Звіт до лабораторної роботи № 3 з курсу “Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем” на тему “Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь” Львів 2009 Мета роботи – ознайомлення з ітераційними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. До ітераційних методів належать: метод простої ітерації, метод Зейделя, метод верхньої релаксації та інші. Метод Зейделя Є система лінійних алгебраїчних рівнянь, що зведена до нормального вигляду
. Тоді за методом Зейделя, вибираючи вектор початкових наближень
(як правило, це стовпець вільних членів
), уточнення значень невідомих проводять наступним чином: 1) перше наближення:
2) k + 1 наближення
k = 0, 1, 2, … . Таким чином ітераційний процес подібний до методу простих ітерацій, однак уточнені значення
одразу ж підставляються в наступні рівняння:
– метод Зейделя. Іншими словами, метод Зейделя відрізняється від методу простої ітерації тим, що при обчисленні
на “k+1”-му кроці враховуються значення
,
,

, обчислені на цьому самому кроці. Слід сподіватись, що ітерації за методом Зейделя дадуть при тому ж числі кроків більш точні результати, ніж за методом простої ітерації. Або така ж точність буде досягнута за менше число кроків, оскільки чергові значення невідомих визначаються тут більш точно ітераційний процес припиняється. Якщо візьмемо систему
для якої точний розв’язок
Обчислення проведемо згідно формул:
. За початкове наближення вибираємо вектор
Результати обчислень наведемо в таблиці: Ітерації Метод простої ітерації Метод Зейделя   х1 х2 х3 х1 х2 х3  0 0 0 0 0 0 0  1 2 3 4 5 6 1,0000 1,2750 1,1287 1,0187 0,9882 0,99105 1,5000 1,2000 1,0342 0,9922 0,98373 0,99547 0,4000 0,7600 0,9590 1,0394 1,0195 1,0056 1,0000 1,0500 0,9896 1,0010 1,0000 1,3333 0,9473 1,0050 0,9999 1,0000 1,1333 0,9889 0,9999 1,0000 1,0000  Достатні умови збіжності ітераційного методу Зейделя
для всіх
і якщо хоча б для одного і ця нерівність строга

. Завдання Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Зейделя: 8.3*х1 + (2,62+s)*x2 + 4.1*x3 + 1.9*x4 = -10.55 + b 3.92*х1 + 8.45*x2 + (7.78-s)*x3 + 2.46*x4 = 12.21 3.77*х1 + (7.21+s)*x2 + 8.04*x3 + 2.28*x4 = 15.45 - b 2.21*х1 + (3.65-s)*x2 + 1.69*x3 + 6.99*x4 = -8.35 s=0.2*k, k=3; b = 0.2*p, p=0 Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних у програмі j,i,k,m – змінні типу int; n, g константи; s,s1,f змінні типк double які ми використовуємо при роботі програми; a[4][4] масив розміром 4*4 типу double; b[i] результат роботи програми; s результат перевірки програми; printf, scanf функції вводу і виводу; Блок-схема алгоритму програми: #include <stdio.h> const int n=4; const int g=1; void main(void) { int j,i,k,m; double s,s1,f; double a[4][4]; double p[4][4]; double b[4]; double x[4]; { for (i=0;i<n;i++) for (k=0;k<n;k++) { printf("a[%i][%i]=",i+1,k+1); scanf ("%lf",&a[i][k]); } for (i=0;i<n;i++) for (k=0;k<n;k++) p[i][k]=a[i][k]; for (i=0;i<n;i++) { printf("b[%i]=",i+1); scanf ("%lf",&b[i]); } for (j=1;j<n;j++) a[0][j]/=a[0][0]; b[0]/=a[0][0]; for (k=1;k<n;k++) { for (i=k;i<n;i++) for (m=0;m<=k-1;m++) a[i][k]-=a[i][m]*a[m][k]; if (k==(n-1)) goto g; for (j=k+1;j<n;j++) { s1=0; for (m=0;m<=k-1;m++) s1+=a[k][m]*a[m][j]; a[k][j]=(a[k][j]-s1)/a[k][k]; } g:s=0; for (m=0;m<=k-1;m++) s+=a[k][m]*b[m]; b[k]=(b[k]-s)/a[k][k]; } for (i=0;i<n;i++) x[i]=0; x[n-1]=b[n-1]; for (i=n-2;i>=0;i--) { s=0; for (m=i+1;m<n;m++) s+=a[i][m]*x[m]; x[i]=b[i]-s; } for (i=0;i<n;i++) { printf("rezultat x="); printf("%lf\n",x[i]); } } for (i=0;i<n;i++) { s=0; for (k=0;k<n;k++) s+=p[i][k]*x[k]; printf("Perevirka s="); printf("%lf\n",s); } }