Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
КОІ лекція 1
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКТА
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2012
Тип роботи:
Лекція
Предмет:
Комп’ютерна обробка інформації
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Розділ 5 Дослідження функцій за допомогою похідної
1. Зростання і спадання функцій
Нагадаємо, що функція називається зростаючою (спадною) на інтервалі , якщо для довільних , якщо виконується нерівність .
Теорема 1.1. (достатня умова монотонності). Припустимо, що функція диферен ційована на . Якщо для всіх , то – зростаюча на ; якщо для всіх , то – спадна на.
Зауваження. Якщо на , то стала на . . Геометрична інтерпретація умови монотонності функції наведена на рис. 1.
а б Рис. 1. Зростаюча (а) та спадна функція (б) Якщо дотичні до кривої на деякому проміжку спрямовані під гострими кутами до осі абсцис (рис. 1, а), то функція зростає, якщо під тупими (рис. 1, б), то спадає.
Приклад 1.1. Знайти інтервали монотонності функцій: а) ; б) . á а) Областю визначення цієї функції є множина Знаходимо похідну функції: . Очевидно, що , якщо та і якщо , тобто функція зростає на інтервалах і та спадає на інтервалі (1;3) (рис. 2.)
Рис. 2. Інтервали монотонності функції
б) Функція визначена на множині Визначаємо похідну: . Розв’язуючи нерівності і методом інтервалів, отримаємо, що ця функція зростає, якщо і спадає, якщо (рис. 3).
Рис. 3. Інтервали монотонності функції
2. Екстремум функції
Означення 2.1. Точка називається точкою максимуму функції , якщо в деякому околі точки виконується нерівність (рис. 4).
Означення 2.2. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо в деякому околі точки справджується нерівність (рис. 4). Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції, а значення функції у точках і – відповідно максимумом і мінімумом функції. Максимум і мінімум функції об’єднуються під загальною назвою екстремуму функції, який часто називають локальним екстремумом, підкреслюючи, що поняття екстремуму пов’язане з достатньо малим околом точки екстремуму. Це означає на одному проміжку функція може мати декілька точок максимуму і мінімуму.
Рис. 4. Екстремуми функції
Теорема 2.1. (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має в точці екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулеві або не існує
Іншими словами, функція може мати екстремум тільки у тих точках, в яких похідна дорівнює нулеві або не існує. Точки, в яких похідна функції дорівнює нулеві або не існує, називаються критичними (або стаціонарними) точками. Звертаємо увагу на те, що ці точки повинні входити в область визначення функції. Однак легко переконатись, що критична точка зовсім не обов’язково є точкою екстремуму. Наприклад, функція зростає на усій числовій осі (див. додаток). Похідна в точці дорівнює нулеві, тобто , але екстремуму в цій точці немає. Отже, щоб знайти екстремуми функції, потрібно додатково досліджувати критичні точки. Іншими словами, необхідно визначити достатню умову екстремуму. Теорема 2.2. (перша достатня умова екстремуму). Якщо, переходячи через точку , похідна диференційованої функції змінює знак з плюса на мінус, то точка є точкою максимуму функції , а якщо з мінуса на плюс, то – точка мінімуму.
Схема дослідження функції на екстремум. 1. Знайти область визначення функції . 2. Обчислити похідну . 3. Визначити критичні точки функції, тобто точки, в яких або не існує. 4. Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції. 5. Знайти екстремуми функції, обчисливши значення функції в точках екстремуму.
Приклад 2.1. Дослідити на екстремум функцію . á 1. Область визначення цієї функції . 2.Обчислюємо похідну функції . 3. Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичні точки функції: . Зауважимо, що в точці похідна не існує, але ця точка не є критичною, оскільки вона не входить в область визначення функції. 4. На числову вісь наносимо область визначення функції і критичні точки (рис.5).
Рис. 5. Інтервали монотонності
Щоб встановити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки виберемо, наприклад, значення і і знайдемо і ; отже, , якщо і , якщо . Аналогічно встановлюємо, що на інтервалі і , якщо . Згідно з достатньою умовою – точка мінімуму цієї функції, а – точка максимуму. 5. Знаходимо , . Теорема 2.3. (друга достатня умова екстремуму). Якщо функція двічі диференційована і , а , то є точкою мінімуму функції; якщо , то є точкою максимуму.
Схема дослідження на екстремум функції за допомогою другої достатньої умови загалом аналогічна до наведеної вище схеми. Відмінність в п. 4, який встановлює наявність екстремуму: тут необхідно знайти другу похідну і визначити її знак у кожній критичній точці.
Приклад 2.2. Функції, що описують залежність загального доходу і загальних витрат фірми від кількості одиниць продукції, мають вигляд: (гр.од.) і (гр.од.). Знайти обсяг продукції, який максимізує прибуток, і максимальний прибуток. á Функція прибутку – це різниця між функціями загального доходу і загальних витрат, тобто . Значення , яке максимізує прибуток, є точкою максимуму функції прибутку . Знайдемо критичні точки цієї функції: – критична точка. Оскільки , то функція , якщо , має максимум; (гр.од.).
3. Найбільше і найменше значення функції
Якщо функція неперервна на відрізку , то вона досягає на ньому найбільше і найменше значення. Їх позначають та на відрізку і називають глобальним максимумом та глобальним мінімумом відповідно. Ці значення можуть досягатися у точках локального екстремуму або на кінцях проміжку (рис. 6). а б
в г Рис. 6. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Схема знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку . 1. Знайти похідну . 2. Визначити всі критичні точки на , тобто точки, в яких або не існує. 3. Обчислити значення функції в цих критичних точках та на кінцях відрізка і вибрати з них найбільше та найменше . Приклад 3.1. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку . á 1. . 2. , звідки критичні точки . 3. Значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка і . Отже, , .
4. Опуклість і увігнутість функції. Точки перегину
Означення 4.1. Функція називається опуклою (опуклою вгору) на інтервалі , якщо для довільних двох точок з цього проміжку відрізок, що з’єднує точки і , розміщений під графіком цієї функції (рис. 7).
Означення 4.2. Функція називається увігнутою (опуклою вниз) на інтервалі , якщо для довільних двох точок з цього проміжку відрізок, що з’єднує точки і , розташований над графіком цієї функції (рис. 8).
Рис. 7.Опукла функція Рис. 8. Увігнута функція
Теорема 4.1. (достатня умова опуклості та увігнутості функції). Нехай функція двічі диференційована на інтервалі . Тоді: 1)якщо на , то функція увігнута на цьому інтервалі; 2) якщо на , то функція опукла на цьому інтервалі. Означення 4.3. Точкою перегину графіка неперервної функції називається точка, яка відокремлює інтервали, на яких функція опукла і увігнута.
Теорема 4.2. (ознака точки перегину). Якщо і , переходячи через точку , змінює знак, то є точкою перегину графіка функції .
Приклад 4.1. Визначити інтервали опуклості та увігнутості, точки перегину графіка функції . á Знайдемо другу похідну : , . Корені рівняння – та . на інтервалах і , отже, на цих інтервалах функція увігнута;
Рис. 9. Точки перегину функції
на інтервалі , отже, функція на ньому опукла, а і є точками перегину (рис. 9). Значення функції в точках перегину .
5. Асимптоти графіка функції
Досі ми розглядали характерні точки графіка функції: точки екстремуму, точки перегину. Тепер розглянемо характерні лінії.
Означення 5.1. Асимптотою графіка функції називається пряма, яка має таку властивість: відстань від точки до цієї прямої стає як завгодно малою за необмеженого віддалення точки графіка від початку координат.
Розрізняють вертикальні (рис. 10, а) та похилі (зокрема горизонтальні) (рис. 10, б, в) асимптоти. а) вертикальна асимптота; б) похила асимптота; в) горизонтальна асимптота
Рис. 10. Асимптоти графіка функції
Визначення асимптот графіка функції ґрунтується на таких твердженнях.
Теорема 5.1. Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо або .
Наприклад, графік функції має вертикальні асимптоти (див. додаток). Теорема 5.2. Якщо існують скінченні границі і , то є похилою асимптотою графіка функції .
Якщо обидві границі скінченні лише коли , то пряма є відповідно тільки правосторонньою (лівосторонньою) похилою асимптотою графіка функції .
Приклад 5.1. Визначити асимптоти графіка функції . á З області визначення “випадає” точка . Знайдемо границю функції, якщо : , звідки – вертикальна асимптота. Визначимо похилу асимптоту. . . Отже, – похила асимптота графіка функції.
6. Загальна схема дослідження функцій і побудова їх графіків
Вивчення характерних точок і ліній графіка функції дає можливість всебічно її дослідити і досить точно побудувати ескіз графіка. Досліджувати функцію рекомен дується за такою схемою: 1. Знайти область визначення функції. 2.Дослідити функцію на парність – непарність, на періодичність, встановити точки перетину графіка з осями координат та інтервали знакосталості функції. 3. Проаналізувати поведінку функції в нескінченності. Знайти вертикальні та похилі асимптоти графіка функції. 4. Визначити екстремуми та інтервали монотонності функції. 5. Знайти інтервали опуклості і увігнутості функції та точки перегину. Приклад 6.1. Виконати дослідження і побудувати графік функції . á 1) Область визначення функції . 2) ; отже, функція ні парна, ні непарна, неперіодична. Якщо , отримуємо , тому графік проходить через точку . , якщо , якщо (рис. 11).
Рис. 11. Проміжки знакосталості функції
3) є точкою розриву функції; , тому є вертикальною асимптотою. Знайдемо похилі асимптоти: ; . Отже, – похила асимптота графіка функції. Поведінка функції, якщо : . 4) Визначимо екстремуми функції та інтервали зростання і спадання: . Рівняння має два корені: , які є критичними точками функції. Розв’язуючи нерівності методом інтервалів (рис. 12), отримаємо: функція зростає, якщо , спадає якщо ; – точка мінімуму, .
Рис. 12. Проміжки зростання і спадання 5) Знайдемо точки перегину та інтервали опуклості та увігнутості Якщо функція опукла , якщофункція увігнута ; – точка перегину (рис. 13).
Рис. 13. Точки перегину функції
На основі виконаних досліджень будуємо графік функції (рис. 14).
Рис. 14. Графік функції
7. Диференціал функції. Основні властивості диференціала
Приріст диференційованої функції можна подати у вигляді , де . Перший доданок є головною частиною приросту функції, лінійною щодо .
Означення 7.1. Головна, лінійна щодо , частина приросту диференційовної функції називається диференціалом цієї функції і позначається символом або .
Геометричний зміст диференціала: диференціал є приростом ординати дотичної, проведеної до кривої в точці , що відповідає приросту аргументу (рис. 15).
Рис. 15. Геометричний зміст диференціала функцій
Згідно з означенням . Якщо , то , тобто диференціал незалежної змінної збігається з її приростом . Тому формулу для диференціала функції можна записати у вигляді . Властивості диференціала загалом аналогічні до властивостей похідної (тут – диференційовані функції, ): 1.; 4. ; 2. ; 5. ; 3. ; 6. .
Зауважимо, що властивість 6 виражає інваріантність форми диференціала незалежно від того, чи змінна є незалежною, чи функцією іншої змінної.
Розділ 5 Дослідження функцій за допомогою похідної
1. Зростання і спадання функцій
Нагадаємо, що функція називається зростаючою (спадною) на інтервалі , якщо для довільних , якщо виконується нерівність .
Теорема 1.1. (достатня умова монотонності). Припустимо, що функція диферен ційована на . Якщо для всіх , то – зростаюча на ; якщо для всіх , то – спадна на.
Зауваження. Якщо на , то стала на . . Геометрична інтерпретація умови монотонності функції наведена на рис. 1.
а б Рис. 1. Зростаюча (а) та спадна функція (б) Якщо дотичні до кривої на деякому проміжку спрямовані під гострими кутами до осі абсцис (рис. 1, а), то функція зростає, якщо під тупими (рис. 1, б), то спадає.
Приклад 1.1. Знайти інтервали монотонності функцій: а) ; б) . á а) Областю визначення цієї функції є множина Знаходимо похідну функції: . Очевидно, що , якщо та і якщо , тобто функція зростає на інтервалах і та спадає на інтервалі (1;3) (рис. 2.)
Рис. 2. Інтервали монотонності функції
б) Функція визначена на множині Визначаємо похідну: . Розв’язуючи нерівності і методом інтервалів, отримаємо, що ця функція зростає, якщо і спадає, якщо (рис. 3).
Рис. 3. Інтервали монотонності функції
2. Екстремум функції
Означення 2.1. Точка називається точкою максимуму функції , якщо в деякому околі точки виконується нерівність (рис. 4).
Означення 2.2. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо в деякому околі точки справджується нерівність (рис. 4). Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції, а значення функції у точках і – відповідно максимумом і мінімумом функції. Максимум і мінімум функції об’єднуються під загальною назвою екстремуму функції, який часто називають локальним екстремумом, підкреслюючи, що поняття екстремуму пов’язане з достатньо малим околом точки екстремуму. Це означає на одному проміжку функція може мати декілька точок максимуму і мінімуму.
Рис. 4. Екстремуми функції
Теорема 2.1. (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має в точці екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулеві або не існує
Іншими словами, функція може мати екстремум тільки у тих точках, в яких похідна дорівнює нулеві або не існує. Точки, в яких похідна функції дорівнює нулеві або не існує, називаються критичними (або стаціонарними) точками. Звертаємо увагу на те, що ці точки повинні входити в область визначення функції. Однак легко переконатись, що критична точка зовсім не обов’язково є точкою екстремуму. Наприклад, функція зростає на усій числовій осі (див. додаток). Похідна в точці дорівнює нулеві, тобто , але екстремуму в цій точці немає. Отже, щоб знайти екстремуми функції, потрібно додатково досліджувати критичні точки. Іншими словами, необхідно визначити достатню умову екстремуму. Теорема 2.2. (перша достатня умова екстремуму). Якщо, переходячи через точку , похідна диференційованої функції змінює знак з плюса на мінус, то точка є точкою максимуму функції , а якщо з мінуса на плюс, то – точка мінімуму.
Схема дослідження функції на екстремум. 1. Знайти область визначення функції . 2. Обчислити похідну . 3. Визначити критичні точки функції, тобто точки, в яких або не існує. 4. Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції. 5. Знайти екстремуми функції, обчисливши значення функції в точках екстремуму.
Приклад 2.1. Дослідити на екстремум функцію . á 1. Область визначення цієї функції . 2.Обчислюємо похідну функції . 3. Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичні точки функції: . Зауважимо, що в точці похідна не існує, але ця точка не є критичною, оскільки вона не входить в область визначення функції. 4. На числову вісь наносимо область визначення функції і критичні точки (рис.5).
Рис. 5. Інтервали монотонності
Щоб встановити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки виберемо, наприклад, значення і і знайдемо і ; отже, , якщо і , якщо . Аналогічно встановлюємо, що на інтервалі і , якщо . Згідно з достатньою умовою – точка мінімуму цієї функції, а – точка максимуму. 5. Знаходимо , . Теорема 2.3. (друга достатня умова екстремуму). Якщо функція двічі диференційована і , а , то є точкою мінімуму функції; якщо , то є точкою максимуму.
Схема дослідження на екстремум функції за допомогою другої достатньої умови загалом аналогічна до наведеної вище схеми. Відмінність в п. 4, який встановлює наявність екстремуму: тут необхідно знайти другу похідну і визначити її знак у кожній критичній точці.
Приклад 2.2. Функції, що описують залежність загального доходу і загальних витрат фірми від кількості одиниць продукції, мають вигляд: (гр.од.) і (гр.од.). Знайти обсяг продукції, який максимізує прибуток, і максимальний прибуток. á Функція прибутку – це різниця між функціями загального доходу і загальних витрат, тобто . Значення , яке максимізує прибуток, є точкою максимуму функції прибутку . Знайдемо критичні точки цієї функції: – критична точка. Оскільки , то функція , якщо , має максимум; (гр.од.).
3. Найбільше і найменше значення функції
Якщо функція неперервна на відрізку , то вона досягає на ньому найбільше і найменше значення. Їх позначають та на відрізку і називають глобальним максимумом та глобальним мінімумом відповідно. Ці значення можуть досягатися у точках локального екстремуму або на кінцях проміжку (рис. 6). а б
в г Рис. 6. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Схема знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку . 1. Знайти похідну . 2. Визначити всі критичні точки на , тобто точки, в яких або не існує. 3. Обчислити значення функції в цих критичних точках та на кінцях відрізка і вибрати з них найбільше та найменше . Приклад 3.1. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку . á 1. . 2. , звідки критичні точки . 3. Значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка і . Отже, , .
4. Опуклість і увігнутість функції. Точки перегину
Означення 4.1. Функція називається опуклою (опуклою вгору) на інтервалі , якщо для довільних двох точок з цього проміжку відрізок, що з’єднує точки і , розміщений під графіком цієї функції (рис. 7).
Означення 4.2. Функція називається увігнутою (опуклою вниз) на інтервалі , якщо для довільних двох точок з цього проміжку відрізок, що з’єднує точки і , розташований над графіком цієї функції (рис. 8).
Рис. 7.Опукла функція Рис. 8. Увігнута функція
Теорема 4.1. (достатня умова опуклості та увігнутості функції). Нехай функція двічі диференційована на інтервалі . Тоді: 1)якщо на , то функція увігнута на цьому інтервалі; 2) якщо на , то функція опукла на цьому інтервалі. Означення 4.3. Точкою перегину графіка неперервної функції називається точка, яка відокремлює інтервали, на яких функція опукла і увігнута.
Теорема 4.2. (ознака точки перегину). Якщо і , переходячи через точку , змінює знак, то є точкою перегину графіка функції .
Приклад 4.1. Визначити інтервали опуклості та увігнутості, точки перегину графіка функції . á Знайдемо другу похідну : , . Корені рівняння – та . на інтервалах і , отже, на цих інтервалах функція увігнута;
Рис. 9. Точки перегину функції
на інтервалі , отже, функція на ньому опукла, а і є точками перегину (рис. 9). Значення функції в точках перегину .
5. Асимптоти графіка функції
Досі ми розглядали характерні точки графіка функції: точки екстремуму, точки перегину. Тепер розглянемо характерні лінії.
Означення 5.1. Асимптотою графіка функції називається пряма, яка має таку властивість: відстань від точки до цієї прямої стає як завгодно малою за необмеженого віддалення точки графіка від початку координат.
Розрізняють вертикальні (рис. 10, а) та похилі (зокрема горизонтальні) (рис. 10, б, в) асимптоти. а) вертикальна асимптота; б) похила асимптота; в) горизонтальна асимптота
Рис. 10. Асимптоти графіка функції
Визначення асимптот графіка функції ґрунтується на таких твердженнях.
Теорема 5.1. Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо або .
Наприклад, графік функції має вертикальні асимптоти (див. додаток). Теорема 5.2. Якщо існують скінченні границі і , то є похилою асимптотою графіка функції .
Якщо обидві границі скінченні лише коли , то пряма є відповідно тільки правосторонньою (лівосторонньою) похилою асимптотою графіка функції .
Приклад 5.1. Визначити асимптоти графіка функції . á З області визначення “випадає” точка . Знайдемо границю функції, якщо : , звідки – вертикальна асимптота. Визначимо похилу асимптоту. . . Отже, – похила асимптота графіка функції.
6. Загальна схема дослідження функцій і побудова їх графіків
Вивчення характерних точок і ліній графіка функції дає можливість всебічно її дослідити і досить точно побудувати ескіз графіка. Досліджувати функцію рекомен дується за такою схемою: 1. Знайти область визначення функції. 2.Дослідити функцію на парність – непарність, на періодичність, встановити точки перетину графіка з осями координат та інтервали знакосталості функції. 3. Проаналізувати поведінку функції в нескінченності. Знайти вертикальні та похилі асимптоти графіка функції. 4. Визначити екстремуми та інтервали монотонності функції. 5. Знайти інтервали опуклості і увігнутості функції та точки перегину. Приклад 6.1. Виконати дослідження і побудувати графік функції . á 1) Область визначення функції . 2) ; отже, функція ні парна, ні непарна, неперіодична. Якщо , отримуємо , тому графік проходить через точку . , якщо , якщо (рис. 11).
Рис. 11. Проміжки знакосталості функції
3) є точкою розриву функції; , тому є вертикальною асимптотою. Знайдемо похилі асимптоти: ; . Отже, – похила асимптота графіка функції. Поведінка функції, якщо : . 4) Визначимо екстремуми функції та інтервали зростання і спадання: . Рівняння має два корені: , які є критичними точками функції. Розв’язуючи нерівності методом інтервалів (рис. 12), отримаємо: функція зростає, якщо , спадає якщо ; – точка мінімуму, .
Рис. 12. Проміжки зростання і спадання 5) Знайдемо точки перегину та інтервали опуклості та увігнутості Якщо функція опукла , якщофункція увігнута ; – точка перегину (рис. 13).
Рис. 13. Точки перегину функції
На основі виконаних досліджень будуємо графік функції (рис. 14).
Рис. 14. Графік функції
7. Диференціал функції. Основні властивості диференціала
Приріст диференційованої функції можна подати у вигляді , де . Перший доданок є головною частиною приросту функції, лінійною щодо .
Означення 7.1. Головна, лінійна щодо , частина приросту диференційованої функції називається диференціалом цієї функції і позначається символом або .
Геометричний зміст диференціала: диференціал є приростом ординати дотичної, проведеної до кривої в точці , що відповідає приросту аргументу (рис. 15).
Рис. 15. Геометричний зміст диференціала функцій
Згідно з означенням . Якщо , то , тобто диференціал незалежної змінної збігається з її приростом . Тому формулу для диференціала функції можна записати у вигляді . Властивості диференціала загалом аналогічні до властивостей похідної (тут – диференційовані функції, ): 1.; 4. ; 2. ; 5. ; 3. ; 6. .
Зауважимо, що властивість 6 виражає інваріантність форми диференціала незалежно від того, чи змінна є незалежною, чи функцією іншої змінної.
31.05.2013 18:05-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора