Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Лекції
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Теорія функцій комплексної змінної
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Лекція 8. Елементи операційного числення
§ 1. Перетворення Лапласа
При розв’язуванні багатьох прикладних задач часто зручно застосову-вати інтегральні перетворення, теорія яких будується на основі теорії функ-цій комплексної змінної.
Означення 1. Оригіналом називають комплекснозначну функцію дійс-ної змінної , якщо:
1) для ;
2) на кожному відрізку півосі функція є неперервною, крім, можливо, скінченої кількості точок розриву першого роду ( – кусково-гладка функція);
3) існують такі дійсні числа , що для всіх виконується нерівність
. (1.1)
Якщо нерівність (1.1) виконується для числа , то вона буде викону-ватися і для всіх . Тому бажано знати точну нижню грань всіх чисел , для яких виконується нерівність (1.1). Ця нижня грань називається індексом або показником росту функції (при ).
Приклад 1. Чи буде оригіналом функція ?
▪ Очевидно, що функція задовольняє другу умову. Третя умова також виконується, оскільки . Але перша умова означен-ня не виконується, тому функція не є оригіналом. ▪
Приклад 2. Чи буде оригіналом функція Хевісайда ?
▪ Функція задовольняє першу і другу умови. Для третя умова також виконується. Отже, функція Хевісайда є оригіналом. ▪
Означення 2. Нехай – комплекснозначна функція дійсної змінної , яка визначена для , а – комплексна змінна з деякої області площини комплексної змінної . Невластивий інтеграл
(1.2)
називають інтегралом Лапаласа функції , а функцію –зображенням оригінала , або перетворенням Лапласа функ-ції .
Якщо – функція-оригінал з показником росту , то півплощина на площині комплексної змінної називається півплощиною збіжності інтеграла (1.2).
Теорема. Якщо – функція-оригінал з показником росту , то у півпло-щині збіжності інтеграл (1.2) збігається абсолютно для всіх , а у півплощині збігається абсолютно і рівномірно.
Доведення.
► Нехай – довільна точка у півплощині збіжності, тобто .
З означення показника росту маємо, що . Тоді
.
З отриманої оцінки за ознакою порівняння збіжності невластивих інтегралів випливає абсолютна збіжність інтеграла Лапласа (1.2) у півплощині .
Якщо , то для всіх
і за властивостями невластивих інтегралів, що залежать від параметра, інтеграл (1.2) є рівномірно збіжним за параметром у півплощині . ◄
Приклад 3. Знайти зображення Лапласа функції Хевісайда
▪ Обчислимо
. ▪
Відповідність між оригіналом і зображенням записують у вигляді
→ або .
Наприклад, .
Зауваження. Нехай функція задовольняє умови 2, 3 визначення 1. Тоді функція є оригіналом. Зазвичай множник опускають. Наприклад, замість пишуть , а замість записують .
§ 2. Властивості перетворення Лапласа
Нехай – функція-оригінал з показником росту , а – її зображення.
Якщо , то , і навпаки.
Функціями-оригіналами є такі функції:
а) з показником росту ;
б) з показником росту ;
в) ( – дійсне або комплексне число), показник росту якої дорівнює , якщо , і нулю, якщо ;
г) з показником росту ;
д) , де – дійсне чи комплексне число, з показником росту .
Функція на інтервалі є неперервним оригіналом з показником росту .
Властивість лінійності перетворення Лапласа.
Якщо і з показниками росту відповід-но, то у півплощині збіжності для і має місце співвідношення
.
Властивість аналітичності.
Теорема. Якщо – функція-оригінал з показником росту , то у всій півплощині збіжності її перетворення Лапласа (1.2) є аналітичною функцією.
Доведення.
► За теоремою з § 1 у будь-якій півплощині інтег-рал (1.2) є рівномірно збіжним. Тому функція є неперервною у будь-якій точці , де . Нехай – простий замкнений контур, що належить околу точки , де окіл належить півплощині . Тоді в силу рівномірної збіжності і теореми Коші
.
За теоремою Морера маємо, що – аналітична функція в околі довільної точки півплощини збіжності. ◄
Поведінка зображення на безмежності.
Якщо так, що , то
. (2.1)
Справді, оскільки , то .
Досить часто зображення є раціональною функцією, особливими точками якої можуть бути лише полюси. Співвідношення (2.1) виключає можливість існування полюса у точці . Отже, для раціональних зображень при довільному способі прямування до , точка безмеж-ність завжди є аналітичною точкою і розвинення функції в ряд Лорана в околі безмежно віддаленої точки має вигляд
.
§ 3. Формула обернення перетворення Лапласа
Теорема 1 (формула Мелліна). Якщо – функція-оригінал, а – її зображення, то у будь-якій точці , в якій оригінал є непе-рервним,
, (3.1)
де інтегрування відбувається вздовж довільної прямої ; – показник росту.
Формулу (3.1) називають формулою Мелліна або формулою обернення.
Теорема 2 (достатні умови існування оригінала). Нехай функція ком-плексної змінної задовольняє такі умови:
а) – аналітична функція у півплощині ;
б) рівномірно відносно функція в об-ласті ;
в) для всіх збігається невластивий інтеграл
(3.2)
де – деяке додатне число. Тоді функція для є зображенням функції-оригінала
,
і оригінал визначається за формулою (3.1)
.
Теорема 3 (обчислення інтеграла Мелліна). Нехай функція комп-лексної змінної задовольняє такі умови:
1) функція , яка початково задана у півплощині і задовольняє умови теореми 2, може бути аналітично продовжена на всю комплексну площину ;
2) аналітичне продовження функції у півплощину задовольняє умови леми Жордана.
Тоді має місце співвідношення:
, (3.3)
де , а – ізольовані особливі точки (полюси, істотно особливі точки) функції, яка є аналітичним продовженням функції у півплощину .
Теорема 4 (теорема єдиності). Оригінал повністю визначається своїм зображенням з точністю до значень у точках розриву функції .
Наслідок. Зображення не може бути періодичною функцією.
§ 4. Основні формули операційного числення
Нехай , де – функція-оригінал з показником росту .
Подібність. Якщо , то
. (4.1)
З формули (1.2) заміною отримуємо
.
Приклад 1. Знайти зображення функції .
▪ Оскільки зображенням функції є
,
то за формулою (4.1) маємо
. ▪
Диференціювання оригінала. Якщо – оригінали, , то
(4.2)
.
З формули (1.2) інтегруванням за частинами отримуємо
.
Для формула (4.2) доводиться методом математичної індукції.
Диференціювання зображення.
. (4.3)
Диференціюючи інтеграл (1.2) за параметром , отримаємо
.
Для формула (4.3) доводиться методом математичної індукції. Приклад 2. Знайти зображення функції .
▪ Маємо, що . За формулою (4.3)
. ▪
Інтегрування оригінала.
. (4.4)
Оскільки – оригінал, то функція також є оригіна-лом, причому . Якщо , то за формулою (4.2) отримуємо
, тобто ,
звідки випливає формула (4.4).
Наслідок (І гранична теорема). Якщо – функція-оригінал, яка непе-рервна для , та існує невластивий інтеграл , то
.
Зокрема, якщо функція є аналітичною в точці , то останнє співвідношення набуває вигляду
.
Інтегрування зображення. Якщо – оригінал, то
, (4.5)
де – горизонтальний промінь, що належить півплощині , від точки до точки .
Нехай . Тоді за формулою (4.3) диференціювання зображення . Оскільки , то і
.
Враховуючи, що , отримуємо формулу (4.5).
Наслідок (ІІ гранична теорема). Якщо – функція-оригінал, яка непе-рервна для , та невластивий інтеграл є збіжним, то
.
Приклад 3. Знайти зображення інтегрального синуса .
▪ Оскільки зображенням функції є функція , то за формулою (4.5) маємо
,
звідки за формулою (4.4) знаходимо, що . ▪
Запізнення оригінала. Якщо для всіх , де , то
. (4.6)
За формулою (1.2)
,
звідки заміною отримуємо
.
Приклад 4. Знайти зображення функції .
▪ Враховуючи, що , за формулою (4.6) маємо
. ▪
Зміщення зображення. Для довільного комплексного числа , де
. (4.7)
За формулою (1.2) маємо
.
Випередження оригінала. Якщо – довільне додатне число, то
. (4.8)
За формулою (1.2) маємо , звідки заміною отримуємо
.
Приклад 5. Знайти зображення функції .
▪ Маємо . З таблиць інтегрального перетворен-ня Лапласа . За формулою (4.8) знаходимо, що
,
і за формулою подібності (4.1)
. ▪
Згортка оригіналів.
Означення. Функція вигляду
називається згорткою функцій та і позначається символом , тобто
. (4.9)
Основні властивості згортки
Операція згортки є комутативною, тобто , якщо обидві частини рівності мають зміст;
для функцій-оригіналів та операція згортки завжди виконується і
;
згортка функцій-оригіналів та з індексами росту і відповідно також є функцією-оригіналом, причому індекс росту не перевищує .
Теорема множення зображень (теорема про згортку). Якщо , і , , , то
,. (4.10)
Доведення.
► Підставивши (4.9) в інтеграл Лапласа (1.2), отримаємо
. (1)
Оскільки зовнішній інтеграл при збігається рівномірно і абсолютно, то можна змінити порядок інтегрування:
. (2)
Інтеграл у правій частині співвідношення (1) можна розглядати як повторний інтег-рал, отриманий з подвійного інтеграла
,
де областю інтегрування є частина площини , обмежена додатною піввіссю і прямою (рис.1). Тоді зміна порядку ін- тегрування приводить до інтеграла, записаного у правій частині (2).
Внутрішній інтеграл у правій частині співвідношення (2) є зображенням функції , і за теоремою запізнення (4.6) він дорівнює . Тоді остаточно отримуємо
.◄
Приклад 6. Знайти згортку і зображення згортки функцій .
▪ За формулою (4.9) маємо
.
Оскільки , то
. ▪
Приклад 7. За заданим зображенням знайти оригінал.
▪ Оскільки , , то
.▪
Формула Дюамеля.
Теорема. Якщо , , , і – функція-оригінал, то для
. (4.11)
Доведення.
► Маємо
.
Оскільки , а за формулою (4.10)
,
то . ◄
Формулу (4.11) називають формулою Дюамеля.
Зауваження. Якщо – функції-оригінали, то формулу (4.11) можна записати у різних формах. Ліва частина формули Дюамеля є симетричною відносно та . Отже, у правій частині формули (4.11) функції та можна поміняти місцями. В силу комутативності згортки, можна також поміняти місцями функції під знаком інтеграла у (4.11). Отже, праву частину (4.11) можна записати у чотирьох еквівалентних формах:
.
Приклад 8. За заданим зображення знайти оригінал.
▪ Маємо , .
Тоді
. ▪
§ 5. Відновлення оригінала за його зображенням. Теореми розкладу
Формула обернення (3.1) дозволяє за заданим зображенням від-новити функцію-оригінал . Але у деяких випадках формула (5.1) спро-щується при застосуванні теорем про розклад.
Теорема 1 (перша теорема про розклад). Якщо зображення є функ-цією, аналітичною у нескінченно віддаленій точці , і , тобто ряд Лорана функції для має вигляд
,
то оригіналом функції є функція
. (5.1)
Приклад 1. За заданим зображення знайти оригінал.
▪ У всій комплексній площині з виколеною точкою функція розвивається у ряд Лорана:
.
За формулою (5.1) маємо, що . ▪
Теорема 2 (друга теорема про розклад). Якщо зображення є правиль-ною раціональною функцією
, (5.2)
де , – многочлени відносно степенів та відпо-відно, а – її полюси порядку , то
. (5.3)
Врахувавши формулу для обчислення лишків у полюсі, матимемо
. (5.4)
Якщо всі полюси функції – прості, то
. (5.5)
На практиці часто оригінали можна легко знайти, використовуючи розклад зображення на прості дроби і таблиці перетворення Лапласа.
Таблиця перетворення Лапласа
Приклад 2. За заданим зображення знайти оригінал.
▪ Перший спосіб. Функція має три ізольовані особливі точки: – полюс другого порядку; – полюси першого порядку. Знайдемо лишки в цих точках:
;
;
.
За формулою (5.4) знаходимо оригінал .
Другий спосіб. Розкладемо функцію на прості дроби:
.
З таблиць перетворення Лапласа знаходимо
. ▪
§ 6. Застосування операційного числення до розв’язування ліній-них диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
Одним з основних застосувань перетворення Лапласа є розв’язування диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Такий спосіб розв’язування диференціальних рівнянь називають операційним численням.
Нехай необхідно знайти розв’язок задачі Коші для рівняння зі сталими коефіцієнтами
, (6.1)
. (6.2)
Якщо є функцією-оригіналом, , , то засто-сувавши формулу диференціювання оригінала та властивість лінійності пере-творення Лапласа, отримаємо, що диференціальному рівнянню (6.1) за умов (6.2) відповідає алгебраїчне рівняння, яке називають операторним рівнян-ням
або
. (6.3)
Позначимо
.
Тоді рівняння (6.3) набуває вигляду
,
звідки
, (6.4)
а за нульових початкових умов –
.
За знайденим зображенням відновлюємо оригінал , який буде розв’язком задачі Коші (6.1)-(6.2).
Приклад 1. Знайти розв’язок задачі Коші
, .
▪ Нехай . За формулою диференціювання оригінала маємо
, ,
.
Оскільки , то операторне рівняння матиме вигляд
.
Розкладемо отриманий вираз на прості дроби:
. ▪
Приклад 2. Знайти розв’язок задачі Коші
, .
▪ Маємо , , . Запишемо операторне рівняння
.
З таблиць інтегрального перетворення Лапласа знаходимо, що . Щоб зайти оригінал функції , скористаємося теоремою про згортку. Оскільки , то
.
Тоді
. ▪
§ 7. Застосування операційного числення до розв’язування систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
Розглянемо задачу Коші для системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
(7.1)
, (7.2)
де – невідомі функції-оригінали, – функції-оригінали. Нехай , , .
Задача (7.1), (7.2) інтегрується операційними методами аналогічно, як і окремі рівняння. Відмінність полягає лише в тому, що замість одного операторного рівняння отримуємо лінійну систему операторних рівнянь.
Приклад. Знайти розв’язок системи диференціальних рівнянь
за початкових умов .
▪ Маємо , , , , . Тоді
Розклавши знайдені зображення на прості дроби, отримаємо
.
З таблиць інтегрального перетворення Лапласа знаходимо розв’язки
. ▪
22.09.2013 13:09-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора