МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” Кафедра АСУ
Звіт із лабораторної роботи №13 «Градієнтний метод числової оптимізації задач нелінійного програмування» з дисципліни “Математичні методи дослідження операцій” Львів – 2012 Мета роботи: ознайомлення з градієнтним методом числової оптимізації, набуття навиків розв’язку та аналізу задач нелінійного програмування градієнтним методом. Короткі теоретичні відомості Градієнтні методи належать до наближених числових методів розв’язування задач нелінійного програмування, оскільки дають точний розв’язок за нескінченне і лише в окремих випадках за скінченне число кроків. З їх використанням можна розв’язувати будь-яку задачу нелінійного програмування, знаходячи, як правило, лише локальний екстремум. Тому застосування цих методів дає найбільший ефект для розв’язування задач випуклого програмування, де локальний екстремум є одночасно і глобальним. 1.1. Застосування градієнтного методу, коли обмеження на область зміни змінних х відсутні Розглянемо задачу максимізації функції f(х), коли обмеження на область зміни змінних х відсутні. Пошук екстремального значення функції f(х) можна починати з будь-якого допустимого розв’язку, наприклад, з точки хk = (x1k; ...; хпk). Градієнтом (f(x) функції f(х) в точці хk називається вектор, координатами якого є значення в цій точці частинних похідних першого порядку відповідної змінної, тобто
Градієнт функції в цій точці вказує напрямок найшвидшого зростання функції f (х). Переміщення з точки хk вздовж градієнту в нову точку хk+1 відбувається по прямій, рівняння якої
. (1) де (k – числовий параметр, від величини якого залежить довжина кроку переміщення
. Величина (k, при якій досягається найбільший приріст функції, може бути визначена з необхідної умови екстремуму функції
(2) Чергову точку хk+1 визначаємо після обчислення параметру (k (для цього підставляємо значення (k в формулу (1) на пошуковій траєкторії). В цій ( хk+1 ) точці знову знаходимо градієнт, а рух відбувається далі по прямій хk+2 = хk+1 + (k+1(f(xk+1) у напрямку нового градієнту (f (xk+2) до точки хk+2, в якій досягається найбільше значення функції f(х) в цьому напрямку і т.д. Розв’язування триватиме доти, поки не буде досягнута точка х*, в якій градієнт функції дорівнює нулю. В цій точці х* цільова функція f(х*) і буде набувати максимального значення. Приклад 1. Нехай потрібно визначити точку максимуму функції
, коли процес розв’язування розпочинається з точки x0 = (4;4). Розв’язування. Знайдемо частинні похідні функції f(x)
;
. Градієнт функції в точці х0 буде
. Перемістимось з точки х0 вздовж градієнту (f(х0) в нову точку х1: х1 = x0 + λ0 (f (х0) = (4; 4) + (0 (–6; –4) = (4 – 6 (0; 4 – 4 (0). Градієнт функції в точці х1 дорівнює (f (х1) = [2 – 2 (4 – 6(0); 4 – 2 (4 – 4(0)] = (– 6 +12(0; – 4 + 8(0). З необхідної умови екстремуму одержуємо рівняння
, звідки
= 0,5. Оскільки
, то знайдене значення х1 є точкою максимуму функції (f (х1). Враховуючи
= 0,5, визначимо координати точки х1 на пошуковій траєкторії х1 = (4 – 6·0,5; 4 – 4·0,5) = (1; 2) та градієнт (f (х1) в цій точці х1 (f (х1) = (2 – 2·1; 4 – 2·2) = (0; 0). Оскільки градієнт (f (x1) має нульові координати, робимо висновок про те, що х1 = (1; 2) є точкою, в якій цільова функція досягає максимального значення f(х1) = 2·1+ 4·2 – 1– 4 = 5 ( в початковій точці f(x0) = – 8 ). На мал. 1 наведена графічна інтерпретація даної задачі.
Мал. 1. 1.2. Застосування градієнтного методу, коли наявні обмеження на область зміни змінних х Тепер розглянемо випадок розв’язування задачі нелінійного програмування з обмеженнями. Припустимо, що задача полягає в наступному: необхідно знайти максимум функції f(х) за обмежень
,
, (3)
,
. Крім того, будемо вважати, що функція f(х) є ввігнутою диференційованою функцією. При розв’язуванні подібних задач трапляються два випадки: 1) цільова функція має єдиний екстремум, і він знаходиться всередині області допустимих розв’язків. Тоді процес розв’язування задачі (пошук оптимальної точки х*) нічим не відрізняється від уже розглянутого; 2) цільова функція набуває свого екстремального значення в точці, що знаходиться на границі допустимої області. В цьому випадку послідовність розв’язування задачі наступна. Якщо початкова точка хk лежить всередині допустимої області (всі обмеження виконуються як строгі нерівності), то переміщуватися потрібно в напрямку градієнту. Але координати чергової точки
повинні задовольняти обмеженням (3), тобто повинні виконуватись нерівності

(4) Розв’язуючи систему (4) лінійних нерівностей, знаходимо проміжок
допустимих значень параметру
, при яких точка x1 буде належати допустимій області. Значення
, яке одержується в результаті розв’язування рівняння (2)
, повинно належати проміжку
. Якщо значення
виходить за межі проміжку, то за
приймається
. При цьому чергова точка пошукової траєкторії опиняється на граничній гіперплощині, що відповідає нерівності системи (4), виходячи з якої при розв’язанні системи отримано значення
. Якщо початкова точка хk лежить на граничній гіперплощині (або чергова точка пошукової траєкторії опинилась на граничній траєкторії), то напрямок переміщення визначається із розв’язку наступної допоміжної задачі математичного програмування:
(5)
(6) для тих і, при яких
, (7)
, (8) де
;
. Умова (7) визначає належність точки хk границі допустимої області. Умова (6) означає те, що переміщення з точки хk по вектору rk буде відбуватися всередину допустимої області або по її границі, а умова (8) необхідна для обмеження величини rk. Для наступної точки пошукової траєкторії
знаходиться значення параметра
. При цьому використовується необхідна умова екстремуму:
. Процес розв’язування припиняється при досягненні точки
, в якій
. Приклад 2. Максимізувати
за таких обмежень


,
Оптимізаційний пошук почати з точки x0 = (1; 0,5). Розв’язування. Точка x0 = (1; 0,5) лежить всередині допустимої області, значення функції в точці x0 f(x0) = 8,75. За напрямок переміщення в наступну точку x1 приймаємо напрямок градієнту
в точці x0 = (1; 0,5). Градієнт у точці х0 дорівнює
. Виходячи з цього, можна записати координати наступної точки
. Визначимо проміжок допустимих значений для параметру
, при яких точка x1 буде належати допустимій області. В цьому випадку система нерівностей (4) має вигляд
З розв’язку цієї системи знаходимо проміжок
. Розв’язавши рівняння
, визначимо значення параметру
, при якому приріст функції
досягає найбільшої величини. Але значення
не належить проміжку
, тому приймаємо
. Нова точка x1 = (1,36; 0,95) знаходиться на граничній прямій, яка визначається другим обмеженням–нерівністю (тією нерівністю, якій відповідає значення
). В точці x1 значення функції
. Оскільки точка х1 лежить на граничній прямій, то напрямок переміщення в наступну точку х2 визначаємо за вектором r1 (рух в напрямку градієнта виводить з допустимої області). Для визначення координат вектора r1 запишемо допоміжну задачу (5) – (8): максимізувати
за обмежень
;
. Система рівнянь цієї задачі має два розв’язки: (0,5568;–0,8352) і (–0,5568; 0,8352). Підставляючи ці розв’язки у функцію
, одержуємо, що максимальне значення функції
і досягається при (–0,5568; 0,8352), тобто переміщуватися з х1 треба вздовж вектору r1 = (–0,5568; 0,8352) по другій граничній прямій (мал. 2). Координати наступної точки х2 дорівнюють
, а градієнт
. Знову визначаємо проміжок допустимих значень параметра
, при яких точка х2 буде належати допустимій області. До системи обмежень, які повинна задовольняти точка х2, не увійде друге обмеження, оскільки ця точка лежить на граничній прямій, визначеній цим обмеженням. Розв’язуючи дану систему, знаходимо проміжок
. З використанням необхідної умови екстремуму
отримуємо
. Але значення
не належить проміжку
, тому приймаємо
. Нова точка х2 = (1,36-0,557х1.01; 0,95+0,835х1,01)=(0,8; 1,8) лежить на перетині двох граничних прямих, які відповідають першій і другій нерівностям системи обмежень. У цій точці функція набуває значення
. Визначимо напрямок переміщення з точки х2 – вектор r2 = (r21; r22): максимізувати
за обмежень
;
. Система рівнянь задачі має розв’язок r2 = (0; 0). Підставляючи одержаний розв’язок у функцію T, дістаємо, що максимум T = 0, а це означає те, що х2 є точкою максимуму цільової функції в допустимій області, тобто х2 = х* і max f (х*) = 12,68. Як видно з мал. 2, лінія рівня f(х)дотикається до границі допустимої області в точці х2.
Мал. 2 Порядок роботи: Номер завдання відповідає порядковому номеру студента в деканатському журналі старости. Розв’язати аналітично задану задачу нелінійного програмування, супроводжуючи розв’язок графічною ілюстрацією. Побудувати блок-схему алгоритму рішення задачі. Реалізувати алгоритм на одній з мов програмування та відшукати оптимальний розв’язок задачі. Індивідуальне завдання: Варіант 20

                                                 Розвязування задачі аналітично                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
Блок схема алгоритму: Лістинг програми на С#: using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace Gradient { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { gradient(); } double[] x1= new double[1000]; double[] x2 = new double[1000]; double err = 0.0001; double ak = 0.05; double func(double x1, double x2) { return 4*x1*x1 + x2*x2 - 4*x1 + 2*x2; } double funcdx1(double x1, double x2) { return 8*x1 - 4; } double funcdx2(double x1 ,double x2) { return 2*x2 + 2; } void gradient() { double xpr1 = 0, xpr2 = 0, funpro = 0; int i = 0; double xnt1 = double.Parse(textBox1.Text); double xnt2 = double.Parse(textBox2.Text); richTextBox1.Text = "№ " + "\t X1 " + "\t X2 " + "\t F( X1; X2)" + "\n"; do { i++; xnt1 = xpr1-ak*funcdx1(xpr1, xpr2); xnt2 = xpr2-ak*funcdx2(xpr1, xpr2); funpro = funcdx1(xnt1, xnt2)+funcdx2(xnt1, xnt2); xpr1 = xnt1; xpr2 = xnt2; richTextBox1.Text += i.ToString("") + " " + xnt1.ToString("0.000000") + " " + xnt2.ToString("0.000000") + " " + func(xnt1, xnt2).ToString("0.000000") + "\n"; } while( Math.Abs(funpro) > err); label6.Text = "Minimum in: ( " + xnt1.ToString("0.00") + " ; " + xnt2.ToString("0.00") + " )"+ "\n F(x1,x2)= " + func(xnt1, xnt2).ToString("0.00"); } private void вихідToolStripMenuItem_Click(object sender, EventArgs e) { this.Close(); } private void проПрограмуToolStripMenuItem_Click(object sender, EventArgs e) { AboutBox1 a = new AboutBox1(); a.Show(); } } }