Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Конспект лекцій
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
ІКТА
Факультет:
КН
Кафедра:
Захист інформації
Інформація про роботу
Рік:
2006
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Основи збору, передавання та обробки інформації
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Національний університет «Львівська політехніка»
Інститут комп’ютерних технологій, автоматики та метрології
Кафедра «Захист інформації»
Джала Роман Михайлович
Хома Володимир Васильович
ОСНОВИ ЗБОРУ, ПЕРЕДАВАННЯ
ТА ОБРОБКИ ІНФОРМАЦІЇ
Конспект лекцій
Тема 3: СИГНАЛИ і ЗАВАДИ
в системах передачі інформації (СПІ)
ЗМІСТ
1. Класифікація сигналів. Елементи загальної теорії сигналів.
2. Параметри детермінованих сигналів у часовій області.
3. Спектральний аналіз періодичних і неперіодичних детермінованих сигналів.
4. Сигнали і завади як випадковий процес.
5. Числові характеристики сигналів і завад.
6. Дискретизація неперервних сигналів та їх відновлення. Теорема про відліки.
7. Первинні перетворення повідомлень і сигналів.
8. Походження завад та їх класифікація.
9. Методи боротьби із завадами.
3.К. Питання до самоконтролю.
3.Л. Література.
Львів – 2006
СИГНАЛИ і ЗАВАДИ
у системах передачі інформації (СПІ)
Головна задача СПІ – передача інформації на віддаль, здійснюється саме за допомогою сигналів, а завади перешкоджають цій передачі. Слід пам’ятати, що завади – поняття відносне; вони проявляються лише у процесі передавання сигналів, наносячи їм спотворення, а відтак і втрату інформації.
Аспекти поєднання сигналів і завад, приклади. Космічні випромінення є завадами для радіозв’язку але сигналами для астронома-дослідника. Іноді завади різко відрізняються від сигналу, деколи буває важко розрізнити де сигнал, а де завада. Враз у телефоні чути дві розмови. Треба час, щоб визначити де ваш корисний сигнал, а де “завада”, що випадково підключилася. В той же час ця завада – корисний сигнал для іншого абонента.
У цьому розділі розглянемо основні елементи теорії сигналів, класифікацію і математичний опис сигналів і завад, який буде використовуватися в подальшому викладі матеріалу курсу, проведемо ознайомлення із первинними сигналами різних видів СПІ, вкажемо на джерела походження завад і методи боротьби із завадами.
2.1. Класифікація сигналів
Поділ сигналів на класи можна здійснити за різними ознаками.
1. За природою носія розрізняють – електричні, електромагнітні, оптичні, акустичні сигнали.
Носій – це фізичний процес, що має властивість переміщуватися у просторі і параметри якого можна змінювати під дією повідомлення.
Розрізняють три види носіїв у незбуреному стані – постійний рівень, гармонічне коливання та послідовність імпульсів.
Сигнал – це або фізичний процес параметри якого містять інформацію (або носій із накладеним на нього повідомленням).
2. За кількістю параметрів розрізняють одномірні n=1 і багатомірні (векторні) n>1 сигнали.
Оскільки сигнали (на відміну від повідомлень) завжди є функцією часу, то в символьному вигляді сигнал з n- параметрами можна представити так
.
Приклад одномірного сигналу – напруга на двох затискачах джерела чи ланки кола, або струм.
Приклад багатомірного сигналу – система напруг мережі, багатополюсника
.
У багатомірних сигналів деякі параметри можуть бути інформативними (відповідають повідомленню), інші – селективні (несуча модульованих сигналів).
Сигнали можуть бути не лише функцією часу, але й інших змінних (аргументів), наприклад, просторових координат
.
3. За способом і місцем утворення розрізняють первинні та вторинні (модульовані) сигнали.
Первинні сигнали утворюються внаслідок збурення повідомленням єдиного параметру носія у вигляді постійного рівня; вторинні – шляхом модуляції при використанні гармонічного носія чи імпульсної послідовності.
4. За інформативністю – детерміновані і випадкові (стохастичні).
У детермінованих сигналах всі параметри є відомими, тобто сигнал можна повністю описати в будь-який момент часу. У випадкових сигналів всі або бодай один параметр є випадковою величиною.
Реальні сигнали в СПІ є випадковими з двох причин:
- щоб сигнал ніс інформацію, його інформативний параметр принципово має бути невизначеним, оскільки повністю детермінований сигнал інформації вже не містить і його нема змісту передавати.;
- при передачі сигнал піддається впливу завад, які мають випадковий характер.
Детерміновані сигнали використовуються в СПІ як контрольні (випробувальні), як службові (синхроімпульси, сигнал “старт-стоп”) або ж як носії в незбуреному стані, тобто до модуляції.
Отже, можна сказати, що селективні параметри модульованих коливань є детермінованими, а інформативні – випадковими.
Властивості випадкових сигналів можуть описують за допомогою математичного апарату теорії імовірностей.
5. За формою - прості і складні.
Математичною моделлю простого сигналу є проста функція часу.
Приклади:
а) Гармонічний сигнал
б) Імпульс включення .
Увів аглійський фізик Олівер Хевісайд (1850-1925).
Функція включення
в) Одиничний імпульс
можна сформувати двома функціями включення.
Аналітичний вираз цього сигналу:
г) Дельта-імпульс , . δ-функцію ввів Дірак (нар.1902 р., англ. фізик).
Ці сигнали є математичною абстракцією і використовуються для аналізу складних реальних сигналів і систем. δ-функція Дірака і функція включення Хевісайда відносяться у математиці до так званих узагальнених функцій. Зокрема, треба розуміти у сенсі теорії узагальнених функцій.
Складні сигнали описуються функціями часу, які важко виразити аналітично у вигляді простої математичної формули. Більшість реальних сигналів – складні, наприклад, телефонний. Постає питання: як підібрати прийнятний математичний опис, який дозволив би описати все розмаїття реальних сигналів?
Математики знайшли таке рішення. Подібно до того, як різні споруди будють з цеглин, то сигнал можна зобразити у вигляді ряду деяких елементарних функцій, які називають базисними:
, (2.1)
де - коефіцієнти розкладу, що залежить від сигналу .
Приклад 2.1. Представити сигнал, зображений на рисунку 2.1 у вигляді ряду елементарних сигналів (складових).
Змінний з часом процес (динаміку) представляють ступінчатою функцією, що виникає через рівні проміжки часу, або послідовністю прямокутних імпульсів.
Для підвищення точності представлення зменшууть тривалість імпульсів (складових), що призводить до збільшення їх кількості. При однаковій кількості складових (членів ряду) імпульси з нахиленими вершинами точніше опишуть даний сигнал.
Вибір системи базових функцій залежить від сигналу і вирішуваної задачі. Слід керуватися таким правилом:
функції самі повинні бути простими;
забезпечувати простоту обчислення коефіцієнтів ;
давати хорошу збіжність ряду (2.1) до сигналу .
Рис.2.1. Динамічне представлення складного сигналу послідовністю елементарних складових сигналів
Іншими словами, вибір базисних функцій є тим кращий, чим менше потрібно складових ряду n для представлення сигналу із заданою похибкою:
.
6. За структурою розрізняють неперервні і дискретні (цифрові) сигнали.
Сигнали як функції часу змінюють свої значення в часі, причому подібні зміни можуть відбуватися як плавно, так і дискретно. У зв’язку з цим розрізняють 4 види сигналів: неперервний неперервного часу, неперервний дискретного часу, дискретний неперервного часу і дискретний дискретного часу.
Неперервні сигнали неперервного часу називають коротко аналоговим сигналами. Такі сигнали існують неперервно в часі і приймають будь-які значення із певного інтервалу. Недоліком аналогових сигналів є вразливість, оскільки небажана зміна параметрів сигналу під впливом завад чи спотворень тягне за собою похибку відтворюваного на прийомі повідомлення. Підвищені вимоги до точності відтворення повідомлень спонукають перейти до дискретних сигналів.
Дискретні сигнали – це сигнали, які приймають зліченну кількість значень або(і) станів. Дискретні сигнали можуть безпосередньо утворюватися на виході первинного перетворювача „повідомлення-сигнал” – природні дискретні сигнали або утворюватися в результаті дискретизації аналогових сигналів – штучні дискретні сигнали.
Слід розрізняти дискретизацію в часі і квантування за рівнем.
Неперервні сигнали дискретного часу можуть приймати довільні значення, але змінюються лише в певні, наперед задані (дискретні ) моменти часу t1, t2, t3,… (рис.2.2). Значення такого сигналу у моменти відліку (відлікові значення) такі ж як і у аналоговому сигналі. Найчастіше крок дискретизації вибирають сталим, але це не завжди.
Рис. 2.2. Приклад неперервного сигналу дискретного часу
Дискретні сигнали неперервного часу відрізняються від попередніх тим, що вони можуть змінюватися у довільні моменти часу, але їх значення приймають лише конкретні дискретні рівні з поміж зліченної множини дозволених станів (рис. 2.3). Дискретизацію сигналу за рівнем прийнято називати квантуванням.
Рис. 2.3. Приклад дискретного сигналу неперервного часу
Дискретний сигнал дискретного часу одержують, якщо здійснити одночасно дискретизацію в часі та квантування за рівнем.
Рис. 2.4. Приклад дискретного сигналу дискретного часу
Передавати за допомогою СПІ такі квантовані значення (відліки) сигналу Uкв(t), немає змісту через недостатню завадостійкість (М-арне кодування). На практиці до операцій дискретизації в часі та квантування за рівнем долучають ще й операцію натурального кодування. Для цього нумерують усі дозволені рівні і передають у дискретні моменти часу номер рівня у певній системі числення, а операцію встановлення відповідності між цифрами і значенням дискретних сигналів – первинним (натуральним кодуванням). Найчастіше використовують бінарні (двійкові) сигнали. Очевидно, що цифровий сигнал є різновидністю дискретних сигналів.
Рис. 2.5. Приклад цифрового сигналу
Параметр цифрового сигналу, зміна якого відображає зміну повідомлення, називається подаючим (інформаційним). На рис 2.6. подаючим параметром є амплітуда, а множина можливих значень подаючого параметру дорівнює двом (0 і 1). Найменша частина цифрового сигналу, яка відрізняється від решти частин значенням одного із своїх подаючих параметрів називається елементом цифрового сигналу. Фіксоване значення стану подаючого параметру сигналу називається значущою позицією. Момент зміни значущої позиції сигналу називають значущим моментом (ЗМ). Інтервал часу між двома ЗМ сигналу називають значущим інтервалом (ЗІ). Мінімальний інтервал часу , якому дорівнюють значущі інтервали часу сигналу називається одиничним інтервалом (ОІ). Елемент сигналу, що має довжину, рівну ОІ називають одиничним (ОЕ).
Рис.2.6. Опис цифрового сигналу
Термін одиничний елемент є одним із основних у техніці передавання даних. У телеграфії йому відповідає термін елементарна посилка.
Розрізняють ізохорні і анізохорні сигнали. Для ізохорного сигналу будь-який ЗІ часу дорівнює ОІ або їх цілому числу. Анізохорними називають сигнали, елементи яких можуть мати будь-яку тривалість (але не менше ). Іншою особливістю анізохорних сигналів є те, що вони можуть бути віддалені в часі один від одного на довільний інтервал.
7. Імпульсні сигнали. Розрізняють відеоімпульси і радіоімпульси . Тут перший множник є огинаюча, другий – заповнення радіоімпульсу. Імпульс характеризують параметри: висота (амплітуда), тривалість імпульса τi та тривалості його фронту τф і зрізу τз .
2.2. Параметри детермінованих сигналів у часовій області
Для оцінки і характеристики сигналів у часовій області використовують низку параметрів, найважливіші з яких подані в таблиці 2.1.
Таблиця 2.1
Параметр
Неперервний сигнал
Дискретний сигнал
Середнє значення
Відхилення від середнього значення
Енергія
Потужність періодичного сигналу
,
Т – період
,
N – період
Пік-фактор
(коефіцієнт амплітуди)
-
Шпаруватість
-
,
Т – період, - тривалість
2.3. Спектральний аналіз періодичних і неперіодичних
детермінованих сигналів
Відомо, що для математичного аналізу сигнал можна подати функцією часу s(t), яка визначає його миттєві значення, або функцією частоти Ś(ω), що визначає його спектральні складові.
Прикладами періодичних детермінованих сигналів є носії в незбуреному стані, синхроімпульси в СПІ циклічного режиму.
Прикладом неперіодичного детермінованого сигналу в СПІ може бути одиничний імпульс, всі параметри якого відомі, а невідомим є лише час появи.
Для чого потрібно знати спектр? Знаючи спектр можна правильно розрахувати параметри фільтрів та інших вузлів багатоканальних СПІ з частотним розділенням каналів. Спектр потрібно знати для здійснення неспотвореної передачі сигналу по КЗ (для узгодження сигналу з каналом), для забезпечення розділення сигналів.
Для періодичного сигналу функція часу s(t) є періодичною, тобто
де T- період сигналу; k=0, ±1, ±2,…,±(.
Із курсу математичної фізики відомо, що періодичний сигнал можна представити у вигляді суми гармонічних складових (ряду Фур’є).
Ряд Фур’є в комплексній показниковій формі має вигляд
Величина - кругова частота першої гармоніки, k - номер гармоніки пробігає всі значення на цілих чисел від -( до +( .
Коефіцієнти ряду є комплексними величинами і визначаються за формулою
Сукупність коефіцієнтів ряду складає спектр сигналу. Спектр амплітуд і спектр фаз однозначно визначають сигнал s(t) і показують яку участь бере гармонічна складова кожної частоти в складі результуючого коливання. Однак у більшості випадків обмежуються розглядом який визначає енергетичні властивості сигналу, а має відношення лише до форми сигналу.
Оскільки величини і -комплексно-спряжені (їх модулі рівні), то для зображення спектру амплітуд достатньо зображати лише додатню смугу частот k=0,1,2,…,+(.
Тому часто використовують запис ряду Фур’є
/
Коефіцієнти ряду визначаються так:
Зівставлення коефіцієнтів дає
Спектр періодичного сигналу має дискретний (гребінчатий) характер, оскільки амплітуди i відмінні від нуля лише при цілих значеннях k.
Рис. 2.7. Зіставлення коефіцієнтів комплексного і тригонометричного
ряду Фур’є
Для парних функцій . Для непарних .
Періодичні сигнали мають лінійчатий спектр - окремі лінії.
Приклади: Зобразимо спектр носіїв гармонічного коливання та послідовності прямокутних імпульсів.
У незбуреному стані гармонічний носій , а його спектр має вигляд
У незбуреному стані імпульсний носій ,
де T - період, τ - тривалість імпульса, - шпаруватість, A- амплітуда, тоді спектр амплітуд має вигляд .
Якщо зафіксувати тривалість імпульсу τ, і поступово збільшувати період T→(, то дискретний (гребінчатий) спектр періодичної функції поступово переходить у неперервний спектр одиничного імпульсу .
Отже, дискретного набору ортогональних функцій недостатньо, тому неперіодичний сигнал подається не рядом, а інтегралом Фур’є
i
Величину - називають спектральною густиною, а її модуль S(ω) - спектром.
Вкажемо деякі важливі моменти, для чого розглянемо косинусоїдальний і дзвоноподібний імпульси.
1. Імпульси, які мають чіткі межі - їх S(ω) має нулі, і навпаки.
2. Спектральна густина на нульовій частоті S(0) дорівнює площі імпульсу незалежно від форми імпульсів
3. Модуль спектральної густини одиничного імпульсу і огинаюча дискретного спектру періодичної послідовності, отриманої шляхом повторень заданого імпульсу через період Т збігаються по формі і відрізняються лише масштабним коефіцієнтом 2/Т.
.
Смуга пропускання реальних каналів зв’язку обмежена. Реальні сигнали в той же час мають нескінченний спектр (хоча б внаслідок фінітності). Саме тому для передачі сигналів відводиться лише певна смуга частот , у якій зосереджена основна енергія сигналу, наприклад 90% або 95%. Визначена таким чином величина називається практичною шириною спектру сигналу.
Якщо функція s(t) описує неперіодичний струм і(t) або напругу u(t), то повна енергія, що виділяється на резисторі R=1 Ом визначається виразом
З іншого боку за рівністю Парсеваля,
,
що пов’язує енергію сигналу з його спектральною густиною можна визначити частку енергії (Е в певній смузі частот, наприклад від 0 до
Рис. 2.7. Визначення практичної ширини спектру сигналу.
Оскільки енергія періодичного сигналу, який триває від -( до +(, нескінченно велика, то для визначення практичної ширини спектру слід розглядати середню потужність Р і її розподіл між гармоніками . Якщо періодичний сигнал s(t) описує струм і(t) або напругу, то середню потужність, що виділяється на резисторі R=1 Ом, можна визначити так
Подаючи функцію часу s(t) рядом Фур’є можна записати
,
- діюче значення ( - амплітуда гармоніки).
Частка потужності, що міститься в n гармоніках і займає смугу від 0 до , дорівнює .
2.4. Сигнали і завади як випадковий процес
Відмінність випадкових сигналів від детермінованих полягає в тому, що після спостереження їх на обмеженому проміжку часу неможливо передбачити їх майбутнє. Зокрема для випадкових сигналів неможливо підібрати аналітичний вираз, за яким можна було б розраховувати їх миттєві значення.
Відмінність випадкових сигналів від детермінованих полягає в тому, що після спостереження їх на обмеженому проміжку часу неможливо передбачити їх майбутнє. Зокрема для випадкових сигналів неможливо підібрати аналітичний вираз, за яким можна було б розраховувати їх миттєві значення.
Для опису випадкових явищ застосовується математичний апарат теорії ймовірностей, що дає змогу знайти такі характеристики, які були б не випадковими і дозволяли проводити математичні розрахунки випадкових явищ. Дослідження здійснюються статистичними методами, для яких характерна принципова відмова від визначення результатів кожного окремого досліду і перехід до розгляду масових дослідів, тобто дослідів повторюваних багато разів в одних і тих самих умовах. Характеристики одержані таким чином називаються статичними.
Всі випадкові явища можна поділити на три типи: випадкові події, випадкові величини і випадкові процеси. Кожен із типів випадкових явищ має свої особливості і характеристики і зустрічається в СПІ.
Випадкова подія – це факт, який в результаті досліду може відбутися або ні.
Наприклад, передача тексту без помилок, перевищення завадою заданого рівня, робота КЗ без пошкоджень не менше Т годин і т.д.
Числовими характеристиками є частота появи події А в серії дослідів
,
де - кількість дослідів в яких мала місце подія А, - кількість усіх дослідів, та ймовірність події А
Випадкова величина – величина, значення якої змінюється від досліду до досліду випадковим(непередбаченим) чином.
Наприклад, число помилок в тексті, рівень завади в каналі і т.д.
Випадкові величини бувають дискретні і неперервні. Дискретна випадкова величина може приймати лише злічену кількість значень x, x,…,xn, ; неперервна - безліч із деякого (як правило) скінченого інтервалу Хmin÷Xmax.
Для математичного опису випадкових величин вводять такі невипадкові статистичні характеристики:
1. Функція розподілу імовірності:
показує ймовірність того, що значення випадкової величини x не перевищить конкретно вибраного значення xp.
Якщо x – дискретна величина, то F(х) – дискретна функція. Якщо x – неперервна, то F(х) – функція, яка монотонно зростає від F(-()=0 до F(()=1.
2. Густина розподілу ймовірності р(х), яка є похідною від функції розподілу
р(х)=dF(х)/d(х).
Фізично p(x) – є ймовірність попадання випадкової величини в малий інтервал dx в околі точки xр.
Зв’язок між p(x) і F(x) визначається виразом
Дискретна величина х характеризується рядом розподілу дискретної випадкової величини – це таблиця, де перераховані можливі значення величини x1, x2, x3… xn і відповідні їм імовірності:
х
х
х
х
…
x
p
p
p
p
…
p
Тут , .
Графічне зображення ряду розподілу називають багатокутником розподілу.
Для кількісної оцінки випадкових величин використовують ряд числових характеристик, найважливішими серед яких є наступні.
1. Математичне сподівання – середнє значення випадкової величини обчислюється за формулами:
;
де xі – значення випадкової величини P(xі) – імовірності цих значень.
Центрована випадкова величина –це різниця між випадковою величиною х і його математичним сподіванням.
2. Дисперсія D(х) – кількісно характеризує середній квадрат відхилення ступені розкиду випадкової величини відносно середнього значення М(х). Визначається як математичне сподівання квадрата центрованої випадкової величини.
; .
Має розмірність потужності випадкової величини.
3. Середньоквадратичне відхилення
.
Має зміст і розмірність випадкової величини.
Випадковий процес Х(t) – це така функція часу t, значення якої при будь-якому фіксованому значенні аргументу t є випадковою величиною. Із даного визначення випливає, що якщо проводити спостереження за зміною в часі будь-якої величини Х, то це вже буде випадковий процес Х(t).
Наприклад, напруга шуму на виході ЛЗ, струм у мікрофоні під час розмови, якщо проводити спостереження за миттєвим значенням цих величин в часі.
Випадковий процес через те і називають випадковим, що окремі спостереження над ним, проведені в однакових умовах, дають щоразу різні функції хі(t) – різні екземпляри або реалізації випадкового процесу.
Сукупність усіх можливих реалізацій {хr(t)} даного випадкового процесу називають ансамбль .
Зовсім не обов’язково, щоб реалізації були складними функціями. Гармонічний сигнал, у якого хоч один із параметрів Um, (, ( - випадкова величина, також є випадковим процесом.
Для опису випадкового процесу, крім п’яти розглянутих характеристик F(х), р(х), M(х), D(х), σ(х) використовуються ще дві: функція кореляції спектральна густина потужності .
Функція кореляції характеризує ступінь взаємозв’язку між значеннями випадкового процесу в різні моменти t і (t+τ)
Для стаціонарних процесів моменти розподілу M(х) і D(х) не залежать від часу, а функція кореляції залежить лише від різниці t2-t1=τ, а не від самих t2 і t1. Отже, стаціонарні процеси протікають в часі однорідно, мають так би мовити один почерк. Реальні повідомлення, сигнали, завади не є стаціонарними. Але на протязі не тривалого часу з хорошим наближенням їх можна вважати стаціонарними. Тому стаціонарні процеси широко використовують як математична модель реальних повідомлень, сигналів, завад.
Стаціонарні процеси можуть бути ергодичними. Ергодичні випадкові процеси – такі, у яких усереднення по множині збігається з усередненням по часу
- означає усереднення в часі.
Грубо кажучи, ергодичність означає подібність реалізацій одна на одну.
Ергодичні процеси також використовують як математична модель реальних повідомлень, сигналів, завад.
Рис. 2.8. Графіки часових функцій, кореляційних функцій та енергетичного спектру для деяких сигналів:
1 - корельований сигнал; 2-зовсім некорельований сигнал; 3 - абсолютно корельований сигнал.
Знаючи функцію кореляції можна обчислити математичне сподівання і дисперсію (рис.2.9.)
Рис. 2.9. Визначення числових характеристик із функції кореляції
- початковий момент другого порядку (повна потужність випадкового процесу),
- перший початковий момент (математичне сподівання – потужність систематичної складової випадкового процесу).
- парна функція, де - час спостереження за реалізацією .
Усі розглянуті характеристики мають за мету описати часову функцію випадкового процесу .
Випадковий сигнал на відміну від детермінованого не можна охарактеризувати спектральною густиною S(ω), оскільки частотний спектр також є випадковою функцією. Тому як спектральна характеристика використовується функція - спектральна густина потужності випадкового процесу.
Спектральна густина потужності показує розподіл потужності випадкового процесу по частотах. Визначається на будь-якій частоті ω як границя відношення
,
де (P – потужність випадкового процесу, яка припадає на смугу частот (ω .
Наприклад, «білий шум» має широкий спектр .
Вінер і Хінчин (теорема 1934 р.) встановили, що спектральна густина потужності і функція кореляції зв’язані між собою інтегральними перетвореннями Фур’є:
, [B/Гц або А/Гц]
, [B або А ]
Оскільки для стаціонарного процесу автокореляційна функція парна (не має значення τ додатне чи від’ємне), то
Аналогічно
Особливістю перетворень Вінера і Хінчина є те, що в інтегралах фігурують не процеси, а їх кореляційні функції.
Фізичний зміст виясняється, якщо покласти τ = 0. Тоді
,
D(х) – дисперсія, як відомо, характеризує середню потужність центрованого випадкового процесу. Отже характеризує розподіл середньої потужності випадкового процесу по осі частот.
Аналогічно, при ω=0 одержимо:
Із наведених виразів випливає:
1.Середня потужність стаціонарного процесу дорівнює площі його енергетичного спектру.
2.Спектральна густина потужності при ω=0 дорівнює площі кореляційної функції, якщо брати τ від -( до +(, або подвоєній площі, якщо τ=0((.
Із курсу теорії інформації відомо, що інтервал кореляції визначають із виразу
як половину основи прямокутника, площа якого дорівнює площі під графіком .
Із двох останніх формул випливає .
Аналогічно, тобто заміною реального спектру рівновеликим прямокутником, вводиться поняття ефективної ширини спектру випадкового сигналу.
.
Для первинних сигналів - спектральна густина потужності по нульовій частоті. Для модульованих сигналів - спектральна густина потужності по частоті несучої.
Легко бачити, що і .
Між кореляційними функціями відео- і радіосигналів існує зв’язок
Отже, для визначення ефективної ширини спектру випадкового сигналу треба знайти його кореляційну функцію.
Для ергодичних випадкових процесів КФ знаходять усередненням по часу експериментально на основі вимірювання спеціальними приладами .
2.5. Числові характеристики сигналів і завад
Числові характеристики сигналів і завад широко застосовуються при розробці і експлуатації СПІ. За енергетичними характеристиками визначають потрібне перевищення сигналу над завадою. За шириною спектру сигналу встановлюєть смугу пропускання КЗ, необхідну для неспотвореної передачі. За тривалістю сигналу визначають необхідний час використання каналу.
Спочатку розглянемо способи оцінки тривалості і ширини спектру сигналу.
Тривалість сигналу – це інтервал часу його існування. Обчислюється як різниця між часом закінчення сигналу і часом його початку :
.
Ширина спектру – це інтервал частот, що займає спектр сигналу. Визначається як різниця між максимальною частотою спектру сигналу і мінімальною :
Обчислення тривалості і ширини спектру сигналу не викликає труднощів, якщо сигнал має чітко виражені початок і кінець, а спектр – граничні частоти. Але із перетворення Фур’є випливає, що якщо сигнал має кінцеву тривалість, то його спектр нескінченний. І навпаки. В таких випадках залежно від призначення сигналу, його форми, структури спектру використовують один із наступних способів визначення і .
1. Відлік на заданому рівні від максимального (Амплітудний спосіб). Часто тривалість імпульсного сигналу або ширину його спектру визначають на рівні 1/√2=0.707 від максимального значення відповідно s(t) або S(ω). Але можна вибрати для обчислень будь-який інший рівень, наприклад, 5% від максимального.
2. Енергетичний спосіб. За тривалість сигналу(ширину спектру) приймають такий інтервал часу (частот), в який попадає задана частина енергії сигнала, наприклад, 0.9 або 0.95.
3. Заміна реального сигналу (спектру) рівновеликим (за площею) прямокутником.
Таку процедуру ми демонстрували при визначенні ефективної ширини спектру випадкового сигналу і інтервалу кореляції.
Для неперервних сигналів ширину спектру визначають, як правило, дослідним шляхом.
Для імпульсних сигналів при визначенні ширини спектру можна скористатися таким важливим положенням теорії сигналів: якщо означає ширину спектру деякого сигналу тривалістю , то завжди має місце співвідношення:
,
де μ – стала величина порядка одиниці (μ ( 1) для відеоімпульсів і порядка двох (μ ( 2) для радіоімпульсів. Зміст цього співвідношення полягає у тому, що ширина спектру сигналу обернено пропорційна його тривалості.
Сигнали називають вузькосмуговими (простими), якщо μ1 , і широкосмуговими (складними), якщо μ >>1.
Динамічний діапазон . Миттєва потужність сигналів може приймати різні значення в дуже широких межах. Щоб охарактеризувати ці межі вводять поняття динамічного діапазону сигналу, який визначається виразом:
,
де і - максимальне і мінімальне значення миттєвої потужності сигналу. Під як правило розуміють значення, ймовірність перевищення якого достатньо мала (наприклад дорівнює 0,01). За мінімальну потужність , якщо її важко визначити, приймають потужність шуму, або допустиму середньоквадратичну похибку.
Як правило, співвідношення потужностей сигналів оцінюють в логарифмічних одиницях. Десятковий логарифм відношення двох потужностей має розмірність Бел (на честь винахідника телефону). Однак Бел – крупна одиниця, тому на практиці використовують децибел (десяту частину від Бела, порівняй дециметр із метром ):
, дБ.
Практично, легше вимірювати не потужність сигналу, а його напругу або струм, тому виражаючи потужність через струм або напругу
,
одержують .
Якщо опори і на яких вимірюються потужності однакові, то
.
Отже динамічний діапазон сигналу
.
Іноді використовують споріднену величину з так званий пік-фактор сигналу, або коефіцієнт амплітуди
,
де - середня потужність сигналу.
Розглянуті співвідношення дають відносну оцінку рівня сигналу. Для абсолютної оцінки задаються умовним незмінним рівнем
.
Домовилися брати =1 мВт, що виділяється на R=600 Ом. Історично 1 мВт – потужність мікрофона, а 600 Ом – модуль хвильового опору повітряної мідної лінії. Визначений так рівень сигналу називають децибел-міліват (дБм, dВт).
В якості узагальненої числової характеристики використовується об’єм сигналу
.
Аналогічна характеристика існує і для неперервного КЗ. Отже об’єм каналу
де - час використання каналу; - смуга пропускання каналу;
- динамічний діапазон каналу; - максимально допустимий рівень сигналу, який ще не призведе до перехресних завад; - мінімальний рівень, який визначається рівнем завад у КЗ.
Для білого шуму з рівномірною спектральною густиною
потужність пропорційна смузі каналу .
Зрозуміло, що якісна передача сигналу на КЗ можлива при виконанні умови
,
яка є необхідною, але не достатньою. Достатніми умовами узгодження сигналу каналу є:
.
Важливою характеристикою сигналів є також база .
Рівні сигналів. У процесі поширення по ЛЗ сигнал заникає. Для забезпечення нормальної роботи приймальної апаратури потрібно забезпечити певний рівень сигналу. Розрізняють відносний, абсолютний та вимірювальний рівні.
Дискретизація неперервних сигналів та їх відновлення.
Теорема Котельникова (т. дискретизації), відліки.
Передавання повідомлень здійснюють неперервними та дискретними сигналами. Неперервні (аналогові) сигнали є неперервними функціями часу, мають незліченну кількість (множину) значень.
Дискретне повідомлення має скінченну кількість значень (зліченну, зчисленну множину). Передавання та зберігання дискретних повідомлень математично відповідає передаванню та зберіганню скінченного набору символів, який можна звести до послідовності чисел.
Для передавання неперервних повідомлень без похибки потрібен канал зв’язку з нескінченою пропускною здатністю. Практично завжди повідомлення передають з обмеженими спектром частот та точністю, бо всі канали мають обмежену пропускну здатність.
Розглянемо сигнал з обмеженим (фінітним) спектром, тобто сигнал x(t) з інтегрованим квадратом, для якого перетворення Фур’є
(1)
(спектральна функція, спектральна густина, Фур’є-образ сигналу) задовольняє умові
, при |(|>(max
Вважається, що функція x(t) є кусково неперервною і має скінчену кількість екстремумів (задовольняє умовам Діріхлє).
Сигнал з фінітним спектром можна передати його значеннями в окремі моменти часу. Це у 1933 р. обгрунтував В.О.Котельников у виді теореми відліків: Сигнал, спектр якого не містить частот вищих fmax , можна повністю відновити за його відліками, взятими через інтервали часу (t = 1/(2fmax).
Розглянемо доведення тереми відліків. Сигнал можна представити інтегралом Фур’є
(2)
Спектральну функцію (1) з періодом 2(max можна розкласти у ряд Фур’є на інтервалі [-(max , (max]:
(3)
де коефіцієнти розкладу:
(4)
Зіставлення (4) і (2) при заміні t = -k (t, де (t= приводить до
(5)
Підставивши (5) у (3), одержуємо
(6)
Підстановка (6) у (2) дає:
або, після правомірних перетворень,
(7)
Після обчислення інтегралу отримуємо інтерполяційний ряд Котельникова:
; (8)
введений у практику вченими незалежно один від одного і його іноді називають ряд Котельникова-Найквіста-Шеннона.
Отже, неперервна ф-я x(t) з обмеженим спектром може бути точно представлена відліками x(kt) - вибірки функції, що взяті через рівні інтервали:
(9)
Функція відліків (інтерполяційна ф-я Шеннона)
(10)
має певні властивості: - сягає максимуму (одиниці) у моменти часу t=k (t ;
- дорівнює нулю в моменти часу t=(k+n) (t, де п - ціле часло;
- ортогональна на нескінченому інтервалі часу.
Рис.1. Функція відліку
Значення ряду (8) у моменти часу t = k (t визначаються лише k-тим членом ряду, тому що інші члени ряду в цей час обертаються в нуль.
Фізичний сенс перетворень полягає у тому, що кожен член ряду (8) є відгуком ідеального фільтра нижніх частот з граничною частотою зрізу fmax на дуже короткий імпульс, що виникає у момент часу t=k (t, і має площу, яка рівна миттєвому значенню функції x(t).
Таким чином неперервний сигнал зводять до сигналу у вигляді послі довності імпульсів. Для перетворення дискретного сигналу в неперервний на прийманні включають фільтр нижніх частот з частотою зрізу fmax .
Якщо сигнал x(t) з фінітним спектром існує протягом часу Т, за межами якого відліки = 0, то ряд (8) вироджується у скінчену суму, з числом членів N рівним кількості відліків на інтервалі:
N ( T/(t = 2FT. (11)
Для повного опису сигналу потрібно N = 2Тfmax незалежних відліків.
В=ТF - база сигналу (простір). N = 2В - розмірність простору сигналів, обмежених по тривалості і по частоті.
Є протиріччя: обмежені у часі сигнали мають нескінчений спектр ! Але реально основна енергія сигналу зосереджена у певній смузі частот, тому (відкидаючи вищі гармоніки) спектр обмежують з достатньою для практики точністю.
Квантування за рівнем м.б. з рівномірним кроком h=(xmax-xmin)/(q-1), де q - к-ть кроків квантування. Похибка квантування - половина кроку.
Синтез сигналу за його відліками.
Важливою особливістю теореми відліків є її конструктивізм:
- вказує можливість розкладу сигналу у певний ряд,
- визначає спосіб відновлення неперервного сигналу, заданого відліками.
Нехай сукупність генераторів створюють відлікові функції .
Генератори керовані так, що амплітуди їх сигналів пропорційні відліковим значенням хк=x(kt). Об’єднуючи коливання на суматорі, отримуємо синтезований сигнал x(t).
Рис. 2. Синтез сигналу, представленого рядом Котельникова.
а) можливе б) неможливе
Рис. 3. Однозначне відновлення дискретизованого сигналу.
Адаптивну дискретизацію застосовують за відсутності апріорної інформації про кореляційну функцію Вх(τ) або спектральну густину потужності Fx(ω) неперервного повідомлення x(t) на інтервалі часу [0, Тс].
На інтервалі часу, де сигнал (функція) змінюється у великих межах, відліки беруть частіше, а на інтервалах повільної зміни рідше. Намагаються робити найменшу кількість відліків, що дозволяють відновити неперервне повідомлення на приймальній стороні з заданою точністю; такі відліки називають суттєвими.
Найпростіший алгорим формування суттєвих відліків: Нехай останнній суттєвий відлік був у момент ti . Для формування наступного відліку зіставляють поточне значення функції x(t) з x(ti).
Момент ti+1 , при якому
,
відповідає черговому суттєвому відліку.
Для відновлення неперервного сигналу на
30.06.2013 13:06-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора