Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
АЛГОРИТМИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ НЕЛІНІЙНИХ РЕЗОНАНСІВ ТА ЇХ РЕАЛІЗАЦІЯ В ПРОЕКТІ “CENREC”
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Херсонський державний університет
Інститут:
Не вказано
Факультет:
РТ
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2010
Тип роботи:
Магістерська робота
Предмет:
Інформатика та обчислювальна техніка
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХЕРСОНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ФІЗИКИ, МАТЕМАТИКИ ТА ІНФОРМАТИКИ
ЗАТВЕРДЖУЮ
до захисту в ДЕК
Перший проректор університету
_________професор О.В. Мішуков
“___”___________ 2010 р.
Яцюта Владислав Олександрович
АЛГОРИТМИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ НЕЛІНІЙНИХ РЕЗОНАНСІВ ТА ЇХ РЕАЛІЗАЦІЯ В ПРОЕКТІ “CENREC”
8.080201. ІНФОРМАТИКА
Випускна робота освітньо-кваліфікаційного рівня «Магістр»
ПОГОДЖЕНО
Декан факультету Науковий керівник
____________ доцент Кузьмич В.І. ________професор М.С. Львов “___”___________ 2010 р. “___”___________ 2010 р.
Завідувач кафедри інформатики Рецензент
______ професор О.В Співаковський ________професор В.П Берман
“___”___________ 2010 р. ___”___________ 2010 р.
Херсон – 2010
ЗМІСТ
ВСТУП 3
РОЗДІЛ 1. ОПИС ПРЕДМЕТНОЇ ОБЛАСТІ 3
1.1 Дискретний 3-х хвильовий резонанс 3
1.2 Презентація графом 3
1.2.1 Склеювання трикутників 3
1.2.2 Деякі оцінки 3
1.3 Презентація гіперграфом 3
1.3.1 Матриці інцидентності 3
1.3.2 Мультиграф 3
1.3.3 Порівняння гіперграфа і графа 3
1.4 Результати для області D=50 3
1.5 Механізми знищення кластерів 3
1.5.1 Зменшення області 3
1.5.2 Квазі-резонанси 3
1.6 Портал CENREC (Центр обчислень нелінійних резонансів). 3
РОЗДІЛ 2. АЛГОРИТМИ ХВИЛЬОВИХ ВЗАЄМОДІЙ 3
2.1 Алгоритм М. Львова пошуку рішень 4-хвильових нелінійних резонансів 3
2.1.1 Постановка задачі 4-хвильового резонансу 3
2.1.2 Група симетрій 3
2.1.3 Алгоритм генерації рішень, що використовує групу симетрій 3
2.1.4 Аналіз асиметричних рішень і симетричних рішень. 3
2.2 Алгоритм побудови кластерів 3-хвильових взаємодій 3
2.2.1 Алгоритм побудови рішень 3-х хвильових резонансів 3
2.2.2 Алгоритм побудови кластерів рішень 3-х хвильових резонансів 3
РОЗДІЛ 3. ОПИС І АНАЛІЗ ВИКОРИСТОВАНОЇ ТЕХНОЛОГІЇ 3
3.1 Головні концепції мови Java 3
3.2.1 Платформа Java 3
3.2.1 Об'єктність 3
3.2.2 Безвідмовність і безпека 3
3.2.3 Автоматичне керування пам'яттю 3
3.3 Java -Апплети 3
3.3.1 Обмеження апплетів 3
3.3.2 Переваги апплетів 3
3.3.3 Робочий простір додатка 3
ВИСНОВКИ 3
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 3
Додатки 3
Додаток А. Результати роботи програми в межах від -50 до 50 3
Додаток B. Результати роботи програми в межах від -100 до 100 3
ВСТУП
Дану роботу виконано в Лабораторії з розробки та впровадження педагогічних програмних засобів в рамках проекту CENREC-спільного проекту науково-дослідного інституту символьних обчислень (RISC) університету ім. И.Кеплера (м. Линц, Австрія) (http://risc.uni-linz.ac.at/) і НДІ ІТ ХДУ. Проект ініційований проф. Е.Карташовой (RISC) і проф. М.Львовим (НДІ ИТ ХГУ) в 2008 р. Починаючи з 2009 р. проект фінансується МОН України (договір від 07.04.2009 р. № М/160-2009 ) та міністерством освіти і науки Австрії
Актуальність даної роботи безперечна, оскільки за минулі кілька років стрімко зросла кількість вчених, студентів, інженерів та звичайних людей які проводять дослідження, або просто цікавляться теорією резонансів. Із часом виникла необхідність у програмному модулі який би допомагав їм в проведенні досліджень, та отриманні систематизованих результатів.
Об’єктом дослідження є : хвильові резонанси
Предмет дослідження:
рівняння 3-х та 4-х хвильових резонансів
списки рішень для 3-х та 4-х хвильових резонансів
кластери рішень 3-х та 4-х хвильових резонансів
Мета дослідження – проектування та розробка модулю для роботи з 3-х та 4-х хвильовими резонансами.
Відповідно до мети , предмета і об’єкта визначимо такі завдання:
Знаходження та групування для певної області всіх цілі рішень, що задовольняють рівнянням 3-хвильових резонансів.
Знаходження та групування для певної області всіх цілі рішень, що задовольняють рівнянням 4-хвильових резонансів
Знаходження та групування кластерів рішень для 3-хвильових резонансів.
Знаходження та групування кластерів рішень для 4-хвильових резонансів
Відображення кластерів 3-хвильових резонансів.
Відображення кластерів 4-хвильових резонансів
Гіпотеза дослідження. Розроблений програмний модуль дозволить проводити дослідження та експерименти на 3-х та 4-х хвильовими резонансами у домашніх умовах.
Теоретичну значущість роботи вбачаємо у з’ясуванні основних відомостей про резонанси та алгоритми роботи з ними.
Практична цінність роботи полягає у застосуванні Java - технологій та алгоритмів роботи з резонансами для складання модулю пошуку та побудови кластерів рішень 3-х та 4-х хвильовими резонансів.
Структура роботи. Робота складається зі вступу, трьох розділів, висновку, списку використаних джерел та додатків.
РОЗДІЛ 1. ОПИС ПРЕДМЕТНОЇ ОБЛАСТІ
1.1 Дискретний 3-х хвильовий резонанс
Графо-теоретичний підхід широко використовується для вивчення мезоскопічних систем. Поява кластерів зумовлена дискретним резонансом, який має форму мультографу з навантаженими ребрами. Ця робота присвячена представленню кластерів у формі гіперграфів.
Розглянемо рівняння 3-хвильового резонансу, яке повністю покривається BVE[1]. Ця формула також відома як Обухова-Чарні або рівняння Хасегава-Міма, має велике значення в багатьох фізичних процесах від геофізики та астрофізики до плазмової фізики. Це рівняння було дуже часто знайдено фахівцями з дуже різних областей фізики. Зокрема, це рівняння описує планетарні хвилі океану.
(1.1)
З граничними умовами в прямокутній області.
де константа Россбі, параметр, і Якобіан має стандартний вигляд
Лінійна хвиля має вигляд [2]
а функцію дисперсії можна записати як:
Після очевидної нормалізації випишемо резонансні умови для 3-х хвильових взаємодій наступним чином
(1.2)
Ця система буде нашим основним предметом дослідження в даній роботі.
Для повноти викладу наведемо просту ідеєю нашого алгоритму для обчислення цілочисельних рішень (1.2) (для більш докладної інформації див [1-16].). Було відзначено, що (1.2) має цілі рішення тільки тоді, коли всі три числа мають таку ж ірраціональність, тобто можуть бути представлені я
(1.3)
з деякими цілими названими вагою і тій ж вільні від квадратів названими індексами. Таким чином, множина всіх хвильових векторів може бути розділена на непересічні класи відповідно до класу індексу і шуканих для кожного класу окремо рішень. Важливо розуміти, що це тільки необхідна умова для існування рішень і деякі класи можуть бути порожніми.
В якості першого кроку, ми обчислимо безліч всіх можливих індексів q. Завдяки теоремі Лагранжа про подання цілого числа у вигляді суми двох квадратів, ми робимо висновок, що не повинна бути кратна будь-якому простому числу виду що істотно знижує повнотекстовий пошук. Спеціальні алгоритми для представлення, вільних від квадратів чисел у вигляді суми двох квадратів, добре відомі , і один з них [19] був використаний в чисельної реалізації алгоритму для обчислення множини всіх можливих чисел такі, що всі задовольняють умові ваги рівняння (1.4). Спеціальні числово-теоретичні міркування дозволили нам ігнорувати багато випадків з розрахунку (близько 74% всіх класів в області ), як порожні. Потім ми повинні знайти цілі рішення для рівняння ваги
(1.4)
На цьому етапі число змінних зменшується з 6 до 3, і їх окремих ступенів від 2 до 1, і ми позбавилися від ірраціональності в (1.4). Рішення шукаються тільки для індексів знайдених на попередньому кроці. На цьому крок всі рішення рівняння (1.1), вже знайденні. Нарешті, ми перевіряємо лінійну умову на , перевірка відбувається незалежно від виконання рівняння (1.2). Реалізацію на MATHEMATICA дивись [20].
1.2 Презентація графом
Графічний спосіб представлення 2D-хвильових резонансів, запропонований в роботі. [7]. Для 3-хвильових взаємодій поставимо кожному 2D-вектру, вузол цілочисельної решітки в спектральному просторі і зв’яжемо ці вузли за допомогою рішень (тріад, квартетів і т.д.). Результат показано на рисунку 1.1 в верхній частині. Очевидно, що геометрична структура є занадто туманною, щоб бути корисною навіть у порівняно невеликих спектральних областях. З іншого боку,
Рис. 1.1
На рис. 1.1: Верхня панель: Приклад геометричної структури, області .Нижня панель: Приклад топологічної структури, ті ж спектральної області. Число в дужках показує, скільки разів відповідний кластер з’являється в обраній спектральної області.
топологічні структури, зображені на рис. 1.1 (нижня частина) цілком очевидні, і надають нам інформацію про динамічні рівняння що характеризують поведінку кожного хвильового кластеру. Більш того, передача енергії характеризуються стандартними динамічними системи, написаними для простих для дійсно-числових амплітуд,
(1.5)
У випадку групи -«трикутника» далі називаного основним елементом: ;
(1.6)
У випадку групи - «метелика» (дві пов’язані групи трикутники): , і так далі. Всі ізоморфних графи, представленні на рисунку 1.1 охоплюються однорідною динамічною системою, тільки величини коефіцієнтів взаємодії змінюються. Але у загальному випадку визначена структура графа не характеризує динамічну систему однозначно. Звернемося до рисунку 1.2, де два об'єкти ізоморфні як графи. Тим не менше, перший об'єкт представляє чотири основних елемента, об’єднаних динамічною системою
(1.7)
коли другий-третій основні елементи, пов'язані динамічною системою
(1.8)
Щоб розрізнити ці два випадки ми поставили заповнювач всередині трикутника, що не являє резонансу, надалі називатимемо його порожнім 3-циклом. Це означає, що для визначення ізоморфізму динамічних систем, ми повинні зв'язати разом з яким-небудь параметром(и) для визначення відповідних динамічні системи однозначно. Ми називаємо пари i- парами, якщо вони забезпечують ізоморфізм динамічних систем. Набір можливих параметрів (не повністю, звичайно) є: число вершин, їх кратності число ребер, їх кратності, число основних елементів (не порожніх 3-циклів) N, список не порожній 3-циклів і т.д. Деякі попередні вивчення набору параметрів показують, що і N є гарним першим вибором, що забезпечує баланс між інформативністю та складністю чисельної реалізації.
Розглянемо структуру , що складається з:
графа G, кожне ребро якого належить хоча б, одному 3-циклу;
не порожній список деяких 3-циклів довжини 3 з , такі, що кожне ребро з , належить деякому циклу(ам) .
Зверніть увагу, що не містить неправильних «трикутників». Позначення , було обране для того, щоб відзначити, що наші графи, є графами – «трикутниками».
Визначення 1. Кількість елементів у називається порядком і позначається як . Три-цикли що не належать до називаються порожніми циклами. Число появ кожної вершини в називається кратністю вершини і позначається як Кількість різних вершин у позначається як . Очевидно, що -графи, що складаються тільки з 3-циклів мають дуже специфічну структуру. Наша ідея полягає в побудові множини всіх можливих графів цього типу порядку для заданого індуктивно , починаючи з одного трикутника. Як наступний крок ми можемо вибирати всі не ізоморфні графи з цієї множини і порівняти відповідні списки , для знаходження всіх різних динамічних систем.
Рис. 1.2
Рис 1.2 показує приклад ізоморфних графів і не ізоморфних динамічних систем. Графік зліва відповідає динамічній системі (1.7), а графік праворуч динамічній системі (1.8).
1.2.1 Склеювання трикутників
Можливості склеїти новий трикутник в -граф не є численними, і можуть бути класифіковані наступним чином. Нехай новий th трикутник буде .
Склеювання вершинами. У цьому випадку 1, 2 або 3 вершини нового трикутника ототожнюються з (приклеєними до) вершин деякого трикутника графа, побудованого на попередньому кроці індукції .
Склеювання ребрами. У цьому випадку 1, 2 або 3 ребра і відповідні вершини нового трикутника приклеєні до ребер і вершини деякого прилеглого трикутника графу. Зверніть увагу, що при склеюванні ребер просто заповнити порожній трикутник .
Змішане склеювання. У цьому випадку одна вершина нового трикутника приклеюється до вершини деякого трикутника графа і ребро приклеюється до ребра іншого трикутника.
Випадки, описані вище, ілюструє рисунки 1.3-1.5.
При склеєні вершинами, структура доповнюється:
двома вершинами і трьома ребрами (одна вершина склеєна);
однією вершиною і трьома ребрами (дві вершини склеєні);
трьома ребрами (три вершини склеєні).
При склеєні ребрами, структура доповнюється:
однією вершиною і двома ребрами (одне ребро склеєне);
одним ребром (два ребра склеєні);
структура графу залишається незмінною (три ребра склеєні);
При змішаному склеювання, структура доповнюється двома ребрами.
У кожному випадку, список графу розширюється циклом нового трикутника.
Рис. 1.3 Склеювання вершин нового трикутника і .
склеювання по одній вершині.
склеювання двох вершин.
склеювання трьох вершин.
Рис. 1.4. Склеювання ребер нового трикутника і .
склеювання одним ребром.
склеювання двома ребрами.
Склеювання трьома ребрами.
Рис. 1.5. Змішане склеювання нового трикутника і .
1.2.2 Деякі оцінки
Доповнюючи поданий множиною вершинами V і множиною ребер E у вигляді трикутника, ми стикаємось з наступними можливостями:
один трикутник не з’єднаний з існуючими графами додається (1 можливість);
склеювання вершини (V можливостей);
склеювання ребер (E можливостей);
змішане склеювання, приблизно можливостей;
поява порожнього трикутника (дуже рідко).
Тому на кожному кроці індукції середнє число вершин і число ребер, може бути грубо оцінене як . Таким чином, число нових не ізоморфних графів може бути оцінена приблизно , а загальна кількість графів на кроці N є .
1.3 Презентація гіперграфом
Для зменшення часу розрахунку і складності, ми побудуємо гіперграфи і-пар, що були введені в цьому розділі. Гіперграф це структура, яка складається з множини вершин і мультимножини ребер. Гіперребро являє собою набір вершин, всі вершини в такій множині пов'язані між собою. Колекція гіперребер є мультимножиною, оскільки є ймовірність того, що деякі гіперребра з'являться частіше, ніж один раз. Традиційний граф є окремим випадком гіперграфа, в якому всі ребра є множиною з двох елементів, і кожне з ребер не з'являється більше одного разу. Для представлення 3-хвильових резонансів ми використовуємо трикутники, як вузли відповідного гіперграфа.
Визначення 2. Гіперграф з 3-циклами трикутників графа вершинами і вузлами (m,n) графа як його ребрами називається трикутний гіперграф і позначається як . Множини його вершин і ребер позначаються як і відповідно, тобто .
Зверніть увагу, що оскільки вузол може належати декільком 3-циклам, відповідний має по суті, гіперребра замість ребер простого графу. Гіперграф породжений , має дві властивості:
кожна вершина є частиною рівно трьох гіперребер;
кожна пара вершин є частиною не більш ніж двох гіперребер.
Перша властивість випливає з того факту, що кожна вершина представляє 3-цикл, який складається з трьох різних вузлів графа . Якщо друга властивість порушена, то два пов'язані 3-цикла мають три спільних вузлів а, отже, вони ідентичні. Як ілюстративний приклад запишемо в явному вигляді гіперграф динамічної системи (1.7) і (1.8) представлені на рис. 1.2 в лівій і правій частинах відповідно:
(1.9)
і
(1.10)
1.3.1 Матриці інцидентності
Для проведення розрахунків зручно представляти гіперграфи матрицею інцидентності, яка будується наступним чином. Визначення 3. Прямокутної матриці з стовпців і рядків називається матрицею інцидентності якщо:
(1.11)
Кожен стовпець матриці представляє собою трикутник, в множині розв'язків рівняння (1.2) у той час як кожен рядок є вузлом (див. визначення 1). Так як ми не зацікавлені у вузлах, а зацікавленні в їх відношенні один з одним ми можемо перенумерувати вузли трикутника з висхідним цілими числами у довільному порядку і використовувати назви вузлів для індексації елементів в матриці. Тепер ми можемо побудувати гіперребра для якщо j-е входження рядка дорівнює 1 тоді ми додаємо j до цього гіперребра. Вершини є елементами . Порядок гіперребер неважливий тому що це мультимножина. Тим не менше, краще мати «нормальну форму», тому ми сортуємо гіперребра з використанням деякого порядку. Для динамічних систем, немає порядку з практичними перевагами для реалізації, тому ми залишаємо їх невпорядкованими. Матриця інцидентності динамічних систем (1.7) і (1.8) мають вигляд
(1.12)
і відповідно
(1.13)
Аналогічним чином будуються матриці інцидентності їх гіперграфів, тут ми використовуємо упорядкування гіперребер вверх
(1.14)
і відповідно
(1.15)
також різні. Матриці інцидентності динамічної системи та відповідного гіперграфа неідентичні. Причина полягає у використанні різних впорядкування для вершин. Матриця (1.14) просто переставлена версія матриці (1.12). Оскільки ми використовуємо спеціальні впорядкування на гіперребрах, які описуються рядами матриці інцидентності, ми отримаємо перестановки рядків. Для визначення ізоморфізму динамічних систем не обов’язково зберігати впорядкування, тому що динамічні системи з перестановкою елементів, як і раніше ізоморфні. Таким чином, перестановки рядків,чи перестановки стовпців знищують ізоморфізм динамічних систем. У цьому прикладі, тільки перестановка рядків має місце, перестановки стовпців являється просто іншим порядком елементів . Цю конструкцію можна переробити і динамічні системи можуть бути відновлені з гіперграфів: розглядаючи стовпці цієї матриці ми знаємо, які вузли належать до певного 3-циклу.
Очевидно, що якщо два гіперграфах (1.9) і (1.10) не ізоморфні, їх матриці інцидентності (1.12) і (1.13), також різні. Але в цілому для прийняття остаточного рішення необхідно мати алгоритм установлення ізоморфізму гіперграфів. Оскільки є не так багато загальних алгоритмів для гіперграфах треба знайти відображення, де можна було б використовувати стандартні алгоритми ізоморфізму графів. Це приводить нас до допоміжної конструкції мультиграфа.
1.3.2 Мультиграф
Мультиграф будується наступним чином. Його вершини співпадають з вершинами і кожне гіперребро замінене на 2-елементні підмножини Щоб зберегти всю інформацію, ми повинні маркувати створені ребра так, щоб ребера, які належать до одного гіперребра були помічені однаково. Ці мітки дозволяють реконструювати і , який є необхідним кроком при генерації динамічних систем. Гіперребра, які містять тільки одну вершину можуть бути опущені, оскільки вони не містять ніякої додаткової інформації про кластерні структури. Звичайно, деякі ребра можуть зустрічатися в два рази в цьому випадку, якщо два 3-цикла ділять два вузли. Рисунок 1.6 показує два мультиграфи (відповідні їм динамічні системи, показані на рисунку 1.2). Для зручності ми використовуємо символ трикутника для позначення вершин мультиграфа, тому що вершина представляє 3-цикл .
Рис. 1.6.
НА рис 1.6 мультиграф зліва відповідає динамічній системі(1.7) і мултиграф з права динамічній системі (1.8)
Мультиграф володіє наступними властивостями:
У кращому випадку два ребра з'єднують пари вершин. Це випливає з того, що пари 3-циклів можуть ділитися не більше двома вузлами. Якщо б вони ділилися і третім вузлом вони були би ідентичними.
Не більше трьох різно-маркованих ребер можуть зустрічатися для вершини. 3-цикл складається з трьох вузлів тому він може ділитися тільки 3-ма різними вузлами, 3-ма іншими 3-циклами.
Число вершин дорівнює кількості непустих 3-циклів у . (за визначенням).
Загальне число однаково-маркованих ребер (p-1)p/2, де р-число елементів у відповідному гіперребрі. Однаково-марковані ребра належать до того ж гіперребра, і кількість двоелементних підмножин p/2
1.3.3 Порівняння гіперграфа і графа
Резюмуючи коротко описані вище процедури, зроблено наступне:
Були знайдені всі цілочисельні рішення для (1.2);
топологічний вигляд множини рішень, як і-пара була побудована з відповідною до нього динамічною системою з точністю до ізоморфізму;
і-пара була перетворена в унікально гіперграф ;
для обчислювальних цілей, були введенні деякі допоміжні методи - матриці інцидентності і мультиграф , обидва підтримують ізоморфізм динамічних систем.
1.4 Результати для області D=50
18 систем (рисунок 1.7)
Рис. 1.7
4 системи (рисунок 1.8)
Рис. 1.8
1 система(рисунок 1.9)
Рис. 1.9
2 системи (рисунок 1.10)
Рис. 1.10
1 система (рисунок 1.11)
Рис. 1.11
1 система (рисунок 1.12)
Рис.1.12
1 система (рисунок 1.13)
Рис. 1.13
Ці результати показують, що в області в якій містяться фур'є-гармонік. Ми маємо тільки сім неізоморфних динамічних систем (кластерів хвиль) для подальшого аналітичного і чисельного дослідження. Деякі з них, наприклад, (1.4), як відомо, вирішена явно в функції Якобіана (приклади явних виразів для випадку сферичних планетарних хвиль можна знайти [22]). Знання явних форм динамічних систем дозволяє інколи отримувати декілька законів збереження, як у випадку (1.5) і спрощувати чисельні дослідження цих систем. Дуже важливо зрозуміти, що якісні характеристики всіх ізоморфних кластерів однакові їх численні характеристики залежать від величини коефіцієнта . Обчислення цих коефіцієнтів зазвичай відбувається за допомогою стандартних методів. Хоч вони і нудні але повністю алгоритмічні і можуть бути запрограмовані [20].
1.5 Механізми знищення кластерів
Існують два механізми, які можуть зруйнувати структуру кластера описаного вище:
Зменшення області D
Взяття до уваги квазі-резонансів, а саме цілочисельних рішень
З деякою ненульовою довжиною резонансу
1.5.1 Зменшення області
Очевидно, що структура кластерів стає простішою зі зменшенням області D – деякі рішення (тріади) зникають. З іншого боку, збільшення D може привести до істотних змін структури. Таким чином важливо зрозуміти, яким чином структура рішення залежить від обраної розрахункової області. Перепишемо перше рівняння (1.3) у вигляді
Зауважимо що і підставляючи в мінімальне, середнє та максимальне з чисел отримомаємо:
а також
Ми прийшли до висновку, що хвиля взаємодії є локальною, у сенсі: довжини хвиль векторів будівництва рішення (1.2) не можуть бути занадто далеко один від одного. Зокрема, якщо ми зацікавлені у вирішенні структури області, наприклад, , достатня для дослідження великої області з тим щоб встановити які кластери залишаються незмінними і, щоб знайти ті, які посилюються за допомогою рішень з-хвильовими векторів, і ті що лежать за межами вихідної області .
1.5.2 Квазі-резонанси
У [24] було показано, що дискретні квазі-резонанси, що починаються з якоїсь нижньої межі, для резонансу довжиною можуть бути виписані в явному вигляді. Цікаво, що для багатьох функцій дисперсії існує глобальна нижня межа для більшості кластерів, які не залежить від спектральної області, а також не залежить від числа взаємодіючих хвиль S. Наприклад, у випадку (гравітаційних хвиль води) використовуючи узагальнену теореми Туе-Зігель-Рота [25] маємо Очевидно, що для довільної функції дисперсії існує локальна нижня межа яка, визначена в області в
1.6 Портал CENREC (Центр обчислень нелінійних резонансів).
Проект CENREC – спільний проект науково-дослідного інституту символьних обчислень (RISC) університету ім. И.Кеплера (м. Линц, Австрія) (http://risc.uni-linz.ac.at/) і НДІ ІТ ХДУ. Проект ініційований проф. Е.Карташовой (RISC) і проф. М.Львовим (НДІ ИТ ХГУ) в 2008 р. Починаючи з 2009 р. проект фінансується МОН України (договір від 07.04.2009 р. № М/160-2009 ) та міністерством освіти і науки Австрії. Поточна версія порталу CENREC: http://cenrec.risc.uni-linz.ac.at/portal/.
Основна мета проекту CENREC (CEntre for Nonlinear REsonance Computations) - створення веб-порталу віртуального центра обчислень задач нелінійного резонансу як інтернаціонального відкритого джерела інформаційних ресурсів з однієї з найбільш важливих й швидко прогресуючих областей сучасної нелінійної динаміки (НД) – нелінійних резонансів.
Згідно до технічного завдання, узгодженого українською та австрійською сторонами проекту, портал CENREC має підтримувати наукові контакти декількох наукових груп, які займаються указаною вище проблематикою. Крім науково-дослідної групи, яку очолює проф. О.Карташова, учасниками порталу є такі науково-дослідні групи:
Група проф.. С.Назаренко (Warwick Math. School, University of Warwick, UK).
Група проф. I. Procaccia (Weizmann Institute for Sciences, Rehovot, Israel)
Крім наукового керівника, кожна з груп складається з молодих науковців, аспірантів (Phd-докторантів) та магістрантів. Зауважимо, що перелічені наукові групи вивчають фізичні проблеми. Як ми уже відзначали у п. 1.1.1, ця ситуація є типовою. Саме так організовано підготовку науковців в університетах розвинених країн. Оскільки представники наукових груп є фізиками, а задача створення сучасної інформаційної підтримки спільної наукової діяльності є задачею інформаційною, ще одним учасником спільноти має бути група спеціалістів у галузі IT, метою якої є по-перше, створення та підтримка відповідного спеціалізованого веб-ресурсу, по-друге – реалізація спеціального програмного забезпечення з задач нелінійних резонансів, узгодженого за інтерфейсами та технологіями.
Специфічними інформаційними задачами є такі задачі:
задача інформаційної підтримки наукової продукції;
задача інформаційної підтримки пошуку та обробки наукової інформації;
задача інформаційної підтримки наукового спілкування;
задача інтеграції спеціалізованого програмного забезпечення в єдиний інформаційний ресурс.
Відповідно до цих задач портал CENREC містить модулі:
Гіпертекстова енциклопедія на основі технології MediaWiki. Енциклопедія представляє оглядові статті з найважливіших тем теорії нелінійних резонансів із перехресними посиланнями й посиланнями на наукову літературу й спеціалізоване програмне забезпечення. Технологія MediaWiki, зокрема, надає можливість кожному молодому науковцю представити власні конкретні результати в контексті загальної наукової проблематики.
Спеціалізована бібліографічна пошукова система. Змістом цього програмного модуля є бібліографія у області НД, представлена у формі бібліографічних даних, анотацій, зв'язків з електронними документами (якщо вони вільно доступні), з новими надходженнями в електронні бібліотеки відповідних спеціалізованих видавництв.
Спеціальне програмне забезпечення у вигляді спеціально створеного пакета комп’ютерних програм, що розв’язують задачі нелінійних резонансів числовими або символьними методами, доступних через веб-інтерфейс. Таке забезпечення дозволяє користувачам порталу не тільки користуватися цим забезпеченням через розповсюджені веб-броузеры, тобто вводити свої вихідні дані й одержувати результати обчислень як у текстовому, так і графічному виді, а і використовувати комп’ютерні програми пакету як програмні модулі власних комп’ютерних програм.
Специфіка задачі створення такого пакету полягає в уніфікації та стандартизації форматів даних комп’ютерних програм, що створені в різних системах програмування та операційних середовищах.
Форум із проблем НД. Призначений для підтримки контактів наукових груп дослідників із проблем НД, здійснення регулярних оповіщень про нові наукові результати через Інтернет, електронну пошту й. т.п., тим самим забезпечує інтерактивність наукових обмінів, високу якість змісту й високий науковий рівень використання веб-порталу.
РОЗДІЛ 2. АЛГОРИТМИ ХВИЛЬОВИХ ВЗАЄМОДІЙ
2.1 Алгоритм М. Львова пошуку рішень 4-хвильових нелінійних резонансів
2.1.1 Постановка задачі 4-хвильового резонансу
Дано:
=
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Знайти:
Всі що задовольняють (2.1)-(2.3)
Алгоритм
Сформувати:
масив P всіх простих чисел .
масив P4 всіх 4-х ступенів простих чисел з масиву P.
Для всіх обчислити
Для ефективного обчислення . у зовнішньому циклі запам'ятовуємо
Ділимо на всі елементи P4.
Сформувати хеш-таблицю TP із ключем і даними . Кожний рядок таблиці TP – клас для даного числа . Елементи класу впорядковані по у тому порядку, у якому вони перераховуються в п.2.
Для кожного рядка (p) таблиці TP (тобто всіх у класі (P) вирішити основну систему (2.1), (2.2): скласти попарно вектори - елементи рядка (P).
Якщо - список векторів рядка (p), то
, . Якщо для четвірки
виконуються співвідношення (1), (2), то .
За алгоритмом Л. Карташової
Створити масив P простих чисел процедурою Ератосфена.
Створити масив Q індексів , . Зауваження 1 М.С. Львов вважає, що правильно . справді, . досягається при . Звідси
Знайти всі цілі рішення лінійного рівняння
Де обчислюється зі співвідношення . Для цього індекс класу множиться на поки шукаються всі такі, що .
Теорема Ейлера: Натуральне число розкладене в суму квадратів ( кожний його простий дільник виду входить у розкладання в парному ступені.
Ця теорема застосовується до масиву Q. Будується масив задовольняючій теоремі Ейлера. Кількість різних представлень дорівнює різниці між кількостями простих факторів виду й .
Для всіх розкладань у суму квадратів обчислити вираження під знаком радикала й перевірити лінійні умови (1), (2).
2.1.2 Група симетрій
Розглянемо групу симетрій моделей (2.1)-(2.3)
Елементом групи симетрій є «знакова підстановка»
де . кожний елемент другого рядка - перестановка елементів першого рядка, у якій перед змінною допускається знак плюс або мінус.
Елемент групи симетрій, застосований до моделі задачі, задовольняє цієї моделі.
Паралелограми (неупорядковані четвірки крапок) з вершинами
і різні
Наприклад: підстановка
задовольняє 2.1. -2.3.
2.1.3 Алгоритм генерації рішень, що використовує групу симетрій
Генерація таблиці (Р) класів у вигляді
Складаємо хеш-таблицю 1 за схемою зображеною на рисунку 2.1
Рис. 2.1.
Де Count – кількість елементів в (р)-класі. Інваріант: . Хвильові числа m, n змінюються в першому октанті площини .
Генерація динамічної таблиці різниць (q) класів у вигляді На основі хеш-таблиці 1 складаємо хеш-таблицю 2 (рисунок 2.2).
Рис 2.2
Кожен (р) рядок таблиці класів обробляється подвійним вкладеним циклом. Для кожної пари (m, n) точок Aj, Ak у тілі циклу обчислюється
If qj <= qk
then InsertDifTable(qj - qk ,Aj,Ak )
else InsertDifTable(qk - qj ,Ak,Aj )
У результаті кожен (q) рядок таблиці різниць містить пари точок (Aj, Ak) такі, що qj - qk = q.
Пошук асиметричних рішень для кожного (q)-рядка динамічної таблиці різниць (q) у вигляді четвірок (m1, n1), (m2, n2), (m3, n3), (m4, n4).
Основна ідея полягає в наступному: алгоритм генерує четвірки точок (векторів) площини (A1, A2, A3, A4) у першому октанті площини: .
Для кожної такої четвірки знаходять всі
.
Із цих четвірок шукаються такі, що
. (2.4)
Тоді, через те, що пошук здійснюється в (q)-класі, знайдені четвірки утворять асиметричне рішення
Повний перебір всіх четвірок означає перебір 8*8*8*8 = 4096 варіантів. Тому виникає необхідність ефективного алгоритму пошуку рішення рівняння
.
Ефективний алгоритм аналізу четвірки (m1, n1), (m2, n2), (m3, n3), (m4, n4).
Множачи обидві частини (2.
19.06.2013 19:06-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора