Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Ітераційні методи розвязування СЛАР
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКТА
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2012
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем
Варіант:
9
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
ІКТА
кафедра ЗІ
З В І Т
до лабораторної роботи №3
з курсу: «Комп'ютерні методи дослідження інформаційних
процесів і систем»
на тему: «Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь»
Львів – 2012
ТЕКСТ ПРОГРАМИ
РЕЗУЛЬТАТ РОБОТИ ПРОГРАМИ
Мета роботи – ознайомлення з ітераційними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
КОРОТКІ ТЕОРИТИЧНІ ВІДОМОСТІ:
Ітераційні методи розв’язування систем лінійних
алгебраїчних рівнянь
До ітераційних методів належать: метод простої ітерації, метод Зейделя, метод верхньої релаксації та інші.
Метод простої ітерації.
Нехай задано лінійну систему
(1)
Розглянемо матриці
Тоді систему (1) можна записати у вигляді матричного рівняння
(2)
Будемо вважати, що діагональні коефіцієнти (і = 1, 2,…, n).
Розв’яжемо перше рівняння системи (1) відносно , друге відносно і т.д. Тоді одержимо еквівалентну систему
(3)
де , при ; , при ;
; ;
Кажуть, що система (3) зведена до нормального вигляду.
Введемо матриці ( та (
Систему (3) запишемо у вигляді
(4)
Систему (3) будемо розв’язувати методом послідовних наближень. За нульове наближення позначимо, наприклад, стовпчик вільних членів . Далі послідовно будуємо матриці-стовпці наступних наближень розв’язку системи (4):
– перше наближення
– друге наближення і т.д.
Будь-яке (k + 1)-е наближення обчислюється за формулою:
, (k = 0, 1, 2, …) (5)
В розгорнутому вигляді .
Якщо послідовність наближень має границю
, (6)
то ця границя є розв’язком системи (3).
На практиці ітераційний процес припиняють, коли , де ( – гранична абсолютна похибка.
Приклад. Розв’язати систему методом простої ітерації:
.
Зведемо систему до нормального вигляду
(7)
або в матричній формі
(8)
За нульові наближення коренів системи приймаємо вектор вільних членів:
.
Підставляємо ці значення в праві частини системи (7). Одержимо перші наближення коренів
Далі знаходимо другі і треті наближення коренів
Умови збіжності ітераційного процесу
Нехай задано зведена до нормального вигляду система лінійних рівнянь
Умова збіжності: якщо сума модулів елементів рядків або модулів елементів стовпців матриці α менша ніж 1, то процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв’язку незалежно від вибору вектора початкових наближень.
Наприклад задано систему:
Зведена до нормального виду система:
Матриця заданої системи:
Cума модулів коефіцієнтів по стовпцях:
Таким чином умова збіжності ітераційного процесу для заданої системи виконується. Аналогічно можна було б перевірити виконання умови збіжності, беручи суми модулів елементів рядків матриці .
Наведена вище умова є достатньою, але не є необхідною. Це означає, що якщо умова виконується, то процес буде збіжним. Коли ж умова не виконується, то це ще не означає, що процес буде розбіжним.
Для системи лінійних рівнянь, заданих у вигляді (2) умова збіжності ітераційного методу формулюється так.
Ітераційний метод розв’язування системи (2) збігається, якщо модулі діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи більші, ніж суми модулів всієї решти коефіцієнтів даного рівняння (не враховуючи вільних членів).
Приклад:
Умова збіжності: (9)
Задана система: (10)
Перевірка умови: (11)
У випадку, якщо для заданої системи умова збіжності не виконується і ітераційний процес методу є розбіжним, необхідно добитися виконання умови збіжності шляхом лінійних перетворень заданої системи (перестановка рядків, стовпців матриці коефіцієнтів, домноження рівнянь на деякий коефіцієнт, додавання, віднімання рівнянь, тощо).
Дещо простішій програмній реалізації піддається наступна формула методу простих ітерацій:
(12)
Звідки вона береться? Відомо, що при зведенні системи до вигляду кожне представляється у вигляді
або .
Якщо зняти обмеження j ( i, то цю формулу можна переписати у такому вигляді
.
Звідси випливає, що
.
ЗАВДАННЯ:
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методами простої ітерації або Зейделя.
,
Текст програми
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
namespace kmd_lab_3
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
Iterations xD = new Iterations();
xD.Initialization();
xD.PerevirkaZbizhnosti();
xD.SomeCalculations();
xD.Checking();
Console.ReadKey();
}
}
class Iterations
{
public int k, p, kil;
public double s, b, rez, E;
public double[] x0 = new double[4];
public double[] x1 = new double[4];
public double[] e = new double[4];
static public double[,] a;
public double[,] alpha;
public double[] beta;
public void Initialization()
{
Console.Write("\n Введiть заданий коефiцiєнт k = ");
k = int.Parse(Console.ReadLine());
Console.Write("\n Введiть заданий коефiцiєнт p = ");
p = int.Parse(Console.ReadLine());
s = 0.2 * k;
b = 0.2 * p;
E = 0.0001;
a = new double[,]{{ 30.3, 12.62+s, 4.1, 1.9, -10.55+b},
{3.92, 8.45, -(1.78-s), 1.4, 12.21},
{3.77, 1.21+s, 8.04, 0.28, 15.45-b},
{2.21, 3.65-s, 1.69, 9.99, -8.35}};
alpha = new double[a.GetLength(0), a.GetLength(0)];
beta = new double[a.GetLength(0)];
}
public void SomeCalculations()
{
for (int i = 0; i < a.GetLength(0); i++)
{
for (int j = 0; j < a.GetLength(0); j++)
{
if (i != j)
alpha[i, j] = -(a[i, j] / a[i, i]);
}
}
for (int i = 0, j = (a.GetLength(1) - 1); i < a.GetLength(0); i++)
beta[i] = (a[i, j] / a[i, i]);
for (int i = 0; i < beta.GetLength(0); i++)
x0[i] = beta[i];
do
{
for (int i = 0; i < alpha.GetLength(0); i++)
{
x1[i] = beta[i];
for (int j = 0; j < alpha.GetLength(0); j++)
x1[i] = x1[i] + x0[j] * alpha[i, j];
e[i] = Math.Abs(x1[i] - x0[i]);
x0[i] = x1[i];
}
kil++;
}
while (!(e[0] < E && e[1] < E && e[2] < E && e[3] < E));
}
public void PerevirkaZbizhnosti()
{
for (int i = 0; i < a.GetLength(0); i++)
{
rez = 0;
for (int j = 0; j < a.GetLength(0); j++)
if (i != j)
rez += Math.Abs(a[i, j]);
if (rez > Math.Abs(a[i, i]))
Console.WriteLine("Умови збiжностi не виконуються");
}
}
public void Checking()
{
Console.WriteLine("Коренi рiвняння:");
foreach (int x in x1)
Console.Write("\t" + x);
double z = x1[0] * a[0, 0] + x1[1] * a[0, 1] + x1[2] * a[0, 2] + x1[3] * a[0, 3];
double z1 = x1[0] * a[1, 0] + x1[1] * a[1, 1] + x1[2] * a[1, 2] + x1[3] * a[1, 3];
double z2 = x1[0] * a[2, 0] + x1[1] * a[2, 1] + x1[2] * a[2, 2] + x1[3] * a[2, 3];
double z3 = x1[0] * a[3, 0] + x1[1] * a[3, 1] + x1[2] * a[3, 2] + x1[3] * a[3, 3];
if (((int)z == (int)a[0, 4]) && ((int)z1 == (int)a[1, 4]) && ((int)z2 == (int)a[2, 4]) && ((int)z3) == ((int)a[3, 4]))
Console.WriteLine("\nСЛАР розв'язана вiрно!!!");
Console.WriteLine("Кiлькiсть iтерцiй = " + kil);
}
}
}
28.05.2013 18:05-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора