Варіаційні задачі в параметричній формі. Курсова робота з Методи оптимізації та дослідження операцій. Робота № 526081

Варіаційні задачі в параметричній формі

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Інститут прикладної математики та фундаментальних наук

Факультет:

ЗІ

Кафедра:

Кафедра прикладної математики

Інформація про роботу

Рік:

2014

Тип роботи:

Курсова робота

Предмет:

Методи оптимізації та дослідження операцій

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка» Інститут прикладної математики та фундаментальних наук Кафедра прикладної математики Курсова робота на тему: «Варіаційні задачі в параметричній формі» з курсу «Методи оптимізації» В даній курсовій роботі розглянуто варіаційні задачі в параметричній формі, наведені основні означення та приклади. Зміст Вступ……………………………………………………………………..……………...4 Основні поняття варіаційного числення…………………………….…………...5 Варіаційні задачі в параметричній формі……………………………..………...6 Рівняння Ейлера для знаходження екстремумів………………………..……...9 Додаток………………………………………………………………………………..10 Висновок……………………………………………………………………….…..…..13 Використана література………………………………………………….………14 Вступ Варіаційне числення — це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів. Саме це числення почалося із задачі про брахістрохрону – криву лінію, рухаючись по якій без тертя матеріальна точка під дією сили тяжіння найшвидше досягне фіксованої фінішної точки. Основна задача варіаційного числення полягає у розробці методів вирішення задач на екстремум процесів, що описуються функціями з нескінченним числом змінних. Отже, варіаційне числення є частиною вищої математики, де розглядаються умови екстремуму функціонала. Основні поняття варіаційного числення Варіаційне числення встановлює умови, при яких функціонали досягають свого екстремуму. Однією з перших задач варіаційного числення була задача Бернуллі про брахістохрону (1696 р.). У вертикальній площині дані дві точки, О і B (рис. 1). По якій лінії скотиться важка матеріальна точка, залишаючись у цій площині, з верхньої точки в нижню за найменший проміжок часу? Опором руху нехтуємо. рис 1. Задача зводиться до пошуку мінімуму функціонала . Перший розв`язок цієї задачі належав Якову Бернуллі, другий – Лопіталю, третій – Ньютону. Назва «варіаційне» числення походить від методу варіацій, за допомогою якого розв`язуються екстремальні задачі. Варіаційні задачі в параметричній формі В багатьох варіаційних задачах розв`язок зручніше шукати в параметричному вигляді. Наприклад, в ізопериметричній задачі про знаходження замкненої кривої даної довжини l, яка обмежує максимальну площину S, незручно шукати розв`язок у вигляді , оскільки по самому сенсу задачі функція неоднозначна (рис. 2), тому в розглянутій задачі потрібно шукати розв’язок в параметричній формі: , . Отже, в даному випадку потрібно шукати екстремум функціонала за умови , де l – постійна. Нехай при дослідженні на екстремум деякого функціонала виявилося більш цілеспрямованим шукати розв’язок в параметричній формі ; тоді функціонал набуває вигляду: . Відмітимо, що підінтегральна функція , отримана після перебудови змінних, не містить t явно і є по відношенню до змінних і однорідною функцією першого степеня однорідності. Таким чином, функціонал є не довільним функціоналом вигляду , який залежить від двох функцій і , а лише досить окремим випадком такого функціонала, оскільки його підінтегральна функція не містить явно t і однорідна першого степеня однорідності по відношенню до змінних і . Якщо би ми перейшли до якого-небудь іншого параметричного представлення шуканої кривої , то функціонал набув би вигляду . Отже, підінтегральна функція функціонала v не змінює свого вигляду при зміні параметричного представлення кривої. Таким чином, функціонал v залежить від вигляду кривої, а не від її параметричного представлення. Неважко впевнитись в справедливості наступного твердження: якщо підінтегральна функція функціонала не містить t явно і є однорідною функцією першого степеня однорідності відносно і , то функціонал залежить тільки від вигляду кривої , а не від її параметричного представлення. Дійсно, нехай , де . Перейдемо до нового параметрчного представлення вважаючи , . Тоді . Через те, що Ф є однорідною функцією першого степеня однорідності відносно і , будемо мати звідки , тобто, підінтегральна функція не змінилась при зміні параметричного представлення. Довжина дуги , площина, обмежена деякою кривою , є прикладами таких функціоналів. Рівняння Ейлера для знаходження екстремумів Для знаходження екстремумів функціоналів , де Ф – однорідна функція першого степеня однорідності відносно і , як і для функціонала з довільною підінтегральною функцією , потрібно розв`язати систему рівнянь Ейлера ; . Проте, у даному випадку, ці рівняння не є незалежними, оскільки їм повинні задовольняти разом з деяким розв`язком і будь-які інші пари функцій, що дають інше параметричне представлення тієї ж кривої, що у випадку незалежності рівнянь Ейлера привело б до суперечності з теоремою існування. Це вказує на те, що для функціонала вигляду , де Ф-однорідна функція першого степеня однорідності відносно і , одне з рівнянь Ейлера є наслідком іншого. Для знаходження екстремумів потрібно взяти одне з рівнянь Ейлера і проінтегрувати його разом з рівнянням, що визначає вибір параметра. Наприклад до рівняння можна приєднати рівняння , вказуюче, що за параметр взята довжина дуги кривої. Додаток Приклад. З точки А до точки В під дією сили тяжіння скочується точка масою m. Серед усіх неперервних функцій, що з'єднують ці точки, знайти ту, за якою точка скотиться за найменший інтервал часу. Позначимо s - шлях, v - швидкість , t - час руху точки по кривій y(x). За законами фізики , , (закон Галілея); . Час руху точки вздовж кривої можна визначити як . Оскільки від const функціонал не залежить, то відкидаємо і одержуємо функціонал, що будемо мінімізувати . Підінтегральна функція не залежить від х, отже, використовуємо окремий випадок рівняння Ейлера . Для даної функції і рівняння Ейлера має вигляд . Проводячи спрощення, отримуємо . Остаточно маємо – це рівняння Лагранжа. Інтегруємо в параметричній формі за допомогою заміни . Підстановка її в рівняння надає вигляду , , , , . Остаточно одержуємо рівняння множини кривих в параметричній формі (циклоїда) Оскільки крива проходить через точку А(0,0) то в ній кут ; Значення в точці і визначаються з умови . Значення знайдемо, використовуючи методи розв'язання нелінійних рівнянь (ітераційні, наприклад). Згодом можна визначити і із системи . У такий спосіб рівняння екстремалі знайдено. Висновок Варіаційне числення встановлює умови, при яких функціонали досягають свого екстремуму. Вони є одними з найефективніших в якісному і кількісному відношеннях. Назва «варіаційне» числення походить від методу варіацій, за допомогою якого розв`язуються екстремальні задачі. В багатьох варіаційних задачах розв`язок зручніше шукати в параметричному вигляді. Варіаційне числення безпосередньо відноситься до елементарної теорії екстремумів. Використана література Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: “Наука”. 1969. Л.Я. Цлаф. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. – М.: “Наука”. 1970.

Курсова робота Методи оптимізації та дослідження операцій

12345123

17.05.2014 10:56

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись