Лекції. Конспект лекцій з Теорія функцій комплексної змінної. Робота № 524893

Лекції

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

УІ

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2013

Тип роботи:

Конспект лекцій

Предмет:

Теорія функцій комплексної змінної

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

ЛЕКЦІЯ 7 Теорія лишків та її застосування § 1. Класифікація та дослідження особливих точок однозначної аналітичної функції Означення 1. Особлива точка аналітичної функції називається ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції , якщо в деякому її околі не має інших особливих точок функції . Лема 1 (про усувну особливість). Нехай функція неперервна в об-ласті і аналітична в області , за виключенням точок кривої . Тоді функція є аналітичною і в точках кривої , тобто у всій області . Зауважимо, що крива , зокрема, може бути і однією точкою . Означення 2. Ізольована особлива точка однозначного характеру функції називається: 1) усувною особливою точкою, якщо існує скінчена границя ; 2) полюсом, якщо ; 3) істотно особливою точкою, якщо не існує. Усувна особлива точка Нехай точка є усувною особливою точкою функції . Тоді (і надалі) вважатимемо, що . Відповідно до леми 1 функція є аналітичною в точці , тобто в крузі . Тому усувну особливу точку називають також неособливою, тобто аналітичною. Приклад 1. Визначити характер особливої точки функції ▪ Для функція . Ця функція є аналі-тичною в точці і . Отже, є усувною особливою точкою функції . ▪ Нехай точка є усувною особливою точкою функції . Тоді (і надалі) вважатимемо, що , і точку будемо також називати неособливою, тобто аналітичною. Означення 3. Точка називається аналітичною точкою функції , якщо функція є аналітичною в кільці і існує скінчена границя . Приклад 2. Визначити характер особливої точки функції . ▪ У кільці функція є аналітичною і . Отже, є усувною особливою точкою функції , тобто аналітичною точкою. ▪ Полюс Лема 2. Нехай точка є полюсом функції . Тоді існує таке чис- ло , що , (1.1) де – аналітична в точці функція. Число називається порядком або кратністю полюса . Щоб знайти порядок полюса функції в точці , необхідно визначити кратність нуля функції в точці і подати функцію у вигляді (1.1). Приклад 3. Визначити порядок полюса функції . ▪ Визначимо кратність нуля функції в точці . Розвинемо функцію в ряд за степенями : . Отже, і точка є нулем функції кратності 2 і полюсом функції порядку 2. ▪ Приклад 4. Визначити порядок полюса функції . ▪ Оскільки функції аналітичні в точці і , то функція є аналітичною в точці і . Для будь-якого з проколеного околу точки маємо, що . Отже, – полюс третього порядку функції . ▪ Нехай точка є полюсом функції , тобто функція є ана-літичною в кільці і . Тоді функція є аналітичною в кільці і , тобто є полюсом функції . Тому існує таке натуральне число , що , де – аналітична в точці функція. Тоді , тобто , (1.2) де функція – аналітична в точці . Число називається порядком полюса функції в точці . Отже, щоб знайти порядок полюса функції в точці , необхідно знайти порядок полюса функції в точці і подати функцію у вигляді (1.2). Приклад 5. Визначити порядок полюса функції . ▪ Покладемо і . Точка є полюсом 1-го порядку функції . Отже, – полюс 1-го порядку функції . ▪ Приклад 6. Показати, що є істотно особливою точкою функцій та . ▪ Обидві функції є аналітичними в області . Але їх границі при не існують (; не існує). ▪ Зауваження. Якщо точка є полюсом функції , то ця точка є істотно особливою для функції . Дослідження особливих точок часто зручно проводити, замінивши дану функцію більш простою еквівалентною функцією. Означення 4. Функції і називаються еквівалентними при , якщо вони аналітичні у проколеному околі точки і . У цьому випадку записують: ~ при . Наприклад, з формули (1.1) випливає, що ~ при . Приклад 7. Визначити особливі точки функції . ▪ Особливими точками функції є точки, в яких дана функція не визначена і тому не аналітична, тобто точки, в яких знаменник функції дорівнює нулю. Розв’язавши рівняння , знаходимо, що . Крім того, точка також є особливою точкою, оскільки значення не визначене. Кожна з точок є ізольованою особливою точкою однозначного характеру, тому що існує проколений окіл точки , в якому функція є аналітичною. Точка є точкою накопичення точок , оскільки . Дослідимо характер точок . 1) . При маємо: ~; ~; ~. Отже, ~, тобто точка – полюс 1-го порядку функції . 2) . Оскільки , а – нуль кратності 3 функції , то точки – полюси 3-го порядку функції . 3) . Довільний проколений окіл точки містить ізольовані особливі точки функції – полюси а тому – неізольована особлива точка функції . ▪ Дослідження особливих точок за допомогою рядів Лорана Якщо точка є ізольованою особливою точкою аналітичної фун-кції , то існує таке число , що в кільці функція буде аналітичною і в цьому кільці функцію можна розвинути у ряд Лорана. Якщо є ізольованою особливою точкою, то функцію можна розвинути в ряд Лорана у кільці . При цьому значення може бути невизначеним або невідомим. Теорема 1. Для того, щоб ізольована особлива точка функції була усувною, необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти головної частини її ряду Лорана дорівнювали нулю, тобто для . Доведення. ► Достатність. Якщо головна частина ряду Лорана відсутня, то ряд Лорана функції є її рядом Тейлора. Тому , тобто точка є усувною ізольованою особливою точкою функції . Необхідність. Нехай – усувна особлива точка функції , тобто існує . Отже, в кільці функція є обме-женою: . Оцінимо коефіцієнти ряду Лорана для : . Якщо , то при . Але інтеграл не залежить від , тому для . ◄ Отже, якщо функція аналітична і обмежена у проколеному околі точки , то – усувна особлива точка функції . Теорема 2. Для того, щоб ізольована особлива точка була полюсом функції , необхідно і достатньо, щоб головна частина її ряду Лорана містила скінчену кількість членів. Доведення. ► Достатність. Нехай в кільці , де . Тоді , де функція аналітична в точці і , тобто – полюс порядку функції . Необхідність. Нехай – полюс порядку функції , тобто в кільці , де функція є аналітичною в точці . Тоді де і тому .◄ Наслідок. З теорем 1 і 2, згідно з принципом виключення третього, випливає, що для того, щоб точка була істотно особливою точкою функції , необхідно і достатньо, щоб головна частина її ряду Лорана містила нескінченну кількість членів. Приклад 8. За допомогою розвинення функції в ряд Лорана показати, що: 1) точка є істотно особливою для функції ; 2) точка є істотно особливою для функції . ▪ 1) Функція є аналітичною в кільці , в якому . Головна частина ряду Лорана містить нескінченну кількість членів, від-мінних від нуля. Отже, – істотно особлива точка функції . 2) У кільці маємо . Оскільки головна частина ряду містить нескінченну кількість членів, відмінних від нуля, то точка є істотно особливою точкою функції . ▪ Теорема 3 (теорема Сохоцького). Нехай – істотно особлива точка функ-ції , аналітичної в кільці . Тоді для будь-якого комплексного числа (скінченого чи ні) існує така послідовність , яка збігається до істотно особливої точки , що . Доведення. ► Нехай . Щоб довести теорему, достатньо показати, що в довільному достатньо малому крузі з центром в точці існують точки, в яких , де – довільне задане додатне число. Припустимо протилежне, а саме, що в деякому околі точки немає точок, в яких значення функції є близьким до значення , тобто існують такі числа , що , . Побудуємо нову функцію , яка в кільці є аналі-тичною і обмеженою . Тоді за теоремою 1 є усувною точкою функції , тобто для цієї функції існує скінчена границя . Якщо , то для функції маємо, що і точка була би полюсом. Якщо , то , і функція , яка є обме-женою в деякому околі точки , повинна би мати в точці усувну особливість. Отримані протиріччя і доводять справедливість теореми для випадку . Нехай . Функція не може бути обмеженою в жодному околі точки , оскільки якщо б вона була обмеженою, то точка була би усувною особливою точкою для функції . Це означає, що для в околі знайдеться така точка , в якій . Отже, в околі істотно особливої точки знайдеться така послідовність , яка збігається до , що . ◄ Зауважимо, що має місце теорема, обернена до теореми 3. Теорема 4. Якщо для функції , аналітичної в околі своєї ізольованої особливої точки , для довільного заданого числа (скінченого чи ні) знайдеться така послідовність , що , то точка є істотно особливою точкою функції . § 2. Лишок однозначної аналітичної функції. Формули обчислення лишків Нехай точка є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції . Тоді в кільці , (2.1) , (2.2) де коло орієнтоване проти годинникової стрілки. Означення 1. Лишком функції в точці називається коефіцієнт ряду Лорана. Позначають лишок у вигляді . (2.3) З формул (2.2), (2.3) отримуємо, що . (2.4) Приклад 1. Знайти лишок функції в точці . ▪ У кільці ряд Лорана функції має вигляд , звідки . ▪ Приклад 2. Знайти лишок функції в точці . ▪ Для точок , які задовольняють нерівність , маємо , звідки . ▪ Означення 2. Лишком функції в точці називається коефіцієнт ряду Лорана при , взятий з протилежним знаком: . (2.5) Тоді . (2.6) Зауваження. Якщо точка є усувною, тобто аналітичною точкою функції , то з означення 1 випливає, що . Але, якщо точка є аналітичною для функції , то лишок може бути і відмінним від нуля. Наприклад, . Обчислення лишку в полюсі і в аналітичній точці . Лема 1. Нехай точка є полюсом порядку функції . Тоді . (2.7) Зокрема, для з формули (2.7) маємо . (2.8) Приклад 3. Знайти лишок функції в точці . ▪ Точка – полюс першого порядку. Тому за формулою (2.8) . ▪ Зауваження. Якщо , де функції – аналітичні в точці і , то . (2.9) Приклад 4. Знайти лишки функції в точках . ▪ Оскільки – полюси першого порядку, то за формулою (2.9) знаходимо . ▪ Лема 2. Нехай – аналітична точка функції . Тоді , (2.10) де . Приклад 5. Знайти лишок функції в точці . ▪ Оскільки , то за формулою (2.10) знаходимо . ▪ § 3. Основні теореми теорії лишків Теорема 1 (основна теорема теорії лишків). Нехай функція аналітич-на в обмеженій замкненій області , за виключенням скінченої кількості особливих точок , які належать області , і неперервна біля межі області аж до . Тоді . (3.1) Доведення. ►Зауважимо, що область може бути і бага-тозв’язною. Так на рисунку межа області складається з кривих . Нехай – об-ласть, отримана з області вилученням кругів . Тоді функція є аналітичною в області і неперервною аж до її межі , а кола орієнтовані проти годинникової стрілки. За інтегральною теоремою Коші , тобто . Врахувавши (2.4), маємо . ◄ Основну теорему про лишки ще називають першою теоремою про лишки. Приклад 1. Обчислити інтеграл , де . ▪ Оскільки точка є полюсом другого порядку, то . За формулою (3.1) знаходимо . ▪ Приклад 2. Обчислити інтеграл , де . ▪ У крузі функція має дві особливі точки: – полюс другого порядку, – полюс першого порядку. Тоді . За формулою (3.1) знаходимо . ▪ Теорема 2 (друга теорема теорії лишків). Нехай функція аналітична в розширеній комплексній площині, за виключенням скінченого числа ізольованих особливих точок і точки . Тоді . (3.2) Доведення. ► Нехай – коло настільки великого радіуса, щоб всі особливі точки функції , за виключенням точки , лежали в області . Тоді за основною теоремою про лишки з (3.1) маємо . З іншого боку, за формулою (2.6), цей інтеграл дорівнює . Об’єднуючи останні дві рівності, отримуємо формулу (3.2). ◄ Приклад 3. Обчислити інтеграл , де . ▪ У кільці функція аналітична, її особливі точки: – істотно особлива, – усувна, тобто аналітична. Тоді за формулою (3.2) . Розвинувши в ряд Лорана функцію для , знаходимо, що . Отже, ▪ Друга терема про лишки дозволяє спростити обчислення інтегралів вздовж замкнених контурів для функцій комплексної змінної у випадку, коли контур інтегрування охоплює велику кількість ізольованих особливих точок, а поза контуром інтегрування є ізольовані особливі точки , кількість яких є значно меншою. Тоді , (3.3) Приклад 4. Обчислити інтеграл , де . ▪ Особливими точками функції є: – істотно особлива, – по-люс п’ятого порядку, – полюс першого порядку. Точка – аналі-тична. Точки та лежать поза областю, обмеженою контуром інтегрування. Тоді за формулою (3.3) . Знайдемо , . Отже, . ▪ § 4. Застосування теорії лишків до обчислення інтегралів Обчислення інтегралів Зведемо інтеграл до інтеграла від аналітичної функції вздовж замкненого контуру . Нехай . Тоді , , а , де – раціональна функція. Приклад 1. Обчислити інтеграл , де . ▪ Після заміни отримаємо . Оскільки , то . ▪ Обчислення невластивих інтегралів Теорема 1. Нехай функція , яка є аналітичним продовженням функції на верхню півплощину , є аналітичною всюди у верх-ній півплощині , за виключенням скінченої кількості ізольо-ваних особливих точок , які лежать вище від дійсної осі. Існують такі додатні числа , що для всіх точок верхньої півплощини, які задовольняють умову , має місце оцінка . (4.1) Тоді існує невластивий інтеграл , який обчислюється за формулою . (4.2) Доведення. ► За умовами теореми функція має у верхній півплощині скінче-ну кількість ізольованих особливих точок . Отже, існує таке число , що всі особливі точки функції лежать в крузі . Розглянемо замкнений контур , який скла-дається з відрізка дійсної осі і півкола . За основною теоремою про лишки маємо або . (4.3) Для маємо . Отже, . (4.4) Права частина рівності (4.3) при не залежить від . Тому при існує границя лівої частини рівності (4.3): . Враховуючи рівність (4.4), маємо . ◄ Зауваження 1. Якщо аналітичне продовження функції у нижню півплощину задовольняє у нижній півплощині умови теореми 1, то . (4.5) Зауваження 2. За формулою (4.2) можна обчислити інтеграл , де – раціональна функція, – многочлени степенів та відповідно, а інтеграл є збіжним. Вважатимемо, що многочле-ни не мають спільних нулів. Такий інтеграл буде збіжним, якщо і . Тоді . Оскільки точки у цьому випадку є полюсами функції , то обчислення інтеграла зводиться до обчислення похідних від раціональних функцій. Зауваження 3. Якщо коефіцієнти многочлена – дійсні, то його нулі є комплексно спряженими, і тому обчислення інтеграла за формулами (4.2) і (4.5) є однаковим, але якщо коефіцієнти многочлена не є дійсними числами, то кількість його нулів у верхній та нижній півплощинах може бути різною. Тоді з формул (4.2) і (4.5) природно вибрати ту, за якою обчислення будуть простішими. Приклад 2. Обчислити інтеграл . ▪ У півплощині функція має полюс п’ятого порядку в точці , а в півплощині функція є аналітичною. За формулою (4.5) знаходимо, що . ▪ Приклад 3. Обчислити інтеграл . ▪ У півплощині функція має полюс четвертого порядку в точці , а в півплощині – полюс четвертого порядку в точці . За формулою (4.2) знаходимо . ▪ Обчислення інтегралів Лема Жордана. Нехай функція є аналітичною у півплощині , за виключенням скінченої кількості ізольованих особливих точок, і рівномірно відносно прямує до нуля при . Тоді для , (4.6) де – півколо , яке лежить у верхній півплощині. Доведення. ► Оскільки функція рівномірно прямує до нуля, то для справедлива оцінка , де .Оцінимо інтеграл для . Покладемо . Тоді і . На відрізку графік функції є симетричним відносно прямої і для . При маємо . Тоді при . ◄ Зауваження 1. Якщо , а функція задовольняє умови леми Жордана у півплощині , то формула (4.6) залишається справедливою при інтегрування вздовж дуги . Зауваження 2. Якщо , , то лема має місце у правій (лівій) півплощині . Зауваження 3. Лема Жордана справедлива і в тому випадку, коли функція задовольняє умови леми у півплощині або . Теорема 2. Нехай функція , яка є аналітичним продовженням функції на верхню півплощину , задовольняє умови леми Жордана і не має особливих точок на дійсній осі. Тоді існує невластивий інтеграл , який обчислюється за формулою . (4.7) Доведення. ► ……◄ Якщо функція дійсна, то прирівнюючи у формулі (4.7) дійсні та уявні частини, отримуємо , (4.8) . (4.9) Зауваження 4. Якщо в умовах теореми 1 функція парна, то формула (4.8) набуває вигляду , (4.10) а якщо – непарна функція, то формула (4.9) набуває вигляду . (4.11) Приклад 4. Обчислити інтеграл . ▪ У півплощині функція має полюс першого поряд-ку у точці . Знайдемо лишок функції в цій точці . За формулою (4.8) знаходимо . ▪ § 5. Логарифмічний лишок. Принцип аргументу. Теорема Руше При дослідженні прикладних задач досить часто необхідно знати кількість нулів або полюсів аналітичної функції в різних областях. Для цього зручно використовувати поняття логарифмічного лишку. Нехай функція аналітична в обмеженій області , за виключен-ням скінченої кількості полюсів. Кожний полюс порядку для є полюсом порядку для її похідної . Якщо ж – нуль кратності для , то він є нулем кратності для похідної . Справді, у цьому випадку і , де . Отже, кожний полюс і кожний нуль функції є простим полюсом функції . Точка , аналітична для функції , в якій , є правильною і для функції . Вираз називають логарифмічною похідною функції . Означення. Логарифмічним лишком аналітичної в точці функції називають лишок у цій точці логарифмічної похідної функції , тобто величину , (5.1) де – простий замкнений контур, який охоплює точку і не містить всередині інших полюсів або нулів функції . Теорема 1 (лема про логарифмічний лишок). Якщо точка – нуль крат-ності аналітичної функції , то логарифмічний лишок функції дорівнює ; якщо – полюс порядку , то логарифмічний лишок дорівнює . Доведення. ► Нехай – нуль кратності . Тоді , і в околі точки . (5.2) Оскільки , то зі співвідношення (5.2) випливає, що лишок функції , тобто логарифмічний лишок функції , дорівнює . Випадок полюса доводиться аналогічно. ◄ Означення. Аналітична функція , яка у скінченій частині комплексної площини не має інших особливих точок, крім полюсів, назива-ється мероморфною функцією. Теорема 2. Нехай – мероморфна функція в області , а – замкнений кусково-гладкий контур, який повністю належить області , і не проходить через нулі та полюси функції . Тоді , (5.3) де – кількість нулів, – кількість полюсів функції в області, обмеженій контуром . При цьому кожний нуль функції рахується стільки разів, якою є його кратність, а кожний полюс стільки разів, яким є його порядок. Ця теорема безпосередньо випливає з теореми про лишки і теореми 1. Щоб з’ясувати геометричний зміст рівності (5.3) розглянемо функцію на контурі . Нехай – деяка фіксована точка замкненого контуру . Вважатимемо цю точку початковою і кінцевою точкою шляху інтегру-вання. Зафіксуємо в точці деяке значення і позначимо його через , а значення після обходу замкненого контуру позначимо через . При обході точкою , починаючи з точки , замкненого контуру у додатному напрямку функція буде неперервно змінюватися і після обходу точкою контуру функція може отримати значення, відмінне від її початкового значення. Оскільки , а , як неперервна однозначна функція від , після обходу замкненого контуру повернеться до свого початкового значення , то зміна може відбутися лише за рахунок зміни . Оскільки (5.4) і , то , (5.5) де – приріст функції при русі точки вздовж кривої у додатному напрямку, починаючи з точки . Оскільки , то з рівності (5.5), знайдемо . (5.6) Порівнюючи (5.3) і (5.6), отримаємо . (5.7) Отже, нами доведена теорема, яка називається принципом аргумента: різниця між кількістю нулів та полюсів функції , які лежать всередині замкненої кривої , дорівнює зміні при обході точкою контуру у додатному напрямку, поділеному на . Оскільки функція неперервна на замкненій кривій , то при обох-ді точкою у додатному напрямку кривої , відповідна їй точка на площині опише деякий замкнений контур . При цьому точка може опинитися як зовні, так і всередині області, обмеженої цим контуром. У першому випадку зміна аргументу функції при повному обході точкою замкненого контуру дорівнює нулю. У другому випадку – кількості повних обертів навколо точки , які здійснить радіус-вектор точки при русі точки вздовж контуру . Звідси випливає друге формулювання принципу аргументу: якщо функція мероморфна в області , обмеженій замкне-ним кусково-гладким контуром , і не має на цьому контурі нулів і полюсів, то різниця між кількістю нулів і полюсів (з урахуванням їх кратності) функції , які лежать всередині області , дорів-нює повній кількості обертів навколо точки , які здійснить радіус-вектор точки , коли точка обходить у додатному напрямку контур . Наслідок. Якщо функція аналітична в обмеженій однозв’язній області , неперервна аж до її межі і , то . (5.8) Зауважимо, що при цьому можна не вимагати неперервності аж до її межі . Якщо – замкнена крива, близька до , то . Перейшовши в цій рівності до границі при , отримуємо формулу (5.8). Формули (5.7) і (5.8) називають принципом аргументу. З’ясуємо геометричний зміст формули (5.8). Нехай – образ кривої при відображенні . Тоді маємо, що , тому – кількість обертів кривої навколо точки . Теорема 3 (теорема Руше). Нехай функції і аналітичні в обмеже-ній однозв’язній області , неперервні аж до її межі і для виконується нерівність . (5.9) Тоді функції і мають в області однакову кількість нулів (з урахуванням їх кратності). Доведення. ► Нехай і – кількості нулів функцій і відповідно в області . З умови (5.9) випливає, що для виконуються нерівності . За формулою (5.8) і з властивостей приросту аргументу отримуємо . Покажемо, що . (5.10) Нехай – образ кривої при відображенні . Оскільки для виконується нерівність , то крива належить кругу , а тому кількість оборотів кривої навколо точки дорівнює нулю і справедлива рівність (5.10). ◄ Приклад 1. Всередині круга знайти кількість коренів рівняння . ▪ Позначимо . Якщо , то , тобто для . За теоремою Руше в крузі кількість коренів заданого рівняння співпадає з кількістю коренів рівняння , тобто дорівнює 4. ▪ Приклад 2. Показати, що у півплощині рівняння (5.11) має єдиний корінь і цей корінь дійсний. ▪ Розглянемо півкруг , де . Межа області складається з відрізка і півкола . Введемо позначення: . Якщо , тобто , то звідки , а . Якщо , то , оскільки . За теоремою Руше в області кількість коренів рівняння (5.11) співпадає з кількістю коренів рівняння , тобто дорівнює 1. Цей корінь рівняння є дійсним, оскільки ліва частина рівняння неперервна при і прямує до при . ▪ Теорема 4 (основна теорема вищої алгебри). У комплексній площині мно-гочлен (5.12) має рівно нулів. Доведення. ► Введемо позначення . Тоді . Оскільки , то існує таке число , що для . За теоремою Руше многочлен у довільному крузі має однакову кількість нулів з функцією , тобто . ◄ Зауваження. Якщо число таке, що для , то всі нулі функції лежать у крузі .

Конспект лекцій Теорія функцій комплексної змінної

avhanova

22.09.2013 13:00

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись

Лекції

Інформація про навчальний заклад

Інформація про роботу

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Коментарі

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Оголошення від адміністратора

Admin

Вхід на сайт

Поскаржитися на роботу