Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк О. С. Камінський
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
ЗІ
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Задача
Предмет:
Фізика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк
О. С. Камінський
ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ
Частина 1
(механіка, електрика, електромагнетизм)
Міністерство освіти і науки України
Вінницький національний технічний університет
С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк
О. С. Камінський
ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ
Частина 1
(механіка, електрика, електромагнетизм)
Вінниця
ВНТУ
2010
УДК 530(078)
ББК 22.3я77
А18
Рекомендовано до друку Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України (протокол № 5 від 24.12.09 р.)
Рецензенти:
І. О. Сівак , доктор технічних наук, професор
О. В. Осадчук, доктор технічних наук , професор
В. Г. Дзісь, кандидат фізико-математичних наук, доцент
Авдєєв, С. Г.
А18 Збірник задач з фізики. Ч.1 (механіка, електрика, електромагнетизм) : навчальний посібник / С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк, О. С. Камінський. – Вінниця : ВНТУ, 2010. – 123 с.
Збірник задач складається з розділів “Механіка, електрика і електромагнетизм”, які традиційно викладаються в одному триместрі. Кожен окремий розділ супроводжується короткими теоретичними викладками і прикладами розв’язування задач.
В першу чергу збірник задач призначений для організації та проведення практичних занять з курсу загальної фізики студентами вищих технічних навчальних закладів. Велика кількість і різноманітність задач, які ввійшли до збірника задач, дозволяє широко організовувати самостійну та індивідуальну роботу студентів.
УДК 53(078)
ББК 22.3я77
© С. Авдєєв, Т. Бабюк, О. Камінський, 2010
ЗМІСТ
Частина 1
Кінематика. Основні формули 4
Приклади розв’язування задач 7
Динаміка прямолінійного руху. Основні формули 9
Закони збереження. Робота й енергія. Основні формули 10
Приклади розв’язування задач 11
Динаміка твердого тіла. Основні формули 14
Приклади розв’язування задач 18
Гідростатика. Основні формули 25
Задачі 27
Електричне поле у вакуумі. Основні формули 46
Електричне поле у діелектриках. Основні формули 51
Провідники в електричному полі. Основні формули 53
Енергія електричного поля. Основні формули 55
Приклади розв’язування задач 56
Електричний струм. Основні формули 67
Приклади розв’язування задач 71
Задачі 75
Магнетне поле у вакуумі і середовищі. Основні формули 89
Приклади розв’язування задач 95
Електромагнетна індукція. Основні формули 100
Приклади розв’язування задач 102
Рух заряджених частинок в електромагнетному полі. Основні формули 105
Задачі 105
Література 116
Додаток А 117
Частина 1
Кінематика
Основні формули
1. Положення матеріальної точки у просторі задається радіусом-вектором :
де ,, – орти (одиничні вектори в напрямі координатних осей x,y,z);
x, y, z – координати точки.
Кінематичні рівняння руху в координатній формі мають вигляд
,
де t – час.
2. Середня швидкість
де ∆– переміщення матеріальної точки за інтервал часу ∆t .
Середня швидкість на шляху ∆s:
де ∆s – шлях, що пройшла точка за інтервал часу ∆t. Миттєва швидкість
де – проекції швидкості υ на осі координат.
Абсолютне значення швидкості
3. Прискорення
де ax, ay, az – проекції прискорення a на осі координат або
Абсолютне значення прискорення
При криволінійному русі прискорення можна подати як суму нормальної і тангенціальної складових
,
де an і aτ – відповідно нормальне і тангенціальне прискорення. Вони дорівнюють
Тоді можна записати, що
де R – радіус кривини у даній точці траєкторії.
4. Кінематичне рівняння рівномірного руху матеріальної точки вздовж осі x
де x0 – початкова координата.
При рівномірному русі υ = const, a = 0.
5. Кінематичне рівняння рівнозмінного руху (a = const) вздовж осі x
де υ0 – початкова швидкість.
Швидкість точки при рівнозмінному русі
6. При обертанні положення твердого тіла визначається кутом повороту радіуса-вектора . Кінематичне рівняння обертального руху має вигляд
де φ – кут повороту (або кутове переміщення).
7. Середня кутова швидкість
де Δφ – зміна кута повороту за час Δt.
Миттєва кутова швидкість
8. Кутове прискорення
9. Кінематичне рівняння рівномірного обертання
При рівномірному обертанні ω = const, = 0. Частота обертання
або
де N – число обертів, що здійснюється за час t;
Т – період обертання (час одного повного оберту).
10. Кінематичне рівняння рівнозмінного обертання ( = const)
Кутова швидкість тіла при рівнозмінному русі
11. Зв’язок між лінійними та кутовими величинами, що характеризують обертання матеріальної точки, задається такими співвідношеннями:
а) довжина дуги кола радіусом R визначається формулою ( – центральний кут);
б) лінійна швидкість точки
або .
Прискорення точки:
а) тангенціальне
або ;
б) нормальне
або .
Приклади розв’язання задач
Приклад 1. Рівняння руху матеріальної точки вздовж осі х має вигляд х = A + Bt + Ct3 , де A = 2 м; В = 1 м/с; С = - 0,5 м/с3. Знайти координату швидкість і прискорення точки в момент часу 2с.
Дано:
x = A + Bt + Ct3
A = 2 м
В = 1 м/с
С = - 0,5 м/с3
t = 2 c
__________
x – ? – ? a – ?
Розв’язання. Координату точки знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів А, В, С і часу t:
x = ( 2+1(2 - 0,5(23) м = 0 .
Оскільки потрібно знайти швидкість і прискорення в певний момент часу (t = 2 c), то це означає, що потрібно визначити миттєві величини x і ах .
Миттєва швидкість є першою похідною від координати за часом
x = = B + 3Ct2 .
Прискорення точки знайдемо, взявши першу похідну від швидкості за часом,
ax = = 6Ct .
Виконавши необхідні обчислення для моменту часу t = 2 c, одержимо
x = ( 1 - 3 ( 0,5 ( 22) м/с = - 5 м/с ,
аx = 6 ( - 0,5 ) ( 2 м/с2 = - 6 м/с2 .
Приклад 2. Диск радіусом 0,1 м, що перебував у стані спокою, почав обертатися з постійним кутовим прискорення 0,5рад/с2. Знайти тангенціальне, нормальне й повне прискорення точок на ободі диска через дві секунди після початку обертання.
Дано:
R = 0,1 м
((0) = 0
( = 0,5 рад/с2
t = 2с
_______________
а( – ? an – ? a – ?
Розв’язання. Тангенціальні й нормальні прискорення точок тіла, яке здійснює обертальний рух, виражаються формулами
a( = R , ( 1)
an = (2R , ( 2)
де – кутова прискорення тіла;
– відповідні прискорення точок на ободі диска;
R – радіус диска.
В умові задачі задане кутове прискорення, яке визначається формулою
( = . ( 3)
Отже, кутова швидкість точок через час t дорівнює
( = ((0) + ( t, ( 4)
причому за умовою задачі початкова кутова швидкість ((0) = 0.
Виходячи із співвідношень (2) і (4), одержуємо формулу для нормального прискорення
an = (2 R = (2 t2 R.
У момент часу t = 2 с нормальне прискорення дорівнює
an = (2 t2 R = 0,52(22(0,12 = 0,1 м/с2,
тангенціальне прискорення
а( = (R = 0,5(0,1 = 0,05 м/с2,
повне прискорення
а =
Динаміка прямолінійного руху
Основні формули
1. Рівняння руху матеріальної точки (другий закон Ньютона) у векторній формі має вигляд
або у випадку, коли m = const
,
де – геометрична сума сил, що діють на матеріальну точку;
m – маса ;
– прискорення;
– імпульс;
N – кількість сил, що діють на матеріальну точку.
У координатній (скалярній) формі
або
, , ,
де під знаком суми стоять проекції сил Fi на відповідні осі координат.
2. Сила пружності
,
де k – коефіцієнт пружності;
x – абсолютна деформація.
3. Сила гравітаційної взаємодії
,
де G – гравітаційна стала;
m1 і m2 – маси взаємодіючих тіл;
r – відстань між матеріальними точками або тілами.
4. Сила тертя ковзання
,
де ƒ – коефіцієнт тертя;
N – сила нормального тиску.
5. Координати центра мас системи матеріальних точок
, , ,
де ті – маса і-ї матеріальної точки;
х, у, z – координати цієї точки.
Закони збереження. Робота й енергія
Основні формули
1. Закон збереження імпульсу
або ,
де N – кількість матеріальних точок (тіл) системи.
2. Робота, яка виконується постійною силою:
або
де α – кут між напрямками векторів сили F та переміщення ∆r.
3. Робота, яка виконується змінною силою:
де інтегрування здійснюється вздовж траєкторії, що позначається через L.
4. Середня потужність за інтервал часу ∆t
.
5. Миттєва потужність
або .
6. Кінетична енергія матеріальної точки (тіла, що рухається поступально)
або .
7. Потенціальна енергія тіла і сила, що діє на тіло в даній точці поля, пов’язані співвідношенням
або ,
де i , j, k – орти (одиничні вектори в напрямі осей x, y, z).
Якщо поле сил має сферичну симетрію, одержимо такий зв’язок
.
8. Потенціальна енергія пружно-деформованого тіла
.
9. Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок (тіл) масами m1 і m2, що знаходяться на відстані r
.
10. Потенціальна енергія тіла, що міститься в однорідному полі сили тяжіння,
де h (h<<R) – висота тіла над нульовим рівнем (рівнем, потенціальна енергія на якому умовно дорівнює нулю);
R – радіус Землі.
11. У замкненій системі, в якій діють тільки консервативні сили, виконується закон збереження енергії
.
12. Швидкість руху куль після абсолютно непружного удару
.
13. Швидкості руху куль після абсолютно пружного удару
,
,
де m1 і m2 – маси куль;
υ1 і υ2 – швидкості куль до взаємодії.
Приклади розв’язання задач
Приклад 1. Куля масою 9 г, швидкість якої 600 м/с, попадає в дерев'яну стінку й застрягає в ній. Знайти середню силу удару й імпульс, отриманий стінкою, якщо час зіткнення 10 мс.
Дано:
m = 9 г = 9(10-3 кг
= 600 м/с
(t = 10 мс = 10(10-3 с
___________________
<F > – ?
pс – (
Розв’язання. Відповідно до закону збереження імпульсу для довільної замкнутої системи тіл сумарний імпульс системи з часом не змінюється. Це означає, що
Куля до удару мала імпульс m. Оскільки удар непружний, то цей імпульс буде повністю переданий стінці
pс = m,
де (pс – зміна імпульсу стінки;
m – зміна імпульсу кулі.
За другим законом Ньютона для середніх значень маємо
<F>(t = (pc = m.
Звідки середня сила удару кулі <Fc> дорівнює
<F> = .
Проведемо необхідні розрахунки:
рс = m = 9(10-3(600 = 5,4 кг(м/с;
<F> = Н.
При цьому сила <Fc> спрямована вздовж вектора початкової швидкості кулі, яку вона мала перед ударом.
Приклад 2. У кузов візка з піском загальною масою 40 кг, що рухається горизонтально зі швидкістю 5 м/с, попадає камінь масою 10 кг і застрягає в піску. Знайти швидкість візка після зіткнення з каменем, якщо камінь перед попаданням у візок летів зі швидкістю 5 м/с під кутом 60о до горизонту назустріч візку. Сили зовнішнього опору руху візка не враховувати.
Дано:
M = 40 кг
1= 5 м/с
m = 10 кг
2 = 5 м/с
( = 60о
_______________
u – ?
Розв’язання. Оскільки силами опору в задачі можна знехтувати, то для такого руху система є замкнутою й для цієї системи тіл виконується закон збереження імпульсу (точніше, закон збереження горизонтальної складової імпульсу).
Запишемо закон збереження імпульсу в напрямі руху візка
де M – маса візка з піском;
m – маса каменя;
– швидкість візка;
– горизонтальна складова швидкості каменя;
u – швидкість візка і каменя після непружної взаємодії.
Звідки одержуємо
Динаміка твердого тіла
Основні формули
1. Основне рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі
,
де – результуючий момент всіх діючих сил;
– вектор моменту імпульсу тіла.
Вектор моменту імпульсу тіла дорівнює
,
де r – радіус-вектор;
mυ – імпульс тіла.
У випадку постійного моменту інерції
,
де – кутове прискорення;
І – момент інерції тіла (міра інертності тіла при обертальному русі).
2. Момент імпульсу тіла, що обертається відносно осі
.
3. Момент сили F, що діє на тіло відносно осі обертання
,
де l – плече сили – найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили.
4. Момент інерції матеріальної точки відносно нерухомої осі обертання
,
де m – маса точки;
r – відстань від точки до осі обертання.
Момент інерції довільного твердого тіла
де ri – відстань елемента маси ∆mi від осі обертання.
Це ж співвідношення в інтегральній формі (для тіл правильної геометричної форми)
.
Якщо тіло однорідне, тобто його густина ρ однакова по всьому об’єму, то
і ,
де V – об’єм тіла.
Теорема Штейнера. Момент інерції твердого тіла або матеріальної точки відносно довільної осі обертання, але обов’язково паралельній до осі, що проходить через центр мас тіла, дорівнює
,
де І0 – момент інерції цього тіла відносно осі, що проходить через центр мас тіла;
a – відстань між паралельними осями;
m – маса тіла.
5. Закон збереження моменту імпульсу
.
Моменти інерції найпростіших тіл показані в таблиці 1:
Тіло
Вісь, відносно якої
визначається момент інер ції тіла
Формула
моменту інерції
тіла
Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l
Проходить через центр тяжіння стрижня перпендикулярно до нього
Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l
Проходить через кінець стрижня перпендикулярно до нього
І =
Тонке кільце, обруч, труба радіусом R і масою m, маховик радіусом R і масою m
Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи
І = mR2
Круглий однорідний диск (циліндр) радіусом R і масою m
Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи
І =
Однорідна куля масою m і радіусом R
Проходить через центр кулі
І =
Таблиця 1
Для двох взаємодіючих тіл закон збереження моменту імпульсу записується так:
,
де І1, І2 , 1, 2 – моменти інерції і кутові швидкості тіл до взаємодії;
, , , – ті самі величини після взаємодії.
Закон збереження моменту імпульсу для одного тіла із змінним моментом інерції
де І1 і І2 – початковий і кінцевий моменти інерції;
і – початкова і кінцева кутові швидкості тіла.
6. Робота постійного моменту сили М, що діє на тіло, яке здійснює обертання
де – кут повороту тіла.
Миттєва потужність, яка розвивається при обертанні тіла,
.
8 . Кінетична енергія тіла, яке здійснює обертальний рух
9. Кінетична енергія тіла, яке котиться без ковзання вздовж будь-якої площини
де – кінетична енергія поступального руху тіла;
– швидкість руху центра інерції тіла;
– кінетична енергія обертального руху тіла навколо осі, що проходить через центр інерції.
10. Зв’язок між роботою, яка виконується при обертанні тіла і зміною кінетичної енергії
.
11. Зв’язок між фізичними величинами і формулами, які характеризують поступальний і обертальний рух в найпростіших випадках, показаний в таблиці 2:
Таблиця 2
Поступальний рух
Обертальний рух
1
2
Основний закон динаміки
=
= І
1
2
Закони збереження
імпульсу
моменту імпульсу
Робота і потужність
A = Fs
A=M
Кінетична енергія
Продовження таблиці 2
Приклади розв’язання задач
Приклад 1. Куля масою 1кг, рухаючись горизонтально, зіштовхується з нерухомою кулею масою 12 кг. Кулі абсолютно пружні, удар прямий, центральний. Яку частину своєї кінетичної енергії перша куля передала другій?
Дано:
m1 = 1 кг
m2 = 12 кг
2 = 0
Удар пружний
____________
Е = – ?
Розв’язання. При абсолютно пружному центральному зіткненні виконуються закони збереження імпульсу й енергії. Тому з урахуванням того, що друга куля до зіткнення була нерухома, одержуємо два рівняння
m11 = m1 u1 + m2 u2 ,
, (1)
де 1 – швидкість першої кулі до удару;
u1 й u2 – швидкості першої й другої куль після удару.
При цьому із закону збереження імпульсу треба враховувати, що після удару перша й друга кулі рухаються уздовж прямої, по якій рухалася перша куля до удару.
Частина енергії, передана першою кулею другій, визначається співвідношенням
, ( 2)
де Кk1 – кінетична енергія першої кулі до удару;
Кk2 – кінетична енергія другої кулі після удару.
Розв’язавши систему (1), одержуємо
.
Підставивши u2 у формулу (2) і скоротивши на 1 і m1, знаходимо
. ( 3)
Співвідношення (3) симетричне відносно мас куль m1 і m2, тому частина переданої енергії не зміниться, якщо маси куль поміняти місцями.
Підставляючи у вираз (3) числові значення m1 і m2 , одержимо
.
Приклад 2. З похилої площини висотою 1м і довжиною 10 м зсувається тіло масою 1 кг (рис.1). Знайти:
а) кінетичну енергію тіла біля основи похилої площини;
б) швидкість тіла біля основи похилої площини. Коефіцієнт тертя на всьому шляху вважати постійним і рівним 0,05.
Дано:
h = 1 м
l = 10 м
m =1 кг
f = 0,05
_________
Eк – ? – ? Рисунок 1
Роз’язання. Потенціальна енергія тіла при зсуванні з похилої площини переходить у кінетичну енергію й роботу проти сили тертя
mgh = . ( 1)
Але h = l sin, де – кут нахилу похилої площини.
Fтр.= f mg cos( .
1. Кінетичну енергію тіла знайдемо з (1)
Кk=,
де sin = h / l = 0,1 й cos = 0,995.
Підставляючи чисельні значення, одержуємо Кk = 4,9 Дж.
2. Швидкість тіла одержимо з формули кінетичної енергії
= .
Приклад 3. При вертикальному підніманні вантажу масою 4 кг на висоту 9 м постійною силою була виконана робота 80Дж. З яким прискоренням піднімали вантаж?
Дано:
m = 4 кг
h = 2 м
A = 80 Дж
_________
a – ?
Розв’язання. Зовнішні сили виконують роботу, яка йде на збільшення потенціальної енергії вантажу й на надання йому прискорення
A = mgh + mah .
Звідси
a = .
Підставляючи чисельні значення, одержуємо
a = .
Приклад 4. Сталева пружина під дією сили 300 Н видовжується на 2 см. Яку потенціальну енергією буде мати ця пружина при її видовженні на 10 см?
Дано:
F1 = 300 H
x1 = 2 см = м
x2 = 10 см = 10-1 м
__________________
En – ?
Розв’язання. Потенціальна енергія розтягнутої пружини дорівнює
Пn = . ( 1)
При цьому коефіцієнт жорсткості пружини можна визначити із закону Гука
F = kx,
де F – величина зовнішньої сили. Звідси одержуємо
k = F/x = F1 / x1. ( 2)
Якщо вираз (2) підставити в (1), одержуємо
Пn = .
Підставляючи чисельні значення сили й деформацій, знаходимо
Пn = Дж.
Приклад 5. Стрижень довжиною 1,5 м і масою 10 кг може обертатися навколо нерухомої осі, яка проходить через верхній кінець стрижня (рис.2). У нижній кінець стрижня вдаряє куля масою 10 г, що летить у горизонтальному напрямі зі швидкістю 500 м/с, і застрягає в ньому. На який кут відхилиться стрижень після удару?
Дано:
l = 1,5 м Рисунок 2
M = 10 кг
m = 10 г = 10.10-3 кг
– ?
Розв’язання. Оскільки удар кулі в нижній кінець стрижня непружний, то після удару точки нижнього кінця стрижня і кулі будуть рухатися з однаковими швидкостями.
Розглянемо детальніше явища, які відбуваються при ударі. Спочатку куля, вдарившись об стрижень, за достатньо малий проміжок часу приводить його в рух з кутовою швидкістю і надає йому кінетичну енергію К
К = , ( 1)
де I – момент інерції стрижня відносно осі обертання.
Потім стрижень повертається на кут , причому центр мас піднімається на висоту h = .
У відхиленому положенні стрижень буде мати потенціальну енергію
Пп = . ( 2)
Потенціальна енергія стрижня зростає за рахунок зменшення його початкової кінетичної енергії, а тому за законом збереження енергії вони рівні. Прирівнявши праві частини рівності (1) і (2), одержимо
= .
Звідки
( 3)
Момент інерції стрижня відносно осі обертання, яка проходить через кінець стрижня, можна знайти за теоремою Штейнера
I = I0 + M = M l2 + M l2 = M l2 .
Значення моменту інерції підставимо в (3), одержимо
cos = 1 - . ( 4)
Щоб з виразу (4) знайти , необхідно попередньо визначити значення . У момент удару на кулю й на стрижень діють сили тяжіння, лінії дії яких проходять через вісь обертання й спрямовані вертикально вниз. Моменти цих сил відносно осі обертання дорівнюють нулю. Тому при ударі кулі об стрижень буде справедливо використати закон збереження моменту імпульсу.
У початковий момент часу кутова швидкість стрижня (0 = 0, тому його момент імпульсу L01 = I(0 = 0. Куля вдаряється в кінець стрижня й в міру заглиблення в стрижень, надає йому кутового прискорення та бере участь в обертанні стрижня навколо закріпленої осі. Момент імпульсу кулі перед початком удару
L02 = ml ,
де l – відстань точки влучення кулі від осі обертання стрижня.
У кінцевий момент удару стрижень мав кутову швидкість , а куля – лінійну швидкість , рівну лінійній швидкості точок стрижня, які перебувають на відстані l від осі обертання. Оскільки = l, то кінцевий момент імпульс кулі дорівнює
L2 = ml = ml2(.
Застосувавши закон збереження моменту імпульсу, можна записати
L01 + L02 = L1 + L2 або mυ0 l = I( + ml2,
звідки
( 5)
Виконавши обчислення за формулою (5), а потім за формулою (4), знайдемо ( = 0,99 рад/c; cos( = 0,95; ( = 18,19o.
Приклад 6. Диск діаметром 20 см і масою 2 кг обертається навколо осі, яка проходить через його центр. Кут повороту диска змінюється з часом за законом ( = А + Вt + Ct2, де C = -2 рад/c2. Визначити величину гальмівної сили, прикладеної до обода диска.
Дано:
D = 20 см = 0,2 м
m = 2 кг
( = А + Вt + Ct2
C = -2 рад/с2
____________________
Fг – ?
Розв’язання. Плече гальмівної сили відоме. У цьому випадку воно дорівнює радіусу диска R. Тому гальмівну силу, прикладену до обода, можна знайти зі співвідношення
Fг = M / R .
Гальмівний момент М може бути розрахований з основного рівняння динаміки обертального руху М = І, якщо будуть визначені кутове прискорення (у цьому випадку сповільнення) і момент інерції диска I.
Для розрахунку цих двох величин є всі необхідні дані:
( = = 2 C; I = – момент інерції диска.
Таким чином результуюча формула має вигляд
F = = .
Провівши необхідні розрахунки, одержимо
F = -2(1/2) рад/c2 ( 2 кг ( 0,2 м = - 0,4 Н.
Приклад 7. Вал у вигляді суцільного циліндра масою 10 кг насаджений на горизонтальну вісь. На вал намотаний шнур, до вільного кінця якого підвішена гиря масою 2 кг (рис.3). З яким прискоренням буде опускатися гиря, якщо її відпустити?
Дано:
m1 = 10 кг
m2 = 2 кг
__________
a – ?
Розв’язання. Лінійне прискорення a гирі дорівнює тангенціальному прискоренню точок вала, які лежать на його циліндричній поверхні, і пов'язане з кутовим прискоренням вала співвідношенням
a = r , (1)
де r – радіус вала.
Кутове прискорення вала визначається з основного рівняння динаміки обертального руху тіла
Рисунок 3
= M / I, ( 2)
де M – обертальний момент, що діє на вал;
I – момент інерції вала.
Розглядаємо вал як однорідний циліндр (диск). Тоді його момент інерції відносно геометричної осі буде дорівнювати
I = m1 r2.
Обертальний момент M, який діє на вал, дорівнює добутку сили натягу шнура T на радіус вала
M = T r.
Силу натягу шнура знайдемо з таких міркувань. На гирю діють дві сили: сила тяжіння m2g , спрямована вниз, і сила T натягу шнура, спрямована вверх. Рівнодіюча цих сил викликає рівноприскорений рух гирі. За другим законом Ньютона
m2 g – T = m2 a,
звідки
T= m2 (g – a).
Таким чином обертальний момент сил дорівнює
M = m2 (g – a) r.
Підставивши у формулу (2) отримані значення M і I, знайдемо кутове прискорення вала
.
Для визначення лінійного прискорення гирі підставимо цей вираз у формулу (1), одержимо
,
звідки
Гідростатика
Основні формули
1. Витрата рідини в трубці, через яку вона тече:
а) об’ємна витрата рідини QV = S;
б) масова витрата рідини Qm = S,
де S – площа перерізу трубки;
– швидкість протікання рідини;
– густина рідини в трубці.
. Рівняння нерозривності струменя
3. Рівняння Бернуллі для ідеальної нестисливої рідини в загальному випадку
,
де р1 і р2 – статичні тиски у двох умовно виділених перерізах трубки;
і – швидкості рідини в цих перерізах;
і – динамічні тиски рідини в цих самих перерізах;
h1 і h2 – їх висота над деяким рівнем, прийнятим умовно за нульовий;
gh1 і gh2 – гідростатичні тиски.
Якщо обидва перерізи розміщені на одній висоті, рівняння Бернуллі буде мати такий вигляд:
.
4. Швидкість витікання рідини з малого отвору у відкритій широкій посудині
,
де h – глибина, на якій міститься отвір відносно верхнього рівня рідини в посудині.
5. Формула Пуазейля. Об’єм рідини або газу, що протікає за час t через довгу трубку, дорівнює
,
де r – радіус трубки;
l – її довжина;
– різниця тисків на кінцях трубки;
– динамічна в’язкість (коефіцієнт внутрішнього тертя) рідини.
6. Число Рейнольдса для потоку рідини в довгих трубках
,
і для руху кульки в рідині
,
де <> – середня швидкість протікання рідини;
– швидкість кульки;
d – діаметр трубки або діаметр кульки.
Якщо Re<<Reкр – течія рідини ламінарна; Re>>Reкр – рух рідини переходить у турбулентний,
де Reкр – критичне число Рейнольдса; (для руху кульки в рідині Reкр = 0,5; для потоку рідини Reкр = 2300).
7. Формула Стокса. Сила опору F, що діє з боку рідини на кульку, яка повільно рухається в ній, дорівнює
,
де r – радіус кульки;
υ – швидкість руху кульки.
Формула Стокса справедлива для швидкостей при яких Re<<1.
Задачі
1. Прямолінійний рух матеріальної точки описується рівнянням . Знайти екстремальне значення швидкості точки 1 та момент часу t1 від початку руху, коли ця швидкість стає екстремальною.У який момент часу t2 швидкість 2 = 0 ?
Відповідь: t1 = 5,3 c; t2 = 10,66 c.
2. Рівняння руху двох матеріальних точок вздовж прямої лінії, мають вигляд: , де B1 = 12 м/с , і , де B2 = 2 м/с, . У який момент часу швидкості цих точок будуть однаковими? Чому дорівнюють швидкості і прискорення точок у цей момент часу?
Відповідь: t = 1,1 c; = 3,11 м/с; а1 = -8 м/с2; = 3,11 м/с; а2 =1 м/с2.
3. Рівняння руху
05.02.2014 22:02-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора