Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Облік і аудит
Факультет:
Фінанси і кредит
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2012
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Економіка підприємства
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторних робіт з курсу
“Економіко-математичні методи і моделі”, частина 1 (економетрика)
для студентів базових напрямів 6.030503 «Міжнародна економіка», 6.030504 «Економіка підприємств», 6.030507 «Маркетинг», 6.030508 «Фінанси і кредит», 6.030509 «Облік і аудит»
стаціонарної форми навчання
Затверджено
на засіданні кафедри
маркетингу і логістики
Протокол № 1 від 22.08.2011 р.
Львів – 2012
Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу “Економіко-математичні методи і моделі ”, частина 1 (економетрика) для студентів базових напрямів 6.030503 «Міжнародна економіка», 6.030504 «Економіка підприємств», 6.030507 «Маркетинг», 6.030508 «Фінанси і кредит», 6.030509 «Облік і аудит» / Укл.: Мних О.Б., Гірна О.Б., Кузьо Н.Є., Леонова С.В., Рикованова І.С. – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2012. – 32 с.
Укладачі: Мних О.Б., д.е.н., проф.
Гірна О.Б., к.е.н., доц.
Кузьо Н.Є., ст. викл.
Леонова С.В., ас.
Рикованова І.С., ас.
Відповідальний за випуск: Крикавський Є.В., д.е.н., проф.
Рецензенти: Гринів Н.Т., к.е.н., доц.
Косар Н.С., к.е.н., доц.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1
ПОБУДОВА МОДЕЛІ МІЖГАЛУЗЕВОГО БАЛАНСУ
І. Загальні положення
Кожна економіка розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв’язків. Зрозуміти вплив однієї галузі на іншу шляхом простого сумування неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але й здійснює непрямий вплив і на металургію - виробника сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, які пов’язані з виробництвом шин і інших комплектуючих, а також і на галузі, які виробляють радіоприймачі, кондиціонери тощо. Способи аналізу, які розроблені для вирішення проблем взаємних зв’язків, необхідні для формування економічних планів, які послідовно пов’язували б змінні макрорівня з змінними мікрорівня. Метод міжгалузевого аналізу, який ще називають аналізом витрати-випуск, що розробив економіст В.В. Леонтьєв, дозволяє дати послідовні і чисельно визначені відповіді на питання, пов’язані з міжгалузевими взаємодіями і їх впливом на основні макроекономічні показники.
IІ. Теоретичні відомості
В економіці зв’язок між цілями і засобами встановлено таким чином
,
де засіб (ціль нижчого рівня) є незалежною змінною, мета (ціль вищого рівня) - залежною. В міжгалузевому аналізі прийнято обернене відношення:
.
З точки зору математики міжгалузевий аналіз базується на використанні статистичних таблиць, які називаються “міжгалузевими”, що відтворюють динаміку економіки протягом року і свідчать про зв’язок між галузями.
Припустимо, що весь суспільний продукт в певний період часу виробляється n галузями. Позначимо - обсяг випуску продукції і-ої галузі; - обсяг продукції і-ої галузі, що використовується в j-ій (міжгалузеві поставки); - обсяг продукції і-тої галузі, що не йде у виробництво, а йде на споживання. Ця величина складає кінцевий продукт і-ої галузі. Таблиця міжгалузевого балансу матиме вигляд табл. 1.1.
В табл. 1.1 в кожній стрічці подано розподіл кожного виду продукції. Кожна стрічка характеризується балансом виду:
Випуск даного виду продукції = Проміжний попит + Кінцевий попит
Таблиця 1.1
Таблиця міжгалузевого балансу
Сектори пропозиції
(галузі-продавці)
Обсяг
випуску
Сектори попиту (галузі-покупці)
Кінцевий попит
1
2
…
j
…
n
1
…
…
2
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
і
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
n
…
…
Додана вартість
(чистий продукт)
…
…
Обсяг випуску
…
…
Математично:
(1.1)
Проміжний попит - це частина загального попиту, що використовується іншими галузями для своїх потреб. Кінцевий попит - частина попиту, який представляє собою закупки кінцевих продуктів - споживчих чи інвестиційних.
Стовпці таблиці показують структуру витрат або структуру використовуваних ресурсів, які необхідні для кожної галузі. Для стовпців теж встановлюється баланс:
Витрати галузі = Проміжні витрати + Додана вартість
Математично:
(1.2)
Проміжні витрати представляють собою вихідні матеріали, які закупила галузь у секторів 1,2,3 і т.д. Додана вартість - це факторні витрати галузі, тобто новостворена вартість, яка поділяється на дохід тих, хто працює по найму (заробітну плату), амортизаційні відрахування і підприємницький дохід (прибуток).
Для стрічок і стовпців таблиці міжгалузевого балансу мають місце тотожності:
(1.3)
Таблиця міжгалузевого балансу дозволяє вивчати структуру потоків ресурсів, однак для розуміння функціонування економіки, необхідно побудувати таблиці коефіцієнтів прямих витрат і коефіцієнтів повних витрат.
Коефіцієнти прямих витрат () - це кількість продукції і-ої галузі, яка необхідна для виготовлення одиниці продукції j-тої галузі.
Очевидно, що
(1.4)
Підставивши в (1.1) , отримуємо
(1.5)
Або у вигляді системи рівнянь
(1.6)
В векторному виді це рівняння набуде такого вигляду
. (1.7)
Таким чином отримали модель міжгалузевого балансу Леонтьєва.
Отже, можна поставити центральне питання міжгалузевого балансу - як зміниться обсяг випуску галузі , якщо при фіксованому значенні коефіцієнта прямих витрат аij значення зміниться на , тобто для кожної галузі допускається існування виробничої функції з незмінним ефектом масштабу (витрати прямо пропорційні випуску) і з відсутністю взаємозаміни ресурсів (співвідношення затрат ресурсів фіксоване і не залежить від рівня випуску). Щоб відповісти на поставлене питання, необхідно знайти значення х1, х2, …….хn системи лінійних рівнянь
. (1.8)
В векторному виді це рівняння набуде такого вигляду
. (1.9)
Матриця коефіцієнтів прямих витрат А - невід’ємна квадратична матриця. Можна стверджувати, що для довільного додатного вектора кінцевого попиту F дане векторне рівняння має додатній розв’язок, який визначається так:
, (1.10)
де Е - одинична матриця розмірності n. Матриця В = (Е - А)-1 називається оберненою матрицею Леонтьєва або мультиплікатором Леонтьєва. Обернена матриця Леонтьєва В - це матриця коефіцієнтів повних витрат. Економічний сенс полягає в твердженні: елементи матриці В bij показують потребу в валовому випуску продукції галузі і для виробництва одиниці кінцевої продукції галузі j. Значення bij складаються із коефіцієнтів прямих і непрямих витрат та їх можна визначити за формулою
(1.11)
Непрямі витрати – це витрати продукції і-ої галузі в усіх галузях, що поставляють свою продукцію в j-ту галузь. Таким чином, В - це мультиплікатор, який показує ефект розповсюдження попиту, початковим джерелом якого є попит на кінцеву продукцію.
ІІІ. Завдання
За даними табл. 1.2 необхідно визначити:
Таблиця 1.2
Вихідні дані
Сектори пропозиції
(галузі-продавці)
Сектори попиту (галузі-покупці)
Кінцевий попит
1
2
3
4
1
0,07
0,17
0,01∙р
0,06
230+р
2
0,26
0,06
0,011
0,15
315
3
0,14
0,01∙р
0,08
0,16
119+р
4
0,21
0,07
0,16
0,12
100+р
р – номер варіанту, який відповідає порядковому номеру в академічній групі.
валовий обсяг випуску кожної галузі;
міжгалузеві поставки;
обсяг чистого продукту кожної галузі;
коефіцієнти повних витрат
Як зміниться обсяг випуску продукції галузей , якщо при фіксованих коефіцієнтах прямих витрат значення зміниться на 8% ( - для студентів 1-ї групи потоку, - для студентів 2-ї групи тощо). Результати розрахунків подати у таблиці міжгалузевого балансу.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2
ПОБУДОВА ЛІНІЙНОЇ ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ЇЇ АДЕКВАТНОСТІ
І. Загальні положення
Розвиток та широке застосування обчислювальної техніки сприяє виявленню закономірностей, зв'язку та динаміки реальних соціально-економічних явищ в економічному просторі. Економіко-математичні моделі, побудовані на основі статистичних рядів, мають не тільки пізнавальну, а й практичну цінність у прогнозуванні, плануванні, управлінні тощо.
ІІ. Теоретичні відомості
Зв'язок між різними явищами в економіці складний і різноманітний. На показник можуть впливати багато факторів, рівень впливу яких різний. Ці закономірності необхідно враховувати під час планування, прогнозування і проведення економічного аналізу.
Серед парних регресій найбільш поширеною і простою в практиці моделювання є парна лінійна регресія.
Парні лінійні регресійні моделі встановлюють лінійну залежність між двома змінними. При цьому одна із змінних вважається залежною змінною (у) та розглядається як функція від незалежної змінної (х). У загальному вигляді проста лінійна регресійна модель записується наступним чином
(2.1)
де u – випадкові відхилення (залишки).
Для того, щоб мати явний вигляд залежності (2.1), необхідно знайти (оцінити) невідомі параметри .
(2.2)
Для побудови економетричної моделі використаємо метод найменших квадратів (МНК). МНК полягає у наступному: теоретична лінія повинна перебувати на оптимальній віддалі від фактичних значень. Математично
. (2.3)
де - параметри прямої.
Необхідною умовою існування мінімуму є рівність нулю часткових похідних функціоналу Q по
. (2.4)
Розкриємо дужки і отримаємо систему нормальних рівнянь
. (2.5)
Невироджена система нормальних рівнянь має єдиний розв'язок, який можна знайти також за формулою
, (2.6)
де - вектор параметрів моделі;
- матриця статистичних даних факторної ознаки;
- вектор статистичних даних результуючої ознаки.
Щільність зв'язку між факторною і результативною ознаками можна знайти за допомогою коефіцієнта кореляції
(2.7)
та коефіцієнта детермінації
, (2.8)
де - середнє значення відповідно ;
- фактичні значення і-го спостереження;
- теоретичні значення і-го спостереження.
Якщо , то щільність зв'язку велика, коли - зв'язок відсутній. Якщо , то можна зробити висновки, що зв'язок щільний.
Відповідь на питання про адекватність побудованої моделі може дати критерій Фішера (F-критерій).
Для цього розраховується величина F
(2.9)
де - ступені вільності;
m – кількість незалежних змінних;
n - кількість спостережень.
За статистичними таблицями F-розподілу з ступенями вільності k1 та k2 при заданому рівні ймовірності знаходимо значення . Якщо , то побудована регресійна модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності. В протилежному випадку необхідно визначитися:
чи достатня статистична база;
чи вірно обрана модель для опису економічного процесу
та провести коректування моделі.
Якщо встановлено, що із заданою ймовірністю економетрична модель адекватна спостережувальним даним і соціально-економічні умови за період прогнозування змінюються за закономірностями, що мають місце і в базовому періоді, то точкова оцінка прогнозу знаходиться за формулою
. (2.10)
Важливо також знайти інтервали довіри. Інтервали довіри – це інтервали, у які з певною заданою ймовірністю потрапляє дійсне значення залежної змінної. Такий інтервал довіри для прогнозного значення знаходимо за формулою
, (2.11)
де
. (2.12)
(2.13)
Для оцінки еластичності результуючої ознаки при будь-якому значенні факторної ознаки використовується коефіцієнт еластичності
(2.14)
Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на 1%.
ІІІ. Завдання
За даними табл. 2.1 з ймовірністю 0,95 необхідно:
Таблиця 2.1
Статистичні дані
№
спостереження
Доходи підприємства, млн. грн. (у)
Витрати на оплату праці,
млн. грн. (х)
10,89
2,17+0,01·р
11,92
2,90
12,45+0,01·р
3,29
11,27
4,13
14,12
5,25+0,01·р
15,23
4,92
16,07+0,01·р
5,79
17,40
5,87
18,61
6,99+0,01·р
18,94
6,24
17,55
6,87
19,44+0,01·р
7,11
20,14
7,52+0,01·р
21,69
7,24
20,78+0,01·р
7,86
-
8,12+0,01·р
побудувати однофакторну модель виду ;
перевірити істотність зв'язку між факторами за допомогою коефіцієнта кореляції і коефіцієнта детермінації;
оцінити надійність моделі за допомогою критерію Фішера;
знайти прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу;
визначити коефіцієнт еластичності в точці прогнозу;
навести графічну інтерпретацію моделі.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №3
ВИРОБНИЧА РЕГРЕСІЯ
І. Загальні положення
Явище, яке залежить від багатьох факторів, можна описати за допомогою множинної регресії. Дослідивши взаємозв'язок процесів у минулому і отримавши функціональний зв'язок між ними, можна з деякою вірогідністю планувати майбутнє.
ІІ. Теоретичні відомості
У загальному вигляді виробнича регресія може бути записана:
(3.1)
У сфері виробництва при аналізі кількісного співвідношення показника і факторів у ролі показника можуть виступати обсяг виробленої продукції, прибуток, товарообіг, рентабельність, собівартість одиниці продукції тощо. Факторами цих показників можуть бути робоча сила, основні засоби або капітал, земля, продуктивність суспільної праці, рівень розвитку науки, техніки тощо.
У більш вузькому сенсі під виробничою регресією розуміють залежність між обсягом виробництва і величиною різних виробничих ресурсів. Обсяг виробленої продукції залежить від двох факторів: чисельності робочої сили та основних засобів (капіталу) даної галузі :
(3.2)
Будемо вважати, що виробнича регресія неперервна і двічі диференційована. Для з'ясування форми регресійного зв'язку введемо гіпотези:
1) якщо збільшується один з факторів або при незмінному значенні іншого, то випуск продукції збільшується. Зміна обсягу виробленої продукції за рахунок зміни одного з факторів , математично виражається як частинна похідна по цьому фактору:
; (3.3)
2) приріст виробленого продукту збільшується повільніше, ніж приріст витрат кожного із факторів (приріст одного із факторів на одиницю викликає збільшення випуску продукції менше, ніж на одиницю);
3) Виробнича функція є однорідною функцією відносно факторів , з показником однорідності а. Це означає, що при односторонньому збільшенні значень факторів у разів (), обсяг виробленої продукції збільшиться у разів:
(3.4)
Згідно з теоремою Ейлера для виробничої регресії є справедливою тотожність:
; (3.5)
4) на лінії постійного випуску еластичність праці та основних засобів є сталою додатною величиною.
На основі цих гіпотез отримано виробничу регресію Кобба-Дугласа
, (3.6)
де y – обсяг випуску продукції; - чисельність робочої сили; - основний капітал.
Для оцінки параметрів лінії регресії прологарифмуємо рівняння і виконаємо заміну величин:
. (3.7)
Заміна . Отримаємо
. (3.8)
Використовуючи метод найменших квадратів, отримаємо систему нормальних рівнянь
, (3.9)
розв'язки якої можна знайти за формулою
, (3.10)
де - вектор параметрів моделі;
- матриця статистичних даних факторної ознаки;
- вектор статистичних даних результуючої ознаки.
Під час економетричних досліджень отримано, що для деяких виробництв для параметрів і виконується
. (3.11)
Адекватність моделі статистичним даним генеральної сукупності можна перевірити за допомогою критерію Фішера
(3.12)
де k1, k2 – ступені вільності,
Якщо математична модель адекватна експериментальним даним, то її можна застосовувати для аналізу господарської діяльності підприємства.
Важливе значення для аналізу мають частинні коефіцієнти еластичності. Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при незмінних значеннях інших факторів.
Частинний коефіцієнт еластичності для фактора обчислюється за формулою
(3.13)
Для виробничої регресії Кобба-Дугласа отримаємо
. (3.14)
Тобто, параметр є частинним коефіцієнтом еластичності y при зміні фактора виробничої регресії і показує, що показник у змінюється на відсотків, якщо фактор змінюється на 1% при незмінних значеннях фактора . Оскільки коефіцієнт еластичності додатній, то збільшення фактора викликає збільшення показника. Аналогічно отримаємо для .
Важливе значення також має сумарний коефіцієнт еластичності. Припустимо, що у деякий момент часу фактори і показник мали значення . Після збільшення факторів у разів отримаємо
. (3.15)
У даному випадку показник однорідності . Цей показник називають загальним (сумарним) коефіцієнтом еластичності. На основі отриманих формул можна зробити висновки:
1) якщо а=1, то при збільшенні факторів в разів обсяг виробництва зміниться в стільки ж разів;
2) якщо а>1, то збільшення факторів в разів викличе збільшення обсягу в разів. В даному випадку маємо економію ресурсів на масштабах виробництва;
3) якщо а<1, то збільшення факторів в разів викличе збільшення обсягу виробництва в разів. В цьому випадку зростають витрати на одиницю продукції.
Геометрично виробничу регресію можна зобразити як поверхню в тривимірному просторі з координатами . Для виробничої регресії геометричне місце точок (різні комбінації факторів), для яких показник обсягу виробництва продукції залишається сталим, називається ізоквантою. Щоб побудувати ізокванту, необхідно виразити один з факторів через інший фактор і стале значення показника регресії ():
. (3.16)
Позначимо сталу , то отримаємо
. (3.17)
Графічно
Рис. 3.1. Ізокванти виробничої функції
Точкову оцінку прогнозу знайдемо за формулою
. (3.18)
Інтервал довіри знаходять спочатку для лінійної регресії, а потім шляхом потенціювання – для нелінійної регресії
, (3.19)
, (3.20)
, (3.21)
де t – значення t-критерію при ймовірності р і n-m-1 ступенях вільності;
- середньоквадратичне відхилення залишків;
- вектор прогнозних значень.
ІІІ. Завдання
За даними табл. 3.1 з ймовірністю 0,95, використовуючи метод найменших квадратів, необхідно:
Таблиця 3.1
Статистичні дані
Працезатрати (x1),
у.г.о.
Основні засоби (x2),
у.г.о.
Обсяг виготовленої продукції (y), у.г.о.
30.1
50.1+ 0.1∙p
78.2
30.6+ 0.1∙p
53.5
82.5
33.7
53.1
83.8+ 0.1∙p
35.1+ 0.1∙p
56.5
86.7
36.4
54.1
87.0
39.4
58.2
92.8
41.8
55.1
91.5+ 0.1∙p
40.3+ 0.1∙p
57.2
95.3
44.2
56.1
94.7
46.0
55.1+ 0.1∙p
92.7+ 0.1∙p
47.8
57.1
99.5
49.5
58.7
102.9
49.7
58.1
102.6
49.9+ 0.1∙p
58.1
-
оцінити параметри виробничої регресії Кобба-Дугласа, що має вигляд
;
оцінити адекватність побудованої моделі статистичним даним генеральної сукупності за допомогою критерію Фішера;
визначити частинні коефіцієнти еластичності та сумарний коефіцієнт еластичності;
визначити прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу;
побудувати ізокванти при у=у3 та у=у10.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №4
ПОБУДОВА ЛІНІЙНОЇ БАГАТОФАКТОРНОЇ МОДЕЛІ ТА
ДОСЛІДЖЕННЯ ЇЇ АДЕКВАТНОСТІ
І. Загальні положення
Економічні явища змінюються під впливом багатьох факторів, які треба вміти виявити та оцінити. Наприклад, на обсяги збуту впливає якість продукції, ціна, імідж торгової марки, витрати на рекламу, доходи населення тощо. Багатофакторний регресійний аналіз допомагає знайти явний вигляд такої залежності та кількісно оцінити вплив різних факторів на досліджуваний процес.
ІІ. Теоретичні відомості
При побудові регресійного рівняння, де результуючий показник залежить від багатьох факторних ознак, слід включати в регресію всі фактори, які мають суттєвий вплив на показник y, а з другого боку необхідно визначати, чи виконується умова лінійної незалежності між факторами x1, x2,......,xn. Якщо між факторними ознаками існує лінійна залежність Хі=aХj, то говорять про те, що між цими факторами існує мультиколінеарність.
Мультиколінеарність означає існування тісної лінійної залежності або сильної кореляції між двома або більше пояснювальними змінними. Вона негативно впливає на кількісні характеристики економетричної моделі або робить її побудову взагалі неможливою.
Так як застосування методу найменших квадратів для оцінки параметрів регресійної залежності можливе лише при відсутності лінійної залежності між факторними величинами, то необхідно позбавитись цього явища. Це пов'язано з тим, що якщо має місце явище мультиколінеарності, тобто умова det[[X]T[Х]] ( 0 не виконується, неможливо отримати надійні оцінки параметрів МНК, тобто незначні зміни вибіркових даних приводять до значних змін оцінки параметрів.
В економетричних задачах для дослідження наявності мультиколінеарності використовується метод Фаррара-Глобера.
Метод Фаррара-Глобера. Для дослідження загальної мультиколінеарності і мультиколінеарності між окремими факторами використовується кореляційна матриця R і обернена до неї матриця Z.
, , (4.1)
де - коефіцієнт кореляції, Rij – алгебраїчні доповнення до відповідних елементів матриці R.
Для дослідження загальної мультиколінеарності використовується (2. Для цього знаходимо визначник кореляційної матриці R і розраховуємо значення
, (4.2)
де n – кількість вибіркових значень, m – порядок кореляційної матриці, що розглядається (кількість незалежних змінних), det R – визначник матриці R.
За заданою ймовірністю р і числом ступенів вільності знаходимо табличне значення . Якщо , то із прийнятою надійністю можна вважати, що загальна мультиколінеарність відсутня. Якщо , то із прийнятою надійністю можна вважати, що між факторами існує мультиколінеарність. Для з’ясування питання, між якими факторами існує мультиколінеарність, використовується F– або t–статистика.
Обчислення F-критеріїв
, (4.3)
де - діагональні елементи Z.
Фактичні значення критеріїв порівнюють з табличними при n-m-1 і m ступенях вільності і заданому рівні значущості . Якщо , то відповідна j-та незалежна змінна мультиколінеарна з іншими.
Для знаходження t–статистики між двома факторами спочатку знаходимо матрицю обернену до кореляційної, потім частинні коефіцієнти кореляції
, (4.4)
де - елементи матриці Z.
Частинні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв'язку між двома змінними за умови, що інші змінні не впливають на цей зв'язок. Для цих частинних коефіцієнтів знаходиться t – статистика
. (4.5)
Для заданої довірчої ймовірності р і ступенів вільності k=n-m-1 знаходиться критичне значення критерію Стьюдента . Якщо , то з надійністю р можна стверджувати, що між факторами хі і xj існує мультиколінеарність.
Для усунення мультиколінеарності потрібно замінити фактор xj на фактор Якщо після заміни фактора має місце мультиколінеарність, то один із факторів виключають з розгляду.
Заміна чи вилучення незалежних змінних завжди має узгоджуватись з економічною доцільністю, що випливає з мети дослідження.
В загальному випадку багатофакторна лінійна регресія має вид
(4.6)
де - параметри моделі;
- незалежні змінні;
u – випадкові величини (відхилення).
Оцінку параметрів знайдемо за допомогою МНК
(4.7)
Згідно з необхідною умовою екстремуму функції багатьох змінних у точках екстремуму частинні похідні дорівнюють нулю. Знаходячи частинні похідні та прирівнюючи їх до нуля, отримаємо
. (4.8)
Розв'язавши таку систему, отримаємо оцінки параметрів .
Оцінки параметрів можна знайти також за формулою
, (4.9)
де - вектор спостережуваних даних показника;
- матриця спостережуваних значень факторів хі, і=1, m, х0 – фіктивний фактор, всі значення якого дорівнюють 1;
- вектор оцінюваних параметрів.
Адекватність побудованої моделі статистичним даним генеральної сукупності можна перевірити за допомогою F-критерію (критерію Фішера):
, (4.10)
де - коефіцієнт детермінації;
n – кількість спостережень;
m – незалежних змінних у рівнянні регресії;
- ступені вільності.
, (4.11)
де - фактичні значення показника;
– теоретичні значення показника;
– середнє значення.
За статистичними таблицями з ступенями вільності та рівнем ймовірності Р знаходимо критичне значення Fкр. Якщо F>Fкр, то побудована модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності.
Інтервал довіри знаходять за формулою
, (4.12)
, (4.13)
, (4.14)
де t – значення t-критерію при ймовірності р і n-m-1 ступенях вільності;
- середньоквадратичне відхилення залишків;
- матриця спостережуваних значень факторів;
- вектор прогнозних значень.
Важливе значення для аналізу мають частинні коефіцієнти еластичності. Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при незмінних значеннях інших факторів.
Частинний коефіцієнт еластичності для фактора обчислюється за формулою
(4.15)
Частинний коефіцієнт еластичності показує, як змінюється показник у, якщо фактор змінюється на 1 % при незмінних значеннях інших факторів. Аналогічно отримаємо для інших факторів.
ІІІ. Завдання
За статистичними даними (табл. 4.1) необхідно:
побудувати кореляційну матрицю;
використовуючи χ2-критерій з надійністю 0.95 оцінити наявність загальної мультиколінеарності;
якщо існує загальна мультиколінеарність, то використовуючи t-статистику з р=0,95 виявити пари факторів, між якими існує мультиколінеарність. Якщо такі пари існують, то один із факторів необхідно вилучити;
знайти оцінки параметрів багатофакторної регресії;
оцінити щільність зв’язку між результативною і факторними ознаками за допомогою коефіцієнта детермінації;
перевірити адекватність побудованої моделі (критерії Фішера);
Таблиця 4.1
Статистичні дані
№
спосте-реження
Витрати на маркетинг,
тис. грн. (х1)
Інвестиції у виробництво,
тис. грн. (х2)
Сукупні витрати,
тис. грн.
(х3)
Доходи підприємства, тис. грн.
(у)
3,82+0,01·р
10,11
23,20
26,02+0,01·р
4,49
12,34+0,01·р
24,49
23,1
4,82
18,61
26,80+0,01·р
48,15
5,23
15,78
28,25
41,09
5,77+0,01·р
20,20
30,30
51,62
5,92
9,56
31,97
28,67+0,01·р
6,53
22,56+0,01·р
33,93
55,76
6,57
12,36
35,22+0,01·р
34,11
7,47
17,98
36,19
47,37
7,56+0,01·р
15,36
36,87
42,29
7,97
13,45+0,01·р
38,99
41+0,01·р
8,3
18,14
40,75+0,01·р
32,06
8,54
11,34
41,41
35,91
8,77+0,01·р
10,45
42,96
35,27+0,01·р
8,9
29,26
43,98+0,01·р
71,33
9
30+0,01·р
41
-
знайти прогнозне значення (y16) та інтервали довіри для прогнозу;
визначити частинні коефіцієнти еластичності для прогнозу.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5
ВИЗНАЧЕННЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТІ ТА АВТОКОРЕЛЯЦІЇ ЗАЛИШКІВ
І. Загальні положення
Передумови застосування МНК, які складають основу класичного регресійного аналізу, на практиці часто порушуються. В таких випадках виникають явища гетероскедастичності та автокореляції. Ці явища призводять до неадекватності побудованої моделі.
ІІ. Теоретичні відомості
Однією із передумов застосування МНК є стала величина дисперсії залишків для всіх спостережень. Така властивість називається гомоскедастичністю.
У практичних дослідженнях часто порушується умова гомоскедастичності, тобто існує явище гетероскедастичності. Якщо існує герескедастичність залишків, то це призводить до того, що оцінки параметрів економетричної моделі, знайдені за допомогою методу найменших квадратів, будуть незміщеними, обґрунтованими, але неефективними.
Одним із методів перевірки припущень про наявність гетероскедастичності є метод на основі критерію . Цей метод застосовується тоді, коли вихідна сукупність спостережень досить велика. Розглянемо відповідний алгоритм.
Вихідні дані залежної змінної Y розбиваються на k груп відповідно до зміни рівня величини Y. За кожною групою даних обчислюється сума квадратів відхилень ()
. (5.1)
Визначається сума квадратів відхилень загалом по всій сукупності спостережень
(5.2)
Обчислюється параметр :
(5.3)
де n – загальна сукупність спостережень;
nr – кількість спостережень r-ї групи.
Обчислюється критерій:
(5.4)
який наближено дорівнюватиме розподілу при ступені вільності k-1, коли дисперсія всіх спостережень однорідна. Тобто якщо значення не менше за табличне значення при вибраному рівні ймовірності і ступені вільності k-1, то спостерігається гетероскедастичність.
Для побудови економетричної моделі
(5.5)
використаємо метод найменших квадратів (МНК). МНК полягає у наступному: теоретична лінія повинна перебувати на оптимальній віддалі від фактичних значень. Математично
. (5.6)
де - параметри прямої.
можна визначити із системи нормальних рівнянь
(5.7)
Критерій Фішера (F-критерій) визначається за формулою
(5.8)
де - ступені вільності;
m – кількість незалежних змінних;
n - кількість спостережень.
За статистичними таблицями F-розподілу з ступенями вільності k1 та k2 при заданому рівні ймовірності знаходимо значення . Якщо , то побудована регресійна модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності.
В економетричних моделях особливе значення має автокореляція. Автокореляція відхилень – це кореляція відхилень від лінії регресії з відхиленнями від цієї лінії регресії, взятими з деяким запізненням, тобто це кореляція ряду з рядом , де k – число, що характеризує запізнення. Кореляція між сусідніми членами ряду (k=1) називається автокореляцією першого порядку.
Причини автокореляції можуть бути різними
18.09.2013 15:09-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора