МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” Кафедра САПР
ЗВІТ про виконання лабораторної роботи №5 на тему: “ Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів ” з предмету: “ Математичне моделювання в САПР ” Мета роботи: ознайомитися з методом скінченних елементів у формі Гальоркіна, способом побудови слабкої варіаційної форми та отримати практичні навики застосування методу до розв’язання одновимірних крайових задач на прикладі задачі Штурма-Ліувілля для звичайного диференціального рівняння другого порядку. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ З математичної точки зору метод скінченних елементів (МСЕ) можна розглядати як процес Гальоркіна з спеціальним вибором базисних функцій, кожна з яких має так званий скінченний носій, тобто відмінна від нуля тільки в деякій невеликій підобласті всієї області визначення
вихідної задачі. В свою чергу, метод Гальоркіна можна трактувати як частковий випадок методу зважених нев’язок, в якому базисні та вагові функції співпадають. МЕТОД ГАЛЬОРКІНА На практиці можуть використовуватися різні системи вагових функцій
, що породжує різні методи на основі зважених нев’язок. У методі Гальоркіна, який є найбільш популярним варіантом методу зважених нев’язок, за вагові функції
вибираються самі базисні функції
, тобто
. Для граничних умов певного типу, належно вибираючи базисну функцію
можна добитися взаємного скорочення інтегралів вздовж границі, що містять
та її похідні. Ці граничні умови називаються природніми, а отримане в результаті такого перетворення рівняння називається слабким формулюванням методу Гальоркіна або слабкою формою рівняння Гальоркіна. Інша перевага слабкої форми полягає в тому, що на базисні функції
накладаються слабші умови гладкості. Очевидно, що в методі Гальоркіна ключовою проблемою є проблема вибору системи базисних функцій. МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ В основі МСЕ лежать дві фундаментальні ідеї: вихідна область
розбивається на ряд підобластей або елементів
, що не перетинаються; Базисні функції, що використовуються в процесі побудови апроксимації
розв’язку
крайової задачі (1)-(2) є кусково визначеними, тобто вони відмінні від нуля тільки на деяких елементах
(про такі функції кажуть, що вони мають скінченний або фінітний носій, а самі функції так і називаються фінітні). Причому для різних елементів
можуть використовуватися різні вирази для базисних функцій. Можна виділити такі етапи розв’язання крайових задач за допомогою МСЕ: дискретизація області
визначення задачі, яка включає задання кількості, розмірів та геометричної форми СЕ; побудова апроксимації невідомого розв’язку шляхом розкладу за базисними функціями та отримання слабкої форми системи рівнянь Гальоркіна; побудова фінітних базисних функцій у вигляді кусково визначених поліномів певного порядку, який визначається потрібними умовами гладкості розв’язку; підстановка базисних функцій у слабку форму і отримання результуючої СЛАР шляхом побудови локальних матриць на кожному елементі та їх асемблювання у глобальні матриці СЛАР; врахування граничних умов; розв’язання СЛАР та оцінка точності отриманого наближеного розв’язку. ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ Ознайомитися з основними поняттями та етапами розв’язання крайових задач методом скінченних елементів. Знайти розв’язок крайової задачі
,

,
. Індивідуальні завдання наведені в Додатку. Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки. Побудувати графіки функцій отриманого наближеного розв’язку та заданого точного розв’язку крайової задачі. Оформити і здати звіт про виконання лабораторної роботи. ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ (варіант 12) № з/п 







 12 



-2 2 -1 1   Вміст документу MATHCAD









Результати виконання

Рис. 1. Результати обчислень Аналіз результатів та висновки Виконав[ім’я автора приховано] середовищі MathCad, використовуючи функції розв’язку задач такого роду. Я дослідив збіжність розв’язку при згущенні сітки. Проаналізувавши результати виконання можна зробити наступні висновки: функції MathCad дозволяють вирішити за невеликий проміжок часу крайові задачі, що є досить корисним і ефективнішим.