжа
набуває вигляду:
Розв'яжемо останню систему зведенням до одного диференціального рівняння вищого порядку:
Використавши крайові умови, знайдемо :
Отже, допустимі екстремалі:
2.5. Канонічні рівняння екстремалей
Розглянемо систему рівнянь Ейлера-Лагранжа
Позначимо Функції називаються канонічними змінними для функціоналу
При цьому змінні і називаються спряженими. Введемо так звану функцію Гамільтона (гамільтоніан)
Знайдемо частині похідні гамільтоніана H по та :
Оскільки а з системи рівнянь Ейлера-Лагранжа то мають місце співвідношення:
Одержана система називається канонічною системою рівнянь екстремалей для функціоналу
Задачі для самостійної роботи
1. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють заданим крайовим умовам (допустимі екстремалі):
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
2. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):
2.1.
2.2.
2.3.
3. Знайти екстремалі функціоналу, які задовольняють вказаним крайовим умовам (допустимі екстремалі):
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
Завдання 3. ДОСТАТНІ УМОВИ ЕКСТРЕМУМУ. УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ. ВАРІАЦІЙНІ
ПРИНЦИПИ
Достатні умови екстремуму. Задачі на умовний екстремум функціоналу: ізопериметрична задача і задача Лагранжа. Варіаційна задача з рухомими кінцями. Умови трансверсальності. Варіаційні принципи.
3.1. Достатні умови екстремуму
В багатьох варіаційних задачах існування та характер екстремуму очевидні з геометричного чи фізичного змісту задачі. Якщо при цьому допустима екстремаль єдина, то вона і буде розв'язком варіаційної задачі. В загальному випадку для того, щоб встановити наявність і характер екстремуму, треба скористатись достатніми умовами екстремуму.
Нехай функція є допустимою екстремаллю функціоналу в розглядуваному класі допустимих функцій , тобто на цій кривій виконується необхідна умова екстремуму . Характер екстремуму (максимум чи мінімум) визначається знаком приросту функціоналу: якщо , то функціонал має мінімум, а якщо , то — максимум. Оскільки на допустимій екстремалі перша варіація дорівнює нулю , то знак приросту функціоналу для довільної досить малої варіації аргументу визначається знаком другої варіації функціоналу .
Достатня умова екстремуму у варіаційній формі: якщо на розглядуваному класі допустимих функцій для довільної досить малої варіації функції на допустимій екстремалі друга варіація функціоналу додатня , то на цій екстремалі функціонал має мінімум, якщо друга варіація функціоналу від'ємна , то — максимум, якщо ж друга варіація функціоналу набуває значень обох знаків, то екстремуму немає.
При певних умовах знак другої варіації функціоналу визначається знаком другої похідної . Звідси випливають достатні умови Лежандра:
1. Посилені достатні умови Лежандра: якщо на допустимій екстремалі виконується нерівність , то на цій екстремалі функціонал має слабкий мінімум, а якщо нерівність , то — слабкий максимум.
2. Якщо в точках , які близькі до допустимої екстремалі , виконується нерівність при довільних значеннях , то ця екстремаль реалізує сильний мінімум (сильний максимум).
Приклад 10. Користуючись посиленими достатніми умовами Лежандра, дослідити на екстремум функціонал при заданих крайових умовах:
а)
б)
в)
г)
Розв'язання. а) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:
Розв'яжемо останнє рівняння за допомогою зниження порядку:
— екстремалі.
Значення і знайдемо з крайових умов:
Отже, допустима екстремаль .
Оскільки на допустимій екстремалі , при , то функціонал має мінімум. Знайдемо його значення:
б) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:
Розв'яжемо останнє рівняння:
— екстре малі.
Використавши крайові умови, знайдемо і :
Отже, допустима екстремаль .
Оскільки на допустимій екстремалі , при , то функціонал має мінімум. Знайдемо його значення:
в) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:
Розв'яжемо останнє рівняння за допомогою зниження порядку:
— екстремалі.
Значення і знайдемо з крайових умов:
Отже, — допустима екстремаль.
Оскільки на допустимій екстремалі , при , то функціонал має мінімум. Знайдемо його значення:
г) Знайдемо похідні, що входять в рівняння Ейлера:
Тоді рівняння Ейлера набуває вигляду:
Розв'яжемо останнє рівняння за допомогою зниження порядку:
— екстремалі.
Значення і знайдемо з крайових умов:
Отже, допустима екстремаль .
Скористаємося посиленими достатніми умовами Лежандра: . На допустимій екстремалі маємо: ; при .
Отже, на цій екстремалі функціонал досягає мінімуму. Знайдемо його значення:
3.2. Умовний екстремум. Задача Лагранжа. Ізопериметрична задача
Варіаційною задачею на умовний екстремум називається задача дослідження на екстремум функціоналу, коли на функції, від вибору яких залежить цей функціонал, крім крайових, накладено інші додаткові умови, що звуться зв'язками.
В залежності від їх характеру зв'язки поділяються на: а) алгебраїчні або скінченні (голономні); б) диференціальні або неголономні; в) інтергральні або ізопериметричні.
За допомогою методу множників Лагранжа задачі на умовний екстремум зводяться до задач на безумовний екстремум.
Задача Лагранжа: знайти функції які доставляють мінімум (максимум) функціоналу
і задовольняють рівняння зв'язку
а також крайові умови
Припускається, що рівняння зв'язку незалежні, а крайові умови їх задовольняють.
Теорема. Якщо функції є допустимими екстремалями cформульованої задачі Лагранжа, то існують такі функції (множники Лагранжа), що функції служать безумовними допустимими екстремалями для допоміжного функціоналу
де — допоміжна функція (функція Лагранжа).
Правило. Згідно з наведеною теоремою для знаходження допустимих екстремалей задачі Лагранжа необхідно:
1. Скласти функцію Лагранжа і відповідний допоміжний функціонал з невизначеними функціями — множниками Лагранжа.
2. Скласти систему рівнянь Ейлера-Лагранжа для допоміжного функціоналу:
приєднати до неї рівняння зв'язку
і з одержаної об'єднаної системи знайти екстремалі , де — довільні сталі, а також, якщо потрібно, множники Лагранжа .
3. Використовуючи крайові умови, знайти конкретні значення і допустимі екстремалі.
Приклад 11. Знайти екстремалі функціоналу
на зв'язку при крайових умовах
Розв'язання. Складемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:
Складемо систему рівнянь Ейлера-Лагранжа:
Враховуючи рівняння зв'язку, маємо систему:
Розв'яжемо цю систему зведенням до диференціального рівняння вищого порядку:
Отже, екстремалями служать функції:
Знайдемо значення і із крайових умов:
Отже, допустимі екстремалі
Приклад 12. Знайти геодезичну лінію, яка сполучає дві задані точки і поверхні . Знайти її довжину.
Розв'язання. Геодезична лінія — це найкоротша лінія, яка лежить на даній поверхні і сполучає дві дані точки. Нехай шукана лінія визначається рівняннями . Тоді — крайові умови; — рівняння зв'язку; — функціонал (довжина дуги ), мінімум якого треба знайти.
Складемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:
Складемо систему рівнянь Ейлера-Лагранжа:
Вилучивши з останньої системи , одержимо:
Продиференціювавши рівняння зв'язку, маємо:
Звідси Тоді
Після спрощення маємо Тоді
З рівняння зв'язку Тоді
Отже, — екстре малі.
Використавши крайові умови, знайдемо і :
Отже, допустимі екстремалі:
Таким чином, геодезична лінія визначається рівняннями .
Знайдемо її довжину:
Найпростіша ізопериметрична задача: знайти функцію , яка доставляє мінімум (максимум) функціоналу
і задовольняє інтегральне рівняння зв'язку
а також крайові умови
Теорема. Якщо функція є допустимою екстремаллю сформульованої ізопериметричної задачі, то існує таке стале число (множник Лагранжа), що функція служить безумовною допустимою екстремаллю допоміжного функціоналу
де — допоміжна функція (функція Лагранжа).
Принцип взаємності: Сукупність умовних екстремалей не залежить від того, чи шукати екстремум функціоналу при фіксованому значенні чи, навпаки, шукати екстремум при фіксованому значенні .
Зазначимо, що, на відміну від алгебраїчних чи диференціальних, інтегральні зв'язки не накладають жорстких обмежень на шукані функції, бо з них не можна виразити одні з функцій через інші. Тому число ізопериметричних умов не обов'язково повинно бути меншим числа шуканих функцій.
Приклад 13. Знайти екстремалі функціоналу
при крайових умовах та ізопериметричному зв'язку
Розв'язання. Складемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:
Складемо рівняння Ейлера:
Звідси
Використаємо крайові умови:
З ізопериметричної умови маємо:
Отже, допустима екстремаль:
Приклад 14. Знайти екстремалі функціоналу
при крайових умовах та ізопериметричному зв'язку
Розв'язання. Складемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:
Складемо рівняння Ейлера:
Розв'яжемо останнє рівняння:
1. Якщо , то . З крайових умов випливає: Але функція не задовольняє інтегральне рівняння зв'язку. Отже, в цьому випадку допустима екстремаль не існує.
2. Якщо , то . З крайових умов випливає: . Як було зазначено вище, функція не задовольняє ізопериметричній умові. Допустимої екстремалі немає.
3. Якщо , то . З крайової умови маємо Оскільки то звідси Отже, Використаємо інтегральне рівняння зв'язку: Отже, — допустимі екстремалі.
Приклад15. Серед всіх плоских кривих заданої довжини , що сполучають дві задані точки і знайти таку, в якої ордината центра мас найменша. Для знайденої кривої обчислити ординату центра мас .
Розв'язання. Задача полягає в мінімізації функціоналу
при крайових умовах та ізопериметричному зв'язку
Складемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:
Складемо рівняння Ейлера:
Розв'яжемо останнє рівняння за допомогою зниження порядку:
Спростимо останній вираз, поклавши . Тоді ; ; .
Отже, Тоді — екстремалі (сім'я ланцюгових ліній).
З крайових умов маємо:
Оскільки , то з останнього рівняння випли ває: Тоді
Рівняння зв'язку набуває вигляду: .
Звідси . Отже, допустима екстремаль
.
З фізичного змісту задачі випливає, що мінімум функціоналу існує. Оскільки допустима екстремаль єдина, то на ній і досягається мінімум. Знайдемо шукану ординату центра мас :
3.3. Задача на екстремум функціоналу
з рухомими кінцями.
Умови трансверсальності
Ставиться задача знаходження мінімуму (максимуму) функціоналу серед неперервно диференційовних на відрізку функцій , якщо крайові умови не задані, але відомо, що точки і лежать відповідно на заданих
10.05.2013 19:05-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора