Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів. Звіт про виконання лабораторної роботи з Математичне моделювання в САПР. Робота № 524813

Перехід до торгівельного партнера Binance

Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

КН

Кафедра:

Кафедра САПР

Інформація про роботу

Рік:

2013

Тип роботи:

Звіт про виконання лабораторної роботи

Предмет:

Математичне моделювання в САПР

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” Кафедра САПР ЗВІТ про виконання лабораторної роботи №5 на тему: “ Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів ” з предмету: “ Математичне моделювання в САПР ” Мета роботи: ознайомитися з методом скінченних елементів у формі Гальоркіна, способом побудови слабкої варіаційної форми та отримати практичні навики застосування методу до розв’язання одновимірних крайових задач на прикладі задачі Штурма-Ліувілля для звичайного диференціального рівняння другого порядку. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ З математичної точки зору метод скінченних елементів (МСЕ) можна розглядати як процес Гальоркіна з спеціальним вибором базисних функцій, кожна з яких має так званий скінченний носій, тобто відмінна від нуля тільки в деякій невеликій підобласті всієї області визначення вихідної задачі. В свою чергу, метод Гальоркіна можна трактувати як частковий випадок методу зважених нев’язок, в якому базисні та вагові функції співпадають. МЕТОД ГАЛЬОРКІНА На практиці можуть використовуватися різні системи вагових функцій , що породжує різні методи на основі зважених нев’язок. У методі Гальоркіна, який є найбільш популярним варіантом методу зважених нев’язок, за вагові функції вибираються самі базисні функції , тобто . Для граничних умов певного типу, належно вибираючи базисну функцію можна добитися взаємного скорочення інтегралів вздовж границі, що містять та її похідні. Ці граничні умови називаються природніми, а отримане в результаті такого перетворення рівняння називається слабким формулюванням методу Гальоркіна або слабкою формою рівняння Гальоркіна. Інша перевага слабкої форми полягає в тому, що на базисні функції накладаються слабші умови гладкості. Очевидно, що в методі Гальоркіна ключовою проблемою є проблема вибору системи базисних функцій. МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ В основі МСЕ лежать дві фундаментальні ідеї: вихідна область розбивається на ряд підобластей або елементів , що не перетинаються; Базисні функції, що використовуються в процесі побудови апроксимації розв’язку крайової задачі (1)-(2) є кусково визначеними, тобто вони відмінні від нуля тільки на деяких елементах (про такі функції кажуть, що вони мають скінченний або фінітний носій, а самі функції так і називаються фінітні). Причому для різних елементів можуть використовуватися різні вирази для базисних функцій. Можна виділити такі етапи розв’язання крайових задач за допомогою МСЕ: дискретизація області визначення задачі, яка включає задання кількості, розмірів та геометричної форми СЕ; побудова апроксимації невідомого розв’язку шляхом розкладу за базисними функціями та отримання слабкої форми системи рівнянь Гальоркіна; побудова фінітних базисних функцій у вигляді кусково визначених поліномів певного порядку, який визначається потрібними умовами гладкості розв’язку; підстановка базисних функцій у слабку форму і отримання результуючої СЛАР шляхом побудови локальних матриць на кожному елементі та їх асемблювання у глобальні матриці СЛАР; врахування граничних умов; розв’язання СЛАР та оцінка точності отриманого наближеного розв’язку. ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ Ознайомитися з основними поняттями та етапами розв’язання крайових задач методом скінченних елементів. Знайти розв’язок крайової задачі , , . Індивідуальні завдання наведені в Додатку. Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки. Побудувати графіки функцій отриманого наближеного розв’язку та заданого точного розв’язку крайової задачі. Оформити і здати звіт про виконання лабораторної роботи. ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ (варіант 12) № з/п 12 -2 2 -1 1 Вміст документу MATHCAD Результати виконання Рис. 1. Результати обчислень Аналіз результатів та висновки Виконавши дану лабораторну роботу, я ознайомився із крайовими задачами, а також їх різновидами. Також я розглянув основні формули цих задач. При розв’язку завдання, я написав ряд команд в середовищі MathCad, використовуючи функції розв’язку задач такого роду. Я дослідив збіжність розв’язку при згущенні сітки. Проаналізувавши результати виконання можна зробити наступні висновки: функції MathCad дозволяють вирішити за невеликий проміжок часу крайові задачі, що є досить корисним і ефективнішим.

Звіт про виконання лабораторної роботи Математичне моделювання в САПР

maikl2011

04.09.2013 10:09-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись