Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
ЗІ
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Лекція
Предмет:
Фізика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк
Лекції з фізики
(коливання і хвилі, оптика)
Міністерство освіти і науки України
Вінницький національний технічний університет
С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк
Лекції з фізики
(коливання і хвилі, оптика)
Затверджено Вченою радою Вінницького національного технічного університету як курс лекцій для студентів електротехнічних спеціальностей. Протокол № 7 від 27 грудня 2007 р.
Вінниця ВНТУ 2008
УДК 53 (075)
А 75
Рецензенти:
П. М. Зузяк, доктор фізико-математичних наук, професор
І. О. Сівак, доктор технічних наук, професор
В. Г. Дзісь, кандидат технічних наук, доцент
Рекомендовано до видання Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України.
Авдєєв С. Г., Бабюк Т. І.
А 75 Лекції з фізики, (коливання і хвилі, оптика). Курс лекцій, – Вінниця: ВНТУ, 2008. – 138с.
Посібник складено у відповідності з планом кафедри та програмою дисципліни курсу фізики для технічних вузів і пропонується студентам всіх форм навчання.
УДК 53 (075)
© С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк, 2008
З М І С Т
Тема 1. Механічні й електромагнітні коливання.....................................5
1 Гармонічні коливання і їх характеристики............................................ 5
2 Механічні гармонічні коливання............................................................... 8
3 Гармонічний осцилятор. Пружинний, фізичний і математичний
маятники...................................................................................................... 10
4 Вільні гармонічні коливання в коливальному контурі...................... 14
Тема 2. Додавання гармонічних коливань..............................................17
Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакових частот. Биття................................................................................................17
Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу...... 22
Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань і його
розв’язування............................................................................................ 27
Тема 3. Вимушені механічні й електромагнітні коливання....................31
1 Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування..31
Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і
електромагнітних). Резонанс. Резонансні криві. Параметричний
резонанс.................................................................................................. 35
3 Змінний струм.........................................................................................38
4 Резонанс напруг.....................................................................................44
Тема 4. Пружні хвилі...................................................................................45
1 Хвильові процеси. Поздовжні і поперечні хвилі................................ 45
2 Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля............ 47
3 Одновимірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль......... 50
4 Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль............54
Тема 5. Суперпозиція хвиль......................................................................57
1 Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість................................. 57
2 Інтерференція хвиль.................................................................................. 58
3 Стоячі хвилі................................................................................................. 61
Тема 6. Електромагнітні хвилі..................................................................64
1 Природа електромагнітних хвиль............................................................. 64
2 Хвильові рівняння електромагнітних хвиль............................................ 67
3 Енергія електромагнітних хвиль. Вектор Пойнтінга.............................. 71
Тема 7. Інтерференція світла.....................................................................74
1 Принцип накладання двох хвиль. Інтенсивність. Поняття когерент-
ності хвиль.................................................................................................. 74
Інтерференція світла від двох когерентних джерел. Дослід Юнга...... 78
3 Інтерференція в тонких плівках. Кільця Ньютона................................. 81
4 Інтерференція багатьох хвиль................................................................... 86
Тема 8. Дифракція світла............................................................................89
1 Метод зон Френеля. Дифракція Фраунгофера на круглому отворі....... 89
2 Дифракція Фраунгофера на щілині........................................................... 94
3 Дифракційна решітка. Кутова дисперсія і роздільна здатність
дифракційної решітки................................................................................ 98
4 Дифракція рентгенівських променів на просторовій решітці. Формула Вульфа-Брегга...........................................................................................102
Тема 9. Поляризація світла....................................................................103
1 Природне і поляризоване світло...............................................................103
2 Поляризація світла при відбиванні. Закони Брюстера й Малюса....... 107
Подвійне променезаломлення. Звичайний і незвичайний промені.
Призма Ніколя.......................................................................................... 109
Штучна оптична анізотропія. Обертання площини поляризації……..114
Тема 10. Квантова природа випромінювання
1 Теплове випромінювання і його характеристики.......................................... 120
2 Закон Кірхгофа.................................................................................................... 122
3 Закони Стефана – Больцмана і Віна................................................................ 124
4 Формула Планка. Виведення законів Стефана-Больцмана і Віна........ 125
5 Зовнішній фотоефект. Ефект Комптона......................................................... 128
Використана література ...........................................................................137
Тема 1. Механічні й електромагнітні коливання
1. Гармонічні коливання і їх характеристики.
2. Механічні гармонічні коливання.
3. Гармонічний осцилятор. Пружинний, фізичний і математичний маятники.
4. Вільні гармонічні коливання в коливальному контурі.
1. Гармонічні коливання і їх характеристики
Коливаннями називаються рухи або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. Коливальні процеси широко поширені в природі й техніці, наприклад, коливання маятника годинника, змінний електричний струм і т. д. При коливальному русі маятника змінюється координата його центра мас, а у випадку змінного струму – коливаються напруга й струм у колі. Фізична природа коливань може бути різною, тому розрізняють коливання механічні, електромагнітні й ін. Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками й однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходу до вивчення коливань різної фізичної природи.
Коливання будуть вільними (або власними), якщо вони відбуваються за рахунок деякої енергії, переданої коливальній системі в початковий момент часу, при відсутності в наступні моменти часу будь-яких зовнішніх впливів на цю систему. Найпростішими коливаннями є гармонічні коливання, при яких коливна величина змінюється з часом за законом косинуса або синуса. Вивчення гармонічних коливань важливе з двох причин:
1) коливання, які зустрічаються у природі й техніці, при певних наближеннях є гармонічними;
2) різні періодичні процеси (процеси, які повторюються через рівні проміжки часу), можна подавати як суперпозицію гармонічних коливань.
Гармонічні коливання деякої фізичної величини х описуються таким рівнянням
(1)
де А – максимальне значення коливної величини x, яке називається амплітудою коливань;
– колова, або циклічна частота;
φ – початкова фаза коливань для моменту часу t = 0;
– фаза коливань для довільного моменту часу t.
Оскільки косинус змінюється в межах від +1 до -1, то х може набувати значень від +А до -А.
Певні стани системи в процесі гармонічних коливань повторюються
через однаковий проміжок часу Т, який називається періодом коливань. За цей час фаза коливання зростає на 2π, тобто
звідки
(2)
Величина, обернена до періоду коливань
(3)
виконана коливною системою за одиницю часу, називається частотою коливань. Прирівнюючи (2) і (3), одержимо
ω0 = 2.
Одиницею частоти є герц (Гц), це частота такого періодичного процесу, при якому за 1 с відбувається одне повне коливання.
Запишемо першу й другу похідні фізичної величини х гармонічного коливання, тобто визначимо швидкість і прискорення коливання:
(4)
(5)
тобто маємо гармонічні коливання тієї ж циклічної частоти. Амплітуди величин (4) і (5) відповідно дорівнюють і . Фаза швидкості (4) відрізняється від фази фізичної величини (1) на π/2, а фаза прискорення (5) відрізняється від фази фізичної величини (1) на π.
Отже, у моменти часу, коли х = 0, має найбільші значення; коли ж x досягає максимальних від’ємних значень то в ці моменти часу будуть мати найбільші додатні значення (рис. 1).
З рівняння (5) одержуємо диференціальне рівняння гармонічних коливань (де враховано, що х = Acos (ωοt + φ)),
. (6)
Рис. 1
Таким чином, розв’язком диференціального рівняння (6) є вираз (1).
Гармонічні коливання можна зобразити графічно за допомогою методу обертання вектора амплітуди або методу векторних діаграм. Для цього з довільної точки О, взятої на осі х, під кутом φ, який дорівнює початковій фазі коливання, відкладається вектор , модуль якого дорівнює амплітуді А гармонічного коливання (рис. 2).
Рис. 2
Якщо цей вектор привести до обертання з кутовою швидкістю то проекція кінця вектора буде переміщуватися по осі x і набувати значень від -А до + А, а коливна величина буде змінюватися з часом за законом х = Acos(ωοt + φ). У фізиці часто застосовується інший метод, який відрізняється від методу обертання вектора амплітуди лише за формою. У цьому методі коливну величину подають комплексним числом відповідно до формули Ейлера для комплексних чисел
(7)
де – уявна одиниця. Тому рівняння гармонічного коливання (1) можна записати також в експонентній формі так:
(8)
Права частина рівняння (8) є рівнянням гармонічних коливань.
2. Механічні гармонічні коливання
Нехай матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання уздовж осі координат x біля положення рівноваги, прийнятого за початок координат. Тоді залежність координати x від часу t задається рівнянням (1),
(9)
Відповідно до виразів (4) і (5) швидкість і прискорення а коливної точки будуть дорівнювати:
(10)
Сила F = ma, що діє на коливну матеріальну точку масою т, у відповідності з рівнянням (1) дорівнює
Отже, сила, яка діє на матеріальну точку при гармонічних коливаннях, пропорційна зміщенню матеріальної точки від положення рівноваги і спрямована в протилежну сторону.
Кінетична енергія матеріальної точки, яка здійснює прямолінійні гармонічні коливання, дорівнює
(11)
або
К = (12)
Потенціальна енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F, дорівнює
П = - (13)
або
П = (14)
Рис. 3
Додавши (13) і (14), одержимо формулу для повної енергії гармонічного коливання:
(15)
З формул (12) і (14) видно, що К і Π змінюються в часі з частотою, яка у два рази перевищує частоту гармонічного коливання. На рис. 3 показані графіки залежності х, К і Π від часу.
Оскільки середні значення то з формул (11), (13) і (15) випливає, що
3. Гармонічний осцилятор. Пружинний, фізичний і математич-ний маятники
Гармонічним осцилятором називається система, яка описується диференціальним рівнянням вигляду (6):
(16)
Коливання гармонічного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху і служать точною або наближеною моделлю в багатьох задачах класичної і квантової фізики. Прикладами гармонічного осцилятора є пружинний, фізичний і математичний маятники, коливальний контур (для струмів і напруг настільки малих, щоб елементи контуру можна було вважати лінійними).
Пружинний маятник. Пружинний маятник – невеличке тіло масою т, яке підвішене до абсолютно пружної пружині і здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = - kx, де k - коефіцієнт пружності, у випадку пружини, названий жорсткістю (рис. 4).
Рис.4
Диференціальне рівняння коливання маятника буде мати вигляд
або
(17)
З виразів (16) і (1) випливає, що пружинний маятник виконує гармонічні коливання за законом з циклічною частотою і періодом
Формула (17) справедлива для пружних коливань у межах, для яких виконується закон Гука, тобто коли маса пружини мала в порівнянні з масою тіла.
В цьому випадку потенціальна енергія пружинного маятника, згідно з (13) дорівнює
(18)
Фізичний маятник. Фізичний маятник – тверде тіло, яке під дією сили тяжіння виконує гармонічні коливання відносно нерухомої горизонтальної осі, що проходить через точку підвішування і яка не збігається з центром мас С тіла (рис. 5).
Якщо маятник відхилений від положення рівноваги на деякий кут , то відповідно до основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла момент Μ сили Fτ, яка повертає маятник до положення рівноваги буде дорівнювати
(19)
де J – момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через точку О;
l – відстань між точкою підвішування і центром мас маятника;
– сила, яка повертає маятник у попереднє положення, (знак мінус обумовлений тим, що зростання і швидкості завжди протилежні;
sinαα – відповідає малим коливанням маятника, тобто малим відхиленням маятника від положення рівноваги.
Рис. 5
Рівняння (19) можна записати у вигляді
або
Приймаючи, що одержимо рівняння ідентичне з (16), розв’язком якого є функція:
(20)
З виразу (20) випливає, що при малих коливаннях фізичний маятник виконує гармонічні коливання з циклічною частотою і періодом
(21)
де – зведена довжина фізичного маятника.
Точка 0' на продовженні прямої 0С, яка відстоїть від осі підвішування на відстані зведеної довжини L, називається центром коливань фізичного маятника (рис. 5). Застосовуючи теорему Штейнера, можна показати, що 00' завжди більше 0С = l. Точка підвішування 0 і центр коливань 0' мають властивість взаємозамінності, якщо вісь підвішування перенести в центр коливань, то точка 0, в якій розміщувалась раніше вісь підвішування стане новим центром коливань і період коливань фізичного маятника не зміниться.
Математичний маятник. Математичний маятник – ідеалізована система, яка складається з матеріальної точки масою т, підвішеної на нерозтяжній невагомій нитці, і коливається під дією сили тяжіння (рис.6).
Гарним наближенням математичного маятника є невелика важка кулька, підвішена на тонкій довгій нитці. Момент інерції математичного маятника дорівнює
(22)
де l - довжина маятника.
Рис. 6
Оскільки математичний маятник можна подати як окремий випадок фізичного маятника, припустивши, що вся маса фізичного маятника зосереджена в одній точці – центрі мас, то, підставивши вираз (22) у формулу (21), одержимо знайомий вираз для малих коливань математичного маятника:
(23)
Порівнюючи формули (23) і (21), бачимо, що якщо зведена довжина L фізичного маятника дорівнює довжині l математичного маятника, то їх періоди коливань збігаються. Отже, зведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника.
4. Вільні гармонічні коливання у коливальному контурі
Серед різних електричних явищ особливе місце займають електромагнітні коливання, при яких фізичні величини (заряди, струми, електричні і магнітні поля) періодично змінюються. Для виникнення і підтримування електромагнітних коливань необхідні певні системи, найпростішою з який є коливальний контур – ланцюг, який складається з увімкнених послідовно котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю С і резистора опором R.
Розглянемо послідовні стадії коливального процесу в ідеалізованому контурі, опір якого безмежно малий Для виникнення в контурі коливань конденсатор попередньо заряджають, надаючи його обкладкам заряди Q. Тоді в початковий момент часу (рис. 5, а) між обкладками конденсатора виникне електричне поле, енергія якого
Замкнувши конденсатор на котушку індуктивності, він почне розряджатися й у контурі потече зростаючий з часом струм I. У результаті енергія електричного поля буде зменшуватися, а енергія магнітного поля котушки – зростати.
Оскільки , то, відповідно до закону збереження енергії, повна енергія контуру буде дорівнювати
тому що енергія на нагрівання провідників у такому коливальному контурі не витрачається. У момент часу , коли конденсатор повністю розрядиться, енергія електричного поля зменшується до нуля, а енергія магнітного поля, а отже і струм досягають найбільшого значення (рис. 5,б). Починаючи з цього моменту часу струм у контурі буде зменшуватися; отже, почне слабшати магнітне поле котушки й індукований у ній струм, який тече (відповідно до правила Ленца) у тому ж напрямку, що й струм розрядки конденсатора. Конденсатор почне перезаряджатися, при цьому виникне електричне поле, яке намагатиметься послабити струм, який зрештою зменшується до нуля, а заряд на обкладках конденсатора досягне максимуму (рис. 5, в). Далі ті ж процеси почнуть протікати в зворотному напрямку (рис. 5, г) і система до моменту часу t = Τ прийде в початковий стан (рис. 5, а). Після цього почнеться повторення розглянутого циклу розрядки і зарядки конденсатора.
Якби втрат енергії не було, то в контурі відбувалися б періодичні незагасаючі коливання, тобто періодично змінювалися (коливалися) б заряд Q на обкладках конденсатора, напруга U на конденсаторі і сила струму I, яка тече через котушку індуктивності.
Отже, у контурі виникають електричні коливання з періодом Т, причому протягом першої половини періоду струм тече в одному напрямку, протягом другої половини – у зворотному. Коливання супроводжуються перетвореннями енергій електричних і магнітних полів.
Електричні коливання у коливальному контурі можна зіставити з механічними коливаннями маятника (рис. 7), які супроводжуються взаємними перетвореннями потенціальної і кінетичної енергій маятника.
У даному випадку потенціальна енергія маятника аналогічна енергії електричного поля конденсатора , кінетична енергія маятника – енергії магнітного поля котушки , а швидкість руху маятника – силі струму в контурі.
Рис.7
Роль інерції маятника буде зводитися до самоіндукції котушки, а роль сили тертя, яке діє на маятник – до опору контуру.
Відповідно до другого правила Кірхгофа, для контуру, який містить котушку індуктивністю L, конденсатор ємністю С і резистор опором R маємо
,
де IR – спад напруги на резисторі;
– напруга на конденсаторі;
– е.р.с. самоіндукції, яка виникає в котушці при протіканні в ній змінного струму ( - єдина е.р.с. у контурі).
Отже,
. (24)
Розділивши (24) на L і підставивши і , одержимо диференціальне рівняння коливань заряду Q у контурі:
(25)
У даному коливальному контурі зовнішні е. р. с. відсутні, тому розглянуті коливання є вільними коливаннями. Якщо опір R = 0, то вільні електромагнітні коливання у контурі є гармонічними. Тоді з (25) одержимо диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань заряду Q в контурі:
(26)
З виразу (26) випливає, що заряд Q в коливальному контурі виконує гармонічні коливання за законом
(27)
де Qm – амплітуда коливань заряду конденсатора з циклічною частотою ω0, яка називається власною частотою контуру:
(28)
і періодом
(29)
Формула (29) вперше була отримана Томсоном і називається формулою Томсона.
Сила струму в коливальному контурі буде дорівнювати
(30)
де – амплітуда сили струму.
Напруга на конденсаторі
(31)
де — амплітуда напруги.
З виразів (30) і (31) випливає, що коливання струму I випереджають за фазою коливання заряду Q на π/2, тобто коли струм досягає максимального значення, заряд (також і напруга) зменшуються до нуля і навпаки.
Цей взаємозв'язок був установлений при розгляді послідовних стадій коливального процесу в контурі і на підставі енергетичних міркувань. Вільні електромагнітні коливання в контурі є незгасаючими.
Тема 2. Додавання гармонічних коливань
Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакових частот. Биття.
Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу.
3. Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань і його розв’язування.
Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти. Биття
Розглянемо додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x. Запишемо рівняння цих коливань
(1)
Циклічні частоти ω в обох випадках однакові. Зміщення x від положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою
або
(2)
Для знаходження результуючої амплітуди А і початкової фази результуючого коливання φ використаємо векторну діаграму (рис.1).
Оскільки вектори і обертаються з однаковою циклічною частотою ω, то різниця фаз між ними залишається постійною. Результуючу амплітуду А в цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто
(3)
або з урахуванням того, що одержуємо:
Рис.1
(4)
і
(5)
Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює
(6)
Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо
(7)
Як видно з (7), сумарне коливання має такий же напрям і відбувається з тією ж циклічною частотою ω. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз обох коливань.
Якщо де (), то ;
Якщо де (), то .
Оскільки може набувати значень від –1 до +1, то межі зміни амплітуди будуть такими:
(8)
Окремим випадком можна розглядати додавання коливань з близькими циклічними частотами і (). Періодична зміна амплітуди з часом, яка відбувається в цьому випадку, називається биттям. Нехай додаються два гармонічних коливання з амплітудами і близькими циклічними частотами і . Початкові фази таких гармонічних коливань можна вибрати однаковими, тому
(9)
(10)
Різниця фаз двох коливань (9) і (10) буде дорівнювати .
Скористаємось теоремою косинусів для визначення амплітуди биття
(11)
Замінимо вираз в квадратних дужках у відповідності з формулою
(12)
Вираз (12) підставимо в (11)
. (13)
або
(14)
Фаза результуючого коливання для довільного проміжку часу знаходиться із графіка (рис.2)
(15)
Результуюче коливання биття матиме вигляд:
(16)
де – амплітуда биття.
Рис.2
Графік залежності (16) має вигляд (рис 3):
Рис. 3
Періодичність зміни амплітуди від максимуму до максимуму дає час, який називається періодом биття
, звідки (17)
Періодичність зміни амплітуди високочастотних коливань визначається за формулою
, звідки (18)
Оскільки циклічні частоти досить близькі, то наближено
(19)
За час відбувається n гармонічних високочастотних коливань, тому
(20)
З урахуванням співвідношень (17) і (19) вираз (20) перепишеться
(21)
звідки а для частот
В процесі биття частоти генераторів визначаються в таких межах:
(22)
Биття використовується для градуювання шкал невідомих генераторів в процесі їх виготовлення. Додавання однаково направлених коливань забезпечує амплітудну модуляцію в радіотехніці, а також проміжну частоту супергетеродинного прийому радіо- і телепередач.
2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу
Нехай матеріальна точка С одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою циклічною частотою у взаємо перпендикулярних напрямках (рис. 4).
Рис.4
При збудженні коливань матеріальна точка С буде рухатись по деякій криволінійній траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.
Рівняння коливань точки в напрямках осі x і осі y матимуть вигляд
(23)
де – спільна різниця фаз цих коливань.
Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь час t.
В результаті отримаємо
(24)
Рівняння (24) є рівнянням траєкторії результуючого коливання точки С. Це рівняння є еліпсом, осі якого повернуті відносно осей x і y. Орієнтація еліпса і величина його півосей залежить від амплітуд і і різниці фаз .
Розглянемо окремі випадки.
Нехай , де Тоді
звідки
(25)
Результуюче коливання є гармонічним коливанням вздовж прямої з частотою ω і амплітудою (рис.5).
Рис.5
Пряма утворює з віссю x кут
Нехай де
У цьому випадку
звідки
(26)
Результуючий рух – це гармонічне коливання вздовж прямої (рис.6).
Нехай де В результаті одержуємо рівняння
(27)
Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам (рис. 7). Якщо , то еліпс перетворюється в коло.
Рис.6
Рис.7
Два окремі випадки і відрізняються напрямком коливання по еліпсу або по колу. У випадку, коли циклічні частоти взаємно перпендикулярних коливань, що додаються, різні, то замкнута траєкторія результуючого коливання досить складна.
Замкнуті траєкторії, які рисуються одночасно коливальною точкою у взаємно перпендикулярних напрямках, називаються фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз коливань, які додаються.
На рис. 8 показана одна із найпростіших траєкторій, одержаних при додаванні взаємно перпендикулярних коливань з відношенням циклічних частот 1:2 і різниці фаз . Рівняння коливань мають вигляд:
, . (28)
Рис. 8
Якщо відношення частот дорівнює 1:2, а різниця фаз , то траєкторія коливань точки вироджується в незамкнуту криву (рис. 9), вздовж якої рухається точка то в одну то в протилежну сторони.
Рис. 9
Чим ближче до одиниці буде відношення частот , тим складнішою буде фігура Ліссажу. Для прикладу на рис. 10 наведена крива фігури Ліссажу з відношенням частот 3:4 і різницею фаз .
Рис. 10
3. Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань і його розв’язування
Розглянемо вільні згасаючі коливання, амплітуда яких внаслідок втрат енергії реальною коливальною системою зменшується з часом. Найпростішим механізмом зменшення енергії коливань є її перетворення в теплоту внаслідок тертя в механічних коливальних системах, а також омічних втрат і випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.
Закон згасання коливань визначається властивостями коливальних систем. Як правило розглядають лінійні системи – ідеалізовані реальні системи, у яких параметри, які визначають фізичні властивості системи, у ході процесу не змінюються. Лінійними системами є, наприклад, пружинний маятник при малих деформаціях пружини (в межах дії закону Гука), коливальний контур, індуктивність, ємність і опір якого не залежать ні від струму в контурі, ні від напруги. Різні за своєю природою лінійні системи описуються ідентичними лінійними диференціальними рівняннями, які дозволяють підходити до вивчення коливань різної фізичної природи з єдиної точки зору.
Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань лінійної системи задається у вигляді
(29)
де x – коливна величина, яка описує той або інший фізичний процес;
– коефіцієнт згасання;
ω0 – циклічна частота вільних незгасаючих коливань цієї ж коливальної системи, тобто при (при відсутності втрат енергії).
Щоб знайти розв’язок рівняння (29), слід фізичну величину х виразити через нову змінну z відповідно до рівняння
(30)
де z = z (t).
Після підстановки першої і другої похідних від рівності (30) в рівняння (29) одержимо
(31)
Розв’язок рівняння (31) залежить від знака коефіцієнта перед шуканою величиною. Розглянемо випадок, коли цей коефіцієнт додатний, тобто .
Тоді одержимо рівняння типу
(32)
де
. (33)
Розв’язком рівняння (32) є рівняння типу (9) першої теми:
(34)
Після підстановки (34) у (30) для випадку малих загасань одержуємо розв’язок рівняння (29) у такому вигляді:
(35)
де ─ амплітуда згасаючих коливань;
Ао – початкова амплітуда.
Залежність (35) показана на рис. 11 суцільною лінією, а амплітуда коливань – пунктирними лініями.
Проміжок часу , протягом якого амплітуда згасання коли- вань зменшується у е разів, називається часом релаксації.
Згасання порушує періодичність коливань, тому згасаючі коливання не є періодичними, і до них поняття періоду або частоти незастосовне.
Однак якщо згасання малі, то можна умовно користуватися поняттям періоду як проміжку часу між двома послідовними максимумами (або мінімумами) коливань тієї чи іншої фізичної величини (рис. 11).
Період згасаючих коливань з урахуванням формули (33) дорівнює
(36)
Рис. 11
Якщо Α (t) і Α (t + T) – амплітуди двох послідовних коливань, які відповідають моментам часу, що відрізняються на один період, то їх відношення
,
називається декрементом згасання, а його логарифм
(37)
називається логарифмічним декрементом згасання, а величина N визначає число коливань, які виконує коливальна система за час зменшення амплітуди в е разів.
Для характеристики втрат енергії коливальною системою з часом, користуються поняттям добротності , яка при малих значеннях логарифмічного декремента є помноженим на 2 відношенням повної накопленої системою енергії до середніх втрат енергії цією системою за час в один період, тобто
(38)
де W ─ повна енергія системи;
ΔW(T) ─ середні втрати енергії системою за час в один період (t=T).
Повна енергія коливальної системи в момент часу t дорівнює
(39)
Енергія коливальної системи через час в один період дорівнює
(40)
Втрати енергії системою за час в один період легко знайти відніманням від співвідношення (39) співвідношення (40), тобто
(41)
Добротність коливальної системи одержимо, якщо поділити (39) на (41) і помножити одержану величину на 2
(42)
де δ – логарифмічний декремент згасання.
У виразі (42) враховано, що відношення
У випадку, коли , то в формулі (42) період коливань T приймають рівним T0.
Тема 3. Вимушені механічні й електромагнітні коливання
1. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування.
2. Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і електромагнітних). Резонанс. Резонансні криві. Параметричний резонанс.
3. Змінний струм.
4. Резонанс напруг.
1. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування
Щоб у реальній коливальній системі одержати незгасаючі коливання, треба компенсувати цій системі втрати енергії. Таку компенсацію можна здійснити за допомогою будь-якого періодично діючого фактора X(t), який змінюється за гармонічним законом:
Для механічних коливань пружинного маятника роль X(t) відіграє зовнішня вимушувальна сила
(1)
З урахуванням цієї сили закон руху пружинного маятника запишеться у вигляді
Якщо скористатися позначеннями , , то прийдемо до рівняння
(2)
Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв’язок такого рівняння має складатися з двох частин, загального розв’язку відповідного рівняння без правої сторони і окремого розв’язку цього рівняння з правою стороною, тобто
де A0 ─ амплітуда зміщення в початковий момент часу (t=0);
А ─ амплітуда коливань, які будуть усталені через деякий час.
Через деякий час t1, завдяки дії вимушувальної сили F0 , амплітуда коливань досягне максимального
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора