Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Лекції
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Теорія функцій комплексної змінної
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
ЛЕКЦІЯ 6
Ряди у комплексній площині
§ 1. Числові ряди. Збіжність. Ознаки збіжності. Абсолютна збіж-ність
Нехай задано числову послідовність комплексних чисел .
Числовим рядом у комплексній площині називають вираз виду
. (1.1)
Ряд (1.1) називається збіжним, якщо збігається числова послідовність частинних сум . При цьому границю називають сумою ряду (1.1). Оскільки , то для збіжності ряду (1.1) необхідно і достатньо, щоб збігалися числові ряди, побудовані з дійсних та уявних частин.
Ряд
(1.2) називають m-им залишком числового ряду (1.1)
Якщо ряд (1.1) є збіжним, то і для .
Критерій Коші (необхідна і достатня умова збіжності числового ряду):
, (1.3)
Це прямий наслідок критерію Коші для збіжної числової послідовності.
Необхідною умовою збіжності числового ряду (1.1) є умова
.
Справді, якщо існує , то внаслідок виконання критерію Коші (для )
,
звідки випливає, що .
Числовий ряд (1.1) називають абсолютно збіжним, якщо збігається числовий ряд , побудований з абсолютних величин . Якщо числовий ряд (1.1) є абсолютно збіжним, то він є і збіжним, але не навпаки.
Справді, з нерівності випливає, що якщо виконується критерій Коші для ряду , то критерій Коші виконується і для ряду (1.1).
Якщо ряд (1.1) є збіжним, а ряд – розбіжним, то кажуть, що ряд (1.1) є умовно збіжним.
Оскільки ряд є рядом з додатними членами, то для дослідження його на збіжність використовують всі ознаки збіжності рядів з додатними членами: ознаку порівняння, ознаку Даламбера, ознаку Коші.
Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд .
▪ Оскільки , то дослідимо на збіжність ряди і . Для послідовностей не виконується необхідна умова збіжності ряду. Тому ряди і є розбіжними, а значить і ряд є розбіжним.▪
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд .
▪ Дослідимо ряд на абсолютну збіжність. Оскільки , то
.
За ознакою Даламбера , тобто ряд є збіжним, отже, за ознакою порівняння ряд є також збіжним. Отже, ряд збігається абсолютно і є збіжним рядом.▪
Збіжні числові ряди в комплексній площині володіють всіма властивостями збіжних числових рядів з дійсними членами.
§ 2. Функціональні ряди. Область збіжності. Рівномірна збіжність. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів
Нехай в області визначено функціональну послідовність однозначних функцій комплексної змінної .
Функціональним рядом називають вираз
. (2.1)
Очевидно, що для всіх фіксованих ряд (2.1) перетворюється у числовий ряд (1.1). Функціональний ряд (2.1) називають збіжним в області , якщо для відповідний йому числовий ряд є збіжним. Якщо функціональний ряд є збіжним в області , то в цій області можна означити однозначну функцію , значення якої в кожній точці дорівнює сумі відповідного числового ряду, тобто . Це означає, що для
.
Область у цьому випадку називають областю збіжності функціонального ряду.
Як і на множині дійсних чисел, важливе місце в теорії функцій комплексної змінної займає поняття рівномірної збіжності.
Функціональний ряд (2.1) рівномірно збігається до своєї суми в області тоді і тільки тоді, коли
(2.2)
або
, (2.3)
де – залишок функціонального ряду.
Теорема 2.1. Для того, щоб функціональний ряд (2.1) був збіжним (рівно-мірно збіжним) в області до своєї суми , необхідно і достат-ньо, щоб в області були збіжними (рівномірно збіжними) до функцій функціональні ряди і , де .
Використовуючи означення збіжності (рівномірної збіжності) функці-онального ряду і нерівності , теорема легко доводиться.
Достатня ознака збіжності функціонального ряду
Теорема 2.2 (ознака Вейєрштрасса). Функціональний ряд (2.1) збігається в області рівномірно та абсолютно, якщо існує збіжний числовий ряд з додатними членами такий, що
. (2.4)
Доведення.
► За умовами теореми ряд збігається:
.
Внаслідок рівномірної оцінки , всюди в області для виконується нерівність
,
а це означає, що ряд (2.1) є абсолютно і рівномірно збіжним. ◄
Ряд називають мажорантою ряду (2.1).
Необхідна і достатня ознака збіжності функціонального ряду
Теорема 2.3 (критерій Коші). Для того, щоб функціональний ряд (2.1) збі-гався рівномірно в області , необхідно і достатньо, щоб
. (2.5)
Властивості рівномірно збіжних рядів
1. Теорема 2.4. Нехай функції неперервні в області , а ряд (2.1) рів-номірно збігається в області до своєї суми . Тоді функція є неперервною в області .
Доведення.
► Оскільки ряд , то
.
Нехай – довільна точка області . Виберемо значення настільки великим, щоб в області для частинної суми виконувалася нерівність , і зафіксуємо це значення . Сума – не-перервна в , а тому існує таке значення , що для всіх , які задоволь-няють умову , виконується нерівність .
Тоді
. ◄
2. Теорема 2.5. Нехай функції є неперервними в області , – довільний кусково-гладкий контур, а ряд (2.1) рівномірно збіга-ється в області до своєї суми . Тоді
, (2.6)
Доведення.
► Нехай – частинна сума проінтегрова-ного ряду. Покажемо, що . Оскільки для ряд , то для
, де .
Для маємо
.◄
Зауважимо, що властивості 1 і 2 рівномірно збіжних рядів функцій ком-плексної змінної аналогічні до відповідних властивостей на множині дійсних функцій.
Найважливішою властивістю рівномірно збіжних рядів є теорема Вейєрштрасса.
3. Теорема 2.6 (перша теорема Вейєрштрасса). Нехай функції аналі-тичні в області , а ряд (2.1) рівномірно збігається у довільній замкненій підобласті до своєї суми . Тоді
функція є аналітичною в області ;
;
ряд є рівномірно збіжним у замкненій підобласті .
Доведення.
► 1) Нехай – довільна однозв’язна область. За властивістю 1 (теорема 2.4) функція , яка є сумою функціонального ряду (2.1), буде неперервною в області . Нехай – довільний замкнений гладкий контур. За властивістю 2 (теорема 2.5) існує
.
Функції аналітичні для , а, отже, і для . Тому за теоремою Коші . Отже, за теоремою Морера функція є аналітичною в області . Оскільки область довільна, то функція аналітична в області .
Зауважимо, що для залишок є аналітичною функцією в області як різниця аналітичних функцій.
2) Виберемо довільну точку і оточимо її замкненим кусково-гладким контуром таким, щоб точка була внутрішньою. Для точок виконується рівність
.
Нехай – віддаль від точки до точок контуру , а . Тоді для . Розглянемо ряд
, (2.7)
Оскільки
,
і за умовою теореми функціональний ряд , то за ознакою Вейєрштрасса функціональний ряд у правій частині (2.7) є мажорованим, а тому рівномірно збіжним на контурі . За властивістю 2 (теорема 2.5) рівномірно збіжних функціональних рядів
.
Оскільки точка є довільною внутрішньою точкою області , то пункт 2 доведено.
3) Нехай – довільна замкнена підобласть області , – довільний кусково-гладкий замкнений контур, – віддаль від довільної точки до точки , . Залишок функціонального ряду (2.1) є аналітичною функцією в області , тому, згідно з пунктом 2 теореми
.
Ряд (2.1) збігається рівномірно в , тобто для
.
Тоді
,
де – довжина контуру . З останньої нерівності випливає, що існує
,
а це означає, що ряд збігається рівномірно у підобласті . ◄
Зауваження. Останнє твердження доведене для випадку, коли – довільна замкнена підобласть області , тобто не співпадає з областю . Рівномірна збіжність функціонального ряду в замкненій області не забезпечує рівномірної збіжності в цій області ряду, утвореного з похідних функцій. Наприклад, ряд збігається рівномірно в крузі , а ряд , утворений з похідних членів цього ряду, є абсолютно збіжним всередині круга і розбіжним на колі .
Ознаку Вейєрштрасса (теорема 2.5) можна поширити і на випадок замкненої області .
Теорема 2.7 (друга теорема Вейєрштрасса). Нехай функції є аналі-тичними в області і неперервними в області , а ряд (2.1) рівномірно збігається на межі цієї області. Тоді ряд (2.1) збігається рівномірно в області .
Доведення.
► Частинна сума даного функціонального ряду є функцією аналітичною в і неперервною в . Тому є також аналітичною функцією в і неперервною в . За умовою теореми функціональний ряд рівномірно збігається на межі , тобто для
.
За теоремою про максимум модуля аналітичної функції маємо
,
тобто для ряду всюди в області виконується критерій Коші рівномірної збіжності ряду:
.
Отже, всюди в області ряд (2.1) збігається рівномірно. ◄
Приклад 1. Знайти область абсолютної збіжності ряду .
• За ознакою Даламбера маємо
.
Отже, ряд є абсолютно збіжним зовні кола .
На колі заданий ряд набуває вигляду ряду , який є розбіжним. Отже, областю абсолютної збіжності ряду є .•
Приклад 2. Знайти область абсолютної збіжності ряду .
• За ознакою Даламбера знайдемо області збіжності кожного з рядів:
.
На межі області збіжності і відповідні ряди є розбіжними. Отже, областю абсолютної збіжності заданого ряду є область .
Приклад 3. Знайти область абсолютної та рівномірної збіжності ряду .
• За ознакою Даламбера: .
На межі області збіжності для ряд є збіжними. Отже, областю абсолютної збіжності заданого ряду є півплощина .
Оскільки для всіх , для яких , , то ряд є збіжним абсолютно і рівномірно в області .•
§ 3. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Властивості степеневих рядів
Важливе місце в теорії функціональних рядів в комплексній області займають степеневі ряди, для яких , де – деякі комплексні сталі, а – фіксована точка комплексної площини, тобто степеневий ряд – це ряд виду
. (3.1)
Комплексні числа називають коефіцієнтами, – центром ряду. Оскільки члени ряду (3.1) є аналітичними функціями, то для дослідження властивостей степеневого ряду, необхідно встановити область його рівномірної збіжності.
Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд (3.1) збігається в деякій точці , то він абсолютно збігається для всіх , що задовольняють умову , тобто всередині кругової області з центром в точці , межа якої проходить через точку .У замкненому крузі ряд (3.1) збігається рівномірно.
Доведення.
► Виберемо довільну точку C, , яка задовольняє умову , і розглянемо ряд (3.1). Нехай . За умовою теореми ряд (3.1) є збіжним в точці , тобто . Оскільки будь-яка збіжна послідовність є обмеженою, то і
.
Тоді
.
Оскільки ряд для збігається, то ряд (3.1) є абсолютно збіжним.
Покажемо, що степеневий ряд (3.1) збігається рівномірно в крузі . У цьому крузі ряд є мажорованим:
,
Оскільки ряд є збіжним для , то за ознакою Вейєр-штрасса степеневий ряд (3.1) в крузі є рівномірно збіжним. ◄
З теореми Абеля випливають такі наслідки.
Наслідок 1. Якщо степеневий ряд (3.1) є розбіжним в точці , то він є розбіжним і для будь-якого значення , що задовольняє умову .
Доведення.
► Доведемо наслідок 1 від протилежного. Нехай степеневий ряд (3.1) збігається. Тоді за теоремою Абеля степеневий ряд повинен збігатися і в точці , що суперечить умові теореми. ◄
Нехай , де – точки збіжності степеневого ряду (3.1). Якщо , то існують такі точки C, в яких степеневий ряд (3.1) розбігається. Нехай . Тоді найбільшою областю абсолютної збіжності степеневого ряду буде круг . Область називають кругом збіжності, а – радіусом збіжності степеневого ряду. На межі питання про збіжність степеневого ряду вимагає окремого дослідження.
У найпростіших випадках радіус збіжності ряду (3.1) можна знайти, застосовуючи ознаки збіжності Даламбера або Коші:
1) за ознакою Даламбера ;
2) за ознакою Коші .
Якщо , тобто кругом збіжності є вся комплексна площи-на; якщо , тобто ряд є збіжним лише в точці .
Наслідок 2. У крузі збіжності будь-якого радіуса сте-пеневий ряд (3.1) збігається рівномірно до аналітичної функції (за першою теоремою Вейєрштрасса).
Наслідок 3. Степеневий ряд (3.1) всередині круга збіжності можна почленно інтегрувати і диференціювати довільну кількість разів і радіус збіжності при цьому залишається незмінним.
Наслідок 4. Коефіцієнти степеневого ряду (3.1) виражаються через суму ря-ду та її похідні в точці за формулою
. (3.2)
Внаслідок неперервності суми ряду неперервних функцій, . Знайдемо . Тоді . Аналогічно, поклавши у виразі , отримаємо, що .
Приклад. Дослідити на збіжність ряд і знайти його суму.
▪ Оскільки , а , то областю збіжності ряду буде круг , всередині якого ряд збігається до аналітичної функції . За означенням сума ряду
.
Оскільки , то . Тому існує
.▪
§ 4. Ряд Тейлора. Теорема єдиності
Оскільки степеневий ряд всередині круга збіжності збігається до аналітичної функції, то природно з’ясувати, чи можна аналітичній всередині деякого круга функції поставити у відповідність степеневий ряд, який в цьому крузі збігається до функції .
Теорема Тейлора. Функція комплексної змінної , яка є аналітичною в крузі , єдиним чином розвивається в цьому крузі у сте-пеневий ряд (3.1), коефіцієнти якого обчислюють за формулою
(4.1)
де – довільний кусково-гладкий замкнений контур, який оточує точку і повністю належить кругу .
Доведення.
► Нехай – довільна точка круга . Оточимо точку колом так, щоб точка лежала всередині цього круга. Оскільки точка є точкою аналітичності функції , то за формулою Коші маємо:
. (4.2)
Оскільки , а , то для і
.
Підставивши отриманий вираз у (4.2) і проінтегрувавши почленно, отримаємо
,
де
. (4.3)
Оскільки функція є аналітичною у двозв’язній області , то в силу теореми Коші коло в останній формулі можна замінити довільним замкненим контуром . Оскільки – довільна точка області , то степеневий ряд , коефіцієнти якого визначаються за формулами (4.3), збігається до функції . Отже, аналітична в крузі функція , розвинена у степеневий ряд (3.1) – ряд Тейлора – з коефіцієнтами, які обчислюють за формулами (4.3). У крузі цей ряд є рівномірно збіжним.
Покажемо, що таке розвинення єдине. Припустимо, що в крузі для аналітичної функції є два розвинення в ряд Тейлора:
.
Оскільки степеневий ряд є збіжним у крузі , то
.
Отже, розвинення функції в ряд Тейлора є єдиним. ◄
Доведена теорема встановлює взаємно однозначну відповідність між функцією , аналітичною в деякому околі точки і степеневим рядом (рядом Тейлора) з центром в точці . Це дозволяє встановити еквівалентність поняття аналітичної функції, як функції диференційованої нескінченну кількість разів, та функції, яка є сумою степеневого ряду.
Приклад. Розвинути функцію в ряд Тейлора в крузі .
▪ Для C, а, значить, і в крузі , функція є аналітичною. Знайдемо для :
.
Отже, .▪
§ 5. Нулі аналітичної функції. Властивість єдиності. Поняття про аналітичне продовження
Вивчаючи властивості аналітичних функцій, ми встановили, що для означення функції комплексної змінної, аналітичної в деякій області , можна задати її значення на всій області (інтеграл Коші дає вираз для аналітичної функції в області через її значення на межі області). Природно поставити задачу – чи існує ”мінімальна“ інформація, яку треба мати, щоб повністю визначити функцію комплексної змінної, аналітичну в деякій області. Щоб з’ясувати цей факт, розглянемо поняття нуля аналітичної функції.
Означення 1. Нехай функція комплексної змінної – аналітична в деякій області . Точку називають нулем функції , якщо .
Враховуючи, що і розвинувши функцію в околі точки в ряд Тейлора , отримаємо, що і
, (5.1)
де і є аналітичною в околі точки функцією, оскільки .
Означення 2. Точку називають нулем порядку , якщо у розвиненні (5.1) , а для .
У цьому випадку розвинення в ряд Тейлора для функції матиме вигляд
, (5.2)
де – функція, аналітична в околі точки і .
Основна теорема вищої алгебри. Кожне алгебраїчне рівняння
степеня має коренів.
Теорема єдиності. Нехай функція комплексної змінної аналітична в об-ласті і в цій області існує така послідовність різних точок , що і . Тоді для .
Доведення.
► Нехай круг і коло належать області . Тоді в цьому крузі
, (5.3)
де і радіус збіжності ряду (5.3) не менший за віддаль від точки до межі області. Оскільки існує , а функція непе-рервна в області , то існує , тобто точка є нулем функції . Це означає, що у розвиненні (5.3) і
, (5.4)
де . Всі точки різні і для , а тому з (5.4) для маємо, що . Оскільки функція неперервна в точці , то і , де . Аналогічно до попереднього, можна показати, що з умови випливає, що . Продовжуючи цей процес, отримаємо, що для , звідки випливає, що всюди в крузі .
Покажемо тепер, що всюди в області . Нехай – деяка довільна точка області , що лежить поза колом . З’єднаємо точки і ламаною , що лежить в області і віддалена від межі області на віддаль , причому .
Нехай – точка перетину кола з ламаною . Розглянемо круг . Оскільки для точок ламаної , які лежать в крузі , то аналогічно до попереднього можна довести, що в крузі . Аналогічно у наступному крузі такого ж радіуса, матимемо, що . За скінче-
ну кількість кроків отримаємо, що . Оскільки точка – довільна точка області , то маємо, що для .◄
Висновок 1. Якщо аналітична в області функція не дорівнює тотож-но нулеві, то вона може мати тільки скінчену кількість ізольованих нулів.
Висновок 2. Аналітична в області функція може мати нескінчену кількість нулів лише у відкритій або безмежній області.
Зауваження. Функція, аналітична у розширеній комплексній площині, на-зивається цілою. Вона має злічену кількість нулів.
Наслідок. Нехай функції – аналітичні в області і на послідов-ності різних точок таких, що , співпадають, тобто . Тоді .
Для функції справедлива теорема єдиності. Це означає, що в заданій області може існувати лише єдина аналітична функція, що набуває заданих значень на збіжній числовій послідовності , границя якої належить області . Тому доведену теорему і називають теоремою єдиності.
Існує декілька форм теореми єдиності:
Нехай – крива, яка належить області . Тоді в області існує єдина аналітична функція, яка набуває заданих на значень.
Нехай – деяка підобласть області . Тоді в області існує єдина аналітична функція, яка набуває заданих в значень.
Отже, аналітична функція однозначно визначається заданням її на деякій множині точок з області її визначення. Ця обставина дозволяє автоматично поширити на комплексну площину елементарні функції дійсної змінної.
Аналітичне продовження
Нехай – неперервна на функція дійсної змінної. За теоремою єдності на комплексній площині в області , яка містить відрізок , існує єдина аналітична функція комплексної змінної , яка набуває заданих значень для . Функцію називають аналітичним продовженням функції дійсної змінної в комплексну область . Це дозволяє використати відомі розвинення в степеневі ряди функцій для того, щоб отримати розвинення для . Наприклад, Тому існує C, оскільки для ці ряди співпадають. Аналогічно можна перенести у комплексну площину інші функції та співвідношення між ними.
Розглянемо тепер задачу продовження аналітичних функцій.
Рис.1.
Нехай аналітичні функції задані відповідно в областях та і тотожньо співпадають між собою в області Ø (рис.1). Функцію
називають аналітичним продовженням функції з області на область . Функцію називають також аналітичним продовженням функції на область через перетин . Відповідно до теореми єдності, аналітичне продовження функції на область є єдиним.
Отже, якщо в області існує така аналітична функція , що для , то функції не слід розглядати як дві різні аналітичні функції, а природно вважати їх елементами однієї і тієї ж функції, аналітичної в області .
Приклад. ▪ Розглянемо два степеневих ряди
і .
Перший ряд збігається в крузі і його сума . Областю збіжності другого ряду є круг , а його сума . У спільній частині цих кругів збіжності маємо:
.
Отже, є аналітичними продовженнями одне одного.▪
Зауважимо, що перетин двох областей не обов’язково має бути областю.
Нехай області і мають, крім області , ще й інші спільні точки,
наприклад, область рис.2), в яких зна-чення функцій можуть бути нерівними. Але, якщо у всіх спільних точках областей і , то функція
є аналітичним продовженням функції з області на область .
Нехай тепер дано ланцюжок областей такий, що кожна пара сусідніх областей має спільну частину (рис.3). Припустимо, що існують такі аналітичні функції , що кожна функція є
аналітичним продовженням попередньої функції з області в область , . Тоді функція називається аналітичним продовженням функції в область через ланцюжок областей .
Досить простий спосіб аналітичного продовження був запропонований Вейєрштрассом. Цей спосіб базується на використанні ланцюжка областей і на розвиненні в таких областях функцій в ряд Тейлора.
Нехай в області задана аналітична функція . Виберемо довільну точку і розвинемо функцію в околі точки в степеневий ряд
, де . (5.5)
Нехай - радіус збіжності ряду (5.5), - віддаль від точки до межі області . Можливі такі два випадки.
1-й випадок. (рис.4). У цьому випадку круг збіжності ряду (5.5) є підобластю області .
2-й випадок. (рис.5). У цьому випадку круг збіжності (область ) ряду (5.5) вже не буде підобластю області , а матиме з нею тільки спільну частину . В області збіжний степеневий ряд (5.5) визначає аналітичну функцію таку, що для . Функція є аналітичним продовженням функції в область через область . Отже, можна стверджувати, що в області визначено аналітичну функцію
Таким чином, розвинення (5.5) виводить нас за межу області первинного означення аналітичної функції . Таку процедуру можна продовжувати до того часу, поки новий круг збіжності не стане містити так званих особливих точок – точок, в околі яких аналітичну функцію не можна розвинути в ряд Тейлора.
Означення. Точка називається правильною точкою функції , якщо існує збіжний степеневий ряд , який у спільній частині області і свого круга збіжності збігається до функції . Точки , які не є правильними для функції , називаються її особливими точками.
Якщо функція є аналітичною в області , то, очевидно, що всі внутрішні точки цієї області є правильними. Точки можуть бути як правильними, так і особливими точками функції . Якщо точка є правильною для функції , то і всі точки межі , які лежать всередині круга , також є правильними точками для функції .
Нехай аналітична функція початково задана в області , межа якої . Якщо всі точки деякої ділянки є правильними точками для функції , то, очевидно, що функцію можна аналітично продовжити через на більшу область. Якщо всі точки межі області є правильними точками для функції , то в цьому випадку функцію можна аналітично продовжити через межу на більшу область , яка містить область . Якщо всі точки ділянки є особливими для функції , то аналітичне продовження через цю ділянку межі області неможливе.
Нехай для аналітичної в області функції існує розвинення у степеневий ряд в околі точки .
Теорема. На межі круга збіжності степеневого ряду лежить хоча б одна особлива точка аналітичної функції, яка є сумою даного ряду.
З наведеної тереми випливає, що радіус збіжності степеневого ряду визначається віддаллю від центра круга збіжності до найближчої особливої точки тої аналітичної функції, до якої збігається даний ряд.
§ 6. Ряд Лорана
Означення. Ряд
, (6.1)
де – фіксована точка комплексної площини, а – деякі комплексні числа, називається рядом Лорана.
Очевидно, що областю збіжності ряду (6.1) є спільна частина областей збіжності рядів
, (6.2)
. (6.3)
Ряд (6.2) називається правильною частиною ряду Лорана і його областю збіжності є круг , всередині якого правильна частина збігається до деякої аналітичної функції :
. (6.4)
Знайдемо область збіжності ряду (6.3), який називається головною частиною ряду Лорана. Нехай . Тоді ряд (6.3) можна записати у вигляді , який за теоремою Абеля збігається в крузі до деякої аналітичної функції :
.
Ввівши аналітичну функцію , отримаємо, що головна частина ряду Лорана для збігається до аналітичної функції :
. (6.5)
Отже, областю збіжності ряду Лорана є кільце , в якому він збігається до аналітичної функції
. (6.6)
Якщо , то ряд Лорана в жодній області не збігається до деякої функції. Якщо , то ряд Лорана може бути збіжним лише на колі .
Отже, якщо існує кругове кільце збіжності , то всере-дині цього кільця ряд Лорана як степеневий ряд збігається до деякої аналітичної в даному кільці функції і, навпаки, функції, аналітичній в кільці можна поставити у відповідність ряд Лорана.
Теорема. Функцію , аналітичну в кільці , можна єдиним чином розвинути в ряд Лорана
, (6.7)
коефіцієнти якого визначаються за формулами
, (6.8)
і який є рівномірно збіжним у будь-якому замкненому кільці , де коло , орієнтоване проти годинникової стрілки і лежить в круговому кільці.
Доведення.
► Нехай – довільна точка кругового кільця . Побудуємо такі кола і з центрами в точці і радіусами відпо-відно, що . Тоді за ін-тегральними формулами Коші для багатозв’язної області значення аналітичної функції дорів-нює
. (6.9)
1) Розглянемо перший доданок у формулі (6.9)
. (6.10)
Розвинемо функцію для в ряд за степенями :
. (6.11)
Ряд (6.11) є рівномірно збіжним по , оскільки і ця оцінка не залежить від . Поклавши в (6.11) , отримаємо
. (6.12)
Підставивши (6.12) в (6.10) і почленно проінтегрувавши, отримаємо:
, де . (6.13)
2) Розглянемо другий доданок у формулі (6.9)
. (6.14)
Розвинемо функцію при в ряд за степенями :
. (6.15)
Ряд (6.15) є рівномірно збіжним по , оскільки і ця оцінка не залежить від .
Підставивши (6.15) в (6.14) і почленно проінтегрувавши, отримаємо:
, де . (6.16)
Оскільки підінтегральні функції в обох інтегралах є аналітич-ними у круговому кільці , то за теоремою Коші значення інтегралів не зміниться при деформуванні контуру інтегрування. Об’єднуючи два ряди (6.13) і (6.16), отримуємо розвинення функції в ряд Лорана (6.7), причому коефіцієнти можна виразити єдиною формулою (6.8).
3) Доведемо єдність розвинення функції в ряд Лорана. Припустимо, що всередині кільця має місце ще одне розвинення , де хоча б один коефіцієнт . Тоді для , що належить кільцю
.
На колі обидва ряди збігаються рівномірно. Тому, помноживши їх на , проінтегрувавши почленно і врахувавши, що , отримаємо, що , що суперечить припущенню. Отже, розвинення в ряд Лорана є єдиним. ◄
Приклад 1. Розвинути функцію в ряд Лорана в околі точки і вказати область збіжності отриманого ряду.
▪ Ряд Лорана отримаємо, замінивши на у розвиненні в ряд фун-кції :
.
Ряд є збіжним у кільці і рівномірно збіжним у будь-якому замкненому кільці, яке повністю міститься всередині кільця збіжності. ▪
Приклад 2. Розвинути функцію в ряд Лорана в околі точ- ки і вказати область збіжності отриманого ряду.
▪
.
Ряд є збіжним в кільці і рівномірно збіжним у будь-якому замкненому кільці, яке повністю міститься всередині кільця збіжності. ▪
Приклад 3. Розвинути функцію в ряд Лорана за степеня-ми в областях .
▪ У кожній з цих областей функція є аналітичною. Розкладемо функцію на прості дроби
.
1)
.
Тоді
.
2)
,
.
3)
,
. ▪
§ 7. Ряд Лорана в околі нескінченно віддаленої точки
Означення. Нескінченно віддалена точка називається ізольованою особливою точкою однозначної аналітичної функції , якщо існує таке , що зовні круга функція не має скінчених особливих точок.
Нехай функція аналітична в деякому околі нескінченно віддаленої точки, крім самої точки . Тоді в круговому кільці її можна розвинути в ряд Лорана
. (7.1)
Головною частиною ряду (7.1) є ряд , а правильною – ряд .
На практиці, щоб розвинути функцію в ряд Лорана в околі точки , покладають . При такому конформному відображенні точка перейде у точку , а окіл нескінченно віддаленої точки, в якій фун-кція є аналітичною, перейде в окіл точки , в якому функція є аналітичною. Функцію розвивають в ряд Лорана в околі точки і повертаються до змінної .
Приклад. Розвинути функцію в ряд Лорана в околі точки .
▪ Покладемо : . Роз-винемо функцію в ряд Лорана в околі точки :
.
Повертаючись в отриманому розвиненні до змінної , маємо
. ▪
22.09.2013 13:09-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора