Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Лекції
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
УІ
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Теорія функцій комплексної змінної
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
ЛЕКЦІЯ 7
Теорія лишків та її застосування
§ 1. Класифікація та дослідження особливих точок однозначної аналітичної функції
Означення 1. Особлива точка аналітичної функції називається ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції , якщо в деякому її околі не має інших особливих точок функції .
Лема 1 (про усувну особливість). Нехай функція неперервна в об-ласті і аналітична в області , за виключенням точок кривої . Тоді функція є аналітичною і в точках кривої , тобто у всій області .
Зауважимо, що крива , зокрема, може бути і однією точкою .
Означення 2. Ізольована особлива точка однозначного характеру функції називається:
1) усувною особливою точкою, якщо існує скінчена границя ;
2) полюсом, якщо ;
3) істотно особливою точкою, якщо не існує.
Усувна особлива точка
Нехай точка є усувною особливою точкою функції . Тоді (і надалі) вважатимемо, що . Відповідно до леми 1 функція є аналітичною в точці , тобто в крузі . Тому усувну особливу точку називають також неособливою, тобто аналітичною.
Приклад 1. Визначити характер особливої точки функції
▪ Для функція . Ця функція є аналі-тичною в точці і . Отже, є усувною особливою точкою функції . ▪
Нехай точка є усувною особливою точкою функції . Тоді (і надалі) вважатимемо, що , і точку будемо також називати неособливою, тобто аналітичною.
Означення 3. Точка називається аналітичною точкою функції , якщо функція є аналітичною в кільці і існує скінчена границя .
Приклад 2. Визначити характер особливої точки функції .
▪ У кільці функція є аналітичною і . Отже, є усувною особливою точкою функції , тобто аналітичною точкою. ▪
Полюс
Лема 2. Нехай точка є полюсом функції . Тоді існує таке чис- ло , що
, (1.1)
де – аналітична в точці функція. Число називається порядком або кратністю полюса .
Щоб знайти порядок полюса функції в точці , необхідно визначити кратність нуля функції в точці і подати функцію у вигляді (1.1).
Приклад 3. Визначити порядок полюса функції .
▪ Визначимо кратність нуля функції в точці . Розвинемо функцію в ряд за степенями :
.
Отже, і точка є нулем функції кратності 2 і полюсом функції порядку 2. ▪
Приклад 4. Визначити порядок полюса функції .
▪ Оскільки функції аналітичні в точці і , то функція є аналітичною в точці і . Для будь-якого з проколеного околу точки маємо, що . Отже, – полюс третього порядку функції . ▪
Нехай точка є полюсом функції , тобто функція є ана-літичною в кільці і . Тоді функція є аналітичною в кільці і , тобто є полюсом функції . Тому існує таке натуральне число , що , де – аналітична в точці функція. Тоді , тобто
, (1.2)
де функція – аналітична в точці . Число називається порядком полюса функції в точці .
Отже, щоб знайти порядок полюса функції в точці , необхідно знайти порядок полюса функції в точці і подати функцію у вигляді (1.2).
Приклад 5. Визначити порядок полюса функції .
▪ Покладемо і . Точка є полюсом 1-го порядку функції . Отже, – полюс 1-го порядку функції . ▪
Приклад 6. Показати, що є істотно особливою точкою функцій та .
▪ Обидві функції є аналітичними в області . Але їх границі при не існують (; не існує). ▪
Зауваження. Якщо точка є полюсом функції , то ця точка є істотно особливою для функції .
Дослідження особливих точок часто зручно проводити, замінивши дану функцію більш простою еквівалентною функцією.
Означення 4. Функції і називаються еквівалентними при , якщо вони аналітичні у проколеному околі точки і .
У цьому випадку записують: ~ при .
Наприклад, з формули (1.1) випливає, що ~ при .
Приклад 7. Визначити особливі точки функції .
▪ Особливими точками функції є точки, в яких дана функція не визначена і тому не аналітична, тобто точки, в яких знаменник функції дорівнює нулю. Розв’язавши рівняння , знаходимо, що . Крім того, точка також є особливою точкою, оскільки значення не визначене.
Кожна з точок є ізольованою особливою точкою однозначного характеру, тому що існує проколений окіл точки , в якому функція є аналітичною. Точка є точкою накопичення точок , оскільки . Дослідимо характер точок .
1) . При маємо:
~; ~;
~.
Отже, ~, тобто точка – полюс 1-го порядку функції .
2) . Оскільки , а – нуль кратності 3 функції , то точки – полюси 3-го порядку функції .
3) . Довільний проколений окіл точки містить ізольовані особливі точки функції – полюси а тому – неізольована особлива точка функції . ▪
Дослідження особливих точок за допомогою рядів Лорана
Якщо точка є ізольованою особливою точкою аналітичної фун-кції , то існує таке число , що в кільці функція буде аналітичною і в цьому кільці функцію можна розвинути у ряд Лорана. Якщо є ізольованою особливою точкою, то функцію можна розвинути в ряд Лорана у кільці . При цьому значення може бути невизначеним або невідомим.
Теорема 1. Для того, щоб ізольована особлива точка функції була усувною, необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти головної частини її ряду Лорана дорівнювали нулю, тобто
для .
Доведення.
► Достатність. Якщо головна частина ряду Лорана відсутня, то ряд Лорана функції є її рядом Тейлора. Тому , тобто точка є усувною ізольованою особливою точкою функції .
Необхідність. Нехай – усувна особлива точка функції , тобто існує . Отже, в кільці функція є обме-женою: . Оцінимо коефіцієнти ряду Лорана для :
.
Якщо , то при . Але інтеграл не залежить від , тому для . ◄
Отже, якщо функція аналітична і обмежена у проколеному околі точки , то – усувна особлива точка функції .
Теорема 2. Для того, щоб ізольована особлива точка була полюсом функції , необхідно і достатньо, щоб головна частина її ряду Лорана містила скінчену кількість членів.
Доведення.
► Достатність. Нехай в кільці
, де .
Тоді
,
де функція аналітична в точці і , тобто – полюс порядку функції .
Необхідність. Нехай – полюс порядку функції , тобто в кільці
,
де функція є аналітичною в точці . Тоді де і тому
.◄
Наслідок. З теорем 1 і 2, згідно з принципом виключення третього, випливає, що для того, щоб точка була істотно особливою точкою функції , необхідно і достатньо, щоб головна частина її ряду Лорана містила нескінченну кількість членів.
Приклад 8. За допомогою розвинення функції в ряд Лорана показати, що:
1) точка є істотно особливою для функції ;
2) точка є істотно особливою для функції .
▪ 1) Функція є аналітичною в кільці , в якому
.
Головна частина ряду Лорана містить нескінченну кількість членів, від-мінних від нуля. Отже, – істотно особлива точка функції .
2) У кільці маємо
.
Оскільки головна частина ряду містить нескінченну кількість членів, відмінних від нуля, то точка є істотно особливою точкою функції . ▪
Теорема 3 (теорема Сохоцького). Нехай – істотно особлива точка функ-ції , аналітичної в кільці . Тоді для будь-якого комплексного числа (скінченого чи ні) існує така послідовність , яка збігається до істотно особливої точки , що .
Доведення.
► Нехай . Щоб довести теорему, достатньо показати, що в довільному достатньо малому крузі з центром в точці існують точки, в яких , де – довільне задане додатне число. Припустимо протилежне, а саме, що в деякому околі точки немає точок, в яких значення функції є близьким до значення , тобто існують такі числа , що
, .
Побудуємо нову функцію , яка в кільці є аналі-тичною і обмеженою
.
Тоді за теоремою 1 є усувною точкою функції , тобто для цієї функції існує скінчена границя .
Якщо , то для функції маємо, що і точка була би полюсом.
Якщо , то , і функція , яка є обме-женою в деякому околі точки , повинна би мати в точці усувну особливість.
Отримані протиріччя і доводять справедливість теореми для випадку .
Нехай . Функція не може бути обмеженою в жодному околі точки , оскільки якщо б вона була обмеженою, то точка була би усувною особливою точкою для функції . Це означає, що для в околі знайдеться така точка , в якій . Отже, в околі істотно особливої точки знайдеться така послідовність , яка збігається до , що . ◄
Зауважимо, що має місце теорема, обернена до теореми 3.
Теорема 4. Якщо для функції , аналітичної в околі своєї ізольованої особливої точки , для довільного заданого числа (скінченого чи ні) знайдеться така послідовність , що , то точка є істотно особливою точкою функції .
§ 2. Лишок однозначної аналітичної функції. Формули обчислення лишків
Нехай точка є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції . Тоді в кільці
, (2.1)
, (2.2)
де коло орієнтоване проти годинникової стрілки.
Означення 1. Лишком функції в точці називається коефіцієнт ряду Лорана. Позначають лишок у вигляді
. (2.3)
З формул (2.2), (2.3) отримуємо, що
. (2.4)
Приклад 1. Знайти лишок функції в точці .
▪ У кільці ряд Лорана функції має вигляд
,
звідки . ▪
Приклад 2. Знайти лишок функції в точці .
▪ Для точок , які задовольняють нерівність , маємо
,
звідки . ▪
Означення 2. Лишком функції в точці називається коефіцієнт ряду Лорана при , взятий з протилежним знаком:
. (2.5)
Тоді
. (2.6)
Зауваження. Якщо точка є усувною, тобто аналітичною точкою функції , то з означення 1 випливає, що . Але, якщо точка є аналітичною для функції , то лишок може бути і відмінним від нуля. Наприклад, .
Обчислення лишку в полюсі і в аналітичній точці .
Лема 1. Нехай точка є полюсом порядку функції . Тоді
. (2.7)
Зокрема, для з формули (2.7) маємо
. (2.8)
Приклад 3. Знайти лишок функції в точці .
▪ Точка – полюс першого порядку. Тому за формулою (2.8)
. ▪
Зауваження. Якщо , де функції – аналітичні в точці і , то
. (2.9)
Приклад 4. Знайти лишки функції в точках .
▪ Оскільки – полюси першого порядку, то за формулою (2.9) знаходимо
. ▪
Лема 2. Нехай – аналітична точка функції . Тоді
, (2.10)
де .
Приклад 5. Знайти лишок функції в точці .
▪ Оскільки , то за формулою (2.10) знаходимо
. ▪
§ 3. Основні теореми теорії лишків
Теорема 1 (основна теорема теорії лишків). Нехай функція аналітич-на в обмеженій замкненій області , за виключенням скінченої кількості особливих точок , які належать області , і неперервна біля межі області аж до . Тоді
. (3.1)
Доведення.
►Зауважимо, що область може бути і бага-тозв’язною. Так на рисунку межа області складається з кривих . Нехай – об-ласть, отримана з області вилученням кругів . Тоді функція є аналітичною в області і неперервною аж до її межі , а кола орієнтовані проти годинникової стрілки. За інтегральною теоремою Коші ,
тобто
.
Врахувавши (2.4), маємо
. ◄
Основну теорему про лишки ще називають першою теоремою про лишки.
Приклад 1. Обчислити інтеграл , де .
▪ Оскільки точка є полюсом другого порядку, то
.
За формулою (3.1) знаходимо . ▪
Приклад 2. Обчислити інтеграл , де .
▪ У крузі функція має дві особливі точки: – полюс другого порядку, – полюс першого порядку. Тоді
.
За формулою (3.1) знаходимо
. ▪
Теорема 2 (друга теорема теорії лишків). Нехай функція аналітична в розширеній комплексній площині, за виключенням скінченого числа ізольованих особливих точок і точки . Тоді
. (3.2)
Доведення.
► Нехай – коло настільки великого радіуса, щоб всі особливі точки функції , за виключенням точки , лежали в області . Тоді за основною теоремою про лишки з (3.1) маємо
.
З іншого боку, за формулою (2.6), цей інтеграл дорівнює
.
Об’єднуючи останні дві рівності, отримуємо формулу (3.2). ◄
Приклад 3. Обчислити інтеграл , де .
▪ У кільці функція аналітична, її особливі точки: – істотно особлива, – усувна, тобто аналітична. Тоді за формулою (3.2)
.
Розвинувши в ряд Лорана функцію для , знаходимо, що . Отже, ▪
Друга терема про лишки дозволяє спростити обчислення інтегралів вздовж замкнених контурів для функцій комплексної змінної у випадку, коли контур інтегрування охоплює велику кількість ізольованих особливих точок, а поза контуром інтегрування є ізольовані особливі точки , кількість яких є значно меншою. Тоді
, (3.3)
Приклад 4. Обчислити інтеграл , де .
▪ Особливими точками функції є: – істотно особлива, – по-люс п’ятого порядку, – полюс першого порядку. Точка – аналі-тична. Точки та лежать поза областю, обмеженою контуром інтегрування. Тоді за формулою (3.3)
.
Знайдемо
, .
Отже, . ▪
§ 4. Застосування теорії лишків до обчислення інтегралів
Обчислення інтегралів
Зведемо інтеграл до інтеграла від аналітичної функції вздовж замкненого контуру . Нехай . Тоді
, ,
а , де – раціональна функція.
Приклад 1. Обчислити інтеграл , де .
▪ Після заміни отримаємо
.
Оскільки , то
. ▪
Обчислення невластивих інтегралів
Теорема 1. Нехай функція , яка є аналітичним продовженням функції на верхню півплощину , є аналітичною всюди у верх-ній півплощині , за виключенням скінченої кількості ізольо-ваних особливих точок , які лежать вище від дійсної осі. Існують такі додатні числа , що для всіх точок верхньої півплощини, які задовольняють умову , має місце оцінка
. (4.1)
Тоді існує невластивий інтеграл , який обчислюється за формулою
. (4.2)
Доведення.
► За умовами теореми функція має у верхній півплощині скінче-ну кількість ізольованих особливих точок . Отже, існує таке число , що всі особливі точки функції лежать в крузі .
Розглянемо замкнений контур , який скла-дається з відрізка дійсної осі і півкола . За основною теоремою про лишки маємо
або
. (4.3)
Для маємо . Отже,
. (4.4)
Права частина рівності (4.3) при не залежить від . Тому при існує границя лівої частини рівності (4.3):
.
Враховуючи рівність (4.4), маємо
. ◄
Зауваження 1. Якщо аналітичне продовження функції у нижню півплощину задовольняє у нижній півплощині умови теореми 1, то
. (4.5)
Зауваження 2. За формулою (4.2) можна обчислити інтеграл , де – раціональна функція, – многочлени степенів та відповідно, а інтеграл є збіжним. Вважатимемо, що многочле-ни не мають спільних нулів. Такий інтеграл буде збіжним, якщо і . Тоді
.
Оскільки точки у цьому випадку є полюсами функції , то обчислення інтеграла зводиться до обчислення похідних від раціональних функцій.
Зауваження 3. Якщо коефіцієнти многочлена – дійсні, то його нулі є комплексно спряженими, і тому обчислення інтеграла за формулами (4.2) і (4.5) є однаковим, але якщо коефіцієнти многочлена не є дійсними числами, то кількість його нулів у верхній та нижній півплощинах може бути різною. Тоді з формул (4.2) і (4.5) природно вибрати ту, за якою обчислення будуть простішими.
Приклад 2. Обчислити інтеграл .
▪ У півплощині функція має полюс п’ятого порядку в точці , а в півплощині функція є аналітичною. За формулою (4.5) знаходимо, що . ▪
Приклад 3. Обчислити інтеграл .
▪ У півплощині функція має полюс четвертого порядку в точці , а в півплощині – полюс четвертого порядку в точці . За формулою (4.2) знаходимо
. ▪
Обчислення інтегралів
Лема Жордана. Нехай функція є аналітичною у півплощині , за виключенням скінченої кількості ізольованих особливих точок, і рівномірно відносно прямує до нуля при . Тоді для
, (4.6)
де – півколо , яке лежить у верхній півплощині.
Доведення.
► Оскільки функція рівномірно прямує до нуля, то для справедлива оцінка , де .Оцінимо інтеграл для . Покладемо . Тоді
і .
На відрізку графік функції є симетричним відносно прямої і для . При маємо
.
Тоді
при . ◄
Зауваження 1. Якщо , а функція задовольняє умови леми Жордана у півплощині , то формула (4.6) залишається справедливою при інтегрування вздовж дуги .
Зауваження 2. Якщо , , то лема має місце у правій (лівій) півплощині .
Зауваження 3. Лема Жордана справедлива і в тому випадку, коли функція задовольняє умови леми у півплощині або .
Теорема 2. Нехай функція , яка є аналітичним продовженням функції на верхню півплощину , задовольняє умови леми Жордана і не має особливих точок на дійсній осі. Тоді існує невластивий інтеграл , який обчислюється за формулою
. (4.7)
Доведення. ► ……◄
Якщо функція дійсна, то прирівнюючи у формулі (4.7) дійсні та уявні частини, отримуємо
, (4.8)
. (4.9)
Зауваження 4. Якщо в умовах теореми 1 функція парна, то формула (4.8) набуває вигляду
, (4.10)
а якщо – непарна функція, то формула (4.9) набуває вигляду
. (4.11)
Приклад 4. Обчислити інтеграл .
▪ У півплощині функція має полюс першого поряд-ку у точці . Знайдемо лишок функції в цій точці
.
За формулою (4.8) знаходимо . ▪
§ 5. Логарифмічний лишок. Принцип аргументу. Теорема Руше
При дослідженні прикладних задач досить часто необхідно знати кількість нулів або полюсів аналітичної функції в різних областях. Для цього зручно використовувати поняття логарифмічного лишку.
Нехай функція аналітична в обмеженій області , за виключен-ням скінченої кількості полюсів. Кожний полюс порядку для є полюсом порядку для її похідної . Якщо ж – нуль кратності для , то він є нулем кратності для похідної . Справді, у цьому випадку і
,
де . Отже, кожний полюс і кожний нуль функції є простим полюсом функції . Точка , аналітична для функції , в якій , є правильною і для функції .
Вираз
називають логарифмічною похідною функції .
Означення. Логарифмічним лишком аналітичної в точці функції називають лишок у цій точці логарифмічної похідної функції , тобто величину
, (5.1)
де – простий замкнений контур, який охоплює точку і не містить всередині інших полюсів або нулів функції .
Теорема 1 (лема про логарифмічний лишок). Якщо точка – нуль крат-ності аналітичної функції , то логарифмічний лишок функції дорівнює ; якщо – полюс порядку , то логарифмічний лишок дорівнює .
Доведення.
► Нехай – нуль кратності . Тоді ,
і в околі точки
. (5.2)
Оскільки , то зі співвідношення (5.2) випливає, що лишок функції , тобто логарифмічний лишок функції , дорівнює .
Випадок полюса доводиться аналогічно. ◄
Означення. Аналітична функція , яка у скінченій частині комплексної площини не має інших особливих точок, крім полюсів, назива-ється мероморфною функцією.
Теорема 2. Нехай – мероморфна функція в області , а – замкнений кусково-гладкий контур, який повністю належить області , і не проходить через нулі та полюси функції . Тоді
, (5.3)
де – кількість нулів, – кількість полюсів функції в області, обмеженій контуром . При цьому кожний нуль функції рахується стільки разів, якою є його кратність, а кожний полюс стільки разів, яким є його порядок.
Ця теорема безпосередньо випливає з теореми про лишки і теореми 1.
Щоб з’ясувати геометричний зміст рівності (5.3) розглянемо функцію на контурі . Нехай – деяка фіксована точка замкненого контуру . Вважатимемо цю точку початковою і кінцевою точкою шляху інтегру-вання. Зафіксуємо в точці деяке значення і позначимо його через , а значення після обходу замкненого контуру позначимо через . При обході точкою , починаючи з точки , замкненого контуру у додатному напрямку функція буде неперервно змінюватися і після обходу точкою контуру функція може отримати значення, відмінне від її початкового значення. Оскільки , а , як неперервна однозначна функція від , після обходу замкненого контуру повернеться до свого початкового значення , то зміна може відбутися лише за рахунок зміни .
Оскільки
(5.4)
і
,
то
, (5.5)
де – приріст функції при русі точки вздовж кривої у додатному напрямку, починаючи з точки . Оскільки
,
то з рівності (5.5), знайдемо
. (5.6)
Порівнюючи (5.3) і (5.6), отримаємо
. (5.7)
Отже, нами доведена теорема, яка називається принципом аргумента:
різниця між кількістю нулів та полюсів функції , які лежать всередині замкненої кривої , дорівнює зміні при обході точкою контуру у додатному напрямку, поділеному на .
Оскільки функція неперервна на замкненій кривій , то при обох-ді точкою у додатному напрямку кривої , відповідна їй точка на площині опише деякий замкнений контур . При цьому точка може опинитися як зовні, так і всередині області, обмеженої цим контуром. У першому випадку зміна аргументу функції при повному обході точкою замкненого контуру дорівнює нулю. У другому випадку – кількості повних обертів навколо точки , які здійснить радіус-вектор точки при русі точки вздовж контуру .
Звідси випливає друге формулювання принципу аргументу:
якщо функція мероморфна в області , обмеженій замкне-ним кусково-гладким контуром , і не має на цьому контурі нулів і полюсів, то різниця між кількістю нулів і полюсів (з урахуванням їх кратності) функції , які лежать всередині області , дорів-нює повній кількості обертів навколо точки , які здійснить радіус-вектор точки , коли точка обходить у додатному напрямку контур .
Наслідок. Якщо функція аналітична в обмеженій однозв’язній області , неперервна аж до її межі і , то
. (5.8)
Зауважимо, що при цьому можна не вимагати неперервності аж до її межі . Якщо – замкнена крива, близька до , то . Перейшовши в цій рівності до границі при , отримуємо формулу (5.8).
Формули (5.7) і (5.8) називають принципом аргументу. З’ясуємо геометричний зміст формули (5.8).
Нехай – образ кривої при відображенні . Тоді маємо, що , тому – кількість обертів кривої навколо точки .
Теорема 3 (теорема Руше). Нехай функції і аналітичні в обмеже-ній однозв’язній області , неперервні аж до її межі і для виконується нерівність
. (5.9)
Тоді функції і мають в області однакову кількість нулів (з урахуванням їх кратності).
Доведення.
► Нехай і – кількості нулів функцій і відповідно в області . З умови (5.9) випливає, що для виконуються нерівності
.
За формулою (5.8) і з властивостей приросту аргументу отримуємо
.
Покажемо, що
. (5.10)
Нехай – образ кривої при відображенні . Оскільки
для виконується нерівність
,
то крива належить кругу , а тому кількість оборотів кривої навколо точки дорівнює нулю і справедлива рівність (5.10). ◄
Приклад 1. Всередині круга знайти кількість коренів рівняння
.
▪ Позначимо . Якщо , то , тобто для . За теоремою Руше в крузі кількість коренів заданого рівняння співпадає з кількістю коренів рівняння , тобто дорівнює 4. ▪
Приклад 2. Показати, що у півплощині рівняння
(5.11)
має єдиний корінь і цей корінь дійсний.
▪ Розглянемо півкруг , де . Межа області складається з відрізка і півкола . Введемо позначення: .
Якщо , тобто , то звідки , а . Якщо , то , оскільки .
За теоремою Руше в області кількість коренів рівняння (5.11) співпадає з кількістю коренів рівняння , тобто дорівнює 1. Цей корінь рівняння є дійсним, оскільки ліва частина рівняння неперервна при і прямує до при . ▪
Теорема 4 (основна теорема вищої алгебри). У комплексній площині мно-гочлен
(5.12)
має рівно нулів.
Доведення.
► Введемо позначення . Тоді . Оскільки , то існує таке число , що для .
За теоремою Руше многочлен у довільному крузі має однакову кількість нулів з функцією , тобто . ◄
Зауваження. Якщо число таке, що для , то всі нулі функції лежать у крузі .
22.09.2013 13:09-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора