Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Застосування вейвлетних перетворень в обробці інформації
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
РТ
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2010
Тип роботи:
Курсова робота
Предмет:
Інформаційна безпека
Група:
ІБ-31
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ НОВІТНІХ ТЕХНОЛОГІЙ ТА УПРАВЛІННЯ
ІМ. В.ЧОРНОВОЛА
КУРСОВА РОБОТА
З дисципліни «Системи обробки інформації»
За темою: «Застосування вейвлетних перетворень в обробці інформації»
ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ НОВІТНІХ ТЕХНОЛОГІЙ ТА УПРАВЛІННЯ
ІМ. В. ЧОРНОВОЛА
РЕЦЕНЗІЯ НА КУРСОВУ РОБОТУ
Студента Шворака Василя Ярославовича
(Прізвище, ім’я, по-батькові)
Групи ІБ-31
Курсова робота з дисципліни Системи обробки інформації
(Назва дисципліни)
Тема «Застосування вейвлетних перетворень в обробці інформації»
Дата отримання « » 20 р.
Рецензент Нємкова Олена Анатоліївна
(Прізвище, ім’я, по-батькові)
ЗМІСТ РЕЦЕНЗІЇ
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
« » 20 р.
(Підпис рецензента)
ЗМІСТ
Вступ----------------------------------------------------------------------------------------3
I. Теоретична частина
1.Поняття вейвлетів---------------------------------------------------------------4
2. Сутність вейвлет аналізу------------------------------------------------------8
3. Аналіз вейвлет перетворенням. Порівняння з Фур’є
перетворенням---------------------------------------------------------------------10
4. Апроксимуюча і деталізуюча компоненти вейвлет-аналізу-----------19
5. Види вейвлетів------------------------------------------------------------------20
II.Практична частина---------------------------------------------------------------------23
Висновок------------------------------------------------------------------------------------27
Список використаних джерел та літерутури----------------------------------------28
Вступ
До кола найпоширеніших інструментальних засобів математичного моделювання та оцінки рядів спостережень відноситься також вейвлет-аналіз.Він особливо ефективний в тих випадках, коли необхідно виявляти локальні в часі особливості поведінки досліджуваного процесу. Аналіз даних з використанням вейвлет-перетворень єзручним, надійним і потужним інструментом дослідження часових рядів і дозволяє подати результати у наочному вигляді, вдалій інтерпретації.
Головна ідея вейвлет-претворення полягає в тому, що нестаціонарний часовий ряд розподіляється на окремі проміжки (так звані “вікна спостереження”) і на кожному з них виконується обчислення величини, що показує ступінь близькості закономірностей досліджуваних даних з різними зрушеннями деякого вейвлета (спеціальної функції) на різних масштабах.
Вейвлет-перетворення генерує набір коефіцієнтів, що є функціями двох змінних: часу і частоти, і тому утворюють поверхню у тривимірному просторі. Ці коефіцієнти показують, наскільки поводження процесу в даній точці аналогічно вейвлету на даному масштабі. Чим ближче вид аналізованої залежності в околиці даної точки до виду вейвлета, тим більшу абсолютну величину має відповідний коефіцієнт. Використання цих операцій з урахуванням властивості локальності вейвлета в частотно-часовій області, дозволяє аналізувати дані на різних масштабах і точно визначати положення їх характерних рис у часі. Вейвлет-коефіцієнти можна представити в графічному вигляді, якщо по одній осі відкласти зрушення вейвлета (вісь часу), а по іншій – масштаби (вісь масштабів) і офарбувати точки схеми, що вийшла, залежно від величини відповідних коефіцієнтів (чим більше коефіцієнт, тим яскравіше кольори). Отримані зображення називають картою коефіцієнтів перетворення, або скейлограмою. На скейлограмі видні всі характерні риси вихідного ряду: масштаб та інтенсивність періодичних змін, напрямок і величина трендів, наявність, розташування та тривалість локальних особливостей.
Технологія використання вейвлетів дозволяє виявляти одиничні та нерегулярні “сплески”, різкі зміни значень кількісних показників у різні періоди часу, зокрема, обсягів тематичних публікацій в Інтернеті. При цьому можуть виявлятися моменти виникнення циклів, а також моментів, коли за періодами регулярної динаміки настають хаотичні коливання
Теоретична частина
1.Поняття вейвлетів
Слово «wavelet» (вейвлет) дослівно переводиться як «сплеск» або «маленька хвиля». В останні десятиліття функції із графіком типу невеликої хвилі успішно використовуються для розкладання сигналів замість традиційних (довгих) синусоїдальних хвиль. Хоча поняття вейвлета й вейвлет-розкладення є порівняно новими, вони вже знайшли поширине застосування в обробці сигналів. Популярність даної тематики стрімко зростає. Теорія вейвлетів є потужною альтернативою аналізу Фур'є й дає більш гнучку техніку обробки сигналів. Одна з основних переваг вейвлет-аналізу полягає в тім, що він дозволяє помітити добре локалізовані зміни сигналу, тоді як аналіз Фур'є цього не дає – у коефіцієнтах Фур'є відбивається поведінка сигналу за увесь час його існування. Розроблено глибоку й гарну математичну теорію вейвлетів.
Вейвлет (wavelet, вейвлет-перетворення, хвильки, хвилькові перетворення). Усі вейвлет-перетворення розглядають функцію (взяту як функцією від часу) у термінах коливань, локалізованих за часом (простором) і частотою. Локальність у просторі означає, що енергія хвильок (вейвлетів) сконцентрована на скінченному інтервалі, так звана функція на компактному носії. Частотна локалізація означає, що перетворення Фур’є хвилькі локалізоване. Частотна локалізація функції зводиться до понять гладкості та кількості зникаючих моментів. Вейвлет-перетворення звичайно поділяють на дискретне вейвлет-перетворення (DWT) та неперервне вейвлет-перетворення (CWT).
До розроблення вейвлетів призвели декілька незалежних шляхів міркувань, що почалися з робіт Хаара, який на початку двадцятого століття поставив запитання: «Чи існує інша ортонормальна система h0(x),h1(x),...,hn(x),... функцій, визначених на проміжку [0, 1], таких, що довільну функцію можна розвинути у суму вигляду < f,h0 > h0(x) + ... + < f,hn > hn(x) + ..., і що вона буде збіжною до f(x) єдиним чином на [0, 1]?» Як виявилося таких систем можна побудувати нескінченну кількість. У 1909 році Хаар запропонував найпростіший розв'язок і тим самим відкрив шлях, що веде до вейвлет (wavelet). Ортонормальна система Хаара будується починаючи з базисної функції h(x) = 1 на [0,1/2) та −1 на [1/2,1), і 0 всюди крім [0, 1). Для запишемо , і визначимо hn(x) = 2j / 2h(2j - k). Носієм hn(x) буде інтервал In = [k2 - j,(k + 1)2 - j], що входить до [0, 1), коли . Для завершення довизначимо h0(x) = 1 на [0, 1). Тепер побудований ряд h0(x),h1(x),...,hn(x),... це ортонормальний базис (іноді кажуть Гільбертів базис) в L2[0,1]. Апроксимація функції f(x) послідовністю Sn(f)(x) = < f,h0 > h0(x) + ... + < f,hn > hn(x) — це класична апроксимація неперервної функції.
Система функцій Хаара
Можна виділити дві основні операції над вихідною функцією: трансляція (зсув) та диляція (стискання, масштабування). 1) 2) . На шляху до сучасних побудов теорії хвильок варто відзначити роботи радянського математика Лузіна (30-ті роки), які були продовжені Гвідо Вейссом (Guido Weiss) та Роналдом Куафманом (Ronald R. Coifman) у 60-ті — 80-ті. Їхній підхід використовувався для обробки сиґналів, і оснований на атомарних функціях. Сьогодні цей напрям розвивають учні В. Л. Рвачева (Харків). Вагомий внесок у теорію вейвлетів зробили Гроссманн іМорле, які вперше вжили слово вейвлет і сформулювали те, що зараз відоме як CWT (1982). Вчені визначили вейвлет як набір функцій, породжених однією «материнською» функцією ψ(x). . Для функції f(x) ці хвилькі ψ(a,b) відіграють роль ортонормованого базису, хвилькові коефіцієнти визначаються як W(a,b) = < f,ψ(a,b)) > . Гроссманн та Морле дали наступне визначення: вейвлет це функція , претворення Фур'є якої задовольняє умові майже всюди. Означення дискретних вейвлетів належить Штрьомберґу (Stromberg) та Мейєру (Y. Meyer) (1983). За ними вейвлет — це функція , така, що утворює ортонормальний базис в L2.
Сучасний етап розвитку вейвлетів починається у 1985 з роботи С. Маллата (Stephane Mallat), спеціаліста з обробки зображень, в якій узагальнювалися вже існуючі теоретичні розробки: а) квадратурний дзеркальний фільтр (quadrature mirror filter) для цифрової телефонії; б) пірамідальний алгоритм Бурта-Аделсона (Burt Adelson), який використовувався для обробки зображень та в) ортонормальний вейвлет базис Штрьомберґа та Мейера. Маллат створив багаторозкладний аналіз (multiresolution analysis), який відкривав шлях до побудови теорії вейвлетів.
Найголовніший крок належить Добеші (Ingrid Daubechies). У 1988 році вийшла її стаття, де вперше розглядається сімейство ортонормованих систем в L2 з важливими особливостями:
кожна система породжується масштабною функцією φ(x) за допомогою трансляції та диляції;
кожен елемент даної системи має компактний носій і неперервний, або може бути вибраний досить гладкий (до певного порядку) шляхом зміни масштабу. Носії базисних функцій стають тим менші чим більший індекс j;
існують швидкі алгоритми для обчислень коефіцієнтів розкладу певної функції. Називається — дискретне вейвлет-перетворення від функції до вейвлет коефіцієнтів розкладу. Цей алгоритм має складність порядку O(N);
Класичне дискретне перетворення Фур'є та косинус перетворення з'являються як частинний випадок дискретного вейвлет-перетворення (DWT)
дискретне вейвлет-перетворення може бути розпаралелене.
Хвильки Добеші
Масштабна функція і відповідна хвилькова функція задовольняють
масштабному рівнянню (scaling equation) ;
відповідному хвильковому рівнянню (wavelet equation) ,
де коефіцієнти масштабного рівняння ak повинні задовольняти лінійній та квадратичній умовам , і де bk: = ( - 1)k+ 1a2g - 1 - k. Функції φ та ψ задані на інтервалі [0, 2g-1] і утворюють трансляцією та диляцією вейвлет систему. Однією з властивостей технонології хвильок (вейвлет) є можливість вибрати систему коефіцієнтів, найбільш адаптовану до даної проблеми. Добеші у своїй роботі визначила сімейство хвилькових (вейвлет) систем, які мають максимальну кількість зникаючих моментів . Так коли g = 2 можна явно знайти коефіцієнти : . Задавати вейвлет систему можна різним чином. Поширення набуло таке задання φk(x): = φ(x - k), . (Зазвичай система об'єднана з масштабними коефіцієнтами.)
Вейвлет розвинення:
f(x) =
∑
fkφk(x) +
∑
fjkψjk(x)
k
j,k
, де , .
Серед наступних робіт, які розвивали ідею вейвлетів Добеші виділяються праці Натали Делпрат, яка надала часово-частотну інтерпретацію CWT (1991),Ньюланд, який розробив гармонійне вейвлет-перетворення та багато інших.
2. СУТНІСТЬ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛІЗУ
Вейвлет-перетвореня сигналів є узагальненням спектрального аналізу, типовий представник якого - класичне перетворення Фур'є. Застосовувані для цієї мети базиси названі вейвлетами. Термін “вейвлет” пішов від англійського wavelet, що на українську мову переводиться як “коротка хвиля''. У математичній літературі поняття “вейвлет” позначають іноді словом “сплеск”, що звужує саме поняття, тим більше, що вейвлети й призначені для аналізу сплесків - сигналів нестаціонарного характеру.
Введені порівняно недавно, в 80-х роках, вони в наступні роки одержали швидкий теоретичний розвиток і широке застосування в різних областях обробки сигналів і зображень. На відміну від традиційного перетворення Фур'є, вейвлет-перетворення забезпечує двовимірне подання досліджуваного сигналу в частотній області в площині частота-положення. Аналогом частоти при цьому є масштаб аргументу базисної функції (найчастіше часу), а положення характеризується її зрушенням. Це дозволяє розділити великі й дрібні деталі сигналів, одночасно локалізуючи їх на тимчасовій шкалі. Іншими словами вейвлет-аналіз можна охарактеризувати як локалізований спектральний аналіз або - спектральний аналіз локальних збурювань. Апаратурним аналогом одного з видів вейвлет-аналіза є багато канальна смугова фільтрація сигналу при постійному відношенні ширини смуги фільтра до центральної частоти.
Вейвлет-аналіз розроблений для рішення завдань, які виявилися занадто складними для традиційного аналізу Фур'є. Перетворення Фур'є представляє сигнал, заданий у тимчасовій області, у вигляді розкладання по ортогональних базисних функціях (синусам і косинусам) з виділенням частотних компонентів. Недолік перетворення Фур'є полягає в тому, що частотні компоненти не можуть бути локалізовані в часі, його застосовують тільки в аналізі стаціонарних сигналів, у той час як багато сигналів мають складні частотно-часові характеристики. Як правило, такі сигнали складаються із близьких за часом, коротких високочастотних компонентів і довгих, близьких по частоті низькочастотних компонентів. Для аналізу таких сигналів необхідний метод, здатний забезпечити одночасний дозвіл як по частоті, так і за часом. Перше необхідно для локалізації низькочастотних складових, друге - для виділення компонентів високої частоти. Існує два підходи до аналізу нестаціонарних сигналів такого типу. Перший заснований на локальному перетворенні Фур'є. Прямуючи цим шляхом, нестаціонарний сигнал зводиться до стаціонарного шляхом його попереднього розбиття на сегменти (фрейми), статистика яких не змінюється з часом. Другий підхід полягає у використанні вейвлет-перетворення.
Всім відомо, що будь-який сигнал можна розкласти в суму гармонік (синусоїд) різної частоти. Але синусоїдальні хвилі нескінченні, і не дуже добре відслідковують зміни сигналу в часі. Щоб вловити ці зміни, замість нескінченних хвиль можна взяти зовсім однакові, але розподілені за часом короткі "сплески". Однак, як виявилося, цього недостатньо, треба додати ще їхні стислі копії. От тепер сигнал можна розкласти на суму таких сплесків різного розміру й місця розташування. Коефіцієнти розкладу, які несуть інформацію про еволюції сигналу, залежать від вибору початкового сплеску. Для кожного прикладного завдання можна підібрати найбільш пристосований (саме для неї) сплеск, що і називається вейвлетом. Математична сторона вейвлет-аналіза – річ досить тонка, хоча й достатньо наочна[11].
3. АНАЛІЗ ВЕЙВЛЕТ-ПЕРТВОРЕННЯ. ПОРІВНЯННЯ З ФУР’Є-АНАЛІЗОМ
Протягом багатьох десятиліть і по теперішній час основним засобом аналізу реальних фізичних процесів був гармонійний аналіз. Математичною основою аналізу є перетворення Фур'є. Перетворення Фур'є розкладає довільний процес на елементарні гармонійні коливання з різними частотами, а всі необхідні властивості й формули виражаються за допомогою однієї базисної функції exp(jwt) або двох дійсних функцій sin(wt) і cos(wt). Гармонійні коливання мають широке розповсюдження в природі, і тому зміст перетворення Фур'є інтуїтивно зрозумілий незалежно від математичної аналітики.
Перетворення Фур'є володіє рядом чудових властивостей. Оператор зворотного перетворення Фур'є збігається з вираженням для комплексно - сполученого оператора. Областю визначення перетворення є простір L2 інтегрувальних із квадратом функцій, і багато реальних фізичних процесів, спостережувані в природі, можна вважати функціями часу, що належать цьому простору. Для застосування перетворення розроблені ефективні обчислювальні процедури типу швидкого перетворення Фур'є (ШПФ). Ці процедури входять до складу всіх пакетів прикладних математичних програм і реалізовані апаратно в різних процесорах обробки сигналів.
Вейвлетне перетворення має багато спільного з перетворенням Фур'є. У той же час є ряд досить істотних відмінностей. Як приклад розглянемо застосування вейвлет-аналіза до синусоїд f(t)=sin(2рt/T1)+б sin(2рt/T2) , що дозволяє легко порівняти з результатами звичайного перетворення Фур'є.
На рисунку 4.1 показаний сигнал у вигляді суми синусоїд, що відрізняються частотами: (y=sin(30*x)+sin(100*x)).
Рисунок 4.1 - Сума синусоїд , що відрізняються частотами
Вейвлет-перетворення такого сигналу виявляє періодичну структуру не гірше й не краще перетворення Фур'є. На рисунку 4.2 видні дві широких смуги, що відповідають двом різним частотам.
Рисунок 4.2 - Вейвлет перетворення суми синусоїд з різними частотами
Однак відмінність цих двох спектральних аналізів проявляється, коли сигнал являє собою дві послідовні синусоїди з різними частотами ( рисунок 4.3).
Рисунок 4.3 - Дві послідовні в часі синусоїди з різними частотами
Як видно з рисунку 4.3 вейвлет-перетворення в цьому випадку дозволяє простежити еволюцію частоти сигналу в часі, тоді як Фур'є-спектр (рисунок 4.5) в обох випадках дасть нам тільки два піки й ніяк не відіб'є сам момент зміни частоти сигналу[12].
Рисунок 4.4 - Вейвлет-перетворення двох послідовних у часі синусоїд з різними частотами
Рисунок 4.5 - Спектр Фур'є двох послідовних у часі синусоїд з різними частотами
Обчислення багатовіконного перетворення
Нехай x(t) – сигнал, який необхідно аналізувати. Вибирається материнський вейвлет, що буде прототипом для всіх функцій (вікон), які можна отримати з нього шляхом стиснення (розширення). Існує кілька функцій, що застосовуються як материнські вейвлети. Двома прикладами є вейвлети Морле та Мексиканський капелюх, які й використовуються у прикладах розділу.
Після вибору материнської функції обчислення починаються з масштабу s=1. БВП обчислюється для всіх значень s, менших і більших 1. Однак повне перетворення зазвичай не потрібно, оскільки реальні сигнали обмежені за смугою. Тому число масштабів може бути обмежено. У прикладах цього розділу ми також використовуємо обмежену кількість масштабів.
Процедура аналізу стартує з масштабу s=1 і триває при значеннях s, що збільшуються, тобто аналіз починається з високих частот і продовжується убік низьких частот. Перше значення s відповідає найбільш стислому вейвлету. При збільшенні значення s вейвлет розширюється. Вейвлет розміщується в початку сигналу, у точці, що відповідає часу =0. Вейвлет-функція масштабу «1» помножується з сигналом та інтегрується на всьому часовому інтервалі. Вейвлет масштабу s=1 потім зміщується вправо на до точки t=, і процедура повторюється. Одержуємо ще одне значення, яке відповідає t=, s=1 на частотно-часовому плані. Ця процедура повторюється доти, поки вейвлет не досягне кінця сигналу. У такий спосіб одержуємо ряд точок на масштабно-часовому плані для масштабу s=1. Тепер збільшимо s на деяке значення. Точно кажучи, оскільки перетворення безперервне, то і s мають змінюватися безперервно. Під час виконання перетворення в комп'ютері ми обчислюємо апроксимацію, збільшуючи обидва параметри на деяке мале значення. Тим самим здійснюємо дискретизацію масштабно-часової площини.
Наведена вище процедура повторюється для кожного значення s. При цьому рядок за рядком заповнюється масштабно-часова площина. Так обчислюється БВП. Нижче наведені рисунки ілюструють процес перетворення крок за кроком.
На рис. 1 показаний сигнал і вейвлет-функція для чотирьох різних значень . Значення масштабу, 1 , відповідає найменшому значенню, або найбільшій частоті. Відзначте, яким компактним є носій. Він має бути таким само вузьким, як і час життя найвищої частоти сигналу. На рисунку показані чотири різних позиції вейвлет-функції в точках to=2 , to=40, to=90 та to=140. У кожній позиції вона перемножується з сигналом. Добуток буде ненульовим лише у випадку, коли сигнал перетинається з носієм вейвлета, і нульовим – в інших випадках. Зміщенням вейвлета у часі відповідає часова локалізація сигналу, а зміщенням у масштабі – масштабна (частотна) локалізація.
Рисунок 1 – Сигнал і вейвлет-функція для чотирьох різних значень для масштабу
Якщо в сигналі присутні спектральні компоненти, що відповідають поточному значенню s (яке в цьому випадку 1), то добуток вейвлета з сигналом в інтервалі, де цей спектральний компонент присутній, дає відносно велике значення. У протилежному випадку – добуток малий або дорівнює нулю. Сигнал, показаний на рис. 1, має спектральні компоненти, порівняні із шириною вікна при s=1 на інтервалі біля t=100мс. БВП сигналу, показаного на рис. 1, дає більші значення для низьких масштабів біля часу t=100мс і малі – в інших інтервалах часу. Для високих масштабів, навпаки, БВП дає більші значення майже на всій тривалості сигналу, оскільки низькі частоти присутні в ньому весь час.
На рис. 2, 3 показаний той самий процес для масштабів s=5 і s=20, відповідно. Зазначимо, що ширина вікна змінюється із збільшенням масштабу. Зі збільшенням ширини вікна перетворення виділяє все більш низькі частоти. В остаточному підсумку ми одержуємо точку на масштабно-часовій площині для кожного значення масштабу й часу. Обчислення при фіксованому масштабі дають рядок на площині, а обчислення при фіксованому часі – стовпчик.
Рисунок 2 – Сигнал і вейвлет-функція для чотирьох різних значень для масштабу
Рисунок 3 – Сигнал і вейвлет-функція для чотирьох різних значень для масштабу
Нехай маємо нестаціонарний сигнал, показаний на рис.4. Сигнал аналогічний наведеному в прикладі для ВПФ, за винятком частот. У цьому випадку сигнал складається із частот 30, 20, 10 та 5Гц.
Рисунок 4 – Нестаціонарний сигнал, складений із частот 30, 20, 10 та 5Гц
На рис. 5 показане безперервне вейвлет-претворення цього сигналу. Зазначимо, що як осі використані зміщення й масштаб, а не час і частота. Однак зміщення тісно пов’язане з часом, оскільки він показує місце розташування вейвлета у часі. Зміщення материнського вейвлета може розглядатися як час, що пройшов з моменту t=0. Масштаб є зворотним частоті.
Рисунок 5 – Безперервне вейвлет-претворення нестаціонарного сигналу
Малі масштаби відповідають високим частотам. Тому на рис. 5 частина графіка, де масштаби близькі нулю, відповідає високим частотам. Верхня частота аналізованого сигналу 30 Гц, і вона з'являється на найменших масштабах при зміщеннях від 0 дo 30. Найнижча частота сигналу – 5Гц з'являється наприкінці осі зміщеннях і на найбільших масштабах.
Осі графіка рис. 5 нормалізовані. Точно кажучи, 100 точок осі зміщень відповідають 1000 мс, а 150 точок осі масштабів відповідають смузі частот 40Гц. (Числа, які стоять по осях, не відповідають значенням частоти та часу, це лише номери відліків при обчисленні).
Розрізнювання за часом і частотою
У цьому підрозділі ми глибше досліджуємо властивості розрізнювання вейвлет-перетворення. Згадаємо, що проблема розрізнювання була головною причиною переведення нашої уваги від ВПФ до БВП.
Для пояснення розрізнювання при вейвлет-перетворенні використовується рис. 6. Кожен прямокутник відповідає значенню вейвлет-перетворення на частотно-часовій площині. Площа прямокутників ненульова, що означає те, що ми не можемо точно обчислити яку-небудь точку площини. Всі точки, які належать одному прямокутнику, подаються одним значенням вейвлет-перетворення.
Рисунок 6 – Фазова площина ВП
Подивіться уважніше на рис.6: прямокутники різної ширини й висоти мають однакову площу. Кожен прямокутник дає рівний внесок у частотно-часову площину, але з різними частками частоти й часу. На нижніх частотах висота прямокутників менше (що відповідає кращому розрізнюванню за частотою, оскільки менше невизначеність щодо її точного значення). Однак ширина прямокутників більше (що відповідає гіршому розрізнюванню за часом). На високих частотах розрізнювання за часом поліпшується, а за частотою – погіршується. У випадку ВПФ ширина вікна вибирається раз і назавжди для аналізу всього сигналу. Тому частотно-часова площина ВПФ складається із прямокутників однакового розміру. Площі прямокутників ВПФ і вейвлет-перетворення рівні й визначаються за принципом невизначеності Гейзенберга. Зазвичай, ця площа залежить від віконної функції, що використовується при ВПФ або материнського вейвлета при вейвлет-перетворенні.
4. Апроксимуюча і деталізуюча компоненти вейвлет-аналізу
Одна з основних ідей вейвлет-подання сигналу полягає в розбивці наближення до сигналу на дві складові: грубу (апроксимуючу) і витончену (деталізуючу), з подальшим уточненням ітераційним методом. Кожен крок такого уточнення відповідає певному рівню декомпозиції та реставрації сигналу.
В основі безперервного вейвлет-подання БВП (або CWT – Continue Wavelet Transform) лежить використання двох безперервних та інтегрувальних по всій осі функцій:
вейвлет функція , яка визначає деталі сигналу й породжує коефіцієнти, що деталізують;
масштабуюча або скейлінг–функція , яка визначає грубе наближення (апроксимацію) сигналу й породжує коефіцієнти апроксимації.
Функції властиві далеко не всім вейвлетам, а тільки тим, які відносяться до ортогональних.
Функції створюються на основі тієї або іншої базисної функції, що визначає тип вейвлета.
5. Види вейвлетів
Рисунок 7 – Комплексний Гаусів вейвлет порядку 5
Рисунок 8 – Вейвлет „Сомбреро”
Рисунок 9 – Комплексний вейвлет Морле
Застосування вейвлетів для обробки ЕЕГ
Вейвлет-аналіз сигналів відкриває принципово нові можливості у детальному аналізі тонких особливостей сигналів. Медицина – одна з областей, де застосування вейвлетів здатне привести до нових відкриттів шляхом виявлення характерних рис сигналів і зображень, мало помітних на часових залежностях і спектрах Фур'є.
Приклад ЕЕГ, наведеної на рис. 10 та її БВП, наведений на рис.11, показує, що перешкоду чітко видно на спектрограмі.
Рисунок 10 – Часова реалізація ЕЕГ
Рисунок 11 – БВП реалізація ЕЕГ, наведеної на рис. 10
Вейвлет-перетворення сигналу ЕЕГ на апроксимуючу та деталізуючу компоненти, наведене на рис. 12.
Рисунок 12 – Вейвлет-перетворення сигналу ЕЕГ на апроксимуючу та деталізуючу компоненти
Практична частина.
Побудую прямокутний сигнал використовуючи наступні параметри сигналу?
Щоб задати декілька прямокутних сигналів використаю оператор IF:
Для об’єднання кількох прямокутних сигналів використаю сумування умов їх задання:
Побудую графік даного сигналу:
Для задання симетричності даного сигналу відносно осі абсцис потрібно відняти 25:
Будую графіків даного сигналу:
Для обчислення вейвлет перетворення використаю функцію з довільним кроком по осі абсцис. В даному випадку це N=64. Тоді точність відтворення обрахую за формулою:
де D – тривалість сигналу;
N – кількість точок на графіку.
Задана функція виглядає наступним чином:
Для наочності її представлення побудую графік:
Як бачимо є суттєва різниця між даним сигналом і вхідним. Виконаю вейвлет перетворення:
Виконую зворотнє вейвлет перетворення і отримую вхідний прямокутний сигнал з точністю відтворення 64 точок на графіку.
Тепер збільшу точність відтворення змінивши N=256. Графік заданої функції тепер має вигляд:
Для порівняння побудую графік вхідного прямокутного сигналу:
Як результат графіки при даному масштабі одинакові.
Проводжу вейвлет перетворення сигналу, графік якого вигладає наступним чином:
При зворотньому перетворенні отримуєм графік:
При зменшенні кроку відтворення графіку отримуєм спотворений прямокутний сигнал.
Отже, за допомогою різних типів вейвлетів можна проводити згладжування сигналів, очищення їх від шумів та отримувати точне відтворення сигналів в заданій частоті і часі.
Висновок
На відміну від традиційно використовуваного перетворення Фур'є вейвлет-аналіз дозволяє одночасно виявляти флуктуації і в частотній і в часовій області; виявити частотні особливості часового ряду, які передують в часі несподіваним і одиночним "сплескам" в динаміці і т.д. Тобто вейвлет-спектрограми є більш інформативними, ніж звичайні Фур’є спектрограми, та на відміну від останніх дозволяють виявляти надтонкі локальні особливості часових рядів, а саме прослідковувати динаміку поведінки ряду і також емпірично перевірити, чи дійсно дані цикли присутні з початку виникнення часового ряду, в який момент часу вони виникають і закінчуються.
Перспективність опанування технологією використання вейвлет перетворення пов’язана з проведення можливого розпізнавання локальних особливостей сигналів (функцій), що важливе в багатьох областях радіотехніки, зв’язку, радіоелектроніки, геофізики і інших галузях науки і техніки.
Використання вейвлет-перетворення в порівнянні з розкладанням сигналів на ряди Фурье здатна надати з набагато вищою точністю представляти локальні особливості сигналів, аж до розривів 1-го роду.
Прспективою вейвлет-перетворення є і той факт, що алгоритми вейвлет-перетворення представлені в широко поширених системах зображень для каналів з обмеженою пропускною спроможністю, наприклад, для Інтернет
Унікальністю вейвлет-перетворення є розробка однокристальних дешевих мікропроцесорів ADV6xx (ADV601 ADV601LC, ADV611, ADV612), заснованих на вейвлет-перетвореннях і призначені для стискування і відновлення відеоінформації в реальному масштабі часу.
Список використаних джерел та літератури:
1.Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов: Учеб. пособие. – СПб.:
Изд-во 000 «МОДУС», 1999. – 152 с.
2.Проценко М.М. Методика вибору вейвлет-функції для обробки цифрових сигналів / М.М. Проценко // Вісник ЖДТУ. – Житомир : ЖДТУ, 2009. –
№ 49. – С. 97–100.
3.Труды Одесского политехнического университета, 2007, вып. 2(28)
В.С. Ситніков, д-р техн. наук, проф.,А.О. Біленко, магістр,
Одес. нац. політехн. ун-т
4.http://uk.wikipedia.org/wiki/
02.06.2013 12:06-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора