Варіаційні задачі в параметричній формі. Курсова робота з Методи оптимізації та дослідження операцій. Робота № 526081

Перехід до торгівельного партнера Binance

Варіаційні задачі в параметричній формі

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Інститут прикладної математики та фундаментальних наук

Факультет:

ЗІ

Кафедра:

Кафедра прикладної математики

Інформація про роботу

Рік:

2024

Тип роботи:

Курсова робота

Предмет:

Методи оптимізації та дослідження операцій

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка» Інститут прикладної математики та фундаментальних наук Кафедра прикладної математики Курсова робота на тему: «Варіаційні задачі в параметричній формі» з курсу «Методи оптимізації» В даній курсовій роботі розглянуто варіаційні задачі в параметричній формі, наведені основні означення та приклади. Зміст Вступ……………………………………………………………………..……………...4 Основні поняття варіаційного числення…………………………….…………...5 Варіаційні задачі в параметричній формі……………………………..………...6 Рівняння Ейлера для знаходження екстремумів………………………..……...9 Додаток………………………………………………………………………………..10 Висновок……………………………………………………………………….…..…..13 Використана література………………………………………………….………14 Вступ Варіаційне числення — це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів. Саме це числення почалося із задачі про брахістрохрону – криву лінію, рухаючись по якій без тертя матеріальна точка під дією сили тяжіння найшвидше досягне фіксованої фінішної точки. Основна задача варіаційного числення полягає у розробці методів вирішення задач на екстремум процесів, що описуються функціями з нескінченним числом змінних. Отже, варіаційне числення є частиною вищої математики, де розглядаються умови екстремуму функціонала. Основні поняття варіаційного числення Варіаційне числення встановлює умови, при яких функціонали досягають свого екстремуму. Однією з перших задач варіаційного числення була задача Бернуллі про брахістохрону (1696 р.). У вертикальній площині дані дві точки, О і B (рис. 1). По якій лінії скотиться важка матеріальна точка, залишаючись у цій площині, з верхньої точки в нижню за найменший проміжок часу? Опором руху нехтуємо. рис 1. Задача зводиться до пошуку мінімуму функціонала . Перший розв`язок цієї задачі належав Якову Бернуллі, другий – Лопіталю, третій – Ньютону. Назва «варіаційне» числення походить від методу варіацій, за допомогою якого розв`язуються екстремальні задачі. Варіаційні задачі в параметричній формі В багатьох варіаційних задачах розв`язок зручніше шукати в параметричному вигляді. Наприклад, в ізопериметричній задачі про знаходження замкненої кривої даної довжини l, яка обмежує максимальну площину S, незручно шукати розв`язок у вигляді , оскільки по самому сенсу задачі функція неоднозначна (рис. 2), тому в розглянутій задачі потрібно шукати розв’язок в параметричній формі: , . Отже, в даному випадку потрібно шукати екстремум функціонала за умови , де l – постійна. Нехай при дослідженні на екстремум деякого функціонала виявилося більш цілеспрямованим шукати розв’язок в параметричній формі ; тоді функціонал набуває вигляду: . Відмітимо, що підінтегральна функція , отримана після перебудови змінних, не містить t явно і є по відношенню до змінних і однорідною функцією першого степеня однорідності. Таким чином, функціонал є не довільним функціоналом вигляду , який залежить від двох функцій і , а лише досить окремим випадком такого функціонала, оскільки його підінтегральна функція не містить явно t і однорідна першого степеня однорідності по відношенню до змінних і . Якщо би ми перейшли до якого-небудь іншого параметричного представлення шуканої кривої , то функціонал набув би вигляду . Отже, підінтегральна функція функціонала v не змінює свого вигляду при зміні параметричного представлення кривої. Таким чином, функціонал v залежить від вигляду кривої, а не від її параметричного представлення. Неважко впевнитись в справедливості наступного твердження: якщо підінтегральна функція функціонала не містить t явно і є однорідною функцією першого степеня однорідності відносно і , то функціонал залежить тільки від вигляду кривої , а не від її параметричного представлення. Дійсно, нехай , де . Перейдемо до нового параметрчного представлення вважаючи , . Тоді . Через те, що Ф є однорідною функцією першого степеня однорідності відносно і , будемо мати звідки , тобто, підінтегральна функція не змінилась при зміні параметричного представлення. Довжина дуги , площина, обмежена деякою кривою , є прикладами таких функціоналів. Рівняння Ейлера для знаходження екстремумів Для знаходження екстремумів функціоналів , де Ф – однорідна функція першого степеня однорідності відносно і , як і для функціонала з довільною підінтегральною функцією , потрібно розв`язати систему рівнянь Ейлера ; . Проте, у даному випадку, ці рівняння не є незалежними, оскільки їм повинні задовольняти разом з деяким розв`язком і будь-які інші пари функцій, що дають інше параметричне представлення тієї ж кривої, що у випадку незалежності рівнянь Ейлера привело б до суперечності з теоремою існування. Це вказує на те, що для функціонала вигляду , де Ф-однорідна функція першого степеня однорідності відносно і , одне з рівнянь Ейлера є наслідком іншого. Для знаходження екстремумів потрібно взяти одне з рівнянь Ейлера і проінтегрувати його разом з рівнянням, що визначає вибір параметра. Наприклад до рівняння можна приєднати рівняння , вказуюче, що за параметр взята довжина дуги кривої. Додаток Приклад. З точки А до точки В під дією сили тяжіння скочується точка масою m. Серед усіх неперервних функцій, що з'єднують ці точки, знайти ту, за якою точка скотиться за найменший інтервал часу. Позначимо s - шлях, v - швидкість , t - час руху точки по кривій y(x). За законами фізики , , (закон Галілея); . Час руху точки вздовж кривої можна визначити як . Оскільки від const функціонал не залежить, то відкидаємо і одержуємо функціонал, що будемо мінімізувати . Підінтегральна функція не залежить від х, отже, використовуємо окремий випадок рівняння Ейлера . Для даної функції і рівняння Ейлера має вигляд . Проводячи спрощення, отримуємо . Остаточно маємо – це рівняння Лагранжа. Інтегруємо в параметричній формі за допомогою заміни . Підстановка її в рівняння надає вигляду , , , , . Остаточно одержуємо рівняння множини кривих в параметричній формі (циклоїда) Оскільки крива проходить через точку А(0,0) то в ній кут ; Значення в точці і визначаються з умови . Значення знайдемо, використовуючи методи розв'язання нелінійних рівнянь (ітераційні, наприклад). Згодом можна визначити і із системи . У такий спосіб рівняння екстремалі знайдено. Висновок Варіаційне числення встановлює умови, при яких функціонали досягають свого екстремуму. Вони є одними з найефективніших в якісному і кількісному відношеннях. Назва «варіаційне» числення походить від методу варіацій, за допомогою якого розв`язуються екстремальні задачі. В багатьох варіаційних задачах розв`язок зручніше шукати в параметричному вигляді. Варіаційне числення безпосередньо відноситься до елементарної теорії екстремумів. Використана література Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: “Наука”. 1969. Л.Я. Цлаф. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. – М.: “Наука”. 1970.

Курсова робота Методи оптимізації та дослідження операцій

12345123

17.05.2014 10:05-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись